Дифференциация обучения математике.

Горлова А.Х., Купина В.А. Дифференциация обучения математике. Страшная это опасность – безделие за партой,                                                     безделие шесть часов ежедневно,                                        безделие месяцы и годы.                                                                      Это развращает, морально калечит человека,                                                                         и ни школьная бригада, ни школьный участок                                                                                ни мастерская­ ничто не может возместить того,                                                                                 что упущено в самой главной сфере, где человек должен быть тружеником, ­ в сфере мысли.                  Среди важнейших факторов перестройки школы выделяется дифференциация  обучения как составная часть и необходимое условие гуманизации  демократизации  образования, его перевода на новую культурообразующую базу.              Дифференциация обучения математике в основной школе означает, что осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки, другие в соответствии со своими  склонностями и способностями достигают более высокие рубежи. В обучении математики дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой самого предмета. Объективно математика – одна из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности у многих учащихся. В тоже время большое их число имеет явно  выраженные способности к этому предмету. Ориентация же на   личность   ученика   требует,   чтобы   дифференциация   обучения   математике   учитывала потребности всех учеников.              Различают два вида дифференциации: уровневая и профильная. В основной школе преобладает   уровневая   дифференциация,   не   теряющая   своего   значения   и   в   старших классах. Уровневая дифференциация выражается в том, что, обучаясь и одном классе, по одной   программе   и   учебнику,   дети   могут   усваивать   материал   на   различных   уровнях. Определяющим   при   этом   является   уровень   обязательной   подготовки.   На   его   основе формируются более высокие уровни овладения материалом. В   основе   уровневого   дифференцированного   обучения   лежит   планирование   результатов обучения:   выделение уровня обязательной подготовки и формирование на этой основе повышенных уровней овладения материалом. Уровневая дифференциация осуществляется составлением заданий, в которых, во­первых учитывается, нижняя граница усвоения учебного материала, т. е. уровень обязательной подготовки учащегося, а во­вторых, идет постепенное возрастание требований, увеличение сложности предлагаемых заданий. Уровневая дифференциация по В. В. Гузееву представляет собой три уровня предлагаемых результатов: 1) Минимальный ­ решение задач образовательного стандарта; 2) Общий ­ решение задач, являющихся комбинациями подзадач минимального уровня, связанных как явными, так и неявными ассоциативными связями. 3) Продвинутый ­ решение задач, являющихся комбинациями подзадач, связанных как явными, так и неявными ассоциативными связями. Для успешного и эффективного осуществления уровневой дифференциации необходимо выполнение следующих условий.  Выделенные   уровни   усвоения   материала   и   обязательные   результаты   обучения должны быть открыты для учащихся.  Наличие определенных «ножниц» между уровнем требований и уровнем обучения.  В обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении ученика по уровням.  Добровольность в выборе уровня усвоения и отчетности.  Содержание контроля и оценка должны отражать принятый уровневый подход. У   каждого   учителя   свои   методы   и   приемы,   и   учитывая   особенности   класса   возраст учащихся и т.д . уровневая дифференциация может осуществляться в разной форме .В качестве   одной   из   основных   предлагается   формирование   групп,   деление   которых происходит   на   основе   достижения   уровня   обязательной   подготовки   .Эти   группы формируем для работы и на обычных уроках, и на дополнительных занятиях.            Дифференцированная форма учебной деятельности учащихся предусматривает их самостоятельную   работу   по   дифференцированным   заданиям.   Дифференцированное задание – задание, построенное с учетом особенностей типологической группы учащихся, т. е. группы, объединенной 2 одинаковым уровнем заданий и умений по предмету, теме, разделу   и   уровнем   их   усвоения.   В   каждом   классе   можно   выделить   следующие   четыре типологические группы: Группа А. В нее входят учащиеся знающие « сверх программы». Группа В.  