Аппроксимация в линейном нормированном пространстве

Аппроксимация в линейном нормированном пространстве. АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ Содержание Введение I. Постановка основной задачи теории аппроксимации 1. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве 2.Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта 3. Первая теорема Вейерштрасса 4. Вторая теорема Вейерштрасса II. Круг идей П.Л. Чебышева 1. Теорема Валле­Пуссена и теорема  существования 2. Теорема Чебышева 3.Переход к периодическим  функциям 4. Обобщение теоремы Чебышева III. Методы  аппроксимации 1.Приближение функции многочленами 2. Формула Тейлора 3. Ряды  Фурье Заключение Литература Введение Элементы важной и интересной области  математики­ теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной  функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию  необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить  функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п. Основоположником  теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев 1821­1894. В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения  практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих  шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах­  основных универсальных двигателях того времени­ для поддержания прямолинейного  движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности. На дальнейшее  развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким  математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность  приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности  алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов  как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой. Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью. I. Постановка основной задачи аппроксимации Основную задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим образом на некотором точечном множестве в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции fP и FP,A1,A2 An от точки P , из которых вторая зависит ещ от некоторого числа  параметров А1,А2 Аn эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в  функции FP,A1,A2 An от функции fP было наименьшим. При этом, конечно, должно быть  указано, что понимают под уклонением F от f или, как ещ принято говорить, под  расстоянием между F и f. Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то в  качестве расстояния между двумя функциями можно взять верхнюю грань в модуля их разности. При таком определении расстояния для  совокупности всех ограниченных в функций оказываются справедливыми многие  соотношения, которые мы имеем для точек обычного 3х­мерного пространства. Последнее  обстоятельство, с которым постоянно приходится сталкиваться в математике при  рассмотрении других классов функций и многих иных совокупностей множеств, привело к  созданию весьма важного понятия метрического пространства, так что при дальнейшем  изложении совокупность ­ это метрическое, либо Гильбертово пространство. 1. Основная теорема аппроксимации линейном  нормированном пространстве Пусть Е­ произвольное нормированное пространство,  пусть g1,g2 gn­ n линейно­ независимых элементов из Е. Основную задачу аппроксимации  применительно к рассматриваемому нами линейному случаю можно сформулировать  следующим образом дан элемент х Е, требуется определить числа , так, чтобы величина  получила наименьшее значение. Докажем, что требуемые значения чисел существуют. Предварительно заметим, что ­ есть непрерывная функция своих аргументов.  Действительно, в силу неравенства треугольника Введм теперь вторую непрерывную  функцию На сфере , которая является ограниченным замкнутым множеством точек в n­ мерном конечном Евклидовом пространстве, функция по известной теореме Вейерштрасса  имеет некоторый минимум . Неотрицательное число не может равняться 0, так как векторы g1,g2 gn линейно независимы. Так же . Обозначим ­ нижняя грань значения функций . Если , то  Желая найти минимум функции , мы можем ограничиться рассмотрением только  значений , для которых , т.е. рассмотрением функции в ограниченной замкнутой области, а  в такой области непрерывная функция имеет минимум. Итак, существование линейной  комбинации , дающей наилучшую аппроксимацию элемента х, доказано. Строго нормированное пространство. Возникает вопрос, когда выражение , дающее наилучшую  аппроксимацию элемента х, будет единственным для Указанная единственность во всяком случае имеет  место тогда, когда пространство Е строго нормировано, т.