Задания для проведения олимпиады по математике в 5 классе.

Задача   1.   Помоги   Ивану   –   Царевичу   попасть   в   Царство Кощея. Иван Царевич подошел к двери и увидел восемь бочонков, на каждом из которых была изображена   цифра 8 (88888888). Чтобы дверь открылась нужно разложить бочонки на пять групп таким образом, чтобы сумма получившихся слагаемых была   равна   1000.   Догадайся,   как   это   сделать?   Решение: Способ   1:   88   +   8   +   8   +   8   +   888   =   1000  Способ   2:   8   +   8   +   888   +   88   +   8   =   1000. Задача 2. Помоги Ивану-Царевичу выбраться из Царства Кощея. Иван –Царевич добыл ключи от нескольких комнат в Подземелье, но не знал какой ключ от какой комнаты. Сколько комнат в Подземелье, если в худшем случае ему достаточно 21 пробы, чтобы выяснить какой ключ от какой комнаты? Решение:. Для трех комнат достаточно 3 пробы. Для 4-х комнат: 3+2+1=6 проб. Для 5: 4+3+2+1=10 проб. И т.д. Для 7 комнат 6+5+4+3+2+1=21 проба. Ответ: В Подземелье было 7 комнат. Задача 3. Помоги Ивану – Царевичу найти мешок с фальшивыми монетами. Приказал Царь Ивану-Царевичу забрать у Кощея долг : два мешка с золотыми монетами. Иван Царевич войдя в комнату увидел три мешка с монетами, в двух из них настоящие монеты весом 10 граммов каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты, если из любого мешка можно брать любое число монет для взвешивания? Решение: Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго 2 монеты, из третьего 3 монеты. Возможны три случая: 1) фальшивые монеты в первом мешке, тогда вес взятых монет 1х9+2х10+3х10=59(г); 2) фальшивые монеты во втором мешке, тогда вес взятых монет 1х10+2х9+3х10=58(г); 3) фальшивые монеты в третьем мешке, тогда вес взятых монет 1х10+2х10+3х9= 57(г). В первом, втором и третьем случаях вес взятых монет на 1,2, 3 г отличается от веса такого же количества настоящих монет, т.е. от ( 1+2+3)х10=60 (г). Это означает, что взвесив 6 монет и получив результат 59, 58, или 57 г, будем знать , сколько не хватает до 60 г, - это число укажет гам номер мешка с фальшивыми монетами. Задача 4. Помоги Ивану­Царевичу посчитать головы Змеев. На страже Кощея Бессмертного стоят трехголовые и двухголовые  Змеи­Горынычи, причем тех и других поровну. Сколько голов у этих Змеев вместе, если их меньше 40, но больше 30. Сколько Змеев того  и другого вида стоит на страже Кощея Бессмертного. Решение: Надо сложить между собой количества голов двух видов  Змеев, т.к. нужно сравнивать кратность общего числа голов к  количеству суммы Змеев двух видов: 3+2=5 3­ это количество голов Змеев первого вида; 2­этоколичество голов Змеев второго вида. Далее рассуждаем так: Если количество Змеев одинаковое ( и 2­х и 3­х головых), то общее  число голов должно делится на 5 обязательно без остатка. При  варианте 35:5=7 (ост.0). Ответ: 35 голов.  7 Змеев 3­х головых, 7 Змеев 2­х головых.