" Айналу денелері"

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі М.Өтемісұлы атындағы Батыс Қазақстан мемлекеттік университеті  Физика –математика факультеті 5В010900­Математика мамандығы  КУРСТЫҚ ЖҰМЫС  Тақырыбы: «Айналу денелері »  Орындаған:  Аға оқытушы :  Г.Н.Имангалиева А.Р.Савельева 1 Орал  2018   Жоспары КІРІСПЕ ІІ Негізгі бөлім  1 АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТТЕР  1.1 Цилиндр  1.2 Конус  1.3 Шар және сфера  3 5 8 9 10 2 АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІНІҢ БЕТІ ЖӘНЕ ОНЫҢ АУДАНЫ МЕН КӨЛЕМІ  2.1 Цилиндрдің көлемі және бүйір бетінің ауданы  15 2.2 Конустың көлемі және бүйір бетінің ауданы  2.3 Шардың көлемі  2.4 Шар сегменті мен секторының көлемі және сфераның ауданы 20 3. АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІНІҢ ҚИМАЛАРЫ  3.1 Цилиндрдің қимасы  3.2 Конустың қимасы  3.3 Шар және сфераның қималары  Қосымша  ІІІ ҚОРЫТЫНДЫ  ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 16 18 22 22 23 24 25 32 35 2 Кіріспе ə ə Қурстық   жұмыстың   жалпы   сипаттамасы.   Айналу   денесі   қозғалмайтын   оське қатысты   жазық   фигураны   айналдырғаннан   пайда   болған   дене.   Айналу денелеріне:   тік   төртбұрышты   бір   қабырғасынан   айналдырғанда   пайда   болған дене   ­   цилиндр,   тік   бұрышты   үшбұрышты   бір   катетіне   айналдырғанда   пайда болған дене ­ конус, жарты дөңгелекті диаметрінен айналдырғанда пайда болған дене   ­   шар   жатады.   Айналу   денелері   күнделікті   тұрмыста   өте   көп кездесетіндігіне   оқушылардың   көзін   жеткізеді.   Цилиндрдің,   конустың   ж неə шардың   айналамызда   қандай   бейнеде   екендігін,   күнделікті   тұрмыста цилиндрдің( су құбырлары, стакан, бөшкелер), конустың, қиық конустың(шелек, балмұздақ, қазақтың ұшты сәукелесі) ж не шардың ауданын, көлемін табуды үйретеді. Айналу денелері тақырыбына есептер шығару оқушының логикалық елестету қабілетін арттырып ж не сол елестету барысында пайда болған денені қағаз   бетіне   түсіруді   де   үйретеді.   Оқушыларда   д лелдей   білу   дағдыларын қалыптастыру олардың сенімділігін қалыптастырудың да маңызды жолы болып табылады. Мамандар д лелдеуге үйретуді д лелдеуді құруға, оны аша білуге, іздестіруге бағытталған ақыл – ой   үрдісіне оқыту деп түсіне алу керісінше, оқушыларды   д лелдеуге   үйрету   мұғалім   ж не   оқулықтар   ұсынған   дайын ə д лелдеулерге үйрету деп біледі. Дайын д лелдеуге оқулықтарда д лелденген немесе   мұғалім   көрсеткен   теоремалар   жатады.   Кез   келген   дайын   д лелдеме оқушы үшін жаңалық. Сондықтан  оқушылардың кітаптағы д лелдеуді немесе мұғалімнің   д лелдеп   бергенін   игеруінің,   оны   қайта   айтып   бере   алуының, ə д лелдеу үрдісінің м нін түсінуіне мүмкіндік беретін дидактикалық мағызы бар теоремалардың   д лелдемелерін   игеру   үрдісіне   оқушылар   енжар   қатынаспай, ə д лелдеуді   ашушылардың   бірі   ретінде   белсенді   қатыстырылып   отырылады. Теоремалардың   дайын   д лелдемелерін   үйрету   кезінде   мұғалім   оқушыларды ə д лелдеу   дісін   іздестіре   білуге,   өз   ойын   негіздеп   айта   алуға,   пайымдаулар жасауға   дағдыландырады.   Оқыту   үрдісінде   д лелдеуге   үйретуді   дұрыс ұйымдастыру, салыстыру, анализ ж не синтез, жалпылау ж не абстракциялау тағы басқа ойлау амалдарынсыз мүмкін емес. Оқушылар теореманы берілгендері мен д лелдеу керегін салыстыра отырып, теоремаға талдау жасайды, н тижеде ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə ə 3 ə ə ə ə д лелдеудің  дістері мен оны жүзеге асырудың жолдары анықталады, синездеу арқылы синтетикалық жолмен д лелдеу үрдісі орындалады.   Демек, дайын д лелдеудің оқушыларға үйрету үрдісі оқушыларды ақыл ­ ой қызметіне үйретуді де жүзеге асырады екен. Н тижеде д лелденген теоремаға ұқсас   теоремаларды   өз   бетінше   д лелдей   алу   біліктіліктері   мен   дағдылары қалыптасады. Берілген курстық жұмыстың мақсаты ­ айналу денелерінің басты сипаттамасын   қарастыра   отырып,   қазіргі   кездегі   сабақ   барысында   қолдану үрдісін қарастыру болып табылады. Осыған с йкес курстық жұмыстың міндеті: цилиндр   жіне   конустың   негізгі   түсінігіне,   шар   жіне   сфераның   белгілері   мен түрлеріне тоқталу ж не сипаттама беру; ə ə ə ə ə Курстық жұмыстың объектісі  ­ айналу денелердің оқыту  дістемесі болып табылады.  Курстық   жұмыстың   п ні   ­   оқыту   дістемесі.   Курстық   жұмыстың құрылымы. Аталған тақырыпқа жазылған курстық жұмыстың көлемі кіріспеден, екі бөлімнен, қорытынды ж не пайдаланылған  дебиеттер тізімінен тұрады.  ə ə ə ə ə 4 1 АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТТЕР  ə ə Сабақтағы   цилиндр   ж не   конустың   негізгі   түсінігі   Цилиндр   (көне   грекше   ­­ білік, цилиндр) цилиндр немесе цилиндрлік бет ­­ берілген бағытқа параллель ə ж не бағыттауыш сызық арқылы өтетін кеңістіктің жасаушы түзулерінің жиыны; тұйық   цилиндрлік   бетпен   ж не   өзара   параллель   екі   жазықтықпен   (Цилиндр табандары) шектелген дене . Егер Цилиндрдің табандары оның жасаушыларына перпендикуляр болса, онда ол тік Цилиндр деп аталады. Табандары дөңгелек болып келген тік Цилиндрді тік дөңгелек Цилиндр не дөңгелек Цилиндр деп атайды . Мұндай Цилиндрдің көлемі V=PIr2h­қа, ал бүйір беті S=2PIrh­қа тең, мұндағы r ­­ Цилиндр табанының радиусы, h ­­ Цилиндр биіктігі. Цилиндрдің табанына параллель емес жазықтықпен қиылған бөлігін қиылған Цилиндр деп атайды . Қиылған дөңгелек Цилиндрдің көлемі , h1, h2 ­­ Цилиндрдің ең үлкен ə ж не ең кіші жасаушыларының кесіндісі. сыртқы не ішкі цилиндрлік беттері бар тетік.[2] цилиндр мен өзегі бар поршеннен тұратын құрылыс. Цилиндр еместік (орыс.   Нецилиндричность)   ­­   цилиндірліктен   ауытқу,   қалыпты   ұзындықтың бойында алынған нақты беттің нүктелерінен жанама цилиндрге дейінгі ең үлкен қашықтық.   