е. когда в неравенстве , знак  достигается только при В самом деле, допуская, что пространство Е строго нормировано,  предположим, что элемент х имеет два выражения и наилучшего приближения, причм g1,g2 gn линейно независимы. где, как легко видеть, можно принять, что и, поскольку , то , и,  значит, Следовательно, в силу строгой нормированности пространства . В этом соотношении должно 1, т.к. в противном случае элемент х был бы линейной  комбинацией элементов g1,g2 gn и, значит, было бы . Но если , то и, значит т.к. элементы  g1,g2 gn линейно независимы. Таким образом, рассматриваемые выражения­ тождественны. Примером строго нормированного пространства является пространство Н, а также Lp при  р 1, но пространства С и L не являются строго нормированными. Действительно, возьмм интервал ­1,1 и две линейно независимые функции xt и yt , модули  которых принимают свои максимальные значения в одной и той же точке интервала, причм  arg x arg y . Тогда очевидно Чтобы доказать, что не есть строго нормированное  пространство, достаточно взять xt1, при и xt0, при t 0 ,а yt1­xt. Геометрическая  интерпретация. Проблема, существование решения которой мы ранее доказали, допускает  полезную геометрическую интерпретацию. Действительно, совокупность точек вида , где зафиксированные элементы g1,g2 gn линейно независимы, а пробегают всевозможные комплексные числа, представляют некоторое  линейное многообразие в том смысле, что из следует, что при произвольных комплексных .  Это линейное многообразие, очевидно, является пространством, так как оно содержит  точку 0. При n1 мы получаем прямую при n2­ плоскость, а вообще­ n­ мерную плоскость. Наша проблема, таким образом, состояла в нахождении точки конечномерного  подпространства G пространства E, которая от заданной точки х находится на кратчайшем  расстоянии в метрике пространства Е. Мы доказали, что такая точка в G существует. Если  само пространство Е не является конечномерным, т.е. если в нм имеется сколько угодно  линейно независимых между собой векторов, то Е содержит бесконечномерные  подпространства. Пусть G­ такое подпространство. Возникает вопрос, существует ли в G точка, наименее удалнная  от заданной точки . Заметим, если пространство Е строго нормировано, то в G во всяком  случае не может существовать более одной точки, наименее удалнной от данной точки . 1.2. Теоремы аппроксимации в пространстве Н. Пусть G­ некоторое подпространство  пространства Гильберта Н, и пусть точка x ­ точка, не принадлежит G. Если в G существует точка y,  наименее удалнная от x, то вектор x­y ортогонален к каждому вектору g из G, т.е. x­y, g0  Чтобы доказать это утверждение, предположим, что в G существует вектор f, для которого , и рассмотрим вектор . Имеем и, значит , а это противоречит предположению, что y­ есть  наименее удалнная точка от x подпространства G. Вектор y из G, обладающий тем свойством, что разность x-y ортогональна к G, естественно назвать проекцией x на G. В этом случае, когда подпространство конечномерно и образовано линейно независимыми векторами g1,g2 gn, мы можем, пользуясь доказанными предложениями, фактически найти вектор y , наименее уклоняющийся от вектора x. Действительно, вектор y- есть проекция x на G и, значит, он должен удовлетворять уравнениям k1,2 n 1, которые в подробной записи имеют вид 2 и представляют систему линейных уравнений, для нахождения коэффициентов . Детерминант этой  системы, т.е носит название детерминанта Грама системы векторов g1,g2 gn. Так как  пространство Н строго нормировано, а векторы gi линейно независимы, то при любом  векторе x система 2 имеет одно и только одно решение. Отсюда вытекает, что детерминант Грама линейно независимых векторов всегда отличен от нуля. Найдм ещ выражение для  квадрата погрешности, с которой вектор y аппроксимирует вектор x, т.е. для величины . В  силу 1, имеем равенство или . Присоединяя это уравнение к системе 2 и исключая , найдм,  что , откуда . Итак, мы нашли 3 Из этого соотношения, и из того, что Gg1g1,g1 0 вытекает,  что детерминант Грама всегда больше либо равен нулю, причм он обращается в нуль тогда и только тогда, если между векторами есть линейная зависимость в частности, если  один из векторов равен нулю. 1.3. Первая теорема Вейерштрасса. Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным пространстве Е. Теперь  рассмотрим пример линейного нормированного пространства­ пространство С.  