В нее входят учащиеся с хорошим уровнем знаний и умений. Группа С. В нее входят учащиеся с минимальным уровнем знаний и умений. Группа Д. В нее входят учащиеся, которые  не достигли  минимального уровня. Нужно отметить, что иногда в группу А или Д могут входить 1­2 ученика, либо они вообще отсутствуют. Поэтому составляется четыре варианта дифференцированных заданий при организации дифференцированной формы учебной деятельности. Деление   учащихся   на   группы   в   зависимости   от   достижения   ими   уровня   обязательной подготовки носит объективный характер и при правильной организации не дает ученикам поводов для обид. Важно, что дети могут оценить собственные силы и выбрать  для себя уровень   целей,   соответствующий   их   потребностям   и   возможностям   в   данный   момент. Состав групп не может быть застывшим. Любой ученик  из группы Д, С и В может перейти в   группу   повышенного   уровня,   если   он   хорошо   усвоит   материал   и   будет   свободно выполнять   задания.,   соответствующие   обязательным   результатам   обучения.   С   другой стороны   из   группы   повышенного   уровня   может   быть   переведен   в   группу   пониженного уровня, если он имеет пробелы в знаниях.  В   каждый   вариант   целесообразно   включать   задачи   развивающего   характера,   решение которых   связанно   с   проявлением   смекалки,   сообразительности.   Отставание   слабых учащихся   по   математике   связанно   с   низким   уровнем   их   развития.   Поэтому   не   только сильным,   но   и   слабым   учащимся   надо   предлагать   задания,   требующие   нестандартных решений.   Дифференцированные   формы   учебной   деятельности   могут   быть   групповые   и индивидуальные. В первом случае учащиеся одной типологической   группы выполняют свое   дифференцированное   задание   коллективно   (по   3­4   человека),   во   втором   ­ индивидуально. При групповой форме деятельности на уроке организуется отсчет каждой типологической группы, а при индивидуальной  форме проверяется и оценивается работа каждого   учащегося.   Можно   провести   групповую   форму   деятельности   в   виде   игры: «Депутат кандидат, доверие и все­все.» Необходимость организации групповых и индивидуальных форм деятельности учащихся на уроке   математики   следует   из   требований   развивающегося   характера   и   принципа индивидуального подхода к каждому учащемуся с целью максимального его развития. С   помощью   дифференцированных   форм   учебной   деятельности   можно   реализовать следующие цели:  с учащимися группы  А и В.  1. Расширение   и   углубление   знаний,   формирование   умений   решать   задачи повышенной сложности. 2. Развитие устойчивого интереса к предмету, углубление представлений: о роли математики в жизни, науке, технике. 3. Развитие   умений   самостоятельно   работать   с   учебной   и   научно­популярной литературой. 4. Доведение   учащихся   до   высокого   уровня   усвоения   знаний   и   способов деятельности. с учащимися группы С. 1. Создание   соответствующих   условий:   повторение,   ликвидация   пробелов, актуализация знаний для успешного изучения новой темы. 2. Развитие   и   закрепление   интереса   к   математике   и   к   учебной   деятельности, выполняемой в процессе обучения математике. 3. Формирование навыков учебного труда, умений самостоятельно работать над задачей. 4. Доведение   учащихся   до   хорошего   уровня   усвоения   знаний   и   способов деятельности. с учащимися группы Д. 1. Ликвидация пробелов в знаниях и умениях. 2. Пробуждение интереса к предмету путем использования игровых элементов, занимательных и логических задач наряду с систематической организацией самостоятельной работы учащихся но уроке и дома. 3. Развитие навыков и умений осуществлять самостоятельную деятельность по образцу   и   в   сходных   ситуациях,   воспроизводить   изученный   материал, решенную задачу. 4. Доведение учащихся до минимального уровня усвоения знаний и способов деятельности Дифференцированные формы деятельности могут быть успешно организованны на любом этапе урока математики. Например: На уроках ­ практикума повышается ответственность у учащихся за результат своего труда. Уроки практикумы можно сочетать с самостоятельной работой и закончить ее показом верного решения, используя при этом закрытые доски, а также подоплеки / с верным решением/. В ходе работы школьники могут пользоваться консультацией не только учителя, но и учащихся. Это способствует формированию у ребят работать в коллективе, оказывать помощь товарищу и принимать ее, а также воспитывает культуру труда. Чтобы заинтересовать учащихся в самостоятельной работе, используем карточки по трем уровням в два варианта. На оценку “3”­уровень “А” на, ”4” ­ уровень “Б” , на”5” – уровень” В”. Например,   в   10   классе   при   изучении   темы   «Решение   логарифмических   уравнений   и неравенств»  можно учащимся предложить карточки в два варианта по трем уровням.                    