Цилиндрлік   (орыс.   Цилиндричность)   ­­   нақты   беттің   жанама цилиндрге   жақындығы.   Көлікте   қолданылатын   цилиндрлердің   түрлері Тежеуіштің   негізгі   (басты)   цилиндрі   ­   поршеннің   механикалық   қозғалысын тежеуші тетіктеріне жіберілетін сұйықтың қысым күйіне түрлендіретін цилиндр. Қозғауыш цилиндрі ­ қозғауыштың поршенінің жұмыс процесі өтетін цилиндр. Екі жолды цилиндр ­ екі өздігінен жүретін тежеуіш контурына  сер ететін, екі бөлек   поршендерден   тұратын   басты   тежеуіш   цилиндр.   Жұмыстық   тежеуіш цилиндр   ­   цилиндр   түріндегі   тежеуіш   жетегінің   белгілі,   басты   тежеуіш цилиндрден сұйық тобына берілген поршень цилиндрі. Цилиндроид (гр. kylindros ­   цилиндр   ж не   eides   ­­   т різді)   ­­   бағыттаушылар   деп   аталатын   екі   қисық сызықпен қиылысатын ж не параллелизм жазықтығы деп аталатын жазықтыққа параллель орналасатын түзулердің жиыны анықтайтын бет. Цилиндр (д лірек айтқанда,   дөңгелек   цилиндр)   деп   бір   жазыктықта   жатпайтын,   параллель ѳ к шіргенде   д л   беттесетін   екі   дөңгелектен   ж не   осы   дөңгелектердің   с йкес ə ə ə ə ə ə ѳ ѳ 5 ѳ ə ѳ ѳ ѳ ə ə нүктелерін қосатын барлык кесінділерден құралатын денені атайды. (1­сурет). Дөңгелектерді цилиндрдің табандары дей, ал дөңгелектер шеңберлерінің с йкес нүктелерін   қосатын   кесінділерді   цилиндрдің   жасаушылары   деп   атайды. Параллель к шіру дегеніміз қозғалыс болғандыктан, цилиндрдің табандары тең болады. Параллель к шіргенде жазықтық параллель жазықтыкка (немесе  зіне­ ѳ зі) ауысады, ендеше, цилиндрдің табандары па­раллель жазықтықтарда жатады. Параллель к шіргенде нүктелер параллель (немесе д л беттесетін) түзулердің бойымен бірдей ара қашықтыққа жылжитындықтан, цилиндрдің жасаушылары параллель   ж не   тең   болады.   Цилиндрлер   блогі­   бірнеше   цилиндрлардың   бір тұтас байланысуы  Конус   немесе   конустық   бет   ­   белгілі   бір   сызықтың   (бағыттаушы)   барлық нүктесін   кеңістіктің   берілген   нүктесімен   (төбесімен)   қосатын   түзулердің (жасаушыларының)   геометриялық   орны.   Егер   бағыттаушы   түзу   сызық   болса, онда   Конус   жазықтыққа   айналады.   Егер   бағыттаушы   өзінің   төбесімен   бір жазықтықта жатпайтын 2­ретті қисық сызық болса, онда 2­ретті Конус шығады. Дөңгелек Конус немесе тік дөңгелек Конус 2­ретті Конустың қарапайым түрі, оның бағыттаушысы шеңбер болады, ал төбесі осы шеңбер центріне ортогональ проекцияланады;   Элементар   геометрияда   дөңгелек   Конус   деп   бағытталған шеңбері   бар,   дөңгелек   Конустың   бетімен   ж не   оның   осіне   перпендикуляр жазықтықпен   шектелген   геометриялық   денені   айтады.   Конустың   базалық жазықтығы (Базовая плоскость конусa) ­­ негізгі жазықтықтың осьтік жағдайын анықтауға немесе берілген конустың қосарланып отырған конуспен салыстыра осьтік   жағдайын   анықтауға   арналған   конус   осіне   перпендикуляр   жазықтық. Сабақтың   мақсаты:   Оқушыларға   айналу   денелері цилиндр,конус,шар,сфера ұғымдары мен оның элементтері туралы мағлұматтар беру;   Оқушылардың   конструктивті   ойлауын   дамыту.   Дамытушылық: Цилиндрдың,конустың бүйір бетінің, толық бетінің аудандарын табуға есептер шығарту   арқылы   оқушылардың   шапшаңдық   қабілеттерін   дамыту;   Т рбиелік: Цилиндрдің, конустың, шардың қолданылатын жерлері туралы мағлұматтар бере отырып,   оқушыларды   демілікке,   тазалыққа,   табиғатты   аялауға   т рбиелеу. Сабақтың мақсаты: Біліміділік: Оқушыларға конус, оның элементтері туралы мағлұматтар   беру;   Дамытушылық:   Конустың   бүйір   бетінің,   толық   бетінің аудандарын   табуға   есептер   шығарту   арқылы   оқушылардың   шапшаңдық қабілеттерін   дамыту;   Т рбиелік:   Конустың   қолданылатын   жерлері   туралы мағлұматтар   бере   отырып,   оқушыларды   демілікке,   тазалыққа,   табиғатты аялауға т рбиелеу   Біліміділік: ə ə ə ə ə ə ə 6 ə ə Шар   ж не   сфераның   белгілері   мен   түрлері   Шар   ­­   бір   нүктеден   (орталығы­ центрі)   басқа   нүктелердің   кеңістік   бойынша   бір   қашықтықта   (радиус) орналасқанда пайда болатын пішін (фигура) шар. Шар негізінен іші бос кеңістік ə ж не бүтін болады. Шар пішіндес заттар табиғатта өте көп кездеседі: жер шары, жұлдыздар,   атом   ж не   оның   құраушылары,   су   тамшысы,   ыдыстардың дөңгелектеніп   келуі   негізінен   бүкіл   лемдік   тартылыс   заңына   магнит   өрісіне ə т уелділігі яғни бір нүктеге басқа нүктелердің тартылуы шардың пайда болуына ə сер етеді. Шардың көлемін V=43PIR³ Шардың бетінің ауданын S=4PIR² Сфера (гр. sphaіra ­ шар)[1],   математикада ­ барлық нүктелері бір нүктеден (сфера орталығынен) бірдей қашықтықта болатын тұйық бет. Сфера орталығын оның кез келген бір нүктесімен қосатын кесінді (сондай­ақ оның ұзындығы) сфераның радиусы   деп   аталады.  Сфера   бетінің   ауданы:   S   =   4pR2,   мұндағы   R   ­   сфера радиусы.   Сферамен   шектелген   рі   орталығы   бар   кеңістіктің   бөлігі   шар   деп аталады.   Шардың   көлемі:   V   =   34pR3   Аналитикалық   геометрия   тұрғысынан сфера   2­ретті   центрлік   бетке   жатады.   Оның   тік   бұрышты   координаттар жүйесіндегі теңдеуі (x ­ a)2+(y ­ b)2+(z ­ c)2 = R2 түрінде жазылады, мұндағы a, b,   c   ­   сфера   орталығынің   координаттары   (қараңыз   Сфералық   геометрия, Сфералық тригонометрия). ə ə 7 Цилиндр  «Цилиндр»   сөзі   гректің   kulindros   сөзінен   алынған,   ол   «валик»   ­   «оқтау» мағынасын білдіреді.        Aнықтама.   Цилиндр деп тіктөртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын фигураны (денені) атайды.         Бізді қоршаған ортада, тұрмыста цилиндр пішіндес заттар, обьектілер жиі кездеседі: металдан жасалған бөшкелер, консерві банкалары, хоккейдің шайбасы және т.б. АОО1В   тіктөртбұрышын   оның   ОО1   қабырғасын қамтитын   l   осінен   айналдырғанда   шыққан   цилинд бейнеленген.                         