3. Равносильные уравнения

Равносильные уравнения 

Цели обучения:

6.2.2.2
знать определения линейного уравнения с одной переменной, равносильных уравнений;
6.2.2.3
решать линейные уравнения с одной переменной;

Учащийся:
знает:
свойства равносильных уравнений и способы их применения к решению простейших уравнений с одной переменной;
умеет:
применять свойства равносильных уравнений к решению простейших уравнений.

Уравнения, имеющие одни и те же корни называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например,
уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень - число 3. Равносильны и уравнения x2 +1 = 0 и 2x2 + 5 = 0 - ни одно их них не имеет корней.Уравнения x - 5 = 1 и |x| = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6

Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то ж число или один и тот же многочлен, содержащий неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

Пример. Пусть дано уравнение: 6x + 7 = 31.
1) Решив его, найдем единственный корень: x = 4.
2) Прибавим к обеим частям уравнения одно и то же число 15:
6x + 22 = 46
Решив это уравнение, найдем, что и оно имеет единственный корень: x = 4.

Свойство 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же не равное нулю число, то новое уравнение будет равносильно данному.
Пример. Решить уравнение: 3x – 5 = 13
Оно имеет единственный корень: x = 6.
Умножим обе части его на 4: .
Решив это уравнение, найдем, что и оно имеет единственный корень: x = 6. Значит, оба уравнения равносильны.