Карточка № 1 1 вариант                                                                                                  2 вариант                                               № 1. Решить уравнение. а) log2( 3­x) =0;                                                                                 а)     log0,3 ( 5+2x) = 1; 3X –log3x ­2 =0;                                                                                б) log2 б )log2 log1/4(x+1) =5; 2 (х +1) – в) log2x + 4/ logx2= 5.                                                                        в) 2log3x + logx1/3 =3.                                               № 2. Решить неравенство.  а) log 7 x< 0,1 ;                                                                                         а)   log 0,2 x < ­2; б)  log2( x2­x­4)<3;                                                                                      б)  logп (x+1) + logп x<6;                                                                                             в) lg2x +2lgx >3.                                                                                          в) log2 2 x – log2 x > 6 По теме «Решение показательных уравнений и неравенств»  1 вариант                                                                                                 2 вариант № 1. Решить уравнение. а) 0,36­х = 0,33х­2 ;                                                                                                                   а)7,3 3­х = 7,32х­10 б) 2х 5х  = 0,1 (10х­1)5;                                                                                                            б) 2х3х= 1/ 36 (61/2)3х; в) 2  3х+1 + 2  32­х = 56 .                                                                                                           в) 4 √х­2 + 16 = 10 2√х­2                                                                  № 2. Решите неравенство. a) 0,5х >0,25;                                                                                                                   a)1/7х <49; b) 43­5x ≤ 8;                                                                                                                        b) 45­ 2x< 0,25;       в) 34х­3≤ ( 1/9)2х .                                                                                                                  в) (1/160Х≤ 8 (√2)16­2Х. При изучении, например, темы « Прямоугольный треугольник» в 7 классе можно провести дифференцированную работу по уровням сложности. I уровень сложности (соответствует обязательным программным требованием) 1. Найдите острые углы ∆АСВ ( С = 90 2. Высота ВД остроугольного ∆ АВС образует со сторонами, выходящими из той же 0),  внешний угол при вершине В равен 1500. ∟ вершины, углы 180 и 460. Найдите углы ∆ АВС. 3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.    II уровень сложности (соответствует среднему уровню сложности) 1. Дан ∆ АВС,  С = 90 ∟ 0, АД биссектриса  А. Внешний угол при вершине В равен ∟ 1500. Найдите острые углы  ∆ АДС. 2. Биссектриса   прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 700. Найдите острые углы этого треугольника. 3. Докажите равенство прямоугольных треугольников  по катету и высоте, опушенной на гипотенузу.   III уровень сложности (предназначен для учащихся, проявляющих интерес к математике) 1. В прямоугольном ∆ АСВ ,  С = 90 ∟ ∆ АВС. ∟ 0,  ДСВ =50 0,, СД­ высота. Найдите острые углы 2. Угол между биссектрисой и высотой, проведенных из вершины наибольшего угла прямоугольного   треугольника,   равен   140.   Найдите   острые   углы   данного треугольника. 3. Докажите   равенство   остроугольных   треугольников   по   двум   углам   и   высоте, проведенной из вершины третьего угла. Пример проведение уровневой дифференцированной работы по теме «Уравнение окружности и прямой» при выполнении самостоятельной работы в 9 классе. I уровень сложности 1. Окружность с центром в точке А(­5; 3) проходит через точку В(2; 4).Напишите уравнение этой окружности. 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку В (­ 2;4). 3. Выясните взаимное расположение прямой х= ­5 и окружности (х­7)2 +(у­6)2 = 81. II уровень сложности 1. Окружность проходит через точки М (2; 0) и N (­4; 8). Напишите уравнение этой окружности, если отрезок МN является его диаметром. 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (1; 3) и В (­2;­3). 3. Выясните взаимное расположение окружности, заданной уравнением (х­3)2 + (у+ 5)2=25, и прямой у =­1. III уровень сложности 1. Докажите, что   линия,  заданная уравнением х2  + 8х +у2  – 6х – 24 = 0, является   уравнением   окружности.   Найдите   расстояние   от   центра окружности   до   прямой,   параллельной   оси   ординат   и   проходящей   через точку (5; ­6). 2. Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и прямой, проходящей через точки А (1; 10)  В (­1; ­4).  