Замечательные кривые

Тема: «Замечательные кривые»         Понятие линии (кривой) возникло в сознании человека в доисторические  времена. Траектория брошенного камня, очертание цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие явления природы с давних пор привлекали  внимание людей. Потребовался значительный промежуток времени для того,  чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых. Первые  рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари  показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и  различать отдельные кривые        Я хочу познакомить вас с некоторыми поистине замечательными  кривыми, населяющими удивительный мир геометрии, которые встречаются в  нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе,  имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных  свойств используется в различных механизмах, используемых человеком в  жизни. Это Элипс, Кардиоида и Улитка Паскаля, Циклоида, Спираль Архимеда,  Парабола, Синусоида и Логарифмическая спираль  Спираль Архимеда         Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий всё на своём пути; величественный круговорот  гигантского космического вихря туманностей и галактик — все они имеют  форму спиралей .       Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается  в центре, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.        Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда,  является постоянство расстояний между витками.     Практическое применение. По спирали Архимеда идет, например звуковая  дорожка. Одна из деталей  швейной машинки ­ механизм для равномерного  наматывания нити на шпульку ­ имеет форму спирали Архимеда.  Элипс       Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма  расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина  постоянная, большая расстояния между фокусами. О свойствах эллипсов во всех подробностях могут рассказать специалисты,  изучающие движение небесных тел. Согласно закону, открытому в XVII в.  немецким астрономом Кеплером, все планеты движутся вокруг Солнца по  орбитам, имеющим форму эллипса.  У эллипса есть несколько замечательных  свойств ,одно из которых можно принять за его определение. Начнём с того,  что эллипс это “сплюснутая”, а точнее, равномерно сжатая к своему диаметру окружность. Другими словами, из окружности получается эллипс, если все её  точки приблизить к выбранному диаметру, сократив расстояния в одно и то  же число раз. У эллипса есть замечательное оптическое свойство: прямые,  соединяющие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к  эллипсу в этой точке равные углы. Если представить себе, что эллипс,  подобно зеркалу, может отражать световые лучи, и поместить в один из его  фокусов источник света, то лучи, отражаясь от эллипса, соберутся в другом  его фокусе .    Так же распространяются и акустические волны, что используют  архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих»  бюстов, «магического» шёпота, «потусторонних» звуков .     Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта,  наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды  которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов,  то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто  он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико . Парабола Параболой называется геометрическое место точек плоскости,  равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы). Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например, камень,  брошенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу. Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством:  все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы,  после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это  свойство параболы используется при изготовлении прожекторов,  автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которые имеют вид  параболоидов вращения . Кардиоида и Улитка Паскаля Понаблюдаем за какой­нибудь точкой окружности, когда последняя  катится по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса.  Траекторий точки будет кардиоида.  По мнению математиков, придумавших название кривой, отдаленно  напоминает форму сердца (греческое слово «кардиа» означает «сердце»).      Если, точку, описывающую кривую, взять не на самой окружности, а  несколько сбоку, то получим кривую, называемую Улиткой Паскаля.    Улитка Паскаля применяется для вычерчивания профиля эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические  колебания . Такие механизмы отличаются плавностью возвратно­ поступательного движения стержня (например, в механике автомашин). Синусоида    Синусоида – волнообразная плоская кривая, которая является графиком  тригонометрической функции y = sin x в прямоугольной системе координат. Изменение какой­либо величины по закону синуса называется гармоническим  колебанием.    Примеры таких колебаний: колебания маятника, колебания напряжения в  электрической сети, изменение тока и напряжения в колебательном контуре и  др. гармонические колебания воздуха – звук. В медицине –  гармонические колебания работы сердца – синусоидальный ритм. Циклоида     Что общего между словами “цирк”, “циркуль”, “мотоцикл”?.. Оказывается,  в них прячется одно и то же греческое слово “киклос” — “круг”,  “окружность”.     Слово “циклоида” также принадлежит этому ряду, и не  случайно. Циклоидой именуют кривую, которую описывает точка  окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой . Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на неё внимание.  Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из  которых была вырезана по циклоиде, а другая по окружности, порождающей  эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза  больше площади соответствующего круга. Опыты Галилея дали толчок строгим математическим исследованиям  циклоиды. Сначала его ученик Торричелли, а затем Роберваль, Декарт и  Ферма не только обосновали зависимость, открытую Галилеем, но и  установили рад других свойств циклоиды. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVlI—XVIII вв. Ею за­ нимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причём вначале  циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающегося математического анализа. Перевернём циклоиду выпуклостью вниз и представим, что по ней  скатывается тяжелая| частица. Из какой бы точки циклоиды ни начинала  движение частица, она скатится вниз за одно и то же время.  Замечательное свойство изохронности циклоиды (от греч. “изос”­“равный” и  “хронос” — “время”) навело Гюйгенса на мысль использовать её в часовом  маятнике. Скатывающийся по циклоидальному жёлобу шарик слишком много  энергии тратит на трение, поэтому Гюйгенс предложил подвесить шарик на  нити и ограничить свободу во перемещения доской, край которой имеет  форму циклоиды (рис. 20). Оказывается, в таком случае движение шарика  также происходит по циклоиде, и, следовательно, на период его колебаний не  влияет величина отклонения шарика от вертикали. В 1696 г. Даниил Бернулли открыл другое замечательное свойство этой  кривой. По циклоиде при отсутствии трения частица под действием силы  тяжести скатывается из одной заданной точки в другую за наименьшее  время. Брахистохронное свойство циклоиды (от греч. “брахистос” ­­  “кратчайший” и ”хронос” — “время”) доказать отнюдь не просто, оно стало  отправной вехой нового направления в ­вариационного исчисления. Логарифмическая спираль     Слово логарифм  происходит от греческого (число, отношение), и  переводится как отношение чисел.     Логарифмическая спираль ­ это линии в геометрии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе. Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью. Это ее  название отражает от факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус ­ вектором сохраняет постоянное значение.    Логарифмическую спираль нередко используется в технических  устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль,  очерченный по логарифмической спирали . Также логарифмическая спираль встречается в природе. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком  вытягиваться им приходиться скручиваться, причем каждый виток подобен  предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической  спирали, можно сказать, что эта спираль является математическим символом  соотношения форм роста.  Подводя итоги, можно с уверенность сказать, что все открытия, которые были сделаны нашими предками ­ бесценны! Они применяются везде и всюду.  Замечательные кривые часто встречаются в природе и жизни. Мы их видим каждый день!