Делимость чисел

Приложение 3 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ 2.1.Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе. При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и  составное числа. Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без  остатка.  Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими  равнозначными  словами: а кратно b, b ­ делитель а, b делит а. Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число.   Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14  имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное. Признаки делимости На 2. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 На 3 (9). Если сумма цифр числа делится на 3 (9). На 5. Если число оканчивается на 0, 5. На 10. Если число оканчиваетс я на 0 2.2.Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно. Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами  действий, я нашла закономерности и получила следующие признаки делимости. Признак делимости на 4.  25∙4=100;  56∙4=224;  123∙4=492;  125∙4=500;  2345∙4=9380;  2500∙4=10000;  Умножая натуральные числа на 4, я заметила, что числа, образованные из двух последних  цифр числа, делятся на 4 без остатка.  Признак делимости на 4 читается так: Натуральное число делится на 4 тогда и только  тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.  Признак делимости на 6. Заметим, что 6=2∙3 Признак делимости на 6: Если натуральное число одновременно  делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.  Примеры:  216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15 ׃3 ), значит, число делится на 6. 625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6. 2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3),  значит, число не делится на 6. 279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой),  значит, число не делится на 6. Признак делимости на 8.  125∙8=1000;  242∙8=1936;  512∙8=4096;  600∙8=4800;  1234∙8=9872;  122875∙8=983000;… Умножая натуральное число на 8, я заметила такую закономерность, числа оканчиваются на три 0­ля или три последние цифры составляют число, которое делится на 8. Значит, признак таков. Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три  его последние цифры делятся 0 или составляют число, делящееся на 8. Признак делимости на 15.  Заметим, что 15=3∙5  Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то  оно делится на 15. Примеры: 346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число  делится на 15. 48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15. 87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на  3), значит, число не делится на 15. Признак делимости на 25. Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидела такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75. Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50, 75. Признак делимости на 50. На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,…  Они оканчиваются либо на 50, либо на  00. Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается  двумя нулями или 50. Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, … Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной  единице, то это число делится на эту разрядную единицу. Примеры:  25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей. 8975000  делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000. Т.о., выполняя действия с числами и подмечая закономерности, я сформулировала  признаки делимости и из дополнительной литературы  нашла подтверждение правильности  сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. 2.3.Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в  различных источниках. Из дополнительной литературы я нашла несколько  признаков делимости натуральных  чисел на 7.   Признаки  делимости на 7: Ι . Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.  Примеры:  478009 делится на 7, т.к. 478­9=469, 469  делится на 7. 479345 не делится на 7, т.к. 479­345=134, 134 не делится на 7. ΙΙ . Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до  десятков и оставшегося числа делится на 7. Примеры: 4592 делится на 7, т.к. 45∙2=90, 90+92=182, 182 делится на 7. 57384 не делится на 7, т.к. 573∙2=1146, 1146+84=1230,1230 не делится на 7 ΙΙΙ . Трехзначное натуральное число вида  а  b  а будет делиться на 7, если а+b делится на 7. Примеры: 252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7. 636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7. IV. Трехзначное натуральное число вида b  аа будет делиться на 7, если сумма цифр  числа делится на 7. Примеры: 455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7. 244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7. V. Трехзначное натуральное число вида аа   b   будет делиться на 7, если 2а­b делится на  7. Примеры:  882 делится на 7,т.к. 8+8­2=14, 14/7. 996 не делится на 7, т.к. 9+9­6=12, 12 не делится на 7. VI. Четырехзначное натуральное число вида b  аа , где b­двухзначное число, будет  делиться на 7, если b+2а делится на 7. Примеры: 2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7. 1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7. VII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Примеры: 483 делится на 7, т.к. 48­3∙2=42, 42/7. 564 не делится на 7, т.к. 56­4∙2=48, 48 не делится на 7. VIII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц  на  число 7, делится на 7.  (ост 3)  (ост 2) Примеры: ׃7=1 10 ׃7=14 100 ׃7=142 1000  (ост 6) ׃7= 1428 10000  (ост 4) ׃7= 14285 100000 142857 1000000 Число 1316 делится на 7, т.к. 1∙6+3∙2+1∙3+6=21, 21/7(6­ост. от деления 1000 на 7; 2­ост. от   (ост 1) и снова повторяются остатки.  (ост 5) ׃7= деления 100 на 7; 3­ ост. от деления 10 на 7). Число 354722 не делится на7,т.к. 3∙5+5∙4+4∙6+7∙2+2∙3+2=81, 81 не делится на 7(5­ост. от  деления 100 000 на 7;  4 ­ост. от деления 10 000 на 7; 6­ост. от деления 1000 на 7; 2­ост. от деления  100 на 7;  3­ост. от деления 10 на 7). Признаки делимости на 11. I. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и  суммы цифр, стоящих на четных местах кратна 11. Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.  Пример: 2135704   2+3+7+4=16,  1+5+0=6,  16­6=10,  10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11. 11. 1352736      1+5+7+6=19,   3+2+3=8,   19­8=11,  11 кратно 11, значит, это число делится на  II. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и  складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11. Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11. Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14;  12+56+17+14=99, 99  делится на 11, значит, данное число делится на 11. III. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа  равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр. Примеры: 594 делится на11, т.к. 5+4=9,  9­в середине. 473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7­ в середине. 861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6. Признак делимости на 12. Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4  одновременно. Примеры: 636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12. 587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12. 27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12. Признаки делимости на 13. I. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13. Примеры:  Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65,   65 делится на 13. Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72,   72 не делится на 13. II. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания  последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры , делится на 13.   Примеры: 988 делится на 13, т.к.  98 ­ 9∙8 = 26,  26 делится на 13. 853 не делится на 13, т.к.  85 ­ 3∙9 = 58,  58 не делится на 13. Признак делимости на 14. Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда,  когда оно делится на 2 и на 7  одновременно. Примеры: Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14. Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14. Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14. Признак делимости на 19. Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его  десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а  общее число целых десятков во всем числе. Примеры: 1534   десятков­153,  4∙2=8,  153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на  19. 1824          182+4∙2=190, 190/19, значит, число 1824/19. Признаки делимости на 37. I. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр  данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37. Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37. 100/048      100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37. II. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37. Пример: Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37. Т.о., все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1группа­ когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это  признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;     2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки  делимости  на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;     3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких­то действий над  цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;     4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки  делимости –это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.