Пространство С совокупность всех непрерывных функций xxP от точки Р в ограниченном  замкнутом множестве обычного пространства любого числа измерений­ это есть  линейное   нормированное пространство. Из теоремы в применении к пространству вытекает следующий факт пусть fx- непрерывная функция в конечном интервале a,b тогда при любом n существует полином , который среди полиномов n-й степени наименее уклоняется от fx, в том смысле, что , где Qnx- произвольный полином n-й степени. Ясно, что . Теперь докажем, что при . Это утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса 1885, которая гласит если fx непрерывна в конечном замкнутом интервале  a,b, то всякому можно сопоставить полином Pnx степени nn , для которого во всм  интервале a,b имеет место неравенство . Не нарушая общности, примем, что а0, b1.  Приведм доказательство С.П.Бернштейна. Для этого построим полином , и докажем, что  равномерно во всм интервале 0,1 . Напишем тождества 1 , из которых последите два  получаются дифференцированием по р соотношения . Из написанных тождеств вытекает, что 2. Умножая 1 на fx и отнимая Bnx, получим, что ,  где суммирование в распространено на те значения к, для которых , а суммирование в ­ на  остальные значения к. Так как fx непрерывна в замкнутом интервале 0,1, и, значит,  ограничена во всм этом интервале, то А это выражение на основании 2 , с другой стороны  где , и, значит, при . Окончательно , что и доказывает теорему Вейерштрасса. Заметим, что если Pnx равномерно стремится к fx при , то fx разлагается в равномерно  сходящийся ряд. Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале a,b функция fx может быть разложена в равномерно сходящийся при  ряд, члены которого­ полиномы. 1.4. Вторая теорема Вейерштрасса. Она относится к  периодическим непрерывным функциям Если Ft­ непрерывная функция с периодом , то  каково бы ни было число , существует тригонометрическая сумма , nn , которая для всех t удовлетворяет неравенству . II. Круг идей П.Л. Чебышева. Пусть даны замкнутый конечный или бесконечный интервал a,b числовой оси и две вещественные непрерывные в a,b функции fx и Sx. Составим выражение , где m и n заданы и поставим задачу найти вещественные параметры p0,p1 pm q0,q1 qn так, чтобы уклонение Qx от fx было наименьшим. В частном случае, когда Sx1, m0 и интервал a,b конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем  приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n. Будем полагать, что mn­k, кроме того, если интервалом a,b является вся числовая ось, мы будем  предполагать, что и будем рассматривать только те функции, для которых , m условимся  считать чтным. 2.1 Обобщнная теорема Валле­Пуссена. Если многочлены , где и не имеют  общего делителя , а выражение в интервале a,b остатся конечным и если разность fx­Rx принимает в последовательных  точках x1 x2 xn интервала a,b, отличные от значения с чередующимися знаками, Nmn­d2 то для каждой функции имеет место неравенство , где . Это же неравенство имеет место, если Rx0 и Nn2. Значение этой теоремы состоит в том, что она дат возможность получить для  погрешности наилучшего приближения некоторую оценку снизу. Теорема существования. Среди функций Qx существует по крайней мере одна, для  которой HQ имеет наименьшее значение. Т.о пусть Н ­ есть нижняя грань множества всех  HQ. По определению, следовательно, существует бесконечная последовательность  функций Qix, для которой . 2.2. Теорема Чебышева. Функция Рх, которая из всех функций  вида Qx наименее уклоняется в a,b от функции fx, единственна. Эта функция вполне характеризуется таким своим свойством, если она приведена к виду ,  и , и дробь несократима, то число N последовательных точек интервала a,b, в котором  разность fx­Px принимает с чередующимися знаками значение Нр, не менее, чем mn­d2, где  d , а если Px0, то . Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция  Px, дающая наилучшее приближение к данной функции fx т.е. наименее отклоняется от fx в данном нормированном пространстве. Случай аппроксимации многочленами. Особенно важным является частный случай, когда Sx1, m0 и интервал a,b конечен. В этом случае мы получаем теорему многочлен n-й степени Px, который наименее уклоняется в метрике пространства С от заданной непрерывной функции fx, единственен и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала a,b, в которых разность fx-Px принимает с чередующимися знаками значение не меньше, чем n2. 2.3 Переход к периодическим функциям. Допустим, что ­ есть непрерывная  периодическая функция с периодом , которую нужно наилучшим образом  аппроксимировать на всей оси при помощи тригонометрической суммы порядка n.  Сделаем замену переменной так, что интервалу будет соответствовать интервал . Т.