Дипломная работа на тему "Содержание и организация учебно-исследовательской деятельности учащихся на уроках математики"

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………….. Глава I. Теоретические основы исследовательской деятельности и ее  организации на уроках математике………………… 1.1. История возникновения и развития идей организации  исследовательской деятельности…………………. 1.2. Деятельность: понятия и виды…….. 1.3. Учебно­исследовательская деятельность……. 1.4. Организация исследовательской деятельность на уроках  математики…… 1.5. Задача как средство организации в исследовательской  деятельности……… Глава II. Содержание и методика решения задач исследовательского  характера……. 2.1. Наличие задач исследовательского характера в учебниках 5  классах……. 2.2. Методические рекомендации по решению задач исследовательского характера…………. 2.3. Методические рекомендации по организации и содержанию  исследовательской деятельности учащихся для 5 класса…… 2.4. Задачи с элементами исследования……… 2.5. Задачи на получения следствий…… ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ……… ПРИЛОЖЕНИЕ……… Введение  Актуальность данной выпускной квалификационной работы была выбрана в  связи с широким внедрением и использованием исследовательской  деятельности в учебном процессе. Данная тема является актуальной, так как  исследовательская деятельность одна из творческих форм деятельности. В  социально­экономической жизни современного общества возрастает  потребность в людях, способных быстро адаптироваться в изменяющихся  ситуациях, творчески подходить к решению как бытовых, так и социальных  проблем, быть активными участниками экономического и духовного развития  страны. Жизнь требует формирования у молодого поколения  самостоятельности и инициативы в приобретении новых знаний в школе, в  высшем учебном заведение, а затем и в последующие годы. Поэтому  важнейшей задачей школы XXI века становится обучение учеников основам  учебно­исследовательской деятельности. Учебно­исследовательская  деятельность учащихся определяется как специально организованная,  познавательная творческая деятельность, по своей структуре  соответствующая научной деятельности, характеризующаяся  целенаправленностью, активностью, предметностью, мотивированностью,  сознательностью. В процессе исследовательской деятельности  осуществляются (с различной степенью самостоятельности) активный поиск и открытие учащимися новых знаний с использованием доступных для них  способов. Ученик перестает быть пассивным объектом, а становится  активным субъектом познания. Умственный багаж, приобретенный  самостоятельно, усваивается глубоко и прочно. Если ученик приложил  собственные силы к добыванию этого содержания, пробиваясь через  трудности, отстаивая свои позиции, оно станет его достоянием надолго. Роль  учителя при этом сводится не просто к передаче информации, а к организации работы учащихся, мотивации ее, консультациям. Участвуя в  исследовательской деятельности, школьники осознают свою значимость,  причастность к миру взрослых, принадлежность большой науке, знакомятся с  методологией научной и творческой работы. Исследовательская деятельность учащихся играет особую роль в интеллектуальном развитии учащихся,  непосредственно связанная с усвоением математических знаний. Поэтому  успешное решение стоящих перед школой задач, возможно посредством  приобщения учащихся к исследовательской деятельности и развития  способностей к ней в процессе обучения. [Далингер В. А., Толпекина Н,В.  Организация и содержание поисково­исследовательской деятельности учащихся по математике: учебное пособие. – Омск: Изд­во ОмГПУ, 2004.­  263]. Перемены в общественной жизни требует развития новых способов  образования, педагогических технологий, имеющих дело с индивидуальным  развитием личности, творческой инициацией, навык самостоятельного  движения в информационных полях, формирования у обучающегося  универсального умения ставить и решать задачи для разрешения возникающих в жизни проблем­ профессиональной деятельности, самоопределения,  повседневной жизни. Введение Федерального Государственного  Образовательного стандарта второго поколения, переносят акцент на  воспитание подлинно свободной личности, формирование у детей  способности самостоятельно мыслить, добывать и применять знания,  тщательно обдумывать принимаемые решения и четко планировать действия,  эффективно сотрудничать в разнообразных по составу и профилю группах,  быть открытыми для новых контактов и культурных связей. Основным видом  деятельности является творческая деятельность обучающегося, где он  становится субъектом. Отношения между учителем и учеником становится  диалогическими. Этим обусловлено введение в образовательный контекст образовательных  учреждений методом и технологий на основе исследовательской деятельности учащихся.  Цель работы: на основе детального изучения и анализа содержания учебного  материала по математике 5 класса выявление направлений учебно­ исследовательской деятельности учащихся. Объект исследования: обучение математике. Предмет исследования: исследовательская деятельность на уроках  математики. Задачи:  1. Изучение содержание учебников «Математики 5 класса», в  соответствии ФГОС. 2. Отбор задач для осуществления исследовательской деятельности  учащихся на уроках математики. 3. Методические рекомендаций по организации и содержанию  исследовательской деятельности учащихся 5 классов.  Теоретическая база исследования: работы ученых М. И. Башмаков, Е. А.  Бунимович, В. А. Далингер, А. Я. Цукарь и другие. Экспериментальная база исследования: Лицей № 9 Новосибирск, 1905  года, 41 Методы исследования: Структура работы: данная выпускная квалификационная работа состоит из  введения, двух глав, заключения, библиографического списка, приложения. Глава 1. Теоретические основы исследовательской деятельности и ее организация на уроках математике. 1.1. История возникновения и развития идей организации исследовательской деятельности Многими педагогами прошлого признавались о необходимости развития  исследовательских способностей учащихся. Это можно увидеть в работах И.  Г. Пестолоцци, Я. А. Каменского, А. Дистервега. Еще Жан Жак Руссо говорил о практике, как об основе познании мира [Викторов Ю.М., Лебедева С.А.,  Тарасов С.В. Организация исследовательской деятельности школьников: (Из  педагогического опыта школы­гимназии №168 Санкт­Петербурга). Спб., 1998. 20 с.]. Практическое изучение окружающей действительности стало основой  реформ, проводимых в области образования в России на протяжении 18 и  последующих веков. Именно это направление развивали Ф. И. Янкович и Н. И. Новиков. Благодаря их деятельности в среде педагогической общественности  появилось значительное число сторонников «экскурсионного метода»  исследовательской деятельности[Н. И. Новиков о воспитании и наставлении  детей http://rvb.ru/18vek/novikov/01text/03hist_philos/29.htm]. Эти педагогические идеи  нашли отражение в таких документах, как «Устав народных училищ  Российской империи» (1786 году) и «Устав учебных заведений,  подведомственных университетам» (1804 году). Затем идея «наглядности»  развивается дальше. Так, в книге Ф. Гансберга «Творческая работа в школе»,  переведенной с немецкого языка, прямо говорится, что «всякое значение  имеет значение лишь постольку, поскольку оно может быть применено к  современности и к будущему, к нашей жизни и к развитию человечества.  Применимость­ вот пробный камень для всякого значения». Применимость  знаний – это был своего рода социальный заказ в условиях формирующегося  индустриального общества. В России подобные идеи пробивали себе дорогу гораздо сложнее (это было  связано с условиями исторического развития самого 19 века). Пионером  исследовательской деятельности стал преподаватель Ялуторовской женской  школы И. Д. Якушкин. В пореформенный период в отечественной педагогике немало внимания  уделялось туристско­экскурсионному направлению исследовательской  деятельности. Здесь объединились интересы государства, педагогов и самих  учащихся. В начале 20 века порядка ста организаций занимались проведением  экскурсионной работы. В этот период по всей России создается большое  количество добровольных обществ, главная цель которых­ знакомство и  изучение родного края, организация образовательных экскурсий и научных  путешествий в различные уголки страны. При этом участники не только  созерцали красоты природы и историко­ культурные памятники, но и  проводили практические наблюдения, ставили опыты, результаты которых  публиковались в научных и учебных изданиях. Несомненно, появление  подобных обществ в немалой степени зависело от увлеченн6ости самих  педагогов, осознания ими значимости своего дела. Большая заслуга в  обосновании эффективности экскурсий с точки зрения получения научно­  практического знания. Принадлежит К. Д. Ушинскому, А. Я. Герду, П. Ф.  Каптереву. В своей работе «Дидактические очерки», П. Ф. Каптерев писал о  том, что придет время, когда «кругосветное путешествие, в видах учебно­ воспитательных, будет необходимым элементом серьезного общего  образования педагогу нужно серьезно озаботиться тем, чтобы по возможности в каждой отрасли знания основные представления и понятия были  приобретены вполне наглядным путем, иначе будет недостаток  основательности и твердости в знаниях».[ Каптерев П.Ф. Дидактические  очерки. Теория образования /Каптерев П.