ААО1В  тіктөртбұрышының  ОО1 осіне  параллель  АВ қабырғасы цилиндрдің бүйір беті деп аталатын қисық бетті жасайды және ол цилиндрдің жасаушысы деп аталады. АО және О1В кесінділерінің айналуынан цилидірдің табандары  деп аталатын өзара тең екі дөңгелек аламыз. Сонымен цилиндрдің беті цилиндрдің табаңдары деп аталатын екі дөңгелектен және цилиндрдің бүйір бетінен тұрады.                     Егер   цилиндрдің   жасаушысы   оның   табанына   перпендикуляр,   яғни цилиндрдің   биіктігіне   тең   болса,   онда   цилиндр  тік   дөңгелек   цилиндр  деп аталады. 8 1.2 Конус. Айналу денесі­ конус. Анықтама: Тікбұрышты үшбұрышты катетінен  айналдырғанда шығатын фигура конус деп аталады.     Грек. Ronos­ «қарағай  бүршігі» Анықтама:   Конустың   төбесінен   оның   табан     жазықтығына   жүргізілген перпендикуляр конустың биіктігі болады. Табан шеңберінің кез келген нүктесін конустың төбесімен қосатын кесінділердің проекциялары тең, сондықтан олар – тең кесінділер. Бұл кесінділер конустың жасаушылары деп аталады. Конустың бүйір беті де конустық бет деп аталады. 9 Конус табанының радиусы   R жасаушысының  ұзындығы l  ал биіктігі H болсын. Пифагор теоремасына сәйкес бұл шамалар   l 2= R2 +H2    10 1.3Шар және сфера Шар   деп   берілгент   нүктеден   берілген   қашықтықтан   артық   емес   қашықтықта жататын   кеңістіктің   барлық   нүктелерінен   тұратын   денені   атайды.   Бұл   нүкте шардың центрі деп, ал берілген ара қашықтық шардың радиусы деп аталады.  Шардың   шекарасы   шардың   беті   немесе   сфера   деп   аталады.   Шар   бетінің   екі нүктесін қосатын және шардың центрінен өтетін кесінді диаметр деп аталады. Кез келген диаметрдің ұштары шардың диаметрлік қарама­қарсы нүктелері деп аталады. Шар да айналу денесі. Ол жарты дөңгелекті ось ретінде диаметрден айналдырғанда шығады. Шарды жазықтықпен қиғандағы  11 кез келген қимасы дөңгелек болады. Бұл дөңгелектің центрі шардың центрінен қиюшы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны болып  табылады. Шардың центрінен өтетін жазықтық диаметрлік жазықтық деп  аталады. Шардың диаметрлік жазықтықпен қиғандағы қимасы – үлкен  дөңгелек деп, ал сфераның қимасы үлкен шеңбер деп аталады. Жартыдөңгелекті   оның диаметрінен айналдырғанда пайда болған фигура шар деп аталады.  А В Шар     деп    берілген    нүктеден    берілген қашықтықтан артық  емес  кашықтықта  жататын кеңістіктің  барлық  нүктелерінен  тұратын денені атайды.[5]   Бүл   нүкте шардың   центрі деп, ал берілген  ара  қашықтық немесе сфера   деп шардың  радиусы  деп аталады. Шардың шекарасы    аталады.   Сонымен,   сфера   нүктелері центрден   радиусқа   тең   бірдей   ара қашықтықта жататын  сол шардың  нүктелері  болып  табылады Шардың центрін шар бетінің нүктесімен қосатын кез келген кесінді  радиус  деп аталады. Шар бетінің екі нүктесін қосатын және шардың центрінен өтетін кесінді диаметр деп аталады. Кез шардың беті   12 келген диаметрдің ұштары шардың диаметрлік қарама­қарсы нүктелері деп аталады. Шар да цилиндр мен конус сияқты, айналу денесі болып табылады. Ол жарты дөңгелекті диа­метрінен айналдырғанда шығады(сурет 12). Шарды жазықтықпен қию  Т е о р е м а 1 . 3  .  Шарды жазықтықпен қиғандағы кез келген қимасы дөңгелек   болады.   Бұл   дөңгелектің   центрі   шардың   центрінен   қиюшы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны болып табылады.  Д ә л е л д е у . қиюшы жазықтың және О — шардың центрі болсын (453­ сурет).  Шар  центрінен жазықтығына  перпендикуляр  түсіреміз  және  осы  перпендикулярдың табанын О' деп белгілейміз. X  —  шардың жазықтығына тиісті  еркімізше  алынған нүктесі  болсын.Пифагор теоремасы бойынша . ОХ  шардың  R  радиусынан артық  емес  болғандықтан, яғни  шардың   'жазықтығымен қимасының кез келген                                          нүктесі О'нүктесінен шамасынан  артық  емес  ара                                          қашықтықта жатады.  Олай болса,  ол центрі О'  және                                          радиусы  болатын  дөңгелекке тиісті. Керісінше: бұл                                         дөңгелектің кез келген нүктесі шарға тиісті болады.                                                 Ал бүл — шардың жазықтығымен қимасы центрі О' нүктесінде болатын   дөңгелек деген сөз. Теорема дәлелденді. Анықтама:  Шардың центрінен өтетін жазықтық  диаметрлік жазықтық  деп аталады.   Шардың   диаметрлік   жазықтықпен   қиғандағы   қимасы   —  үлкен дөңгелек (­сурет) деп, ал сфераның қимасы үлкен шеңбер деп аталады. Е   с   е   п(3).   Шар   радиусының   ортасынан   оған   перпендикуляр   жазықтық жүргізілген.   Шыққан   қим   ауданының   дөңгелек   ауданына   қатынасы   қандай болады? Ш   е   ш   у   і.   Егер   шар   радиусы  R  болса,   онда   қимадағы   дөңгелек   радиусы Бұл дөңгелектің ауданының үлкен дөңгелектің ауданының қатынасына қатынасы Шардың симметриясы  Т е о р е м а1.4. Шардың кез келген   диаметрлік жазытығы оның  симметрия жазықтығы болып табылады. Шардың центрі оның симметрия центрі болып табылады α  — шардың диаметрлік жазықтығы және  Х­еркімізше алынған Д ә л е л д е у.  X нүктесіне симметриялы нүктесі болсын (сурет 13).  X'  нүктесін   саламыз.  XX'  кесіндісіне   перпендикуляр   және   ол кесіндіні   ортасында  (А  нүктесінде)  қияды.  Тік   бұрышты  ОАХ  және  ОАХ' үшбұрыштарының  теңдігінен  ОХ' =  ОХ  болып шығады .болғандықтан, , яғни  X  жазықтығына қарағанда  α α   жазықтығы   13 нүктесіне   симметриялы   нүкте   шарға   тиісті   болады.   