Арифметические операции в позиционных системах счисления

Теория:

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам. 

Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление уголком. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Таблицы сложения в любой позиционной системе счисления легко составить, используя правило счета:

Если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд. 

Таблица сложения в двоичной системе:

Таблица сложения в восьмеричной системе:

Пример:

1) Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Решение. Переведем числа 15 и 6 в двоичную и восьмеричную системы счисления и выполним сложение, используя таблицы сложения (см. выше).

Ответ: 15+6=2110=101012=258

2) Вычислим сумму чисел 438 и 5616. Результат представим в восьмеричной системе счисления.

Решение: переведем число 5616 в восьмеричную систему счисления, используя поразрядный способ перевода разложением на тэтрады и триады:

Пользуясь правилами сложения в восьмеричной системе счисления, получаем:

Ответ: 43₈ + 56₁₆ = 171₈

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Таблица умножения в двоичной системе:

Таблица умножения в восьмеричной системе:

Умножение многоразрядных чисел в различных позиционных системах счисления происходит по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Пример:

Перемножим числа 15 и 12.

Ответ: 1512=180₁₀=10110100₂=264₈

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Следует только грамотно пользоваться теми цифрами, которые входят в алфавит используемой системы счисления.

Обрати внимание!

При выполнении любых арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, следует предварительно перевести их в одну и ту же систему.