"Асимптотические методы в анализе"

асимптотические методы в анализе Программа курса "Асимптотические методы в анализе" Для подготовки бакалавров по направлению:    наименование математика, прикладная математика код по ГОС  ВПО 511200 код по  ОКСО 010200   ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ Семестр 5 Общая трудоемкость дисциплины 60 час. в том числе лекций 36 час. практических занятий –   КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ Коллоквиум Контрольные работы  –   1ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ Семестр Экзамен Зачёт – v 5   Составитель (разработчик)  программы – Данилин Алексей Руфимович, доктор физ.­мат. наук,  профессор; Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный  университет.   ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА Специальный курс «Асимптотические методы в анализе» читается на математико­ механическом факультете в течение 5 семестра. Цель этого курса – изложить основные понятия и методы асимптотического анализа,  теории возмущений, как регулярных, так и сингулярных; проиллюстрировать основные  методы на содержательных примерах, показать возможные сферы применения и  дальнейшего обобщения. Контрольная работа призвана дать навык самостоятельного применения основных методов  в модельных задачах.   СОДЕРЖАНИЕ КУРСА Асимптотические представления функций. Калибровочные последовательности,  определение асимптотического ряда; свойства асимптотических рядов: линейная  комбинация, умножение, деление, интегрирование; единственность  асимптотического разложения по заданной калибровочной последовательности  функций, эквивалентность различных определений разложения функции в  асимптотический ряд.  Степенные асимптотические ряды. Теорема о существовании непрерывной  функции, разлагающейся в заданный степенной асимптотический ряд,  асимптотические разложения композиции и обратной функции, асимптотические  разложения решений трансцендентных уравнений уравнений.  Асимптотические разложения сумм. Использование группового и одиночного  преобладание, интегральные оценки и степенные суммы.  Асимптотические разложения интегралов. Использование интегрирования по  частям; метод введения промежуточного параметра; метод Лапласа (различные  случай достижения максимума показателя экспоненты: на границе интервала  интегрирования и во внутренней точке); метод стационарной фазы (отсутствие  стационарных точек фазы, наличие конечного числа стационарных точек на  интервале); асимптотика функции Бесселя при больших значениях аргумента; метод  перевала; асимптотика функции Эйри при больших значениях аргумента.  Асимптотика решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при больших значениях аргумента. Преобразования Лиувилля,  построение формальной асимптотики для фундаментальной системы решений  стандартного уравнения (малое возмущение линейного уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами и нулевым коэффициентом при первой производной), обоснование построенной асимптотики сведением к интегральному уравнению и  применением теоремы Банаха о сжимающем отображении).  Асимптотика решений краевых задач. Краевые задачи для линейных  дифференциальных уравнений второго порядка и условия их разрешимости,  априорные оценки; сингулярно возмущенные краевые задачи; построение внешнего  разложения, функции пограничного слоя и построение внутреннего разложения,  обоснование полученной асимптотики. Метод двух масштабов. Почти периодические движения, проблема описания при  больших временах (возникновение вековых слагаемых), формальное построение  асимптотики методом двух масштабов, обоснование построенной асимптотики.   ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ 1. Де Брейн. Асимптотические методы в анализе. – М.: ИЛ, 1961. – 247 с. 2. Евграфов М.И. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Физматгиз, 1962,  200 с. 3. Найфэ А. Х. Методы возмущений. – М.: Мир, 1976. – 455 с. 4. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных  дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1983. – 352 с. 5. Федорюк М.В. Метод перевала. – М.: Наука, 1977. – 368 с. 6. Эрдеи А. Асимптотические разложения. – М.: Физматгиз, 1962. – 127 с. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ 1. Вазов В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1968. – 464 с. 2. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. –  М.: Наука, 1989. – 334 с. 3. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. – М.: Мир, 1972. – 274 с. 4. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. – М.: Наука,  1978. – 376 с.