Теореманың   бірінші түжырымы дәлелденді. Енді X" — шардың центріне қарағанда X нүктесіне симметриялы нүкте болсын. Сонда ОХ" = , яғни X" нүктесі шарға тиісті. Теорема толық дәлелденді. Шарға жанама жазықтық Шар   бетінің  А  нүктесінен   өтетін   және  А  нүктесіне   жүргізілген   радиусқа перпендикуляр жазықтық жанама жазықтық деп аталады. А нуктесі жанасу нүктесі деп аталады(сурет 14)                              сурет 14                                                                     сурет 15 (шарға жанама жазықтық)                                          (шарға жанама  үшбұрыш) Т е о р е м а1.5. Жанама жазықтықтың шармен бір ғана ортақ нүктесі — жанасу нүктесі болады. Д ә л е л д е у.  α— шарға жанама жазықтық және  А  — жанасу нүктесі А  ­дан   өзге  X  нүктесін   еркімізше   аламыз.  ОА  —   жазықтыгынан   болсын   перпендикуляр, ал ОХ — көлбеу болгандықтан, α Олай болса,  X нүктесі шарға тиісті емес. Теорема дәлелденді. Шарға жанама жазықтықта жататын және жанасу нүктесі арқылы өтетін түзу осы нүктеде  шарға   жүргізілген   жанама  деп   аталады.   Жанама жазықтықтың шармен   бір ғанаортақ нүктесі болатындықтан, жанама түзудің де шармен бір ғана   ортақ   нүктесі   —   жанасу   нүктесі   болады   сурет   15(шарға   жанама үшбұрыш) Е   с  е  п  (4).  Радиусы  R  шар   қабырғасы  а  болатын   дұрыс   үшбұрыштың барлық қабырғаларын жанайды. Шар центрінен үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты  табыңдар. Ш е ш у і. А, В, С­шардың үшбұрыш қабыр­ғаларымен жанасу нүктелері болсын (сурет   15).    Шардың   О   центрінен   үшбұрыш   жазықтығына  ОО1 перпендикулярын түсіреміз.       14 ОА, ОВ  және  ОС  кесінділері қабырғаларға түсірілген перпендикулярлар. Үш перпендикуляр туралы теорема бойынша О1А, О1В және О1С кесінділері де үш­бүрыштың сәйкес қабырғаларына перпендикуляр болады Екі сфераның қиылысуы Т е о р е м а1.6. Екі сферанын  қиылысу сызығы шеңбер болады. Д ә л е л д е у. О1  мен О2—сфералардың центрлері және  А  — олардың қиылысу   нүктесі   болсын.  А  нүктесі   арқылы   О1  О2  түзуіне   перпендикуляр  α жазықтығын жүргіземіз.                     α  жазықтығы мен О1  О2  түзуінің қиылысу  жазықтығы екі сфераны да  нүктесін В деп белгілейік. 1.3­теорема бойынша  А нүктесінен өтетін, центрі В болатын К шеңбердің бойымен қиып өтеді. Сонымен, К шеңбері сфералардың қиылысуына тиісті. α Енді   сфералардың,  К  шеңберінің   нүктелерінен   өзге,  қиылысу   нүктелері болмайтынын   дәлелдейіқ.   Сфералар   қиылысуының  X  нүктесі  К  шеңберінде жатпайды деп жориық. X нүктесі мен О1О2 түзуі арқылы жазықтық жүргізейік. Ол жазықтық сфераларды центрлері О1  және О2  болатын шеңберлердің бойы­ мен   қиып   өтеді.   Бүл   шеңберлер  К  шеңберіне   тиісті   екі   нүктеде   және  X нүктесінде   қиылысады.   Бірақ   екі   шеңбердің   екіден   көп   қиылысу   нүктесі болмайды.   Біз   қайшылыққа   келіп   тірелдік.   Сөйтіп,   біздің   сферамыздың қиылысуы — шеңбер (К). Теорема дәлелденді. Е с е п (4). Радиусы  R  болатын тең екі шар, бірінің центрі екіншісінің бетінде жататындай болып орналасқан. Олардың беттерінің қиылысу сызығының ұзындығын табыңдар. Ш   е   ш   у   і.   Шарлардың   центрлері   арқылы   қима   жүргіземіз.  Есепте   сөз болып   отырған   сызық   шеңбер   болып   табылады   (1.6­теорема).   Оның   радиусы қабырғалары R болатын тең қабырғалы ОАО1 үшбүрышының биіктігіне тең. 15 2. АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІНІҢ БЕТІ ЖӘНЕ ОНЫҢ АУДАНЫ МЕН КӨЛЕМІ 2.1 Цилиндрдің көлемі және бүйір бетінің ауданы Цилиндрдің көлемі Егер   дене   қарапайым   болса,   яғни   оны   үшбұрышты   пирамидалардың шектеулі   санына   бөлшектеуге   болатын   болса,   онда   оның   көлемі   осы пирамидалар көлемдерінің қосындысына тең болады. Қалауымызша алынған дененің көлемі былайша аныңталады.[5] Егер берілген денені камтитын және осы дене ішінде қамтылатын, көлемдерініц V­ден айырмашылыгы барынша аз, карапайым денелер бар болса, онда берілген дененің көлемі V болады . Бұл анықтаманы табанының радиусы  R,  биіктігі  Н  болатын   цилиндрдің   көлемін   табуға   қолданамыз. Дөңгелектің       ауданы   үшін       формула   қорытқанда   екі  n  бұрыш(біреуі дөңгелекті қамтитын, екінщісі — дөңгелекке қамтылатың) сурет 16 салынғаң     брлатын  n­ді     шексіз   арттырғанда олардың   аудандары   дөңгелектің   ауданына шексіз   жақындай   беретін.   Цилиндр   табанындағы   дөңгелекке       осындай көпбұрыштар салайық. Айталық,  Р  ­  дөңгелекті қамтитын көпбұрыш, ал  P'­ дөңгелекпен   қамтылаты   болсын   (сурет   17).   Табандары  Р  және  Р'  болатын және биіктігі Н цилиндрдің  Н  биіктігіне  тең  екі  призма  салайық. Бірінші призма   цилиндрді   қамтиды,   ал   екінші   призма   цилиндрмен   қамтылады.  п шексіз артқанда призмалар табандарының   аудандары   цилиндр   табанының S  ауданынашексізжақындайтынболғандықтан,  олардың   көлемдері   SH­қа шексіз жақындайды.Анықтама бойынша цилиндрдің көлемі (іштей  Сөйтіп,  цилиндрдің  көлемі  табанының  ауданы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең болады. (цилиндрге сырттай сызылған призма) Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы сурет 17  Цилиндрге   іштей   дұрыс  n  ­бұрышты   призма   сызамыз   (­сурет).   Бұл призманың бүйір бетінің ауданы , мұндағы Рп— призма табанының периметрі, ал H — оның биіктігі.[5] Біз  n­ді   шексіз   арттырғанда  Рп  периметрі   цилиндр   табанындағы шеңбердің   С   ұзындығына   шексіз   жақын1дайтынын   білеміз.   Олай   болса, 16 призманың бүйір бетінің ауданы CH­қа шексіз . жақындайды. Сондықтан СН шамасы цилиндрдің бүйір бетінің ауданы үшін алынады. 2.2 Конустың көлемі және бүйір бетінің ауданы Конустың көлемі. Конус   табанының   жазықтығына   екі   көпбұрыш:   конустың   табанын қамтитын  Р  көпбұрышын   және   конустың   табанымен   қамтылатын  Р' көпбұрышын   (сурет18)   саламыз.   