18. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Методические рек

Методические рекомендации к уроку

Тема урока "Системы линейных уравнений с двумя переменными"

Цели обучения:

6.2.2.17

иметь представление о системах линейных уравнений с двумя переменными;

6.2.2.18

понимать, что решением системы линейных уравнений с двумя переменными является упорядоченная пара чисел;

Критерии оценивания

Учащиеся

знают:

·         что такое системы линейных уравнений с двумя переменными;

·         что является решением системы линейных уравнений с двумя переменными;

умеют

·         определять  решения системы линейных уравнений с двумя переменными и делают правильный выбор из упорядоченной пары чисел;

Теоретический материал

Определение. Если нужно найти общие решения двух уравнений (с двумя переменными), то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется (упорядоченная) пара значений переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Ход урока

Организационный момент. Актуализация опорных знаний.

Проверить домашнее задание.

Вопросы на повторение:

Приложение 1

1) Найти все пары натуральных чисел, которые являются решениями уравнения х + у = 11.

2) Выразить переменную у через переменную х из уравнения:

а) х + у = 4;

б) 2х - у = 2;

в) х + 2у = 4;

г) х - у = 0.

3) Выразить переменную х через переменную у из уравнения:

а) х - у = 7;     б) 3х + 2у = 5;            в) 5х - 2у = 8;             г) 2х - 5у = 7.

Совместно с учащимися определить тему и цели урока, "зону ближайшего развития".

Работа с классом. В режиме диалога ввести определение системы уравнений.

Пусть даны несколько уравнений с двумя переменными, обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2⋅x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Что называется решением каждого из них? В случаях, когда поставлена задача: «найти их общие решения», говорят, что мы имеем дело с системой уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Определение. Если нужно найти общие решения двух уравнений (с двумя переменными), то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Приведите пример какой-нибудь системы из двух уравнений с двумя переменными (записать на доске с помощью фигурных скобок).

Например: - система двух линейных уравнений с двумя переменными.

Что значит решить систему уравнений? [найти все ее решения или доказать, что их нет.]

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется (упорядоченная) пара значений переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Например, пара х = 2; у = 1 (2; 1) является решением системы , так как при
х = 2 и у =1 имеем:  - верные числовые равенства.

Иначе, решить систему уравнений – значит найти множество ее решений (оно может включать в себя любое количество пар чисел, в том числе и бесконечное, либо быть пустым).

Обращаем внимание учащихся, что в случае, когда пара (х; у) не является решением первого из уравнений системы, для второго уравнения ее уже не надо проверять - такая пара не будет решением системы (по определению).

Одним из способов решения систем уравнений является графический способ.

Вспомним, что графически, решением линейного уравнения являются все точки некоторой прямой на плоскости.

Для системы линейных уравнений будем иметь несколько прямых (по количеству уравнений). А решением системы уравнений, будет являться точка, в которой пересекаются все прямые. Если такой точки нет, то система не будет иметь решений. Точка, в которой пересекаются все прямые, принадлежит каждой из этих прямой, поэтому решение называют общим.

 Алгоритм графического решения систем с двумя переменными:

1) Выразить переменную у из каждого уравнения системы.

2) В одной системе координат строятся графики каждого из уравнений системы.

3) Находятся точки пересечения графиков, координаты которых и являются решениями системы.

4) Записывается ответ.

Дана система уравнений  , решить графически.

1.Выразить переменную у из каждого уравнения системы

2. Построить графики полученных уравнений.

3. Найти точки пересечения графиков.

Точка пересечения графиков М(2;1), значит пара чисел х=2 и у=1 - является решением заданного уравнения.

Какой главный недостаток данного способа решения? Как его, в данном случае, можно устранить? [проверить ответ с помощью подстановки в каждое уравнение данной системы] В данном случае, нам удалось найти точные решения системы, но это удается не всегда. Поэтому, графический способ особо удобен для определения количества решений системы уравнений, так как в этом случае важно только количество точек пересечения графиков, а не их координаты. Причем, если все уравнения системы – линейные, то количество ее решений можно определить и без построения графиков.

Учащиеся формулируют определения, сравнивают с текстом учебника, делают выводы.

Работа в парах. Взаимное обучение. Создать пары из представителей разных групп. Предложить ученикам процесс взаимного обучения: объяснить напарнику ход решения задания, затем вместе решить их. Определяем умение распределять обязанности в паре.

Приложение 2

1. Является ли решением системы  пара чисел:

1) х = 1; у = 1; 2) х = 3; у =;

3) х =; у = -2; 4) х = 0; у = -1?

2. Составьте какую-нибудь систему линейных уравнений с двумя переменными, которая имеет решение: х = -2; у = 1.

3. Для каждого из данных линейных уравнений найдите значение , соответствующее заданному значению : , если .

4. Для каждого из данных линейных уравнений найдите значение , соответствующее заданному значению : , если .

Предоставить достаточно времени для выполнения задания.

5. Решить систему уравнений графически:

.

Подвести итог после решения этих заданий.

Пригласите к доске ученика, попросите его записать подробное решение задания. Учащиеся на местах решают все примеры и сверяют свои решения с записями на доске, внимательно слушают одноклассников. С целью развития математической речи попросите одного из учащихся подробно прокомментировать решение любого задания, акцентируйте их внимание на обоснование решений. Для учащихся с более высокой скоростью решения организуйте "уголок Знайки", куда они могли бы подходить и проверять свое решение или читать идею решения. Это позволяет не отвлекаться на объяснение задачи, а работать в это время с остальной частью класса.

При наличии компьютера, просмотреть презентацию для визуального закрепления материала.

Беседа. Рефлексия.

Вопросы учащимся:

1. Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными?

2. Что значит решить систему уравнений?

3. Как проверить, является ли данная пара решением системы?

В конце урока учащиеся проводят рефлексию, прикрепляя стикер со своим именем на слайде и или на бумаге, прикрепленной к доске.

Домашнее задание.  Знать определения, решить из уровня В учебного пособия "Математика 6" №...№.

На уроке предусмотрена дифференциация в виде работы в разнородных парах На уроке предусмотрена дифференциация в виде работы в разнородных парах (разного уровня обучаемости).

Предусмотрена взаимопроверка по ключу, в ходе которой оценивается умение учеников применять теоретические знания. В ходе групповой деятельности при выполнении задании оцениваются умение находить результат, а также решать задания по теме, опираясь на понятие и свойства, изученные на данном уроке и прошлый опыт.

Запланированы виды деятельности на уроке, способствующие передвижению учащихся по классу, поэтому необходимо обеспечить безопасность. Следить за осанкой учащихся.

Литература:

1.                  "Математика 6", Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Жумагулова З.А.;

2.                  "Математика 6", Алдамуратова Т.А, Байшоланов Т.С.; Алматы. «Атамура». 2011 год.

3.                  Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса. – 5-е изд., испр. – М.: Илекса, - 2010 – 192

4.                  Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Математика. 6 класс. Часть 3. Москва. Ювента. 2011 год.

5.                  Математика - 6» автор Н.Я.Виленкин, Жохов В.И, Чесноков А.С. и др., Москва «Мнемозина», 2010г.

Интернет ресурсы:

1.                  http://www.yaklass.ru

2.                  https://school-assistant.ru

3.