Ф. Избр. пед. сочинения. М., 1982] Подобную активность учителей заметила Н. К. Крупская и, в 1910 году,  Министерство Народного просвещения рекомендовало включение в учебные  программы экскурсий. Как вид исследовательской деятельности. С конца 20­х в начале 30­х годов исследовательская деятельность принимает  форму клубной работы. Главные имена здесь – А. И. Макаренко, С. Т.  Шацкий и В. Н. Терский. В 40­е – 50­е годы исследовательское движение,  отличалось излишней роскошностью и заидеологизированностью, что вполне  объяснимо, учитывая политическую ситуацию в стране.  С начала 60­х и в 70­е годы начавшаяся научно­техническая революция вновь  усилила интерес к научной деятельности учащихся, появляются Малые  академии наук, на первый план выделяются научные общества учащихся, где  преобладает интерес к прикладным исследованиям. В 80­е и 90­е года работа  в этом направлении была продолжена. Задача современных научные общества  учащихся­ развитие потребности и умения самостоятельно приобретать  знания, расширять свой кругозор, а также­ профессиональная ориентация (выбор жизненного пути). Причем, исследовательская деятельность в  общеобразовательной школе ведется сегодня, уже начиная с начальных  классов. 1.2. Деятельность: понятия и виды Развивающая функция обучения не просто требует от учителя изложения  знаний в определенной системе, а предполагает развивать у учащихся умения  мыслить, искать и находить ответы на поставленные вопросы, добывать новые знания, опираясь на уже известные. Учебная дисциплина, в том числе и математика, должна рассматриваться не  как предмет с набором готовых знаний, а как деятельность человека,  направленная на развитие и воспитание личности. Деятельность­ это специфическая вид человеческой активности,  направленной на творческое преобразование, совершенствование  действительности и самого себя [  Юнацкевич П.И., Чигирев В.А., Савенко  И.В., Ведмецкая Л.В. Нравственное развитие взрослого человека, 2009 г.].  Деятельность может осуществляться при наличии следующих компонентов,  таких как:  1) предмет и субъект деятельности; 2) мотивы, побуждающие субъект к деятельности; 3) цели, на достижение которые направлена деятельность; 4) предметное содержание; 5) средства, с помощью которых осуществляется деятельность; 6) действия и связанные с ними операции деятельности; 7) результаты деятельности. Виды деятельности при обучении математике зависят от тех задач, которые  ставит перед собой учитель и учащиеся. Они разделяются: 1. В зависимости от целей: ­ конкретно­ практическая; ­ учебная, главная цель – изменение субъекта деятельности. 2. В зависимости от результата деятельности: ­ продуктивная (когда результат достигнут); ­непродуктивная (нет результата). 3. По новизне результата деятельности: ­ творческая; ­репродуктивная. 4. По характеру выбора действия: ­ проектировочная; ­исполнительная. 5. По предмету деятельности (математика): ­математическая; ­нематематическая (оформление решения, анализ готового решения и  так далее). 6. По средствам деятельности: ­игровая; ­неигровая. 7. По содержанию действий, которые осуществляют учащиеся: ­исследовательская; ­неисследовательская. [http://nsportal.ru/shkola/materialy­metodicheskikh­ obedineni..] 1.3. Учебно­исследовательская деятельность. Слово исследовать означает, подвергнуть научному изучению  [Толковый словарь русского языка [электронный ресурс]: в 4 т. / под  ред. Д. Н. Ушакова. – Москва : Адепт : ИДДК ГРУПП, 2004. 1 CDR].  Исследовательская деятельность­ это процесс решения поставленной  проблемы на основе самостоятельного поиска теоретических знаний,  предвидение и прогнозирование как результат, так и способов, и  процессов деятельности [http://research_activities.academic.ru/? f=0JjRgdGB0LvQtdC00L..]. Исследовательская деятельность в обучении предполагает – овладение учебным материалом в форме научного  исследования. Методы научного исследования ­наблюдение и опыт; ­сравнение и аналогия; ­анализ и синтез; ­обобщение и систематизация; ­абстрагирование и конкретизация; ­моделирование. В настоящее время использование учебных исследований на уроках дает возможность достижения развивающих целей обучения, поскольку они  являются мощным инструментом развития мышления, так как:  обладают большими потенциальными возможностями для развития  умственных операций. Формируют такие качества личности: активность и целенаправленность мышления; культуру логических рассуждений. Учебные исследования формируют познавательное отношения к  действительности, так как, расширяют кругозор стимулируют  познавательный интерес, способствуют воспитанию научного  мировоззрения. Так же помогает: вовлечь ребенка в учебный процесс;  стимулировать интеллектуальные усилия ребенка; повысить  уверенность ученика в своих силах; воспитать определенную  независимость взглядов. В связи с этим можно выделить пять основных  функций учебных исследований: 1) Дидактическая­ открытие новых знаний; углубление знаний;  систематизация изученных знаний. 2) Развивающая­ развитие мышления (гибкость, целенаправленность, активность и так далее); постановка проблемы; анализ и  систематизация информации; испытания с целью получения  фактического материала; выдвижение гипотез; проверка гипотез;  развитее способности выявлять существенные аспекты ситуации. 3) Воспитывающая – воспитание научного мировоззрения;  формирование познавательного интереса. 4) Контролирующая­ контроль усвоенных знаний. 5) Управленческая­ превращение учащегося в субъект управления; 6) Формирование способности к самоуправлению (самообразованию, самовоспитанию, саморегуляции) Эффективность исследовательской деятельности зависит и от меры  увлеченности ученика этой деятельностью, и от умения ее выполнять. Важно  так организовать работу учащихся, чтобы они ненавязчиво усваивали бы  процедуру исследования, последовательно проходили все его основные этапы: ­мотивация исследовательской деятельности; ­постановка проблемы; ­сбор фактического материала; ­систематизация и анализ полученного материала; ­выдвижение гипотез; ­проверка гипотез; ­доказательство или опровержение гипотез. Здесь задача учителя найти простые и удобные методы практической  реализации каждого из названных этапов. 1) Мотивация исследовательской деятельности осуществляется  различными способами: можно сделать акцент на значимости ожидаемых результатов, предложить оригинальное или неожиданно  сформулированное учебное задание и тому подобное. При исследовании мотивирующая (исходная) задача должна обеспечить «видение»  учащимися более общей проблемы, нежели та, которая отражена в  условии задачи. 2) Постановка проблемы также может осуществляться различными  способами. В идеале ее должен сформулировать сам ученик в  результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной  школьной практике такое редко встречается: для очень многих  школьников самостоятельное определение проблемы затруднительно;  предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными или  неточными. А потому на первых порах необходим контроль со стороны  учителя. 3) Сбор фактического материала может осуществляться при изучении  соответствующей учебной или специальной литературы либо  посредством проведения испытаний, всевозможных проб, попыток  решения частных проблем, варьирования числовыми данными,  рассмотрения предельных положений, изменения взаимного  расположения фигур или частей фигур, каких­либо параметров,  фигурирующих в исходной задаче. Пробы (испытания) не должны быть  хаотичными, лишенными какой­либо логики. Зачастую необходимо  задать их направление посредством указаний, чертежей, пояснений.  Число испытаний не следует строго регламентировать, оно должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала. 4) Систематизацию и анализ полученного материала полезно осуществлять с помощью таблиц, диаграмм, схем, графиков. Они позволяют визуально определить необходимые свойства, связи, закономерности. На первых  порах способ систематизации фактического материала может быть  указан, в дальнейшем определяться самим учеником. При этом важно  заблаговременно ознакомить учащихся с разнообразием таких способов. 5) Выдвижение гипотез может происходить как в процессе проведения  испытания, так и в ходе выявления особенностей уже  систематизированного фактического материала. Полезно прививать  учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке,  что придаст высказываниям точность и лаконичность. Нецелесообразно  изначально ограничивать число возможных гипотез. 6) Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в  искренности предложений, а может внести изменения в их  формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно  осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным  результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатом  служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее  справедливости. 7) На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез,  получивших ранее подтверждение или уточнение; ложность же их  может быть определена с помощью контрпримеров. На первых порах  самостоятельный поиск необходимых доказательств для многих  учеников представляет большую трудность. Поэтому учителю следует  предусмотреть всевозможные подсказки: это может быть схематическое изображение проблемной ситуации, чертеж с особыми пометками,  подсказывающими идею доказательства и тому подобное. Идея  доказательства может зародиться в процессе выполнения испытаний,  может возникнуть и при анализе систематизированного фактического  материала, и на ней следует акцентировать внимание учащихся. В ряде  случаев бывает проще установить равносильность двух и более гипотез  и доказать одну из них, чем искать доказательство для каждой гипотезы в отдельности. Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и  исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обучение  должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию  соответствующих умений и навыков. Ведь одного желания, как правило,  недостаточно для успешного решения исследовательских задач.  К учебно­исследовательским задачам можно отнести те задания, которые  представляют собой систему логически связанных учебных проблем,  позволяющим в совокупности с эвристическими вопросами, указаниями и  минимумом учебной информации открыть новые знания об объекте  исследования, способе, приеме и средстве исследовательской  деятельности. 1.4. Организация исследовательской деятельности на уроках математики Современное обучение в традиционной классно­урочной форме  ориентировано на передачу знаний, выработку навыков и умений в объеме,  строго определенном стандартном образования. Результатом этого является  то, что большинство старшеклассников боятся самостоятельности, тяготение не к оригинальной мысли, а к разжеванной и разложенной строго «по  полочкам» информации. В соответствии с принятым подходом ЮНЕСКО, образование включает в  себя понятие компетентности. Сформированы основные положения  грамотного подхода к математическому образованию, из которого следует,  что математика является центральной наукой, взаимодействующей с другими  естественными науками, позволяющей понимать ее прикладной характер в  повседневной жизни. Решение этой проблемы – в организации учебно­исследовательской  деятельности учащихся на уроках. Детей необходимо не столько учить  конкретным знаниям, сколько организовывать их для познания окружающего  мира. Ведущая педагогическая идея – формирование способности ученика  самостоятельно действовать в различных проблемных ситуациях, применяя  приобретенные знания, умения и навыки порождая новые способы  деятельности. При использовании методов обучения исследовательского характера  применяю: самостоятельное изучение и постижение ведущих понятий и идей;  побуждение при выполнении задания выдвигать альтернативные идеи;  предоставление возможности самостоятельно планировать своё исследование  и предполагать результаты; знакомство с примерами, из которых правило  можно вывести самостоятельно без помощи учителя.  В преподавании математики основная задача учителя состоит в том, чтобы  прежде всего, заинтересовать учащихся процессом познания, научить их  ставить вопросы и пытаться найти на них ответы, объяснять результаты и  делать выводы. При включении исследовательской деятельности в процессе обучения, прежде всего, необходимо проанализировать условия ее реализации: ­диалогическое взаимодействие ученика и педагога; ­компетентность педагога; ­способности учащихся; ­грамотная организация учебного исследования; ­включение механизмов в рефлексии. Деятельность будет неэффективной, если какое­либо условие отсутствует. Формы организации исследовательской деятельности могут быть как  урочными, так и внеурочными. Однако в них должны присутствовать  следующие моменты: ­продумывание учителем возможностей для самостоятельного  проявления учеников, предоставление им возможности высказывать  оригинальные идеи и гипотезы; ­усиление экспериментальной составляющей занятий, ориентированной  на развитие и саморазвитие; ­организация обмен мыслями, мнениями, оценками; ­стимулирование учащихся к дополнению и анализу ответов товарищей; ­побуждение учащихся к поиску альтернативной информации при  подготовке к занятиям; ­стремление к созданию ситуации успеха для каждого обучаемого  [ссылка в статье]. Этапы организации исследовательской деятельности учащихся В первый блок учебно­исследовательской деятельности входит деятельность  учителя. К функциям учителя относятся следующие: ­ учитель знакомит с построением исследования, с методами; ­ выявляет наиболее значимые для учащихся элементы содержания  курса и устанавливает их соответствие с базисной программой и  учебно­воспитательными задачами курса; ­организует их изучение методами в той или иной науке (наблюдение,  измерение, опрос, интерпретация информации и другие); ­ формирует исследовательскую группу из числа учащихся,  проявивших интерес и способности к исследованию какой­ либо из  поднятых проблем; ­ знакомит учащихся с методикой проведения учебно­  исследовательской работы (проводит инструктаж); ­ подводит итоги первоначального ознакомления с темой на основе  сбора эмпирического, помогает в его анализе; ­ проводит учебное занятие с привлечением материалов проведенной  учебно­ исследовательской деятельностью (дискуссия); ­ оценивает самостоятельную работу участников исследовательской  группы. Во второй блок учебно­ исследовательской деятельности входит сама  деятельность школьников. К функциям учащихся относятся следующие:    ­ ознакомление учащимися со структурной и методами учебно­  исследовательской работы; ­ участие в совместном поиске тем для исследования, содержание  которых отвечает их познавательным интересам и ценностным  ориентациям;    ­ объединение в группы для исследования интересующей их  проблемы;    ­ планирование самостоятельной исследовательской работы по  избранной проблеме;    ­ организация и проведение исследования в соответствии с  разработанной программой;    ­ подведение итогов проведенного исследования (выводы и  обобщения) и формулирование наиболее острых вопросов для  дальнейшего дискуссионного обсуждения всем классом на уроке,  учебном занятии или во внеурочное время;    ­ участие в дискуссионном изучении темы;    ­ выполнение контрольной работы по изученной проблеме или теме, в  целях проверки приобретенных знаний и умений, а также выполнение  письменного отчета о проведенном исследовании. Учебные исследования на уроках делают процесс изучения математики  интересным, увлекательным, так как они дают возможность детям в  результате наблюдения, анализа, выдвижения гипотезы и ее проверки,  формулировки вывода – познание нового. 1.5. Задача как средство организации в исследовательской деятельности Исследовательские задачи включают в себя исследовательские условия  задачи. Исследования решения задачи, где под решением задачи можем  понимать, во­первых, процесс решения задачи, то есть вся деятельность  человека, решающего задачу с момента начала чтения задачи и до конца; во­ вторых, те действия, которые мы производим над условиями и их  следствиями на основе общих положений математики для получения ответа  задачи; в­третьих, результат (ответ) задачи. Так как ведущая деятельность учащихся – это решение задач. То именно они  могут являться средством реализации исследовательской деятельности  учащихся. Учащиеся, решая задачи могут не только открыть факты, способы  их обоснования, установить взаимосвязи между ними, но и получают крупицу  собственного открытия, которое они переводят с языка символов, буквенных  выражений на естественный язык, что способствует более глубокому  пониманию изучаемого материала и развитию логического мышления. На примерах рассмотрим исследовательскую деятельность учащихся.  Благоприятны для этого геометрические задачи. (рис.1)  ∩ MC = 0, ∆ AOC ­ равнобедренный, ∠A = ∠C = 300  Решим такие геометрические задачи: Задача 1. В ∆ ABC ∠ A = ∠ C = 440. внутри него взята точка M так, что ∠  MCA = 300, а ∠ MAC = 160. Найдите ∠ BMC. Решение: ∆ ABC – равнобедренный, следовательно, относительно высоты  проведенной к основанию.  ∆ AMC: ∠ AMC = 1800 – (160 + 300) = 1340, BD – высота, BD  следовательно ∠ OAM = 140  ∆ ABD: ∠ A = 440, ∠ D = 900  ∆ ABO: ∠ A = 140, ∠ B = 460  ∆ AOB = треугольник AOM: 1) ∠O = ∠O = 1200                                                   2) ∠A = ∠A = 140 => AB = AM =>                                                   3) AO – общая  => ∆ ABM – равнобедренный => ∠M = (1800 – 280)/ 2 = 760 ∠ BMC + ∠CMA + ∠BMA = 3600 ∠BMC = 3600 – (1340 + 760) =1500 Ответ: 1500  → ∠ BAO, ∠ AOC = 1200  → ∠ B = 460      → ∠ O = 1200                            Решение 2. При решении задач по геометрии часто выручает вспомогательная  окружность, а именно описанная около треугольника. (рис.2) Благоприятная ситуация из – за наличия угла 300. ∆ AMC – опишем  окружностью с центром K, ∠MCA = 300 – вписанный => ∠AKM – центр = 600 => ∆ AMK – правильный => ∠MAK= 600 => => ∠CAM = 440 все стороны равны. Решение 3. Заметим, что треугольник AOC является третьей частью  правильного треугольника. Достроим треугольник AOC до правильного  треугольника AB0C. (рис.3) Соединим M с B0  MC => B0BMC – равнобедренная трапеция => BMC = 1800 – 300 = 1500. 0MC = ∆ AMC = треугольник AB0B = ∆ CB0B => B0B =  ∆ B→ Третье решение замечательно тем, что позволяет легко обобщить задачу.  По ходу решения любой геометрической задачи обнаруживаются различные  свойства соответствующей геометрической фигуры. При этом можно  обнаружиться и такие свойства, которые в изложении решения не  используются. Поэтому исследование может начаться тогда, когда, решив её  мы продолжаем разыскивать новые свойства фигуры, заданной в задаче. В  некоторых случаях эти свойства могут быть достаточно интересными и их  можно использовать для составления новых задач и различного рода  обобщений.  