к. и так как есть многочлены степени к от , то после преобразования мы получим . Следовательно,  наша задача сводится к наилучшему в интервале приближению функции Fxf при помощи выражения вида . Выражение W2nx можно рассматривать как частный  случай выражения Qx, если положить m0 Легко видеть, что общие теоремы применимы, и  теорема Чебышева гласит тригонометрическая сумма n­го порядка , которая наименее  уклоняется на всей оси от заданной непрерывной периодической функции, единственна и  вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала или какого­  нибудь открытого полуинтервала длиной , в которых разность принимает с чередующимися знаками значение max не меньше, чем 2n2. Одну и ту же функцию fx в 0, можно разложить  в ряд по sin, по cos, по sin и cos, т.к. если fx определена на 0 то доопределить fx на можно  бесконечным множеством способов. Следовательно, задача о разложении fx в ряд имеет  бесчисленное множество решений. Из всех этих решений выделяются 2 Если fx доопределить чтным образом, то получим ряд только по cos кратных дуг Если fx  доопределить нечтным образом, то получим ряд только по sin.        В динамическом программировании применяются две разновидности метода  последовательных приближений метод аппроксимации в пространстве  стратегий и метод аппроксимации в пространстве функций. [c.19]     Метод аппроксимации в пространстве функций заключается в выборе  пробного значения функции дохода (х) или / (х) с последующим его уточнением. Это  обычный прием, применяемый в методе последовательныхприближений. [c.19]     Примеры аппроксимации в пространстве функций и в пространстве  стратегий даны в разд. 12—17 гл. 5. [c.19] Опишем  кратко содержание главы. В разд. 2 обсуждается необходимость       применения численных методов при использовании динамическогопрограммирования.  В разд. 3 объясняется разница между комбинаторным методом и динамическим  программированием и дается простой числовой пример, который решается обоими  методами. В разд. 4—9 описана техника вычислений для дискретных задач.  Рассмотрено также решение многомерных задач. В разд. 10 сравниваются методы  решения задач распределения с помощьюдинамического  программирования и дифференциального исчисления. Следующие несколько разделов  посвящены вопросам, связанным споследовательными приближениями,  аппроксимациями в пространстве функций и аппроксимациями в пространстве стратегий. Простейшая задачараспределения решается несколькими [c.176] В       динамическом программировании часто можно использовать методы  последовательных приближений. При этом можно пользоваться не толькообычным  методом приближений, а именно аппроксимацией в пространстве функций, но и  аппроксимацией в пространстве стратегий. [c.201] При аппроксимации в      затем определяем значение у, максимизирую­ [c.201]  пространстве функций мы произвольно выбираем f [х) и  В       последующих разделах задача распределения решается  несколькимиразличными способами с помощью аппроксимаций в пространстве  стратегий, путем аппроксимации в пространстве функций и, наконец, какдискретная  задача. Показано, что во всех этих случаях при увеличении числастадий аппроксимации решения стремятся к одному и тому же пределу. [c.202]      АППРОКСИМАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ  [c.205] Нередко бывает удобно проводить аппроксимацию в      Отправляясь от некоторой выбранной начальной функции /о (х) и  рещаяфункциональное уравнение, получаем следующую аппроксимацию /Дх).  Подстановка 1 х) в функ­ [c.205]  пространстве функций.  Чтобы лучше пояснить эту идею, рассмотрим функцию, приведенную в разд. 13, и       построим аппроксимации в пространстве функций. [c.206]   Подставив (7) в (6), находим следующую аппроксимацию в пространстве функций       [c.206] В табл. 7 приведены несколько      соответствующие стратегии. Кроме того, даны общие формулы k­xаппроксимаций  функции дохода и стратегии. [c.207]  первых аппроксимаций в пространстве функций и  Интересно сравнить стратегии и      способами путем аппроксимации в пространстве стратегий и аппроксимации   функции дохода, полученные двумя разными впространстве функций. Хотя на первый взгляд стратегии и функции дохода,  приведенные в табл. 6 и 7, кажутся различными, более внимательное рассмотрение  показывает, что при некоторых условиях результаты обоих способов  аппроксимации приближаются друг к другу. [c.207] Следовательно, аппроксимация в      стратегию, что и аппроксимация в пространстве стратегий. [c.207]  пространстве функций дает в пределе ту же  Это выражение приближается к  функции дохода, определенной с помощью       аппроксимации в пространстве стратегий. Следовательно, можно утверждать, что  при увеличении числа аппроксимаций стратегии и функции дохода, полученные с  помощью двух различных способов аппроксимации, в пределе приближаются друг к  другу. Интересно отметить что при аппроксимации впространстве функций величина Ь  оказывает большее влияние на стратегию ифункцию дохода, чем а. Это