Задания школьного этапа олимпиады по математике (9 класс)

Задания школьного  этапа олимпиады по математике  в 2017­2018 учебном году 1.  Решить уравнение:  x2 + xy + y2 – 2x + 2y + 4 = 0             7 баллов 9 класс 2. Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со  скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч.  Найдите среднюю скорость  движения автомобиля.                                                              7 баллов 3. Равнобокая трапеция АВСD  разбивается диагональю АС  на 2  равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.                                                                                                     7 баллов 4. Решите систему уравнений:                                                           (3x + y)2 + 2(x – y)2 = 96,                                                          3x + y = 2(x – y).                                                                                                     7 баллов 5.  Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и  Григорий участвовали в  лыжных гонках.  На следующий день, на вопрос кто какое место занял, они  ответили так:  Алексей:  Я не был ни первым и ни последним; Борис:  Я не был последним; Владимир:  Я был первым; Григорий:  Я был последним. Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто  сказал правду? Кто был первым?                                           7 баллов 6.  Найдите четыре  последовательных натуральных числа, произведение   которых равно  1680.                                                              7 баллов   7.  Покупатель   взял   у  продавца   товара   на  10  рублей   и  дал 25  рублей.  У продавца   не   нашлось   сдачи,   и   он   разменял   деньги   у   соседа.   Когда   они расплатились и покупатель ушел, сосед обнаружил, что 25 рублей фальшивые. Продавец   вернул   соседу   25   рублей   и   задумался.   Какой   убыток   понес продавец?                                                                                 7 баллов 8.  В треугольнике АВС  угол А равен 60°, а угол В равен 82°. АD, ВЕ и СF –  высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОF.               7 баллов 9. Каждый юноша в 9 классе играет либо в футбол, либо в хоккей. При этом  треть футболистов еще и хоккеисты, а среди хоккеистов футболом  увлекается каждый четвертый. Кого среди юношей этого класса больше:  увлеченных футболом или увлеченных хоккеем?                          7 баллов 10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.  Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.  (Математическая монета  или симметричная монета,  лишена многих  качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера,  веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может  служить платежным средством. Монета с точки зрения теории вероятностей  имеет только две стороны, одна из которых называется "орел", а другая —  "решка". Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх.  Ни какие  другие свойства математической монете не присущи).                  7 баллов       11. Можно ли расставить в таблице 4×4 различные натуральные числа от 1  до 16 так, чтобы во всех квадратиках 2×2 сумма чисел делилась на 17?                                                                                                                                   7 баллов Максимальный балл за все выполненные задания — 77. Основные принципы оценивания:    Баллы 7 6­7 5­6 4 2­3 0­1 0 0 Правильность (ошибочность) решения Полное верное решение. Верное   решение.   Имеются   небольшие   недочеты,   в   целом   не   влияющие   на решение. Решение   в   целом   верное.   Однако   оно   содержит   ряд   ошибок,   либо нерассмотрение   отдельных   случаев,   но   может   стать     правильным   после небольших исправлений или дополнений. Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.  Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. Рассмотрены   отдельные   важные   случаи   при   отсутствии   решения   (или   при ошибочном решении). Решение неверное, продвижения отсутствуют. Решение отсутствует. Победителем является участник, правильно выполнивший не менее 65% баллов. Призерами  являются участники, следующие за победителем в рейтинге, набравшие не менее 51 % .            Количество победителей – 1. Количество призёров – 2, но не более 25 % от общего количества  участников в параллели. Победитель      ­ не менее 50 баллов; Призер              ­ не менее 39 балл Ответы и решения олимпиадных задач по математике  9 класс 9 класс 1.  Решить уравнение:  x2 + xy + y2 – 2x + 2y + 4 = 0 Решение:  Умножим на 2 обе части уравнения и сгруппируем. В итоге получим:  (x2 + 2xy  + y2) + (x2 – 4x + 4) + (y2 + 4y + 4) = 0, (x + y)2 + (x – 2)2 + (y + 2)2 = 0,    x = 2;  y = ­2. 2. Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч,  а вторую – 60 км/ч.  Найдите среднюю скорость движения автомобиля. Решение:  3. Равнобокая трапеция АВСD  разбивается диагональю АС  на 2 равнобедренных  треугольника. Определите углы трапеции. Решение: 4. Решите систему уравнений:                                                           (3x + y)2 + 2(x – y)2 = 96,                                                          3x + y = 2(x – y). Решение: 5.  Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и  Григорий участвовали в лыжных гонках.   На следующий день, на вопрос кто какое место занял, они ответили так:  Алексей:  Я не был ни первым и ни последним; Борис:  Я не был последним; Владимир:  Я был первым; Григорий:  Я был последним. Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду?  Кто был первым? Решение: 6.  Найдите четыре  последовательных натуральных числа, произведение  которых равно   1680. Решение: 7.  Ответ: 25 рублей. Решение: Одолженные и возвращенные соседу деньги можно не  принимать во внимание. Так как покупатель расплатился фальшивыми деньгами, то  продавец понес убыток 25 рублей. 8.  Ответ:82°.Решение: одно из возможных обоснований:  1) Рассмотрим треугольник АВD: угол АDВ равен 90°,т.к. АD­ высота треугольника АВС,  тогда угол  ВАD=90°–82°=8°.  2) Рассмотрим треугольник АFО: угол АFО равен 90°,т.к. СF­ высота треугольника АВС,  тогда  угол АОF=90°–8°=82°. 9.  Ответ: Хоккеистов. Решение: Пусть одновременно футболом и хоккеем в классе  увлекаются к человек. Тогда  футболистов в классе 3к, а хоккеистов – 4к. При этом к≠0,  так как футболисты и хоккеисты в классе заведомо есть. 10.  Ответ: 0,375.  Решение:  Какие возможны исходы трех бросаний монеты? 1) Решка, решка, решка. 2) Решка, решка, орел. 3) Решка, орел, решка. 4) Орел, решка, решка. 5) Решка, орел, орел. 6) Орел, решка, орел. 7) Орел, орел, решка. 8) Орел, орел, орел. Это все возможные события, других нет. Нас интересует вероятность 5­го, 6­го или 7­го  события.  Всего возможных исходов – 8. Благоприятных иcходов – 3. Отношение 3/8 = 0,375. 11. Ответ: Можно. Решение: Один из примеров расстановки на рис. 1 1 2 9 4 1 6 5 8 1 3 3 1 0 1 1 2 1 4 7 6 1 5 Максимальный балл за все выполненные задания — 77. Основные принципы оценивания:    Правильность (ошибочность) решения Полное верное решение. Верное   решение.   Имеются   небольшие   недочеты,   в   целом   не влияющие на решение. Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, Баллы 7 6­7 5­6 либо   нерассмотрение   отдельных   случаев,   но   может   стать правильным после небольших исправлений или дополнений. Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.  Доказаны   вспомогательные   утверждения,   помогающие   в решении задачи. Рассмотрены   отдельные   важные   случаи   при   отсутствии решения (или при ошибочном решении). Решение неверное, продвижения отсутствуют. Решение отсутствует. 4 2­3 0­1 0 0 Победителем является участник, правильно выполнивший не менее 65% заданий.  Призерами являются участники, следующие за победителем в рейтинге, набравшие не  менее 51 % . Количество победителей – 1. Количество призёров – 2, но не более 25 % от  общего количества участников в параллели. Победитель      ­ не менее 50 баллов; Призер              ­ не менее 39 баллов.