Тригонометрия
Тригонометрия
9.2.4.5 находить с помощью единичной окружности область определения и множество значений тригонометрических функций; 9.2.4.6 объяснять с помощью единичной окружности чётность (нечётность), периодичность, монотонность и промежутки…
9.2.4.5
находить с помощью единичной окружности область определения и множество значений тригонометрических функций;
9.2.4.6
объяснять с помощью единичной окружности чётность (нечётность), периодичность, монотонность и промежутки знакопостоянства тригонометрических функций;
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
Единичной окружностью называется окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице
Единичной окружностью
называется окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
R
R
R
0
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
1 радиан = АОС Длина АС = ОА =
1 рад
А
В
R
Радианная мера угла
Через единичную окружность (радиус равен 1)
Через единичную окружность (радиус равен 1) | Через произвольную окружность | Через прямоугольный треугольник (для острых углов |
| ||
Тригонометрические функции угла и числового аргумента
Определение тригонометрических функций
А
С
В
b
c
a
х
у
0
0
Р (х;у)
Р (х;у)
х
у
Sin a = y - ордината точки Р
Соs a = х - абсцисса точки Р
Р (a >0) a (a >0) Р a У х 0 Положительные и отрицательные углы в окружности
+
-
Р
(a >0)
a
(a >0)
Р
a
У
х
0
Положительные и отрицательные углы в окружности
Р
ОР 0Р
повернули на угол a
против часовой стрелки
о
о
a
(a >0)
0Р ОР
повернули на угол
по часовой стрелки
о
a
(a >0)
Угол поворота радиуса ОР против часовой стрелки считается положительным,
а по часовой --- отрицательным
о
R=1
II
I
III
IV
Начало отсчета углов - в точке (1;0)
Синусом угла a называется абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат
Синусом угла a называется абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат
Косинусом угла a называется ордината точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат.
У
Х
0
А
Определение косинуса и синуса
(1;0)
a
А(1;уА ) Р0 Представление тангенса в единичной окружности
1
х
у
a
А(1;уА )
Р0
Представление тангенса в единичной окружности
А - ось тангенсов
Р0
А ОУ
Р0
По общему определению
---
ордината соответствующей точки оси тангенсов
Тангенсом угла a называется отношение синуса угла a к его косинусу
Представление котангенса в единичной окружности
Представление котангенса в единичной окружности
У
Х
0
a
С
В (хВ;1)
СВ -- ось котангенсов
СВ Ох
По общему определению
--- абсцисса соответствующей точки оси котангенсов
Котангенсом угла a называется отношение косинуса угла a к его синусу
Координатный луч с началом в точке 0 «намотаем», как нить, на окружность сначала в положительном направлении – против хода часовой стрелки, потом в отрицательном направлении…
Координатный луч с началом в точке 0 «намотаем», как нить, на окружность сначала в положительном направлении – против хода часовой стрелки, потом в отрицательном направлении – по ходу часовой стрелки.
Рассмотри, как можно установить соответствие между множеством действительных чисел на числовой прямой и точками единичной окружности.
6
4
2
1
5
3
Х
R=1
1
2
3
4
7
5
6
7
Понятно, что «наматывание» можно продолжать бесконечно.
p
p
Y
Х R=1 0 5 6 7 «Наматываем» в отрицательном направлении
4
2
1
3
Х
R=1
0
5
6
7
«Наматываем» в отрицательном направлении. Покажем только узловые точки.
p
(-p)
Вывод:
(-p)
Y
Рассмотри, как расположены числа на единичной окружности.
Вывод: p М Р К N (-p) 0 При рассмотрении единичной окружности удобно использовать радианную меру, т
00
900
2700
1800
300
450
600
Вывод:
p
М
Р
К
N
(-p)
0
При рассмотрении единичной окружности удобно использовать радианную меру, т.к. при этом числа, выражающие длину дуги и длину окружности -кратные числа.
Каждой точке окружности соответствует не одно, а бесконечное множество действительных чисел.
Каждому числу на окружности соответствует одна (единственная) точка.
-Назови, кроме отмеченных, еще по одному положительному и отрицательному числу, которые соответствуют выделенным точкам окружности.
Задание 1:
Задание выполни письменно!
Знаки тригонометрических функций _ + + _ + _ + _ + + _ _
cosa
Знаки тригонометрических функций
_
+
+
_
+
_
+
_
+
+
_
_
II
II
II
I
I
I
III
III
III
IV
IV
IV
tg a
Сtg a
Sina
Тригонометрический круг
Тригонометрический круг
Основные значения тригонометрических функций углов
Основные значения тригонометрических функций углов
I четверти приведены в таблице.
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Единичная окружность соответствует 2p радиан
(1800 = p радиан) => 1 радиан = 180 0 /p ~ 57 0
Свойства тригонометрических функций
Свойства тригонометрических функций
Четность и нечетность
Косинус- четная функция
Синус, тангенс, котангенс – нечетные функции
Периодичность
-- период Т = 2П
Тогда
--- период Т = П
Тогда
Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же аргумента
у
х
Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же аргумента
Р(1,0)
0
Р
sin a
cos a
ctg a
tg a
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
