Занятие кружка. Линейные диафантовы уравнения с двумя переменными.

Затеева Валентина Павловна  Учитель математики Саратовской области г. Энгельса МБОУ « СОШ № 15» Занятие кружка. Тема Линейные диафантовы  уравнения с двумя переменными.. 6­7  класс. Цель занятия:  ­Показать учащимся способы решения  линейных диафантовых  уравнений с двумя переменными; ­ развивать логическое мышление; ­ воспитывать волю, уверенность в себе. 1. Решение неопределенных уравнений первой степени от двух переменных  в целых числах Рассмотрим два метода решения диофантовых уравнений первой степени от  двух переменных. Метод спуска Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретного  уравнения. Шаги алгоритма, которые необходимо применять при решении  любого такого уравнения выделим курсивом. Пример 1. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.  1. 2. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем  случае это х), и выразим его через другое неизвестное:  .  Выделим целую часть:  . Очевидно, что х будет целым, если выражение  место тогда, когда число 4 – 3y без остатка делится на 5.   окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь  Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим  образом: 4 –3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.  Решаем его уже относительно переменной y, рассуждая точно также как в п.1, 2:  . Выделяя целую часть, получим:    Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u =  1 – 2z.  Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае   =   было целым,  переменную z:  получим: 1 – u = 2v, откуда u = 1 – 2v. Дробей больше нет, спуск закончен  (процесс продолжаем до тез пор, пока в выражении для очередной  переменной не останется дробей).  . Требуя, чтобы  3. 4. 5. 6. 7. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через  переменную v сначала z, потом y и затем x:  =   =  z =  8. = 3v – 1;   =  3 – 5v.   = 3+8v.  Формулы x = 3+8v и y = 3 – 5v, где v – произвольное целое число,  представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. Замечание. Таким образом, метод спуска предполагает сначала  последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в  представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное  «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения. Это уравнение и любое другое линейное уравнение с двумя неизвестными  может быть решено и другим методом, с использованием алгоритма Евклида,  более того можно доказать, что уравнение, рассмотренное выше всегда имеет  единственное решение. Приведем здесь формулировки теорем, на основании  которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений  первой степени от двух переменных в целых числах. Теорема 1.1. Если в уравнении  крайней, мере одно решение.  Теорема 2.2. Если в уравнении  уравнение целых решений не имеет.  Теорема 3.3. Если в уравнении  равносильно уравнению  , в котором  ,  ,  ,  , то уравнение имеет, по   и с не делится на  , то   и  , то оно  .  Теорема 4.4. Если в уравнении  ,  , то все целые решения  этого уравнения заключены в формулах:  где х0, у0 – целое решение уравнения  ,   ­ любое целое число. Как уже отмечалось выше, сформулированные теоремы позволяют составить  следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида  .  1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b,  если   и с не делится на  , то уравнение целых решений не имеет; если   и  , то 2. 3. 4. Разделить почленно уравнение  уравнение  , в котором   на  , получив при этом  .  Найти целое решение (х0, у0) уравнения  как линейной комбинации чисел   и  ;   путем представления 1 Составить общую формулу целых решений данного уравнения  где х0, у0 – целое решение уравнения  ,   ­ любое целое число. Пример 2. Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33. Воспользуемся составленным алгоритмом. 1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел  407 и 2816:  2816 = 407∙6 + 374; 407 = 374∙1 + 33; 374 = 33∙11 + 11; 33 = 11∙3. Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11. 2. 3. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение  37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1  С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1  через числа 37 и 256. 256 = 37∙6 + 34; 37 = 34∙1 + 3; 34 = 3∙11 + 1 Выразим 1 из последнего равенства, затем, последовательно поднимаясь по  цепочке равенств, будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в  выражение для 1. 1 = 34 – 3∙11 = 34 – (37 – 34∙1) ∙11 = 34∙12 – 37∙11 = (256 – 37∙6) ∙12 – 37∙11 = – 83∙37 – 256∙(–12). Таким образом, 37∙(– 83) – 256∙(–12) = 1, следовательно  пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3. 4. Запишем общие формулы решений первоначального уравнения  где t ­ любое целое число. Замечание. Можно доказать, что если пара (х1,y1) ­ целое решение  уравнения  , то все целые решения этого уравнения  , где  находятся по формулам:  .   1. Решить уравнения в целых числах а) 27х – 40y = 1; б) 107x + 84y =1; в) 24x – 56y = 72. 2. Найдите день моего рождения, если сумма чисел равных произведению даты  рождения на 12 и номера месяца рождения на 31 равна 380.  3. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12  см, так чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?