Табандары  Р  және  Р'  болатын   төбесі конустың төбесінде жататын екі пирамида салайқ. Бірінші пирамида конусты қамтиды, ал екінші пирамида конуспен қамтылады Біз,   қабырғаларының   санын   шексіз   арттырғанда   аудандары   конустың табанындағы   дөңгелектің   ауданына   шексіз   жақындайтын  Р  және  Р' көпбұрыштары бар екенін білетін едік. Мұндай   көпбүрыштар   үшін         салынған   пирамидалардың   көлемдері шексіз жақындайды   мүндағы S —конус табанының  ауданы, ал H — оның биіктігі . Анықтама бойынша конустың көлемі сурет 18 болатындығы шығады. Сөйтіп, конустың көлем(конусқа сырттай пирамида табанының ауданы мен биіктігінің көбейтіндісінің  үштен біріне тең болады Қиық конустың көлемі. Е с е п (5). Табандарының радиустары R1 және R2(R2< R1), ал биіктігі һ болатын қиық конустың көлемін табыңдар  Ш  е  ш  у  і.Берілген қиық конустытолықконусқа  дейін толықтырамыз, х — оның биіктігі болсын. Қиық конустың көлемі толық екі конустың көлемдерінің  айырмасына  тең: біреуінің  табан радиусы  R1 және биіктігі   х, екіншісінің табан радиусы R2 және биіктігі х — һ. Конустардың ұқсастығынан х­ті табамыз.  Қиық конустың  көлемі  мынаған  тен       Конустың бүйір бетінің ауданы. Конусқа іштей дұрыс n ­ бүрышты пирамида  сызайық (сурет 19). Оның бүйір бетінің ауданы   мұндағы Рп— пирамида табанының периметрі, ал lп— апофемасы. n­ді шексіз арттырғанда табанының периметрі  Рп конус табанының С ұзындығына, ал ln ­ апофемасы 17 l ұзындығына жасаушысының пирамиданың бүйір беті­ге шексіз шамасы    конустың бүйір бетінің  жақындайды. Осыған байланысты ауданы үшін алынады. Сөйтіп,   конустың  бүйір  бетініц ауданы   формуласымен есептеп шығарылады, мұндағы R — конус табанының радиусы, ал l— жасаушысының ұзындығы.[6] шексіз жақындайды. Осыған сәйкес Осыған ұқсас радиустары R1 ,R2 және жасаушысы l болатын қиық конустың  бүйір бетінің ауданы үшін мынадай формула шығады: Айналу денелері үшін ортақ формула Ең қарапайым жағдайда айналу денесі деп қандай да бір түзуге (айналу осіне)   перпендикуляр   жазықтықтармен   центрі   осы   түзуде   жататын дөңгелектер бойымен қиылысатын денені айтады. Дөңгелек цилиндр, конус, шар   айналу   денелеріне   мысалдар   болып   табылады.   Айналу   денелерінің көлемін есептеп шығару үшін формула табайық. Дененің осін х осі ретінде алып, дененің осі арқылы жазықтық жүргізейік және декарттық  х,  у  координаттарды енгізейік.  ху  жазықтығы дененің бетін  х  осі симметрия осі болып табылатын сызық бойымен қияды.  х осінен жоғары оналасқан бөлігінің теңдеуі болсын. осы   сызықтың  Абцисса   осінің  (х;0)  нүктесінен   оған   перпендикуляр   жазықтық   жүргізейік және дененің осы жазыңтықтың сол жағында жатқан бөлігінің көлемін  V(х) арқылы белгілейік; V(х) сонда x­тің функциясы болып табылады. V(х + h) — V(х)  айырмасы  х  осіне   перпендикуляр,   абсциссалары  х  және  х+һ  болатын нүктелерден өтетін екі жазықтық арасындағы қалыңдығы  һ  дене қабатының көлемін білдіреді. f(х) функциясының [х, х + һ] кесіндісіндегі ең үлкен мәні ­ M,  ең кіші мәні  —  т  болсын.  Сонда дененің қарастырылып отырған қабаты радиусы  т,  биіктігі  һ  цилиндрді   қамтиды   да,   радиусы  М,  биіктігі   сол  һ болатын цилиндрмен қамтылады. Сондықтан  Биіктік   һ   нөлге   ұмтылғанда соңғы  теңсіздіктің  сол  жақ  және  оң  жақ бөліктері бір ғана πf 2(x) шамасына ұмтылады.   Бұл   теңсіздіктің   шамасы   орта       бөлігі     нөлге   ұмтылғанда функциясының   туындысынаұмтылады.   Демек,     Анализден   белгілі   формула бойынша Бұл формула дененің х = а және х=b параллель жазықтықтар арасындағы  бөлігінің келемін береді. 18 2.3 Шардың көлемі Айналу денелерінің көлемдері үшін осы табылған формуланы шардың  көлемін есептеп шығару үшін қолданамыз.  Шар центрін координаттар басы  ретінде алып, декарттық координаттар енгіземіз (сурет 20). ху жазықтығы  радиусы R шарды теңдеуі шеңбер бойымен қиып өтеді. х осінен жоғары орналасқан жарты шеңбер  мына теңдеумен беріледі: V  ═ 4 3 π  R3 Сондықтан шардың көлемі мына формуламен                                          анықталады: Шардың көлемі 28­ теорема. Шардың көлемі V  ═ 4 3 π  R3 –ке тең, мұндағы                                R –шардың радиусы. Сөйтіп, шардың көлемі 2.4 Шар сегментінің және секторының көлемі ­ке тең. сурет 20 Шар сегменті деп шардың жазықтықпен қиылып түскен бөлігін айтады.Шар  сегментінің көлеміне арналған формуланы шар көле­мінің формуласы сияқты  шығарып аламыз (сурет 21): Шар секторы деп шар сегменті мен сурет 21 конустан  төмендегідей жолмен алынатын денені айтады[2]. Егер  шар  сегменті  жарты  шардан  кішіболса, онда шар сегменті төбесі шардың  центрінде, табаны сегменттің табаны болып  келетінконуспентолықтырылады. Егер де сегмент жарты шардан үлкен болса, онда жоғарыда көрсетілген конусты  одан  алып  тастайды(сурет 22). Шар секторының көлемін сәйкес  сегмент пен конустың көлемдерін қосу немесе  азайту  арқылы  шығарып  алады.   Шар секторының көлемі үшін мынадай  формула алынады: сурет 22 19 Сфераны   сырттай   жақтары   шағын   дөңес   көпжақ   сызамыз.   Айталық, S'­көпжақ бетінің ауданы,  яғни оның жақтарының аудандарының қосындысы болсын.  Көпжақ беті ауданының жуық мәнін табайық. Ол үшін жақтардың сызықтық   өлшемдері,   яғни   кез   келген   жақтың   кез   келген   нүктесінің   ара қашықтығы ­нан кіші болады деп ұйғарамыз. Көпжақтың көлемі көпжақтың жақтары табандары, ал сфераның центрі төбесі   болатын   пирамидалар   көлемдерінің   қосындысына   тең   болады. Пирамидалардың бәрінің биіктіктері, сфераның радиусына тең болғандықтан, 2.1 Тік дөңгелек цилиндрдің әрбір көлденең қимасы оның табанына тең  дөңгелек болады.  Теорема: Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы табан шеңберінің ұзындығын оның биіктігіне көбейткенге тең, яғни  S ц.б.б    = 2  RHπ  RH+2 R 2 π S ц.т.б   = 2  π S  ц.т.б = 2  R(H+R) Цилиндрдің толық бетінің ауданы  мына формуламен өрнектеледі.  S ц.т.б   = 2 π RH+2 R2   Теорема . Дөңгелек тік цилиндрдің көлемі оның  табанының ауданы мен  биіктігінің көбейтіндісіне тең.  