1использованием формул комбинаторики_презентация1

Перестановки

Определение 1
Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов

Пример 1
Дано множество . Составить все перестановки этого множества.
Решение.

Число перестановок

Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно n!
Замечание.



Например,

Считают, что 0!=1

читается «n факториал» и вычисляется по формуле

Число перестановок

Доказательство теоремы 1.
Любую перестановку из n элементов можно получить с помощью n действий:
выбор первого элемента n различными способами,
выбор второго элемента из оставшихся (n-1) элементов, т.е. (n-1) способом,
выбор третьего элемента (n-2) способами,
……
n) выбор n-го элемента 1 способом.
По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т.е. число перестановок, равно


Теорема доказана.

Перестановки

Число всех перестановок обозначается
Итак,
Пример
В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия?
Решение
Число способов построения равно числу перестановок 6 элементов, т.е.

Перестановки с повторениями

Теорема 2
Число перестановок n – элементов, в котором есть одинаковые элементы, а именно элементов i –того типа ( ) вычисляется по формуле




где


Доказательство. Так как перестановки между одинаковыми элементами не изменяют вид перестановки в целом, количество перестановок всех элементов множества нужно разделить на число перестановок одинаковых элементов.

Пример

Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»?
Решение: В слове «экзамен» все буквы различны, поэтому используем формулу для числа перестановок без повторений


В слове «математика» 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т», поэтому число перестановок всех букв разделим на число перестановок повторяющихся букв:

Размещения

Размещения

Определение 1
Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n.
Пример
Дано множество . Составим все 2-размещения этого множества.

Число размещений

Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле


Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий:
1) выбор первого элемента n способами;
2) выбор второго элемента (n-1) способами;
и т. д.
k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами.
По правилу умножения число всех размещений будет
n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.

Число размещений

Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде


Действительно

Пример

Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные?
Решение.
Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок.

Определение 2
Размещением с повторением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов возможно с повторениями.

Пример
Дано множество
Составим 2- размещения с повторениями:

Число размещений с повторениями

Теорема 2. Число k- размещений с повторениями из
n элементов вычисляется по формуле

Доказательство. Каждый элемент размещения
можно выбрать n способами. По правилу
умножения число всех размещений с повторениями
равно

Пример

Сколько существует номеров машин?

Решение. Считаем, что в трех буквах номера машины не используются буквы «й», «ы», «ь», «ъ», тогда число перестановок букв равно .
Число перестановок цифр равно .
По правилу умножения получим число номеров машин

Решение задач

Задачи

1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если нет полного совпадения ФИО?
Решение
Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО.

Задачи

2)Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом?
Решение
Можно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е.
Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!

Задачи

3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?
Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.

Задачи

4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7?
Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4

Задачи

5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны?
Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е возможны 9 вариантов цифры.
В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3

По правилу умножения получим

Задачи

6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10?
Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10

Задачи

7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома?
Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим


Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу)

Задачи

8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать с помощью цифр 2,7,0?
Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями