Задачи по математики к темам "Векторы и окружность" (9класс)

Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Окружность. Задачи к темам  1.Пусть векторы   и  а   неколлинеарны. Доказать, что при р≠0 и k≠0  b векторы  векторы  3. АВСD  векторы   и  ар  неколлинеарны. bk ─ ─  произвольный треугольник, АD   его биссектриса. Разложить  2. АВС    и     по векторам    и  CA DA ─ ─ ─  середина ВС, М   середина  СD. Разложить   параллелограмм, К   по векторам    и  СВ ─  трапеция, у которой нижнее основание АВ вдвое больше верхнего   . МА   и  DС КА  . ВА CA 4. АВСD  DC. Разложить векторы   ,  ВА ,   СВ , DС  по векторам   AD   и  CA . DB ─ 5. Доказать, что сумма квадратов сторон любого четырехугольника равна  сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом  отрезка, соединяющего середины диагоналей. 6. Доказать, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна сумме  квадратов отрезков, попарно соединяющих середины всех его сторон. 7. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований. ─ ─  середина АВ, К    8. Дан выпуклый пятиугольник АВСDЕ, в котором Н  ─  середина СD, Т   середина DE. Доказать, что отрезок,  середина ВС, Р  соединяющий середины отрезков НР и КТ , параллелен стороне АЕ, а его  длина в 4 раза меньше длины АЕ. 9. Доказать теорему Лейбница: если Т  для любой точки М  АМ2 + ВМ2 + СМ2 = ( АВ2 + ВС2 + АС2 ) ∕ 3 + 3МТ2. 10. Дан прямоугольник АВСD. Доказать, что для любой точки М   +СМ2 = ВМ2 + DМ2. Найти площадь АВСD, если АМ = 3, ВМ = 5, СМ = 4. 11. АВС  любой точки М на АС верно, что АМ ? СМ = ВС2 – ВМ2 . 12. Окружность описана около правильного треугольника. Доказать, что  расстояние от любой точки окружности до наиболее удаленной вершины  треугольника равно сумме расстояний от этой точки до двух других его  вершин. ─  равнобедренный треугольник с основанием АС. Доказать, что для   центр тяжести треугольника АВС, то  АМ2  ─ 13. Окружность касается одной из сторон прямого угла в точке А на  расстоянии   от его вершины и проходит через точку В, лежащую на другой  а стороне угла на расстоянии b от его вершины. Найти радиус  окружности и  длину отрезка, отсекаемого ею на стороне угла. 14. Окружность касается обеих осей прямоугольной системы координат и  проходит через точку М(a,b). Найти центр и радиус этой окружности. 15. Окружность вписана в треугольник с вершинами О(0,0); А(а,0); и В(0,b).  Найти центр этой окружности.