Задания школьной олимпиады по математике 8 класс

Задания 8 класс 1. Первую половину пути всадник скакал со скоростью 20 км/ч, а вторую – со скоростью 12 км/ч. Найдите среднюю скорость всадника. 2. Ученик   утверждает,   что   знает     решение   уравнения  xy6  +  x2y  =   1999   в натуральных числах. Докажите, что он ошибся. 3. Под   кукурузу   отвели   участок   поля   в   форме   прямоугольника.   Через некоторое время длину этого участка увеличили на 35 %, а ширину уменьшили на 14 %. На сколько процентов изменилась площадь участка?    4. Из 100 студентов английский язык знают 28, немецкий – 30, французский – 42, английский и французский – 10, английский и немецкий – 8, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трёх языков?    5.  Четырехугольник с длинами сторон 1; 1; 1; 2 имеет две параллельные стороны   и   разбит   на   4   одинаковые   фигуры   (см.   рис.).   В   результате   верхняя сторона разделилась на 4 отрезка. Найти отношение длины большего отрезка к меньшему.                      РЕШЕНИЕ 1. t1 – время движения в пути на первой половине пути; . t1 =  t2 – время движения в пути на второй половине пути; t2 =  .  = 2S ∙  =15 (км/ч). S – половина пути; 2S – весь путь. Ответ: 15 (км/ч).  2. xy6 + x6y = 1999. x четн. нечетн. y четн. нечетн. x 6 четн. нечетн. y6 четн. нечетн. xy6 четн. четн. нечетн. x6y четн. четн. нечетн. xy6+ x6y четн. четн. четн. Выражение  xy6+ x6y четно при любых  x  и y и поэтому не может быть равно 1999. Следовательно, ученик ошибся. 3. Длина участка a, ширина b, тогда площадь его равна ab. После увеличения длины на 35 % она стала равна 1,35a, а после уменьшения ширины стала равна 0,86b. Площадь участка стала равна 1,35a ∙ 0,86b = 1,161ab. Значит,   площадь   увеличилась   на   1,161ab  −  ab  =   0,161ab,   что   составляет , то есть площадь увеличилась на 16,1 %. Ответ: Площадь увеличится на 16,1 %.    4. Пусть х студентов не знают ни одного из трёх языков, тогда 28 + 30 + 42 – 10 – 5 – 8 + 3 + х = 100, откуда х = 20, то есть 20 студентов не знают ни одного языка. Ответ: 20 студентов.  5.  АВ = ВС = СD =1; АD = 2. Пусть ВМ = МN = КС = x; NК = 1 – 3x,  тогда АD = (1 – 3x) ∙ 3 + x = 3 – 8x; но АD = 2, то есть 3 – 8x = 2 8x = 1 x =  . 1 – 3х = 1 –   =  . NК : МN =  Ответ: 5 : 1.  :   = 5 : 1.