4. Линейное уравнение Методические рекомендации к уроку

Методические рекомендации к уроку

Тема урока "Линейное уравнение с одной переменной."

Цели обучения:

6.2.2.2

знать определение линейного уравнения с одной переменной, равносильных уравнений;

6.2.2.3

решать линейные уравнения с одной переменной;

Критерии оценивания

Учащийся:

знает:

свойства равносильных уравнений и способы их применения к решению простейших уравнений с одной переменной;

умеет:

применять свойства равносильных уравнений к решению простейших уравнений.

Теоретический материал:

Уравнение вида  - линейное, где  и  - числа, а  - неизвестное.

Для того, чтобы найти решение линейного уравнения, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент  - числовой коэффициент возле переменной .

Особые случаи линейных уравнений

1)

Решением уравнения является ноль.

2)

Решением уравнения является любое число. Корней бесконечно много.

3)

Уравнение не имеет корней.

Ход урока

Организационный момент. Актуализация опорных знаний.

Проверить домашнее задание.

Провести письменный опрос на повторение.

Приложение 1

Совместно с учащимися определить тему и цели урока, "зону ближайшего развития".

Работа с классом. Во многих случаях решение уравнений сводится к тому, что мы данное уравнение заменяем другим, ему равносильным, но более простым, это другое заменяем третьим и так продолжаем до тех пор, пока не получим самое простое уравнение вида 

x = a, которое прямо указывает, что неизвестное должно быть равно числу a. Следовательно,  должно быть корнем и всех предыдущих равносильных ему уравнений, в том числе и данного.

Возьмем несколько уравнений и проследим, какие преобразования приходится над ними производить, чтобы прийти к простейшему уравнению.

Пример1.

Решить уравнение:

1) Сделаем коэффициенты всех членов целыми числами. Для этого умножим каждый член уравнения на 12. Произведя сокращения, получим:

.

2) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное, и свободные члены, раскроем скобки:

3) Сгруппируем теперь в одной части члены, содержащие неизвестное, в другой — свободные члены.

4) Упростим уравнение, приведя подобные члены: 154 = 22x.

5) Разделим обе его части на 22. Получим: x = 7.

Корнем этого уравнения, а следовательно, и всех предыдущих является 7.

Предлагаем учащимся проверить корень, подставив в каждое из полученных уравнений x = 7, и убедиться, что 7 является корнем всех этих уравнений.

Из рассмотренного примера видно, что к решению уравнения первой степени можно дать такие указания:

1.    Привести уравнение к уравнению с целыми коэффициентами.

2.    Раскрыть скобки.

3.    Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены — в другой.

4.    Привести подобные члены.

5.    Если коэффициент при неизвестном не нуль, то разделить на него обе части уравнения.

Но эти указания ни в коей мере не будут являться обязательными для всякого уравнения.

Во-первых, при решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и даже сразу с пятого этапа.

Во-вторых, при решении некоторые промежуточные этапы могут оказаться ненужными.

Пример 2.

Умножив обе части уравнения на 12, получим уравнение с целыми коэффициентами:

4x – 6 = 3x + 4

и сразу переходим к третьему этапу:

4x – 3x = 4 + 6.

Откуда x = 10.

Раскрывать скобки здесь не пришлось.

В-третьих (и это главное), иногда бывает выгоднее нарушить указанный порядок, если уравнение решается проще и короче.

Пример3. 7(x – 3) = 56.

Здесь следует, не раскрывая скобок, сначала разделить обе части на 7:

x – 8;    x = 11.

Уравнение решается в два действия.

Решение по схеме потребовало бы четырех действий (два умножения, сложения и деление).

Пример4. .

Здесь выгоднее сразу начать с третьего этапа, так как видно, что после приведения подобных членов коэффициент при х будет целым.

Еще лучше одновременно выполнить третий и четвертый этапы, то есть вычесть в уме  изи 3 из 87, и сразу записать: 7x = 84;    x = 12.

Уравнение вида  - линейное, где  и  - числа, а x - неизвестное.

Для того, чтобы найти решение линейного уравнения, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент a - числовой коэффициент возле переменной x.

Линейное уравнение может быть задано неявно. В этом случае необходимо раскрыть скобки, умножив многочлен на одночлен, применить действия над уравнениями, в результате которых получим уравнение равносильное данному, привести подобные.

Если изначально задано уравнение, содержащее переменную в знаменателе, то перед решением необходимо указать область определения, исключить из ответа корни, при которых выражение не имеет смысла.

Особые случаи линейных уравнений

Решением уравнения является ноль. Например, 

Решением уравнения является любое число. Корней бесконечно много.