Задача 2. Через точку A к данной окружности проведены касательная AB (B – точка касания) и секущая AD, проходящая через центр O окружности (D  окружности O – между A и D). Найти ∠BAD и ∠ADB, если  (рис.4) [атанасян геометрия 7­9]  ϵ  ᴗ BD = 1100 20'  Решение: ∠BOD = 1100 20' => ∠BOA = 1800 ­ 1100 20' = 690 40' BO ⊥ AB => ∆ ABO прямоугольный, ∠A = 900 ­ 690 40' = 200 20' ∆ BOD равнобедренный => ∠ D = (1800 – 790 40')/2 = 340 50' Решив эту задачу можно продолжить вычисления по чертежу ∠ OBD = ∠ BDO = 340 50', ∠ OBK = 900 => ∠ KBD = 900 – 340 50' = 550 10' Можно ввести новое название 1) ∠ KBD – угол между касательной и хордой. Он опирается на дугу  BD. Сравните величины угла и дуги. 2) Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, на  которую он опирается заключенной между его сторонами. Тем самым  учащиеся откроют новое для них утверждение и может подтвердить его. 3) Угол, образованный секущими, измеряется полуразностью дуг,  заключенных между его сторонами. 4) ∠ KAD – угол, образованный касательной и секущей, его обобщение  – угол между секущими. Итак, решение этой задачи позволяет приобщить школьников к  введению понятий и открытию их свойств входе такой работы над  задачей учащиеся проходят этапы исследования научных проблем:  1) наблюдение, опыты, вычисления 2) выдвижение гипотез 3) доказательство утверждений и подтверждение гипотез Чаще всего получив ответ и изложив ход решения учащиеся переходят к  другим делам. Возвращаясь же назад, вновь рассматривая и анализируя  результат и ход решения можно сделать знания учащихся более глубокими и  прочными, показать возможность отыскания и получения новых фактов,  открытия новых свойств, составления новых задач. Здесь же предоставляется  возможность исследования связи решенной задачи с другими, придумывания  случаев, к которым можно применить использованный метод или полученный  результат. Специально составленные задания могут помочь осуществить ознакомление и  формирование приемов исследовательской деятельности у учащихся. Глава 2. Содержание и методика решения исследовательских задач 2.1 Наличия задач исследовательского характера в учебниках 5 класса Учебник Е. А. Бунимович по математике для 5 класса содержит 11 глав. Они  представлены в таблице 1. Каждая глава включает несколько тем. После темы дается очень интересное и познавательное задание такие как «задача­ исследование» или «неверно!» так же представлены в таблице 1. А в таблице 2 представлены количество часов и количество задач исследовательского  характера к каждой главе. Глава Примеры задач исследовательского Таблица 1 1. Линии 2. Натуральные числа 3. Действия с натуральными  числами 4. Использование свойств  действий при вычислениях характера Начертите две пересекающиеся  прямые. Проведите третью прямую,  пересекающую каждую из этих  прямых и не проходящую через их  точку пересечения. Сколько точек  попарного пересечения прямых у вас получилось? «Неверно!»  Учитель предложил округлить до  миллионов число 26547049. Три  ученика дали разные ответы:  ≈ 26547049   26000000 ≈ 26547049   2700000 ≈ 26547049   26500000 Объясните, какую ошибку допустил  каждый, и дайте правильный ответ. «Неверно!» Убедитесь в том, что равенства  неверны. Поставьте скобки так,  чтобы равенства стали верными: 8 • 9 – 2 =56;          6 + 5 • 8 + 4 =66; 25 – 6 • 3 = 57;       54 – 24 + 12 = 18. 1. Проверьте равенства: 1 + 3 = 22, 1  + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42. Эти  равенства подсказывают прием  вычисления суммы последовательных нечетных чисел. В чем состоит этот прием? Запишите  следующее равенство и проверьте  себя с помощью вычислений.  2. Пользуясь рассмотренным  приемом, найдите: а) сумму первых десяти нечетных  чисел; б) сумму всех нечетных чисел от 1  до 99.  Постройте окружность и проведите  ее диаметр AB. Постройте угол ACB  с вершиной C, лежащей на  окружности. Каким (острым,  прямым или тупым) является этот  угол? Постройте и измерьте еще два  угла с вершинами на окружности,  «опирающиеся» на диаметр. Какой  вывод можно сделать? 1. Как известно, простое число имеет два делителя. А сколько делителей  имеет квадрат простого числа? куб  простого числа? четвертая степень  простого числа? Выясните это на  конкретных примерах. 2. Как вы думаете, сколько  делителей имеет пятая степень  простого числа? шестая степень?  десятая степень? 3. Перечислите все делители числа  3125; числа 64. Подсказка. 3125 = 55, 64 = 26. 1.площадь прямоугольника равна 36  см2. Какими могут быть длины его  сторон? Рассмотрите все возможные  варианты. Какими могут быть  периметры соответствующих  прямоугольников? 2.какой из прямоугольников,  имеющих площадь 36 см2, имеет  наименьший периметр? «Неверно!» 5. Углы и многоугольники 6. Делимость чисел 7. Треугольники и  четырехугольники 8. Дроби Найдите ошибку, допущенную при  сокращении дроби: 11 10 . 66 90  =  33 132 30  =  180  =  (Отвечая на вопросы 1 и 2,  поэкспериментируйте с числами). 1. Известно, что m > 1. Сравните  числа: m и m2; m2 и m3. 2. Известно, что m < 1. Сравните  числа: m и m2; m2 и m3. 3. Как меняется число при  возведении его в степень, если оно  больше 1? меньше 1? 4. Сравните m20 и m30 , если: а) m > 1;  б) m < 1. Какие многогранники могут  получиться при разрезании куба  плоскостью? Проведите  эксперимент: вылепите кубик из  пластилина и, выбирая разные  направления, разрежьте его на две  части. Нарисуйте куб и покажите  для каждого случая, как проходит по кубу линия разреза. ­  9. Действия с дробями 10.Многогранники 11.Таблицы и диаграммы Главы  Количество часов Задачи исследовательского характера исследования «неверно!» Таблица 2 1. Линии 2. Натуральные  числа 3. Действия с  натуральными  числами 4. Использование  свойств действий  при вычислениях 5. Углы и  многоугольники 6. Делимость чисел 8 13 24 13 6 15 1 ­ ­ 1 3 2 1 3 4 1 ­ 1 7. Треугольники и  четырехугольники 8. Дроби  9. Действия с  дробями 10. Многогранники  11.Таблицы и  диаграммы 9 5 37 9 5 1 1 1 1 ­ ­ ­ ­ ­ ­ Учебник М. И. Башмаков по математике для 5 класса содержит 4 главы. Они  представлены в таблице 3. Каждая глава включает несколько тем. В данном  учебнике разнообразные материалы после пройденной темы:  ­исторические беседы, они призваны связать изучаемый материал с историей  математики; ­математический кружок содержит доступный и интересный материал, его  можно использовать не только для факультативных занятий, но и на уроке. Учебник содержит материал для формирования универсальных действий,  относящихся к поиску и выделению необходимой информации,  структурированию знаний, выбору наиболее эффективных способов решения  задач, осмыслению текста и рефлексии способов и условий действий. В таблице 4 представлены количество часов и количество задач  исследовательского характера к каждой главе. Глава  1. Мир чисел 2. Мир фигур Таблица 3 Примеры задач исследовательского  характера «Математический кружок» Какие грузы можно взвесить с  помощью набора гирь: 1, 2, 4, 23, 24,  25, 26 (в граммах)? Разрешим класть гири на обе чашки.  Придумайте минимальный набор  гирь, с помощью которых можно  взвесить любой груз до 40 г. «Математический кружок» Постройте три прямоугольных  треугольника с катетами 4   6, 5   7  и 3   4. проверьте, что меньшие  катеты в сумме дают 12, а большие  ­–17, то есть суммы длин катетов 3. Движение  4. Десятичные дроби равны катетам исходного большого  треугольника. «Математический кружок» Два мотоцикла едут по кругу, начав  движение из одной и той же точки  одновременно, но в  противоположных направлениях.  Скорость одного из них 30 в секунду, второго ­ 50 в секунду. Сколько раз  они встретятся за 20 минут  движения? «Математический кружок» Вклад равен 1000 р. Банк  выплачивает доход 5 % годовых.  Вклад капитализируется. Составьте  таблицу изменения размера вклада за 10 лет.  а) Через сколько лет вклад  удваивается? б) На сколько процентов  увеличивается вклад через 10 лет? Таблица 4 Главы  Количество часов Задачи исследовательского характера Математический Историческая кружок беседа 1. Мир чисел 2. Мир фигур 3. Движение  4. Десятичные дроби 25 18 14 35 3 3 1 2 2 2 1 2  В приложениях можно ознакомится с решениями некоторых задач  исследовательского характера по учебнику Е. А. Бунимовича и М. И.  Башмакова. 2.2. Методические рекомендации по решению задач исследовательского характера В данном учебнике представлены задачи исследовательского характера, в  котором встречаются как геометрические, так и алгебраические задачи­ исследования. Например: Задача 1. Запишите степени числа 2. Подметьте закономерность. Какой  цифрой оканчивается число 232? Для решения этой задачи можно использовать индуктивные рассуждения. Учащиеся вычисляют и записывают  последовательно степени числа 2, начиная с первой степени. Записи на доске  можно упорядочить в следующем виде:       21=2;          25=32;       29=512;       22=4;          26=64;       210=1024;       23=8;          27=128;      211=2048;       24=16;         28=256;     212=4096 и так далее Внимательно рассматривая записи, учащиеся понимают, что есть какая­ то  закономерность, которую надо отыскать. Учащиеся могут заметить, что  последними цифрами в степенях числа 2 могут быть всего четыре цифры,  именно – 2, 4, 8 и 6; эти цифры на конце числа появляются именно в таком  порядке 2, 4, 8, 6; цифра 2 в записи числа появляется при возведении в 1ую ,  5ую, 9ую и так далее степень, цифра 4 – при возведении во 2ую, 6 ую, 10 ую и так  далее степень.  