V  S═ таб∙Н, мұндағы S­цилиндр табанының  ауданы, ал Н­ цилиндр биіктігі V=Sтаб*h       V= π R2h 2.2 Конус  Теорема: Конустың бүйір бетінің ауданы оның табан шеңберінің ұзындығы мен жасаушының көбейтіндісінің жартысына тең, яғни  20 S   = πRl R­ конус табанының радиусы, l­конустың жасаушысы. S   π 2 =  R(l+R),   π     = π Rl+ R  R­ табанының радиусы,   l­конустың жасаушысы. Анықтама: Конустың табаны мен табанына параллель қиманың арасындағы бөлігі қиық конус деп аталады. Анықтама: қиық конустың бір табанының қайсыбір нүктесінен екінші табан жазықтығына түсірілген перпендикуляр қиық конустың биіктігі деп аталады. Конустың бүір бетінің ауданының формуласы бойынша  Sқ.кон.б.б. = πl(R+r) Теорема:   Қиық   конустың   бүйір   бетінің   ауданы   табан   шеңберлерінің қосындысының жартысы мен жасаушының көбейтіндісіне тең  Sқ.кон.б.б. =  2πR+2πr 2 C+C1 2 *l *l= Sқ.кон.б.б. = πl(R+r)+ Rπ 2+ rπ 2 Мұндағы l­жасаушы, ал   r – мен  R  ­ конус табандарының радиустары.              Бізге призманың көлемі табанының ауданынын оның биіктігіне көбейткенге тең екені белгілі. Призма мен цилиндрдің ұқсастығынан цилиндрдің көлемі де 21 табанының   ауданы   мен   оның   биіктігінің   көбейтіндісіне   тең   деп   алуымызға болады.  Vц = SH Vц   =  πR2H Конустың   көлемін   есептегенде,   оның   пирамидамен   ұқсастығын   ескеріп, конустың   көлемі   табанының   ауданы   мен   биіктігінің   көбейтіндісінің   үштен біріне тең,                         V к  =   1 3 SH Vк  =    1 3  πR2H Теорема   .   Конустың   көлденең   қимасы   ауданының   оның   табан   ауданына қатынасы   олардың   конустың   төбесіне   дейінгі   қашықтықтарының квадраттарының қатынасына тең  Теорема. Дөңгелек конустың көлемі оның табаныныңауданы мен биіктігінің көбейтіндісің үштен біріне тең V  ═ 1 3 Sтаб∙Н, мұндағы S­конус табанының ауданы, ал Н­ биіктігі 3.3. Шар  ауданы, көлемі  Шар бетінің ауданы және көлемі мына формулалармен есептеледі Шардың көлемі 28­ теорема. Шардың көлемі V  ═ 4 3 π  R3 –ке тең, мұндағы R –шардың  радиусы. 22 3. АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІНІҢ ҚИМАЛАРЫ  3.1 Цилиндрдің қимасы Цилиндрдің жазықтықпен қимасы деп жалғыз нүктеден, цилиндрдің  жасаушысынан немесе табанынан өзгеше фигураны, яғни аталғандардан өзге  цилиндр мен жазықтықтың ортақ бөлігін атайды. 1. Қиманы цилиндрдің осі арқылы жүргізуге болады(74 сурет). Мұндай қималар осьтік қималар деп аталады. Егер цилиндрдің остік қимасы квадрат болса, ондай  цилиндр теңқабырғалы деп аталады.                23 2. Қиманы цилиндрдің осіне жүргізуге болады. Бұл қима цилиндр мен екі жасаушыдан өтетін  жазықтықтың қиылысуынан алынып тұр. 3. Цилиндрді   оның   осіне     перпендикуляр     жазықтықпен   қиюға   да болады. 4. Егер цилидрдің бүйір бетін оның табандарын қимайтын және цилиндр осіне   перпендикуляр   емес     «в»   жазықтықпен   қисақ,   онда   қимада элипс аламыз. 3.2. Конустың қимасы. 1. Конустың қайсыбір екі жасаушысын қамтитын екі түзу арқылы бір ғана жазықтығын жүргізуге болады. Бұл жазықтық конустың табанын хорда бойымен, ал бүйір бетін екі жасаушы боймен қиып өтеді. 2. Аталған   жазықтық   пен   конустың   ортақ   бөлігі   теңбүйірлі   үшбұрыш болып табылады.  α 3. Егер   жазықтығы конустың осі арқылы өтсе, онда қимада пайда болған үшбұрыш конустың осьтік қимасы деп аталады.  4. Егер   конустың   бүйір   бетін   табанымен   қиылыспайтын   және   конустың осіне   перпендикуляр   емес   жазықтықпен   қиып     өтсек,   онда   қимада элиппс аламыз. 24 Практикалық бөлім  Практикада бізге фигураларды жазықтықта бұруға қарағанда, фигураларды  кеңістікте осьтен айналдыра бұру жиі кездеседі. Біз күнделікті өмірде  денелердің өз осінен айналуын бақылап та, куә болып та жүрміз. Мысалы,  Жер Күнді айнала қозғала отырып, өз осінен де айналады. Күннің де өз айналу осі бар және ол өз осінен айналады.  Сонымен қатар есікті ашқанда – бұл есіктің (тікбұрышты параллелепипедтің)  өз осінен айналуы яғни топсалар орналасқан түзу – оның айналу осі. Осындай  мысалдарды техникадан да келтіруге болады. Мысалы: самалеттің ебелектері, турбиналардың айналу валары ,станоктардың айналу тетіктері т.б.. Айналу остері бар , яғни қайсыбір осьтен белгілі бір бұрышқа айналдырғанда  өзіне – өзі көшетін фигуралар да кездеседі. Мысалы шахмат фигурасының,  вазаның айналу остері бар. Айналу остері, әсіресе дөңгелек фигураларда –  сферада, шарда, цилиндрде, конуста болады. Сондықтан оларды кейде айналу  денелері деп те атайды. Айналу денелері күнделікті өмірде көп кездесетін денелер. Қандай мысалдар  келтіруге болады? (труба, сым, әр түрлі темір қалбырлар) Конусқа ұқсайтын қандай заттарды білесіңдер? 25 Біздің ата бабаларымыз да айналу денелеріне ұқсайтын нәрселерді көп  пайдаланған. Мысалы: қыз бала тақиясы(цилиндр), ер бала тақиясы(цилиндр  және төбесі конус формалы), киіз үйді алсақ , ата – бабамыздың халқына  қалдырған мұрасының бірі,әрі бірегейі – киіз үй.  Киіз үй – халық даналығының, ғасырлар бойғы тәжірибесінің жиынтығы. Олай  болса, сол даналықтың қыр­сырына үңілу біз үшін парыз , киіз үйдің  керегесі цилиндр формасында орналасса ал уықтары қиық конус жасаушысын береді. Қосымша  тапсырмалар:  Бір квадрат метрге 200 г бояу жұмсалса, онда табанының диаметрі 1,5 м,  биіктігі   3м  цилиндр   пішінді  бакты  бояу үшін  қанша   бояу  керек?  Шешуі  : D=1.5  м,   H=3м,   бояу        кетеді          26 №1 Бер Цилиндр   d=1.5м   h=3м   1м2­200г  т/к: қанша бояу  Шешуі: S=2  π  r(r+h)=2  π  ­1.5/2*(1.5/2+3)=5.625  π  м2   5,625 p *200=1125  π г=1,125  π  кг  27 Жауабы: 1,125 π  кг  №2 Бер: АВСD= трапеция   AD=10 BC=6 — A= — D=600  т/к: Sайн  Шешуі: AB=2AM=4   BM=42­22=16­4=12=23/cм/   Цилиндрдің бүйір беті  Sб.б=2 p rh=2 p *ВМ*ВС=2 p *23*6=243 p /см2/  S1б.б= p rl= p *BM*AB= p *243 p см2  Sт.