Выясните взаимное расположение прямой х + у =2 и окружности х2 + у2 = 4. Найдите расстояние от центра окружности до прямой.  3.                           Уровневую дифференциацию можно применять и при проведении контрольной работы,   что   будет   более   эффективно,   чем   проведение   контрольной   работы   одной сложности для всех. Приведем пример  контрольной работы по уровням по теме « Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами углами треугольника». I уровень сложности 1. В ∆ АВС   АВ>ВС >АС. Найдите  А,  В, С, если известно, что один из углов ∟ ∟ ∟ треугольника равен 1200, а другой 400. 2. В ∆АВС угол А равен 500, а угол в  12 раз меньше угла С. Найти углы В и С 3. В ∆АВС угол С равен 900, а угол В равен  350, СД­ высота. Найдите углы ∆АСД. 4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см., а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника. II  уровень сложности. 1. В ∆ СДЕ точка М лежит на стороне СЕ, причем угол СМД острый. Докажите, что ДЕ >ДМ. 2. Найдите углы ∆ АВС, если угол А на 600 меньше угла В и в два раза меньше угла С. 3. В прямоугольном треугольнике АВС ( С=90 0) биссектрисы СД и АЕ пересекаются ∟ в точке О.  АОС = 105 0. Найдите острые углы треугольника АВС. ∟ 4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими углами, если внутренний угол треугольника,               не смежный с указанными внешними углами, равен 450.       III  уровень сложности 1. В   треугольнике   МNК,   угол   К   равен   370  угол   М   равен   690,  NР   –   биссектриса треугольника. Докажите, что МР <РК. 2. В треугольнике угол А меньше угла В   три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине в на 400. Найдите внутренние углы треугольника АВС. 3. В треугольнике АВС угол С равен 900   а угол В равен 700. На катете АС отложен отрезок СД равный СВ. Найдите углы треугольника АВД. 4*. Найдите сумму внутренних и сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине пятиугольника АВСДЕ Пример контрольной работы по уровням для 7 класса по алгебре по теме « Уравнение с одной переменной» I уровень сложности 1. Какие из чисел ­3; ­2; 2; 3 являются корнями уравнения: а) х2+8=6х;                     б) Iх­6I=3­2        2. Решите уравнения:               А) ( 2х­1)( х+3)=0;            б)3х­2/5=2х­3/4          3. При каком значении переменной разность выражений 6х­7 и 2х+3 равна 4?                   4.  При  каком  значении  параметра  а,  уравнение   ах=3а+х  имеет   единственный корень? Найдите его.           5. На базе хранится 590 тонн рыбы. При этом трески в 1,5 раза больше, чем наваги. Окуня на 16 тонн больше, чем трески. Сколько тонн трески, наваги и окуня находится на складе? 6. Найдите три последовательных натуральных числа, если утроенная сумма крайних чисел на 145 больше среднего числа.       II  уровень сложности. 1. Не решая уравнения 9(2х 1) + 6(3х+1)= 127, докажите, что оно не имеет целых 2. корней?   Решите уравнение: а) 2х­3/3 – х+2/4= 5/12;                   б)  I3х ­1I=5.                3. Оля задумала число и уменьшила его на 3.Этот результат умножила на 4 и прибавила 7. В итоге получилось 31. Найдите задуманное число.          4. При всех значениях параметра а решите уравнение (а­3)х= 2а­6.           5. На трех автобазах  находится 606 машин. На первой базе на 18 машин больше, чем на первой. На третьей базе в два раза больше машин, чем на первых двух базах вместе. Какой процент от всех машин находится на третьей базе? Cколько машин на первой базе?           6. При каком наименьшем натуральном значении параметра а уравнение 3( х­1)=а­8 имеет положительный корень          III уровень сложности. 1. Решите уравнение Iх­2I+Iх­5I=3. 2. При всех значениях параметра а решите уравнение (а­2)(а+3)х=а+3. 3. Количество компьютеров на трех складах относится как 2:1:3. С первого склада было продано 9 компьютеров, а с третьего склада­ 27 компьютеров, а на второй склад привезли 32 компьютера. После этого  на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складе вместе. Сколько компьютеров было на каждом  складе сначала? 4. Катер по течению реки за 6 часов  проплыл такое расстояние, которое проплывает против   течения   реки   за   9   часов.   Во   сколько   раз   собственная   скорость   катера больше скорости течения реки? 5. Докажите, что уравнение (х+1)(х+2)(х+3)= 25 не имеет целых корней. 6. При каких целых значениях параметра а уравнение  ах= 7+3х имеет целые корни? Найдите эти корни. Будущее   нашего   общества   за   стилем     преподавания     в   основе   которого   –   выявление потребностей   школьников   и   их   удовлетворение,   диалог   с   воспитуемыми,   гуманная дифференциация  и индивидуализация  обучения . Мы должны идти к ученику, идти от ученика  и  вновь  возвращаться, в  сущности,  не  уходя  от  него, возвращаться   к ученику прежнему и одновременно другому  ­основа Человеческого общества.