Результаты рассуждений можно занести в таблицу. Последняя цифра в записи числа Показатель степени  Деление  показателя  степени на 4  Таблица 1 Остаток от деления показателя степени на 4 2 1, 5, 9, … 1 : 4 = 0 (остаток 1 1) 5 : 4 = 1 (остаток 4 8 6 1) 9 : 4 = 2 (остаток 1) 2, 6, 10, … 2 : 4 = 0 (остаток 2) 6 : 4 = 1 (остаток 2) 10 : 4 = 2 (остаток 2) 3, 7, 11, … 3 : 4 = 0 (остаток 3) 7 : 4 = 1 (остаток 3) 11 : 4 = 2 (остаток 3) 2 3 4, 8, 12, … 4 : 4 = 1 (остаток  0                        0) 8 : 4 = 2 (остаток 0) 12 : 4 = 3(остаток 0) Вывод: последними цифрами в степенях числа 2 могут быть только четыре  цифры: 2, 4, 8, 6. Цифрой 2 оканчивается степень, показатель которой при  делении на 4 дает остаток 1; цифрой 4 оканчивается степень, показатель  которой при делении на 4 дает остаток 2; цифрой 8 оканчивается степень,  показатель которой при делении на 4 дает остаток 3; цифрой 6 оканчивается  степень, показатель которой нацело делится на 4. Используя полученный общий вывод, получаем ответ на главный вопрос  задачи: 232 оканчивается цифрой 6 [Сухоносенко М Н задания на  формирование]. Задача 2. Постройте окружность и проведите ее диаметр AB. Постройте угол  ACB с вершиной C, лежащих на окружности. Каким (острым, прямым или  тупым) является этот угол? Постройте и измерьте еще два угла с вершинами  на окружности, «опирающиеся» на диаметр. Какой вывод можно сделать? (см. приложение 1) Задача 3. Как известно, простое число имеет два делителя. А сколько  делителей имеет квадрат простого числа? куб простого числа? четвертая  степень простого числа? Выясните это на конкретных примерах. Как вы думаете, сколько делителей имеет пятая степень простого числа?  шестая степень? десятая степень? Перечислите все делители числа 3125; числа 64. Подсказка. 3125 = 55, 64 = 26.(см. приложение 2) Задача 4. На клетчатой бумаге постройте прямоугольный треугольник с  катетами 12 и 17. Вычислите его площадь. (см.приложение 3) Задача 5. Вычислите. Затем продолжите равенства, догадавшись до ответа. Проверьте ответ. 123456789 • 8 + 9 =                                   98765432 • 9 + 1 =   12345678 • 8 + 8 =                                     9876543 • 9 + 2 =     1234567 • 8 + 7 =                                       987654 • 9 + 3 =       123456 • 8 + 6 =                                         98765 • 9 + 4 = (см. приложение 4) 2.3 Методические рекомендации по организации и содержанию исследовательской деятельности учащихся для 5 класса Рассмотрим   этапы   выполнения   исследовательской   деятельность   учителя   и учащихся по математике для учащихся. Подготовительный этап        На   начальном   этапе   учитель   сообщает   тему   исследовательской   работы, знакомит   учащихся   с   условиями   работы,   дает   список   рекомендуемой литературы, которой учащиеся могут воспользоваться при работе над своими исследованиями. Затем учитель предлагает ребятам пожеланию разделиться на   группы   или   индивидуально   проводить   исследовательскую   деятельность, так как учащиеся еще не имеют огромного опыта в данной деятельности и только учатся исследовать, им желательно разделиться на группы. Итак,   тема   известна,   группы   сформированы.   Далее   учитель   предлагает ребятам обсудить тему будущего исследования. При этом происходит обмен мнениями между участниками исследовательской деятельности. То есть дети предлагают свои идеи, которые можно было бы применить при выполнении данной работы. Параллельно идет обсуждение предложенных идей.  Можно также выбрать консультантов (старшеклассников), т.е. ребят, которые будут помогать исследовательским группам в решении тех или иных задач на тех или иных этапах работы.  Для успешной организации этого этапа учителю рекомендуется: подготовить проблемную   задачу,   которая   бы   подтолкнула   ребят   к   обсуждению; подготовить наглядные пособия, продумать вопросы, которые подтолкнули бы ребят к новой идее, необходимой для осуществления исследовательской деятельности.  I. Аналитический этап  На   данном   этапе   ребята   проводят   самостоятельное   исследование, формулируют цель и задачи.  На этом же этапе членам группы необходимо договориться о распределении работы.  Предлагается   следующая   последовательность   работы:  1.   Уточнение   и   формулировка   цели   и   задач                                            Правильная   формулировка   цели   и   задач   предопределяет   результативность работы группы. Это довольно сложно для учащихся 5 класса. Поэтому без помощи   учителя   здесь   не   обойтись.   Учитель   при   помощи   проблемных вопросов подводит учащихся к формулировке целей и задач. 2. Поиск и сбор информации.  Здесь учащиеся определяют, где и какие данные им предстоит найти. Затем начинается непосредственно сбор данных и отбор необходимой информации. Здесь   необходимо   уделить   особое   внимание   обучению   учащихся   навыкам конспектирования.   На   данном   этапе   учащиеся   получают   навыки   поиска информации её сравнения, классификации; установления связей и проведения аналогий;   анализа   и   синтеза;   работы   в   группе,   координации   разных   точек посредством:  зрения   ­   личных   наблюдений   и   экспериментирования;      ­   работы   с   литературой   и   средствами   массовой   информации.                      Учитель играет роль активного наблюдателя: следит за ходом исследований, соответствием цели и задачам; оказывать группам необходимую помощь, не допуская   пассивности   отдельных   участников;   обобщает   промежуточные результаты   исследования   для   подведения   итогов   на   конечном   этапе.   3.   Обработка   полученной   информации.                                                      Необходимое условие успешной работы с информацией – ясное понимание каждым   учеником   цели   работы   и   критериев   отбора   информации.   Задача учителя – помочь группе определить эти критерии. Обработка полученной информации   –   ее   понимание,   сравнение,   отбор   наиболее   значимой   для выполнения   поставленной   задачи.   Учащимся   потребуются   умение интерпретировать   факты,   делать   выводы,   формировать   собственные суждения. Именно этот этап наиболее труден для учащихся, особенно если они привыкли находить в книгах готовые ответы на все вопросы учителя.   Вопросы,   которые   может   задать   учитель   на   аналитическом   этапе  Определение задач:  ­Что вам уже известно о выбранной теме? ­Чем конкретно вам будет интересно заниматься в работе над данным исследованием? ­Попытайтесь   сформулировать   задачу   так,   чтобы   все   члены   вашей группы   поняли,   какие   исследования   необходимы   для   успешной реализации. Поиск и сбор информации:  ­Какие способы поиска и сбора информации вы знаете? ­Где   можно   найти   необходимую   информацию?   Кто   может   в   этом помочь? Кого можно пригласить для консультации? ­В   какие   организации   можно   обратиться   за   консультацией?   Какие конкретно сведения вы там запросите? ­Чем необходимо заняться в первую очередь? В каком порядке будет выполняться работа? ­Как распределить работу между членами группы?      ­Кто и за что будет отвечать? ­Где будет проводиться работа? В какие сроки? Интерпретация полученных данных:  ­Какая информация необходима для решения поставленной задачи? ­Без какой информации можно обойтись? Обоснуйте ваше мнение. ­Каковы критерии оценки полученной информации? ­Установите связь (если она есть) между собранными данными. II. Практический этап На этом этапе осуществляются структурирование полученной информации и интеграции   полученных   знаний,   умений,   навыков.   При   этом   учащиеся: систематизируют полученные данные; объединяют в единое целое полученную информацию;   составляют   и   оформляют   работу,   выстраивают   общую логическую схему выводов для подведения итогов. На этом этапе учителю необходимо   предоставить   учащимся   максимальную   самостоятельность выбора форм представления результатов исследования, поддерживать такие, которые   дадут   возможность   каждому   ученику   раскрыть   свой   творческий потенциал. Если случится так, что ребята испытывают затруднения в процессе решения   какой­либо   проблемы,  учитель   должен   прийти   им   на   помощь,  но только   с   личного   приглашения   ребят.   Не   следует   вмешиваться   в   их творческий   исследовательский   процесс   без   их   согласия.   В   то   же   время следует   помнить,   что   пускать   все   на   самотек,   допускать   стихийную самостоятельность   нельзя.   Процесс   обобщения   информации   важен   потому, что   каждый   из   участников   исследования   как   бы   «пропускает   через   себя» полученные всей группой знания, умения, навыки, так как в любом случае он должен будет участвовать в презентации результатов проекта.                       