связано с тем,  что чем больше величина Ь, тем вбольшее число мест она входит. Если Ь мало, то число  требуемых аппроксимацийтакже мало, если же, напротив, Ь близко к 1, потребуется много стадий аппроксимации. [c.209] Прибавим еще, что при аппроксимации в      стратегий знание этих точных результатов может пригодиться для выбора  разумного начального приближения (см. разд. 17). [c.218]  пространстве функций или впространстве  Смотреть страницы где упоминается термин Аппроксимация в пространстве  функций: [c.19]    [c.206]    Смотреть главы в: Динамическое программирование в процессах химической технологии и методы  управления ­> Аппроксимация в пространстве функций Результаты поиска в сети интернет.   нашёл 2 млн ответов  Аппроксимация непрерывных функций многочленами | Рефераты KM.RU Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Содержание. Введение. I.  Постановка основной задачи теории аппроксимации. 1.1. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве. Основоположником теории аппроксимации  функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821­1894). В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и  тригонометрические многочлены. www.km.ru  К.А.Алексеев. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения Настоящая глава посвящена проблеме аппроксимации функций в пространствах Бесова.  Несомненным достоинством пространств Бесова по сравнению с пространствами Соболева  является б льшая общность описания гладкости функций, а также возможность описания  функций посредством коэффициентов их разложения по базису вейвлет: вспомним,  пространства Соболева такую возможность не допускают. matlab.exponenta.ru  ό Аппроксимация непрерывных функций многочленами Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Главная задача теории  аппроксимации. Основная теорема данной концепции в линейном нормированном  пространстве и в пространстве Гильберта. Круг идей Чебышева, переход к периодическим  функциям. Методы аппроксимации, приближение функции многочленами. otherreferats.allbest.ru  АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ САНКТ­ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет  прикладной математики – процессов управления А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ  ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт­Петербург 2013 Перейти к оглавлению на  странице: 12 §1. Линейная задача метода наименьших квадратов Пусть на отрезке [a, b]  задана некоторая 2. Для той же функции на том же отрезке построить алгебраический  полином наилучшего приближения в пространстве L2 третьей степени с использованием  полиномов Лежандра. www.apmath.spbu.ru Аппроксимация — Википедия ru.wikipedia.org  Реферат: Аппроксимация непрерывных функций многочленами... Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик  Пафнутий Львович Чебышев (1821­1894). В качестве приближающих функций выбирают  чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Основную задачу теории  аппроксимации можно сформулировать следующим образом: на некотором точечном  множестве в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции f(P) и  F(P,A1,A2...An) от точки P, из которых вторая зависит ещё от некоторого числа  параметров А1,А2...Аn; эти... xreferat.ru  Примеры аппроксимации функций Примеры аппроксимации функций. 1. Рассмотренный в общем виде метод наименьших  квадратов для оценки коэффициентов регрессионного уравнения, аппроксимирующего  таблично заданную функцию, может быть реализован средствами программирования  системы Mathcad. 4. Многомерную регрессию также можно реализовать в Mathcad. Самый  типичный случай ее использования – приближение поверхностей в трехмерном  пространстве. eco.sutd.ru  Аппроксимация функций Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции  (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Функция f(x), в  зависимости от специфики задачи, может отвечать различным требованиям. Самый  типичный случай ее — приближение поверхностей в трех мерном пространстве. Их можно  характеризовать массивом значений высот z, соответствующих двумерному массиву Мху  координат точек (х,у) на горизонтальной плоскости. Новых функций для этого не задано. 5fan.ru  Интерполяция и аппроксимация функций — Викиучебник ru.wikibooks.org  Аппроксимация непрерывных функций многочленами ­ Информация Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Содержание. Введение. I. Постановка основной задачи теории аппроксимации. 1.1. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве. 2.4. Обобщение теоремы Чебышева. III. Методы  аппроксимации. 3.1. Приближение функции многочленами. 3.2. Формула Тейлора. 3.3.  