Уравнение не имеет корней. Например, 

Примеры линейных уравнений: 3x – 17 = 0;    0,5x + 8 = 0;         и т. д.

Многие уравнения после некоторых преобразований приводятся к линейному уравнению.

Пример5.

Умножим обе части уравнения на 6, по сокращении получим:

9(x – 1) + 2(x – 4) = 72 – 3(x + 1).

Раскроем скобки:

9x – 9 + 2x – 8 = 72 – 3x – 3.

Перенесем все члены из правой части в левую (с противоположными знаками) и приведем подобные члены. Получим: 14x – 86 = 0.

На основании первого и второго свойства уравнений полученное уравнение 14x – 86 = 0 равносильно данному. Оба они имеют корень .

В общем случае линейное уравнение имеет единственный корень.

До этого мы решали уравнения, в которых неизвестное входило в одну часть уравнения. Но могут быть уравнения, которые содержат неизвестное в обеих частях, например: Пример6.

Мы сумеем решить уравнение такого вида, если сможем преобразовать его так, чтобы члены, содержащие неизвестное, оказались только в одной части уравнения (то есть приведем уравнение к такому виду, который мы уже умеем решать).

Воспользовавшись первым свойством уравнения, мы легко решим уравнение

 Прибавив к обеим частям этого уравнения по , получим уравнение, равносильное данному:

или после упрощения:

Такое уравнение мы решать умеем, получим:

Подставив  в данное уравнение, получим:
 Корень найден верно.

Выведем некоторые следствия из первого свойства уравнений.

Пример7: .

В обеих частях этого уравнения есть один и тот же член . Очевидно, если мы прибавим к обеим частям по  (или, что то же, вычтем ), то вместо этих членов в обеих частях уравнения будем иметь нули и сразу получим уравнение , равносильное данному.

Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

Пример8:              .

Чтобы сгруппировать в левой части члены, содержащие неизвестное, нужно к обеим частям уравнения прибавить по 2x, а чтобы сгруппировать в правой части свободные члены, надо к обеим частям прибавить по –11.

Получим:   .

Сравнивая это уравнение с данным, видим, что член  оказался в левой части, а 11 — в правой, но оба при этом изменили знак на противоположный. Отсюда правило:

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.

Пример 9.

Перенесем все члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а все свободные члены — в правую, переменив у каждого из них знак на противоположный. Получим:

 или .

При наличии компьютера, просмотреть презентацию для визуального закрепления материала.

Групповая работа. Объединить учащихся в разноуровневые малые группы. Раздать каждой группе карточки с заданиями.

Приложение 3

1. Корнем уравнения  является число:          

 А. 4.            В. 8.        С. -2.         D. -8.       Е. -4.

2. Корнем уравнения  является число:     

А. -5.      В. -0,5.            С. 0,5.        D. 5.         Е. -5,5.

3. Корнем уравнения  является число:

А. 6,5.         В. -0,11.       С. 0,65.          D. 0,11.        Е. -0,65.

4. Корнем уравнения  является число:        

А. 2.       В. -0,5.          С. -2.      D. -3.      Е. 0,5.

5. Корнем уравнения  является число:           

А. -1.         В. -2.         С. 1.        D. 3.          Е. 2.

Учитель проходит по рядам, слушает, при необходимости задает дополнительные вопросы, корректирует решения учащихся, проверяет и оценивает похвалой работу групп, оказывает помощь слабоуспевающим.

Предоставить учащимся достаточно времени для выполнения заданий.

Проверить правильность ответов, провести анализ ошибок. Выслушать выводы учащихся по заданиям. Каждая группа демонстрирует свой результат выполнения заданий.

Старший группы оценивает вклад каждого, выставляя отметку.

Беседа. Рефлексия.

Домашнее задание.  Знать определения, решить из уровня В учебного пособия "Математика 6" №...№.

На уроке предусмотрена дифференциация в виде работы в разнородных парах (разного уровня обучаемости).

Предусмотрена взаимопроверка по ключу, в ходе которой оценивается умение учеников применять теоретические знания. В ходе групповой деятельности при выполнении задании оцениваются умение находить результат, а также решать задания по теме, опираясь на понятие и свойства, изученные на данном уроке и прошлый опыт.

Запланированы виды деятельности на уроке, способствующие передвижению учащихся по классу, поэтому необходимо обеспечить безопасность. Следить за осанкой учащихся.

Литература:

"Математика 6", Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Жумагулова З.А.;

"Математика 6", Алдамуратова Т.А, Байшоланов Т.С.;

Самостоятельные и контрольные работы, Ершова А.П., Голобородько В.В. 

Интернет ресурсы:

http://www.yaklass.ru

http://mthm.ru/algebra6/transfer-summand