Варианты вопросов:  ­Какие   данные   и   выводы   целесообразно   обобщить   и   вынести   на презентацию? ­В   какой   форме   вы   хотели   бы   представить   итоги   вашей   работы? Составьте план. ­В чем вы могли бы помочь (исходя из личных склонностей, интересов, способностей) при подготовке презентации итогов исследования? ­В чем будет состоять «изюминка» вашей презентации? ­Какие   формы   презентации   вы   считаете   наиболее   приемлемыми,   и учитывая содержание, цель, возраст и уровень знаний предполагаемой аудитории, а также ваши способности и интересы? ­Сколько времени потребуется на подготовку выбранной вами формы презентации? ­Чем необходимо заняться в первую очередь? В каком порядке будет выполняться работа? Как она будет распределяться между участниками мероприятия? Кто и за что будет отвечать? III. Презентационный этап На   этом   этапе   учащиеся   осмысливают   полученные   данные   и   способы достижения   результата;   обсуждают   и   готовят   итоговое   представление результатов   работы   над   исследовательской   деятельность.   Учащиеся представляют не только полученные результаты и выводы, но и описывают приемы,   при   помощи   которых   была   получена   и   проанализирована информация; демонстрируют приобретенные знания и умения; рассказывают о проблемах, с которыми пришлось столкнуться в работе над исследованием. Любая   форма   презентации   также   является   учебным   процессом,   в   ходе которого   учащиеся   приобретают   навыки   представления   итогов   своей деятельности. Основные требования к презентации каждой группы: выбранная форма   должна   соответствовать   целям   исследованием,   возрасту   и   уровню аудитории, для которой она проводится. В процессе работы по обобщению материала и подготовки к презентации у учащихся, как правило, появляются новые вопросы, при обсуждении которых может быть даже пересмотрен ход исследований.   Задача   учителя   –   объяснить   учащимся   основные   правила ведения   дискуссий   и   делового   общения;   научить   их   конструктивно относиться к критике своих суждений; признавать право на существование различных   точек   зрения   решения   одной   проблемы.   Работая   над исследованием,   учителю   не   следует   забывать,   что   основными   критериями успешности   являются   радость   и   чувство   удовлетворения   у   всех   его участников от осознания собственных достижений и приобретенных навыков.  IV. Представление (защита) исследования На данном этапе проходит защита исследовательской деятельности каждой группы. Лучше выделить отдельный урок, посвященный защите работы.    V. Контрольный этап  При использовании метода исследования существуют, по крайней мере, два результата.  Первый (скрытый) ­ это  педагогический  эффект  от  включения школьников   в   «добывание   знаний»   и   их   логическое   применение: формирование   личностных   качеств,   мотивация,   рефлексия   и   самооценка, умение делать выбор и осмысливать как последствия данного выбора, так и    результаты   собственной   деятельности.   Вторая  составляющая  оценки результата ­ это  само исследование.  Причем                             оценивается не объем освоенной информации (что изучено), а ее применение в деятельности (как применено) для достижения поставленной цели.  Существует множество подходов к оценке исследования. Наиболее удобной считают рейтинговую оценку. Выделяют пять критериев выполнения и пять критериев защиты исследования и каждый из них оценивается на 4 уровнях   Итоговая   оценка   складывается   из   суммы (0,5,10,20   баллов). среднеарифметической величины коллективной оценки, самооценки и оценки преподавателя. Критерии выполнения:  1.   Актуальность   темы   и   предлагаемых   решений,   реальность,   практическая оформления оценки и         направленность   и   значимость   работы.      2.   Объем   и   полнота   разработок,   самостоятельность,   законченность,                                 подготовленность   к   опубликованию.      3.   Уровень   творчества,   оригинальность   раскрытия   темы,   подходов,                                 предлагаемых   решений.      4. Аргументированность предлагаемых решений, подходов, выводов, полнота                                         библиографии,   цитируемость.                                                               5.  Качество  записки:  оформление, соответствие   стандартным  требованиям, рубрицирование   и   структура   текста,   качество   эскизов,   схем,   рисунков; качество   и   полнота   рецензий.                                                        При защите исследовательской деятельности оценивается:                                     1. Качество доклада: композиция, полнота представления работы, подходов, результатов;   аргументированность,   объем   тезауруса,   убедительность   и убежденность. 2. Объем и глубина знании по теме (или предмету), эрудиция, межпредметные    связи.                                                 3.   Педагогическая   ориентация:   культура   речи,   манера,   использование наглядных средств, чувство  времени, импровизационное  начало, удержание    внимания   аудитории.   4.   Ответы   на   вопросы:   полнота,   аргументированность,   убедительность   и                                                   убежденность,   дружелюбность,   стремление   использовать   ответы   для успешного   раскрытия   темы   и   сильных   сторон   работы.  5.   Деловые   и   волевые   качества   докладчика:   ответственное   решение, стремление   к   достижению   высоких   результатов,   готовность   к   дискуссии, способность работать с перегрузкой, доброжелательность, контактность.  2.4 Задачи с элементами исследования Задачи с элементами исследования в школах очень полезны. Решение таких  задач имеет для учащихся большое развивающее и воспитательное значение.  Они способствуют развитию мышления, его определенного стиля, культуры,  формируют алгебраические и геометрические представления. Навыки  самостоятельной и исследовательской работы, способствует более глубокому  вниманию математики.  2.4.1. При решении практических задач в 5 – 6 классах часто бывает так, что  исследования не сводятся к известным случаям. Тогда на помощь приходит  совет: попробуй, а если не получится, попробуй ещё. Рассмотрим задачу.   [цукарь а я задачи ]  Найди число x, если выполняется равенство x(x + 3) = 70  Никакие известные пятиклассникам правила преобразований не помогают  найти ответ. Попробуем тогда подобрать решение «экспериментально», так  называемым методом проб и ошибок. Нам надо найти такое число x, чтобы значение выражения x(x + 3) было равно  70. Попробуем подставить в это выражение, например, x = 4. Мы видим, что выбранное число x слишком мало. Возьмем теперь x = 6: 4(4 + 3) = 28 6(6 + 3) = 54, и снова выбранное значение мало, хотя и ближе к искомому. Следующая попытка оказывается удачной: при x = 7 имеем 7(7 + 3) = 70. Значит, при x = 7 данное в условии равенство верно. Казалось бы, задача уже решена, но это не так: ведь может оказаться, что  буквенное выражение равно 70 и при других значениях букв. Например,  произведение x(17 ­ x) = 70 при x = 7  и при x = 10. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число x было больше 7, то число x + 3 было бы больше 10, и тогда  произведение было бы больше 70, точно так же число x не может быть больше  7. Следовательно, равенство, данное в условии верно только при x = 7. 2.4.2. Сравните числа[далингер]:  19981999 20002001 ;               б)  1234567890 2345678901  и  1234567892 2345678903 ;         1998 2000  и  101998−1 101999−1  и  а)  в)  101999−1 102000−1 . Учащиеся знают несколько способов сравнения чисел:  ­ путем умножения числителя и знаменателя на соответствующее число  уровнять знаменатели и, сравнения числители, дать ответ на поставленный  вопрос;  ­ составить разность этих чисел и по знаку этой разности дать ответ;  ­ найти отношение этих чисел и сравнить его с единицей;  ­ разделить у каждой дроби числитель на знаменатель и сравнить результаты. В применении к предложенным числам ни один из перечисленных способов не  является рациональным. Каждый требует громоздких вычислений. Выход из  создавшего положения мы сможем найти, если откажемся от привычного  действия. Покажем, как это может быть сделано.      а) Введем обозначения a = 1998, b = 2000, тогда 19981999 = 19980000 +  1999 = 19980000 + 1 = a • 10000 + a + 1 = 10001 • a + 1,  20002001 = 20000000 + 2001 = 20000000 + 2000 + 1 = b • 10000 + b + 1 =  10001 • b + 1. Сравниваем такие две дроби:                 a b  и  10001a+1 10001b+1 . Пока мы не знаем, какой знак неравенства нужно поставить между ним, будем писать знак «v», заменяющий союз «или». Умножив обе части неравенства на  произведение знаменателей b(10001 b + 1), сведем сравнение дробей к  сравнению выражений с целыми коэффициентами.    Итак, что больше:  a b  v  10001a+1 10001b+1  ?         a(10001a + 1) v b(10001b + 1), то есть a v b. Но так как a < b (это видно из условия задачи), то окончательно имеем 1998 2000  <  19981999 20002001 .   б) Введем обозначения a = 1234567890, b = 2345678901. Тогда    1234567892 = 1234567890 + 2 = a + 2,   2345678903 = 2345678901 + 2 = b + 2. Следовательно, сравниваются дроби                 a b  и  a+2 b+2 , что сводится к сравнению выражений                  a(b + 2) v b(a + 2), 2a v 2b, a v b. Но по условию a < b  1234567890 2345678901  <  1234567892 2345678903 . в) Введем, как это было в трех предыдущих случаях, обозначения: a = 101998 , тогда   =  101998    101999 102000  =  101999  • 10 = 10 • a • 10 = 100 • a.  • 10 = 10 • a, Таким образом (учитывая, что a > 1), нужно поставить верный знак  неравенства между дробями a−1 10a−1  v  10a−1 100a−1 , (a­1)(100a ­ 1) v (10a ­ 1)2, 100a2 – a ­100a + 1 v 100a2 – 20a + 1, ­100a v ­20a. По условию a > 0, тогда  ­100a < ­20a, а значит, 101998−1 101999−1  <  101999−1 102000−1 . 