б=243 p см2+2*83 p см2=243 p см2+163 p см2=403 p см2 28 29 30 31 Цилиндр 1. Биіктіктері бірдей екі цилиндрдің бірінің табанының радиуысының екіншісінен 2 есе арттырсақ, онда көлемдері неше есе артады? А)4 есе В)2 есе С)5 есе Д)6 есе Е)3 есе 2. Цилиндрдің көлемі 112см3 –ге тең,ал оның биіктігі 28см.Осьтік қимасының диагоналінің ұзындығын табыңыз. А) 9 π см; В)12 √7 см √2 см. С)28 см Д)20 см Е)20 32 3. Цилиндр табанының радиусы 2м, ал биіктігі 3 м.Осьтік қимасының диагоналін табыңыз. А)1 м В)25 м С)5 м Д)10 м Е) √13 м 4. Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 24см2. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз. А)24 π см2 В)36 √π см2 С)68 см2 Д)8π2см2; Е)72см2 5. Цилиндірдің осьтік қимасының диагоналі √61 см тең, ал табаны шеңбер радиюсы 3 см. Цилиндірдің биіктігін табыңыз. А)12см; в)3 √11 см; с) √70 см; д)5см; е) √52 см; 6. Цилиндір табанының радиюсы 4м, биіктігі 6м. Осьтік қимасының диагоналін табыңыз. А)20м; в)15м; с)25м; д)5м; Е)10м. 7. Цилиндірдің бүйір бетінін жазбасы тік төртбұрыш. Жазбаның диагоналі d табанымен бұрыш жасайды. Цилиндір көлемін табыңыз. А) ½ πd³cos²α B) ¼πd³cosα sin²α С) ½πd³sinα cos ²α Д) ¼πd³cosα Е) ¼πd³cos²αsinα 8. Цилиндрдің табанының радиусы 2м, ал табанының радиусы 3м. Осьтік қимасының диогоналін табыңыз. А) 5 м В)25 м С)1 м Д)10 м Е) √13 м 9. Цилиндрдің биіктігі 6 дм, ал табанының радиусы 5 дм. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңдар. А)145π дм² В) 60π дм² С) 30π дм² Д)120π дм² Е) 180π дм ² 10. Цилиндр табанының ауданы Q-ге тең, ал осьтік қимасының ауданы М-ге тең. Цилиндрдің толық бетінің ауданы неге тең. А) πm-2Q B) m-Q С) Qm Д) πm+2Q Е) 2Q-m ҚОРЫТЫНДЫ 33 Геометрия  ­  денелердің  формасы  (пішіні)  мен  кеңістік  қатынастарды оқытатын   математиканың   ежелден   келе   жатқан   бөлімі.«Геометрия»   ­   грек сөзі,   аудармасы   жер   өлшеу   дегенді   білдіреді.   Оның   осылай   аталуы геометрияның жердегі өлшеу жүмыстарында қолданылуымен байланысты. Алғашқы   геометриялық   ұғымдар   ежелгі   уақытта­ақ   пайда   болған. Табиғаттағы   материалдық   денелердің   әр   түрлі   формаларын   атап  айтқанда, өсімдіктер   мен   жануарлардың,   таулар   мен   өзендердің   иілімдерінің,   айдың дөңгелек   және   орақ   тәрізді   жөне   т.с.с  пішіндерін   адамдар   байқаған.  Адам табиғатты тек қана байқап қоймай, оның байлығын игерді және пайдаланады немесе   практикалың   іс­әрекет   процесінде   (үстінде)   геометриялық мағлұматтарды жинақтады. Материалдық   мұқтаждықтар   адамдарды   еңбек   қаруларын   жасауға, тастарды   тегістеп   үйлер   салуға,   балшықтан   ыдыс­аяқ   мүсіндеуге,   садаққа керме   жасауға   және   т.б.   мәжбүр   етті.   Сонымен,   адамның   практикалық   іс­ әрекеті   дерексіз   ұғымдардың   ұзақ   уақыт   ішінде   қалыптасуына   және қарапайым геометриялық тәуелділіктер мен қатынастардың ашылуына негіз болды. Геометрияның   бастамасы   ертерекше,   таза   практикалық   мәселелерді шешуден   туындаған,   өйткені   бізге   жеткен   мағлұматтар   бойынша геометрияның тууы мен табыстары жердегі өлшеу жүмыстарымен және көлем мен ауданды есептеуге байланысты. Сол   кездің   өзінде­ақ   абстракты   (дерексіз)   ұғым   ретінде   қашықтық, ұзындығы   болу   сияқты   ұғымдармен   байланысты   емес   басқадай   қасиеттері ескерілмей,   сөйкес   физикалық   дененің   тек   қана   кеңістік   қасиеттері сақталатын геометриялық дене ұғымы пайда болған. Сонымен, геометрияның дүниеге келген мезетін тап, ол нақты дүниенің қасиеттерін (дәлірек айтқанда геометриялық) зерттеген. Шындық дүниемен геометрияның жоғарыда аталып өткен байланысы геометрияның бүкіл даму барысының   мәнді   белгісі   болып   табылады   сонымен   бірге   оқытылатын объектінің абстрактылық дәрежесі үнемі жоғары деңгейге көтеріліп отырды. Уақыт өткен сайын, көптеген фактілер жинақталды да оларды қорытындылау және   жалпылау,   сондай­ақ   қандай   да   бір   элементтердің   басқаларына тәуелділігін айқындау, логикалық байланыстар мен дәлелдеулерді тағайындау 34 мұқтаждығын   адамдар   сезіне   бастады. ғылымы жасалды.  Осылайша   біртіндеп   геометрия Өз   дамуының   алғашқы   кезеңінде   геометрия   өнерге   (мүсіндеу, архитектура)   жақын   тұрады   да   нақты   дүниені   көркем   бейнеледі.   Мысалы, ежелгі халықтар қамыстан себет тоқығанда, киім тіккенде, орамал және кілем тоқығанда   кейбір   қарапайым   геометриялық   фигураларды   пайдаланған болатын. Геометрияның өнермен байланысын мыңдаған жылдардан кейін бізге келіп жеткен үйдің іргесіндегі және ішіндегі әшекейлер де дәлелдеп отыр. Ежелгі   Мысыр,   Кипр,   Үнді   және   т.б   елдерде   сақталған   ыдыстар, геометриялың әшекейлердің параллель кесінділерден ғана тұратын қарапайым фигуралардан   басталып,   түзу   және   қисық   сызықтардың   күрделі комбинациясына   (алма­кезек   келуі)   дейін   дамығандығы   жайында   түсінік береді. Жалпы алғанда күнделікті тіршілік, тұрмыс, еңбек қаруы тұрғысынан ғана   алмай,  өнер,  мүсіндеу,   архитектура   мен   байланысты   біршама   кеңірек мағынада түсінілетін практика геометрия ғылымына жол ашты Геометрия Ежелгі Грекияда біздің эрамызға дейінгі VІІ­ІV ғасырларда, онда логикалық дәлелдемелер жүргізу жүйелі түрде қолданыла бастағаннан кейін және негізіне бірнеше аксиомаларды алып бірінен, екінші ой қорыту арқылы шығарылатын геометриялық сөйлемдерді бір жүйеге келтірген кезде ғылым ретінде қалыптасты. Шамамен   біздің   эрамызға   дейінгі   VІ­V   ғасырларда   Ежелгі   Грекияда геометрия дамуының жаңа кезеңі басталды. Әрине, біздің эрамызға дейінгі V ғасырдың өзінде Грекияда геометрияны жүйелі түрде баяндаған шығармалар болған   еді.   Алайда,   осы   тұрғыдағы   келелі   табыс   Евклидтің   әйгілі «Бастамалары» (б.э.