Ряды Фурье. www.studsell.com  Аппроксимация непрерывных функций многочленами Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным  пространстве Е. Теперь рассмотрим пример линейного нормированного пространства­  пространство С. Пространство С: совокупность всех непрерывных функций x=x(P) от  точки Р в ограниченном замкнутом множестве обычного пространства любого числа  измерений­ это есть линейное нормированное пространство. www.vevivi.ru  Аппроксимация функций при дополнительных условиях... Аппроксимация функции при дополнительных условиях в функциональных пространствах. 01.01.01 — математический анализ. Автореферат. Цель работы: 1) ввести в рассмотрение  такие ограничения на аппроксимирующий аппарат из ­пространства, которые бы позволили для соответствующих задач наилучшего приближения с ограничениями. в пространстве  Ь°°(Х) получить аналога классических теорем о равномерном приближении на Х=[С1,£>]  непрерывных функций элементами Т ­пространства (в частности, теорем... fizmathim.com  Интерполяция/аппроксимация по обратному средневзвешенному... 1 Простейший алгоритм 2 Модифицированный метод Шепарда: интерполяция на  неравномерной сетке 3 Модифицированный метод Шепарда: аппроксимация на  неравномерной сетке 4 Настройка алгоритма: выбор Nw и Nq 5 Настройка алгоритма:  выбор узловых функций 6 Это особенно выражено в пространствах высокой размерности.  Глобальность интерполяции сама по себе является проблемой, т.к. интерполянт становится более чувствителен даже к далеким выбросам. В узлах интерполяции функция f(x)  плоская, т.е. имеет нулевую производную. alglib.sources.ru  Аппроксимация непрерывных функций многочленами Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Назад. I. Постановка основной  задачи теории аппроксимации 1.2. Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта II.  Круг идей П.Л. Чебышева 2.3. Переход к периодическим функциям 3.1. Приближение функции многочленами Элементы важной и интересной области математики­ теория  приближения функций. www.referatfrom.ru  Линейная аппроксимация точек в пространстве Линейная аппроксимация точек в пространстве. Пусть задано множество точек или  отрезков и нужно провести наиболее близкую к ним прямую ( аппроксимация прямой ). Во  всех функциях в случае невозможности вычисления возвращаемого объекта поле isDef  равно false. prografix.narod.ru  Академия Рефератов ­ Аппроксимация непрерывных функций... АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ Содержание  Введение I. Постановка основной задачи теории аппроксимации. 1. 1. Основная теорема  аппроксимации в линейном нормированном пространстве 1. 2. Теорема аппроксимации в  пространстве Гильберта. 1. 3. Первая теорема Вейерштрасса 1. 4. Вторая теорема  Вейерштрасса II. www.ruhc.ru  § 2. Среднеквадратичное приближение 1. Наилучшее приближение. Интерполяция позволяет легко аппроксимировать функцию .  Однако точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале  порядка нескольких шагов сетки. Существует ли наилучшее приближение и единственно ли оно (для данных функции и множества)? Это имеет место не при любом выборе  пространства и множества. Например, в пространстве выберем функцию и множество  тогда. stu.sernam.ru  Мультимасштабная аппроксимация вещественных функций... Пример многомасштабной аппроксимации функций в поле вещественных чисел был  приведен в работе [1]. В настоящей статье представлена процедура аппроксимации в  минимаксном пространстве. Геометрия данного пространства определяется двумя  операциями min и max, действующих на множестве вещественных чисел. Частным случаем  минимаксного пространства является нечеткое пространство Заде, для которого несущее  множество ограничено отрезком [0, 1]. zhukov.fsay.net Решение задач аппроксимации средствами Excel... Если для моделирования некоторого процесса, заданного таблицей, построить функцию,  приближенно описывающую данный процесс на основе метода наименьших квадратов, она  будет называться аппроксимирующей функцией (регрессией), а сама задача построения  аппроксимирующих функций ­ задачей аппроксимации. www.comizdat.com  ...интерполяция и аппроксимация на основе теории случайных функций 2 Вступление. 3 Подход к многомерной интерполяции и аппроксимации на основе теории  случайных функций. 3.1 Введение. 3.2 Многомерная интерполяция. 3.3 Дисперсия  случайной функции. Множество реализаций, удовлетворяющих узлам интерполяции. Тогда плотность распределения вероятностей реализаций в пространстве параметров (т.е.  вероятность реализации случайной функции вида (3), когда случайные величины  принимают некие конкретные значения ) запишется в виде (4): (4). Пусть  последовательности. www.machinelearning.ru