2.4.3. Рассмотрим арифметическую прогрессию, у которой первый член равен  15873 и разность прогрессии также равна 15873. Запишем несколько членов  прогрессии: 15873; 31746; 47619; 63492; 79365; 95238; …. Умножим члены  прогрессии на 7 (почти «шоковое состояние») получим: 111111; 222222;  333333; 444444; 555555; …. Почему?  На вопрос легко ответить, например, возьмем пятый член прогрессии.  Умножая на 7 получаем число, все цифры которого – 5. Это получается в  связи с небольшим «секром»: 79365 • 7 = (5 • 15873) • 7 = 5 • (15873 • 7) = 5 •  111111 = 555555.[далингер] 2.4.4. Дан угол ABC и точка M внутри этого угла. Построить окружность S,  касающуюся сторон угла и проходящую через точку M [погорелов]. Решение. Предположим, что задача решена и S­ искомая окружность. Произведем  гомотетию с центром в точке B и каким – либо коэффициентом гомотетии k.  (рис.5) При этом окружность S перейдет в окружность R, также вписанную в угол  ABC, но уже, вообще говоря, не проходящую через точку M; если  зафиксировать где – либо на биссектрисе угла ABC центр Q окружности R, то мы сможем ее построить. Окружность S пока указана быть не может (ибо мы  не знаем коэффициента k гомотетии, переводящего окружность S в  окружность R); мы знаем только, что окружность S проходит через точку M.  Рассматриваемая гомотетия переводит точку M окружности S в точку N  окружности R, лежащую на прямой BM; эту точку можно найти (как точку  пересечения прямой BM с окружностью R). Далее, радиус OM окружности S  гомотетичен радиусу QN окружности R; следовательно, OM параллельные  QN (по свойству гомотетии). Поэтому центр Q искомой окружности S можно  найти как точку пересечения биссектрисы BQ угла ABC и прямой MO,  параллельной NQ.  Построение. 1) Строим произвольную окружность R, вписанную ABC; центр  окружности обозначим через Q. 2) Пусть N – точка пересечения окружности R и прямой BM. 3) Точка O – точка пересечения биссектрисы угла ABC и прямой MO,  параллельной прямой NQ. 4) Окружность S с центром O и радиусом OM и будет искомой. Доказательство. Гомотетия с центром B и коэффициентом  BM BN    переводит окружность R окружность S, проходящую через точку M и,  так же как и окружность R, вписанную в угол ABC, то есть в искомую  окружность. Радиусу NQ окружности R гомотетичен радиус MO окружности S; поэтому MO параллельны NQ и центр S­ это есть точка  пересечения прямой MO параллельны NQ и биссектрисы угла ABC.  (Центр O окружности S принадлежит биссектрисе угла ABC, так как  окружность S касается сторон угла). 2.4.5. Установить, чему равно произведение разности двух выражений и  их суммы. Одни учащиеся находят значения выражений (6 ­ 4) • (6 + 4) и 62 ­ 42,  другие (9 + 3) • (9 ­ 3) и 92 ­ 32, третьи (2 ­ 8) • (2 + 8) и 22 ­ 82. В результате учащиеся получают, что  (6 ­ 4) • (6 + 4) = 62 ­ 42, (9 + 3) • (9 ­ 3) = 92 ­ 32, (2 ­ 8) • (8 + 2) = 22 – 82. Далее ученики анализируют результаты наблюдений и выдвигают  гипотезу: вероятно, произведение разности двух выражений и их суммы  равно разности квадратов этих выражений. Доказательство гипотезы: Используя правило умножения многочлена на многочлен имеем, что  (a ­ b) • (a + b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2. Итак, гипотеза доказана. Вывод: произведение разности двух выражений и их суммы равно  разности квадратов этих выражений.   2.4.6. Изучи внимательно пары множителей. Что в них общего? Вычисли произведения и изучи их запись, отделив справа две цифры. Догадайся,  как легко найти произведения таких пар чисел. Проверь свою догадку  на других парах чисел [цукарь а я математика 5­6 задания образного и  исследовательского характера]. 23 • 27 =621             51 • 59 = 3009        18 • 12 = 216           34 • 36 = 1224 96 • 94 = 9024          43 • 47 = 2021       72 • 78 = 5616         85 • 85 = 7225  Изучив результаты умножения, приходим к выводу что отделенные  справа две цифры не что иное, как значение произведения числа единиц  обоих множителей (3 • 7 = 21; 6 • 4 = 24; 1 • 9 = 9 и так далее), а  оставшиеся цифры – это значение произведения числа десятков и  следующего за ним числа (2 • 3 = 6; 9 • 10 = 90; 5 • 6 = 30; 4 • 5 = 20;  1 • 2 = 2; 7 • 8 = 56; 3 • 4 = 12; 8 • 9 = 72) Учащиеся сами выдвигают гипотезы: 1) произведение любых двузначных чисел можно легко вычислить,    пользуясь полученными выводами; 2) произведение двузначных чисел, у которых число десятков  одинаково вычисляется по данному правилу; 3) произведение всех двузначных чисел, у которых число десятков  одинаково, а сумма единиц равна 10, можно легко вычислить: две  цифры справа это произведение единиц обоих множителей, а  первые – значение произведения числа десятков и следующего за  ним числа Проверяем гипотезу на некоторых примерах: 1) 31 • 27 = 837 (но 1 • 7 = 7, 3 • 3 = 9)  2) 23 • 25 = 575 (но 3 • 5 = 15, а 2 • 3 = 6); 55 • 52 = 2970 (но 5 • 2 =  10, а 5 • 6 = 30). 3) 32 • 38 = 1216 (2 •8 = 16, 3 • 4 = 12), проверив все двузначные  числа, у которых число десятков одинаково, а сумма цифр единиц равна 10, учащиеся делают вывод, что гипотеза подтвердилась. 2.4.7. Найдите ошибку в приведенном ниже доказательстве следующего  утверждения: «В любом тупоугольном треугольнике сторона,  противолежащая тупому углу, больше суммы двух других его сторон»  [далингер]. Доказательство. Пусть в тупоугольном треугольнике ABC: ∠A > ∠B + ∠C. По теореме  синусов, синусы углов треугольника ABC пропорциональны противолежащих  им сторонам: sin A: sin B: sin C = a : b : c. Но по условию ∠A > ∠ B + ∠ C , поэтому и a > b +c. Решение. В приведенном «доказательстве» предполагается что, если  ∠A > ∠B + ∠C, то sinA > sinB + sinC. Но это неверно, поскольку из того, что ∠A > ∠B + ∠C следует, что в  треугольнике ABC: sinA = sin(1800 – (B + C) = sin (B + C)≤ sinB = sinC). 2.4.8. Продолжите ряд выражений: 1 • 9 + 2, 12 • 9 + 3, 123 • 9 + 4, подметив  способ образования их. Найдите значения каждого выражения. Заметьте любопытную особенность [М Н Сухоносенко задания на формирование  познавательных универсальных действий на уроках математики]. Учащиеся подмечают способ образования выражений: первый множитель  получается приписыванием справа следующего однозначного натурального  числа, второй множитель остается без изменений, а второе слагаемое это  число, следующее за последней цифрой в записи первого множителя.  Составляя новые выражения и вычисляя их значения, учащиеся формируют  подмеченную особенность: значение выражения, составленного такому  правилу равно числу, записанному с помощью единиц, количество знаков в  числе равно второму слагаемому в выражении. Учащиеся замечают, что таких  равенстве так много и перебрав все они доказали высказанное суждение.  Далее можно предположить продолжить цепочку выражений. Чтобы  выяснить, как продолжить составление выражений, предположим решить  уравнение x • 9 + 11 = 11111111111. Получают решение x = 12345678900. Это  решение пока не дает возможности высказывать предположение. Решая  следующее уравнение y • 9 + 12 = 111111111111, учащиеся получают  результат y = 123456789011. На этом этапе некоторые могут высказать более  правдоподобные предположения. Для уточнения предположения решают еще  одно уравнение z • 9 + 13 = 1111111111111, получают решение z =  1234567890122. Сейчас уже большинство учащихся увидели закономерность  составления первого множителя в выражении, можно переходить к  обоснованию полученного суждения. Работа с этой задачей может быть  продолжена. 2.4.9. Найти общую формулу записи уравнений и сделать выводы о корнях  квадратного уравнения в зависимости от коэффициентов уравнения  [Далингер В.А. О тематике учебных исследований школьников // Математика  в школе. – 2000. ­ № 9] 2x2 + 5x +2 = 0                      (x1 = ­2, x2 = ­  1 2 ), 3x2 – 10x + 3 = 0                   (x1 = 3, x2 =  1 3 ), 4x2 + 17x + 4 = 0                   (x1 = ­4, x2 = ­ 1 4 ), 5x2 – 26x + 5 = 0            (x1 = 5, x2 =  1 5 ). Гипотеза. Если уравнение имеет вид ax2 ± (a2 + 1) + a = 0, то его корнями  являются соответственно числа  1 a  , a (для случая, когда второй  коэффициент отрицательный) или ­ 1 a  , ­ a (для случая, когда второй  коэффициент положительный). Доказательство гипотезы. Рассмотрим уравнение ax2+ (a2 + 1)x + a = 0 и  найдем его корни: a ¿ 1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿2−¿  = −(a2+1)±√¿ x1,2 =  −(a2+1)±√a4+2a2+1−4a2 2a  =  −(a2+1)±∨a2−1∨ ¿ 2a ¿ Можно считать, что перед нами квадратичное уравнение с целыми  коэффициентами (если бы коэффициенты были дробными, уравнение  можно было бы свести к уравнению с целыми коэффициентами), то есть  a ϵ Z, и тогда a2 – 1 > 0, а значит, x1,2 =   , откуда x1 = ­ a,  −(a2+1)±(a2−1) 2a x2 = ­  1 a . (ссылки на задачи находятся в загрузках). 2.5 Задачи на получения следствий Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом  или теорем. Получить следствия из данных условий – значит вывести из них и ранее  известных теорем равенство каких – ни будь отрезков, углов, треугольников и так далее. Приведем примеры. Дано: AD = DC, ∠ ADB = ∠ CDB (рис.6). Получи возможные следствия. Следствия  1. ∆ ADO = ∆ CDO 2. AO = OC 3. ∠ DAO = ∠ DCO 4. ∠ AOD = ∠ COD 5. ∠ AOD = ∠ COD = ∠AOB =  ∠ COB = 900  6. ∆ ADB = ∆ CDB 7. AB = BC 8. ∠ ABO = ∠ CBO 9. ∠ BAD = ∠ BCD 10. ∆ AOB = ∆ COB 11. ∠ BAO = ∠ BCO Обоснования  по первому признаку равенства  треугольников, так как DO ­  общая  сторона следует из (1), то есть из равенства  треугольников ADO и CDO  следует из (1) следует из (1) следует из (4) и того факта, что  сумма смежных углов равна 1800 по двум сторонам (AD = DC и DB ­  общая) и углу между ними (∠ ADB  = ∠ CDB) следует из (6) следует из (6) следует из (6) следует из того, что BO – общая, и из (2), (5) или (7), (8) следует из (10) Дано: В ∆ ABС проведен отрезок BH, AB = BC, ∠ BAM = ∠ BCM (рис.7).  