1.3 Общее определение функции в XIX веке. Дальнейшее развитие понятия функции

Общее определение функции в XIX веке. Дальнейшее развитие понятия функции

Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с  понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг. мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими  выражениями.

В 1834 г. в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н.И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское  определение функции в 1755 г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое  подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе»

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке а ≤ x ≤ b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у  множества В — значениями функции; во втором случае х — прообразы, у — образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка а ≤ x ≤ b), о котором говорится в определении Дирихле.

Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшем классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. В общем виде понятие  обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и  дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца — И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и др.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция  математики в целом. Новые открытия и С. Л. Соболев запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика — незавершенная наука, она развивалась на протяжении  тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.