Знакомимся с новыми знаниями
Если несколько чисел образуют геометрическую прогрессию,
то среди них всегда найдётся наименьшее по модулю число; если же чисел,
образующих геометрическую прогрессию, бесконечно много, то наименьшее по модулю
число найдётся не всегда.
Можно
доказать, что наименьшего по модулю числа нет только в так называемых
бесконечно убывающих геометрических прогрессиях, к изучению которых мы и
приступаем.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1:
|
Пример 1. Геометрическая прогрессия
бесконечно убывающая, так как:
.
.
Докажем теперь, что в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии модуль любого члена прогрессии меньше модуля последующего члена прогрессии.
Действительно, пусть прогрессия задана формулой .
Тогда
, так как
.
Теперь поработаем с формулой суммы первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Перепишем её в виде:
Можно доказать, что при неограниченном увеличении n выражение
не просто уменьшается по модулю, что мы уже фактически доказали выше, а стремится к нулю. Тогда левая часть равенства стремится к S, где
.
Получили следующий результат.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна:
|
Пример 2. Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
.
Воспользуемся формулой:
Получим:
.
Как нам известно, рациональные числа представимы в виде бесконечных периодических десятичных дробей. Перевести бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную можно, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пример 3. Запишем дробь 0,(15) в виде обыкновенной дроби.
Данную бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен b1 = 0,15, а знаменатель q = 0,01:
0,(15) = 0,151515… = 0,15 + 0,0015 + 0,000015 + ... .
Воспользуемся формулой:
.
Поличим:
.
Пример 4. Запишем дробь 0,4(1) в виде обыкновенной дроби.
Представим бесконечную десятичную дробь в виде:
0,4(1) = 0,4 + 0,01 + 0,001 + ... .
Данную периодическую десятичную дробь можно представить в виде суммы числа 0,4 и бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен b1 = 0,1, а знаменатель q = 0,1.
Получим:
.
Ответ: .
Литература:
Федеральный
государственный образовательный стандарт
Образовательная
система «Школа 2100»
А.Г.
Рубин, П.В. Чулков
АЛГЕБРА
9
класс
Москва
2015
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.