Получи следствия. Следствия  1. ∆ ABK ­ равнобедренный 2. ∠ BAC = ∠ BCA 3. ∠ MAH = ∠ MCH 4. ∆ AMC – равнобедренный 5. AM = MC Обоснования  по определению равнобедренного  треугольника по свойству равнобедренного  треугольника как разность соотношение равно  величине по признаку равнобедренного  треугольника по определению медиане Дано: ∆ ABC, BM = BN, ∠ AMC = ∠ CAN (рис.). Получи следствия. Следствия  1. ∠ ANB = ∠CMB  2. ∆ ANB = ∆ CMB Обоснования  как смежные с равными  по второму признаку, так как BN =  BM, угол B общий и ∠ ANB =  ∠ CMB 3. AB = CB 4. AN = CM 5. ∠ BAN = ∠BCM 6. AM = CN 7. ∆ AMC = ∆ CNA 8. ∠ ACM = ∠ CAN  9. ∠ MAC = ∠NCA  следует из (2) следует из (2) следует из (2) следует из (3) и из того, что BM =  BN следует из условия (∠ AMC = ∠ CNA) и из (4) и (6) следует из (7) следует из (7) Дано: ∆ ABD и ∆ DCB (рис.), AB = DC и ∠ ABD = ∠ CDB. Точки M и N  лежат на отрезке BD и BM = DN. Получи следствия. Следствия  1. ∆ ABD = ∆CDB   2. AD = BC 3. ∠ BAD = ∠DCB 4. ∠ ADB = ∠CBD  5. AB || CD 6. AD || BC  7. ∆ ABM = ∆ CDN  8. AM = CN  9. ∠ AMB = ∠ CND 10.∠ AMN = ∠CMN  11.AM || CN 12.∆ BMC = ∆ DNA Обоснования  По первому признаку равенства  треугольников  следует из (1) следует из (1) следует из (1) следует из условия угол ABD = угол  CDB по признаку параллельности  прямых следует из (4) по признаку  параллельности прямых следует из условия по первому  признаку равенства треугольников следует из (7) следует из (7) следует из (9)  следует из (10) по признаку  параллельности прямых следует из BM = DN, из (2)  и из (4) 13.MC = NA 14. ∠ BMC = ∠ DNA 15. ∠ CMN = ∠ ANM  16.MC || NA следует из (12) следует из (12) следует из (14) следует из (15) по признаку  параллельности прямых Данные задачи на получения следствий помогают тем, что решает проблемы  неравномерности работ учащихся, так как сильные ребята находят не только  одно следствие, а ищу все различные виды решения, пока ребята более слабые находят одно решение. И это тоже будет правильным ответом, так как в  следствиях достаточно одного доказательство или решения.    Заключение Исследовательская деятельность имеет свою историю возникновения и развития в педагогической науке и практике, как за рубежом, так и в нашей стране.  Появившись   в   начале   прошлого   столетия   для   решения   актуальных тогда задач образования, он не утратил своей привлекательности и в наши дни. Исследовательская   деятельность   является   дидактическим   средством развития,   обучения   и   воспитания,   которое   позволяет   вырабатывать   и развивать специфические умения и навыки:  ­ организация и планирование деятельности; ­ поиск необходимой информации; ­ самоанализ и рефлексия; ­ презентация; ­ умение принимать решения. В   работе   над   исследовательской   деятельностью   проявляется максимальная   самостоятельность   учащихся   формировании   целей   и   задач, поиске необходимой информации, анализе, взаимодействии с партнерами. От ученика   требуется   самостоятельное   применение   уже   известного   и «добывание» новых знаний. Исследовательская деятельность позволяет по – новому организовать процесс   обучения,   взаимоотношения   между   учителем   и   учеником. Образованный человек в современном обществе – это не только и не столько человек, вооруженный знаниями, а человек, умеющий добывать, приобретать знания,   делать   это   целенаправленно   по   мере   возникновений   у   него   такой потребности при решении стоящих перед ним проблем, умеющий применить имеющиеся знания в любой ситуации.  В   работе   раскрыта   сущность   понятий:   деятельность   и   ее   виды, исследовательская деятельность, методы исследования. В заключение следует отметить самое существенное, что может внести учебное исследование в процесс преподавания математики, ­ это помощь в формировании   самосознания   школьника,   в   обретении   позиции заинтересованного и ответственного участия в познавательной и творческой работе на уроках. Исследовательская деятельность дает новые возможности для   решения   этой   задачи,  поскольку   данная   деятельность   характеризуется высокой   степенью   самостоятельности,   формирует   умения   работы   с информацией,   помогает   выстроить   структуру   своей   деятельности,   учит обобщать и делать выводы.  Исследовательская   деятельность,   с   точки   зрения   учащихся,   ­   это максимально используя свои возможности; это – деятельность, позволяющая проявить   себя,   попробовать   свои   силы,   приложить   свои   знания,   принести пользу и публично показать результат, самоутвердиться. Исследовательская   деятельность,   органично   сочетаясь   с   другими технологиями и методиками, приводит к определенным результатам. Получают   развитие   общие   умения   учащихся:   постановка   задач, выдвижение   гипотез,   выбор   методов   решения,   построение   обобщений   и выводов. Учащиеся получают представление об общих требованиях к подготовке, проведению   и   оформлению   учебной   работы.   А   задачи   исследовательского характера делают процесс изучения математики интересным, увлекательным, так   как   дают   учащимся   новые   позитивные   эмоции,   возможность   быть самостоятельнее   в   суждениях   и   действиях.   Что   способствует   достижению требовании   к   результатам   обучения,   заявлены   в   ФГОС   основного   общего образования. Постройте окружность и проведите ее диаметр AB. Постройте угол ACB с  вершиной C, лежащей на окружности. Каким (острым, прямым или тупым)  является этот угол? Постройте и измерьте еще два угла с вершинами на  окружности, «опирающиеся» на диаметр. Какой вывод можно сделать?  Приложение 1 (рис. 6)  Строим окружность, проводим диаметр AB.  Возьмем точку C, лежащие на окружности и построим угол ACB.  Предлагаем измерить транспортиром, и смотрим, что угол равняется 900. Взять ещё одну  точку C1, построим угол AC1B и измерим так же транспортиром. Взять ещё  точку C2, построим угол AC2B и измерим транспортиром. Градусная мера  всех трёх углов должна приблизительно равняться 900, дети делаю вывод, что  угол опирающий на диаметр равен 900. А значит угол является прямым. Приложение 2 Как известно, простое число имеет два делителя. А сколько делителей имеет  квадрат простого числа? куб простого числа? четвертая степень простого  числа? Выясните это на конкретных примерах. Как вы думаете, сколько делителей имеет пятая степень простого числа?  шестая степень? десятая степень? Перечислите все делители числа 3125; числа 64. Подсказка 3125 = 55, 64 = 26.  Возьмем просто число 3, оно имеет два делителя 1 и 3. Давайте построим  таблицу и посмотрим сколько делителей он имеет в квадрате простого числа?  куб простого числа? четвертая степень простого числа? Степень  Делители р = 3 р2 = 9 р3 = 27 р4 = 81 р5 = 243 р6 = 729 р7 = 2187 р8 = 6561 р9 = 19683 1, 3 1, 3, 9 1, 3, 9, 27  1, 3, 9, 27, 81 1, 3, 9, 27, 81, 243 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683 р10 = 59049 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, Степень  р = 2 р2 = 4 р3 = 8 р4 = 16 р5 = 32 Степень  р = 5 р2 = 25 р3 = 125 р4 = 625 19683, 59049 Делители  1, 2 1, 2, 4 1, 2, 4, 8  1, 2, 4, 8, 16 1, 2, 4, 8, 16, 32 Делители  1, 5 1, 5, 25 1, 5, 25,125  1, 5, 25, 125, 625 Рассмотрев несколько простых чисел, мы заметили закономерность и вывели  формулу количество делителей числа рn равно n + 1.  Так же в условии требуется перечислить все делители числа 3125; 64. 3125 = 55, следовательно, это число имеет 6 делителей: 1, 5, 25, 125, 625, 3125 64 = 26, следовательно, это число имеет 7 делителей: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Приложение 3 На клетчатой бумаге постройте прямоугольный треугольник с катетами 12 и  17. Вычислите его площадь. Чтобы вычислить площадь треугольника нужно достроить его до  прямоугольника. Так как площадь прямоугольного треугольника равна  половине площади прямоугольника. (рис. 7) S∆ = 12 • 17: 2 = 102 Вычислите. Затем продолжите равенства, догадавшись до ответа. Лучше всего вычисление делать письменно, а потом с помощью калькулятора  проверить себя, правильно ли вычислили. Приложение 4 1) 123456789 • 8 + 9 = 987654321   12345678 • 8 + 8 = 98765432     1234567 • 8 + 7 = 9876543       123456 • 8 + 6 = 987654         12345 • 8 + 5 = 98765           1234 • 8 + 4 = 9876             123 • 8 + 3 = 987               12 • 8 + 2 = 98                 1 • 8 + 1 = 9 2) 98765432 • 9 + 1 = 888888889   9876543 • 9 + 2 = 88888889     987654 • 9 + 3 = 8888889       98765 • 9 + 4 = 888889         9876 • 9 + 5 = 88889           987 • 9 + 6 = 8889             98 • 9 + 7 = 889               9 • 9 + 8 = 89               0 • 9 + 9 = 9 3) 1234567 • 9 + 7 = 11111110   123456 • 9 + 6 = 1111110     12345 • 9 + 5 = 111110       1234 • 9 + 4 = 11110         123 • 9 + 3 = 1110           12 • 9 + 2 = 110             1 • 9 + 1 = 10             0 • 9 + 0 = 0          12345678 • 9 + 8 = 111111110