д ІІІ ғ.) еді. Евклидтің «Бастамаларында» (бұдан 2200 жылдай бұрын) қазіргі орта мектептің   деңгейіндегі   геометриялық   білімнің   көлемі   берілген   болатын. Әрине, Евклид  өз  жүмысына  бұрынғы  ондаған   ғалымдардың, соның  ішінде Фалес пен Пифагор, Демокрит пен Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс және т.б. еңбектеріне сүйенеді. Адамдардың практикалың іс­әрекетінде ғасырлар бойы жинақталған  жекелеген геометриялық мағлұматтардан басталатын геометрия ғылымын  жоғарыда аталған ғалымдар 3­4 жүз жылдық ішінде жетілдірудің жоғарғы  деңгейіне көтерді. Ал Эвклидтің тарихи еңбегі өзіне дейінгілердің алған  нәтижелерін біріктірді және ретке келтірді де, сол кездегі геометриялық  негізгі білімдерді бір жүйеге келтіріп, «Бастамалар» атты еңбегін жариялады  Екі мың жылдар шамасында геометрия Евклид «Бастамаларында» берілген  көлем мен баяндалу жолына сәйкес оқытылып келді. Бұл еңбектің алғашқы кітабы планиметрияға, VІІ­Х кітабы сандарды оқытуға, ХІ­ХІІІ кітабы стереометрияға арналған. Евклидтің   «Бастамалары»   ондаған   тілге   аударылды,   бірнеше   елде басылып   шықты   және   әлденеше   рет   қайта   басылды.   Орыс   тілінде 35 «Бастамалар»   XVІІІ   ғасырда   үш   рет,   ал   XIX   ғасырда   төрт   рет   басылып шықты. Оның ең соңғы және біршама жетілдірілген (грек тілінен орыс тіліне) аудармасын ғалым, профессор Д. Л. Мордухай Болтовский жасап, 1948­1950 жылдары жариялады. Бүкіл   әлемдегі   элементарлық   геометрияның   көптеген   оқулықтары Евклид кітабының өңделген түрі болып отыр, ал «Бастамалар» болса бірнеше ғасырлар бойы атақты математиктердің жиі қолданылатын кітабы болды. Адамзат тарихында алғаш рет геометрия «Бастамаларда» аксиоманың көмегімен   және   осы   аксиомалардан   логикалық   тұрғыдан   келіп   шығатын қорытындылар ­теоремалар арқылы түсіндірілді. Координаталық   әдіс   арқылы   (XVII   ғ.)   Декарт   алгебра   көмегімен геометриялық   фигуралардың   қасиеттерін   оқытудың   мүмкіндігін   көрсетіп берді де, сол ғасырдың екінші жартысынан бастап геометрия ғылымында әрі қарай   сапалық   өрлеу   басталды.   Осы   кезден   аналитикалық   геометрияның дамуы   басталды.   Ал   ХVІІ­ХVІІІ   ғасырларда   фигуралардың   қасиеттерін математикалық   анализдің   көмегімен   оқып­үйренетін   дифференциалдық геометрия туындап өрбиді. Француз математиктері Ж. Дезарт пен Б. Паскаль еңбектерінде негізі салына бастаған проективті геометрияның пайда болуы осьі   кезеңге   (XVIII   ғасырдың   бірінші   жартысы)   дәл   келеді.   Проективті геометрияның   онан   әрі   дамуы   француз   математиктері   Г.   Монж   бен   Ш. Понселенің есімдерімен байланысты. XIX   ғасырдың   бірінші   жартысында   евклидтік   емес,   кейіннен Лобачевский   геометриясы   деп   аталып   кеткен   жаңа   геометрияны   шығарған үлы орыс математигі Н.И.Лобаческий алғаш рет геометрияда түбірлі езгеріс жасады. Лобачевскийдің жаңалығы геометрияның дамуындагы жаңа кезенің  дамуы болды, ол адамзаттың нақты физикалың кеңістіктің қасиеттеріне деген  көзқарасын өзгертті. Бұдан кейін көптеген жаңалықтар ашылды  Геометрияның дамуындағы маңызды қадам­ геометрияны оқып­үйренудегі,  кейіннен риман кеңістіктері деп аталып кеткен жаңа объектілер мен  әдістердің ашылуына себеп болған неміс математигі Б.Риманның (1826­1866)  жүмыстары болып табылады. Геометрияда XIX ғасырдың екінші жартысынан бастап түрлендірулер топтарының   (группаларының)   теориясы   аса   маңызды   орын   алады.   Бүл теорияның үздіксіз топтарға байланысты негіздерін Норвегия математигі С. Ли (1842­1899) қалады. Осы ғылым терминдерінде неміс математигі С.Клейн (1849­1925)   геометрияның   берілген   түрлендірулер   топтарына   қатысты инвариантты   қасиеттерін   зерттейтін   ғылым   ретіндегі   жаңа   тұрғыдағы түсініктемесін түжырымдады. Геометрияның XX ғасырдағы аса ірі жетістіктері француз математигі Э.Кратонның (1869­1951) есімімен байланысты. Ол симметриялық кеңістіктер деп   аталатындарды   ашып,   зерттеді,   сондай­ақ   геометриялық   объектілерді 36 сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер жүйесін зерттеуге келтіретін әдісті жасады. Қолданылған әдебиеттер: 1. Ө.   Төлегенов   ­   Математиканың   бастауыш   курсының   теориялық негіздері, Астана­2011ж 2. Т.   Оспанова­   Бастауыш   мектепте   математиканы   оқыту   әдістемесі, Астана­2010ж 3. Ш.Құрманалина­ Бастауыш мектепте математиканы оқыту әдістемесі, Астана­2010ж 4. А.В.Погорелов­ Геометрия, Алматы­2011 5. ҚР бастауыш білімнің мемлекеттік стандарттары. – Алматы, 1998. 6. Н.Б.Истомина. Методика обучения математике в начальных классах. – 7. 8. Москва  2000ж.   Т.Қ.Оспанов,   Ш.Х.Құрманалина,   С.Қ.Құрманалина.   Бастауыш мектепте математиканы оқыту әдістемесі. – Астана, Фолиант, 2007.   Рақымбек   Д.   Оқушылардың   логика­методологиялық   білімдерін жетілдіру. — Алматы, 1998ж 9. Сәулебекова М. Мектеп оқушысының іс­әрекетін белсендіру — оның тұлғалық дамуының негізі. Алматы 2000ж 10.  Рақымбек Д. Оқушылардың ақыл­ой іс­әрекетін жетілдірудегі логика­ әдістемелік білімдердің орны. Алматы ­1999ж 11..   Әбілқасымова   А.Е.,   Көбесов   А.К.   және   басқалары,   Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі, Алматы ­  1998 ж 12. Әбілқасымова А.Е., Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі: дидактикалық   әдістемелік негіздері,  Алматы – 2014ж 13. Көбесов А.К., Математиканы оқыту әдістемесі, Алматы­ 1989ж 14.Қаңлыбаев  Қ.И.,   Сатыбалдиев   О.С.,   Джанабердиева   С.А., Математиканы оқыту  әдістемесі, Алматы­ 2013ж 15.Мүбараков А. Оқушының қызметін ұйымдастыру.   Бастауыш мектеп. ­2002ж 16. Елубаев С. Халық ауызындағы есептердің сипаттары. Бастауыш мектеп ­2003ж. 17.Көшкентаева М. Сабақта оқушылардың талдау жасау және логикалық ойлау қабілеттерін дамыту жолдары. Алматы – 2001ж. 18. Жұмабаева Н. Баланың логикалық ойлауын дамытудың жолдары. Бастауыш мектеп­ 2002ж 37