Конспект урока по математике: "Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным" (10 класс)

План ­ конспект урока Учебная дисциплина: Математика Дата проведения: 24.10.2017 Тема урока: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным. Тип урока: изучение нового материала Цель   урока:  Формирование   умения   применять   метод   замены   переменной   для   решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным. Задачи: Образовательная:  усвоить   метод   замены   переменной   при   решении   тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным; Развивающая: способствовать развитию логического мышления;  Воспитательная:  способствовать   формированию   умения   работать   рационально,   планомерно, организованно, контролировать и анализировать итоги своей работы.  Формируемые компетенции: Организовывать   собственную   деятельность,   определять   методы   и   способы   выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. Работать   в   коллективе   и   команде,   обеспечивать   ее   сплочение,   эффективно   общаться   с коллегами, руководством, потребителями Методы   обучения:  беседа,   объяснение,   диалог,   объяснение,   практический   метод   (выполнение упражнений). Формы   организационно­познавательной   деятельности: групповая. Цель методическая: Методы ведения урока теоретического обучения   индивидуальная,  фронтальная, 1. Организационный момент 2. Актуализация знаний 3. Изучение нового материала 4. Закрепление изученного материала 5. Подведение итогов  6. Постановка домашнего задания. 1.  Организационный момент (2 мин) Преподаватель:  Доброе утро, дорогие студенты и гости нашего урока.  Староста группы, скажите, кто сегодня отсутствует? Отмечает отсутствующих в журнале. Староста группы сдает рапорт. 2. Актуализация знаний (10 минут) Преподаватель:  Итак, друзья, прежде чем мы перейдем к рассмотрению новой темы, нам необходимо проверить, как вы усвоили предыдущий материал, для этого вы выполните тест по предыдущей теме. У вас на столах уже лежат тесты (Приложение 1) по вариантам на   листочках,   подпишите   их,   укажите   номер   группы.  Для   написания   теста   вы можете воспользоваться вспомогательными таблицами, которые также лежат у вас на столах. (Приложение 2) Каждая карточка содержит по пять тестовых заданий на установление соответствия. Время на выполнение задания 10 минут. Студенты выполняют тестовые задания. Преподаватель: ­Время   на   выполнение   теста   истекло,   поменяйтесь   листочком   с   соседом   по   парте   и   по эталону ответов на доске проверьте его тест, выставите отметку. После   выполнения   тестовых   заданий   студенты   меняются   листочками.  (студенты  проводят взаимопроверку)   Отметки будут выставлены вам на следующем уроке. 3. Изучение нового материала (20мин) Преподаватель: На доске заранее написаны тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным. ­Итак, теперь запишите число в ваши рабочие тетради и  посмотрите на доску. Что вы  видите? (тригонометрические уравнения). Преподаватель: ­Что между ними общего? (почти все уравнения имеют вторую степень*). ­Рассмотрим первое уравнение на доске или раздаточного материала, который находится у  вас на столах. (Приложение 3) ­   что   вы   можете   сказать   об   этом   уравнении?  тригонометрическую функцию и является квадратным) (уравнение   содержит   одну ­  Как вы думаете, каким способом можно решить это уравнение?  (Чтобы решить данное уравнение, необходимо ввести новую переменную).  ­Теперь запишем тему нашего урока: «Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным». Цель урока: научиться решать тригонометрические уравнения методом замены переменной  Студенты записывают число, тему ­теперь запишите в ваши тетради первое уравнение. Студенты записывают уравнение sin2х+sinх−2=0 Преподаватель: Обозначим  sinх=у , получим уравнение  у2+у−2=0. его  * ­ предполагаемые ответы студентов записаны в скобках корни. Его корни  у1=1иу2=−2.  Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению   простейших   уравнений   sinх=1   и   sinх¿−2 .   Уравнение   sinх=1   имеет корни х =   Далее через дискриминант находи π 2 +2πn,nϵZ.  А уравнение  sinх¿−2  не имеет корней.  π 2 +2πn,nϵZ Ответ: х =  Преподаватель:   ­Запишете     второе   уравнение.   Данное   уравнение   решается   также   методом   замены, только оно является квадратным относительно функции косинус. Студент решает второе уравнение у доски. 2cos2х−cosх−3=0 Замена:  cosх=у 2у2−у−3=0 D=1+24=25 1−5 y1= y2= 4 1+5 4 =­ =­ 4 4=−1 6 4=−1.5 Возврат к замене:  cosх=−1 Студент:  это частный вид решения уравнения для функции косинус, поэтому сразу записываем ответ: x =  π+2πn,nϵZ cosх=−1 .5  Студент: данное уравнение корней не имеет Ответ: x =  π+2πn,nϵZ Преподаватель: ­   Переходим   к   решению   3­го   уравнения.  (Для   решения   2х   следующих   уравнений   к   доске вызывается следующий студент. Остальные студенты выполняют соответствующие записи у себя в тетрадях).  2 tg2x+3tgx−2=0 Студент: это уравнение является квадратным относительно функции тангенс и решается методом замены переменной. Замена: tg x = y 2y2+3y−2=0 D=9+16=25 −3−5 y1= y2= −3+5 4 4 =­ =­ 8 4=−2 2 4=−0.5 Возврат к замене:  tg x = ­2 x = ­arctg 2 + n, nπ ∈Z tg x = ­ 0,5 х = arctg 0.5 + n, nπ ∈Z Ответ: x = ­arctg 2 + n, nπ ∈Z х = arctg 0.5 + nπ , n ∈Z Преподаватель: ­ Переходим   к   решению   четвертого   уравнения.  (этот   же   студент   решает   следующее уравнение у доски) cos2x−sin2x−cosx=0 Студент: заменим квадрат синуса на косинус через основное тригонометрическое тождество x 1−cos2¿ ¿ x−¿ cos2¿ 2cos2x−1−cosx=0 2cos2x−cosx−1=0 Замена:  cosх=у 2 у2−у−1=0 D=9 y1= y2= 1−3 4 1+3 4 =­ = 2 4=−1 2 4 4=1 х = arcos (­ Студент: Возвращаемся к замене cosх=−1 2 1 2 ) 2πn,nϵZ 1 2 ¿+2πn,nϵZ x = ( ­arccos  x = ( ­π π 3 ¿+2πn,nϵZ 2π 3 +2πn,nϵZ x =  π cos x = 1,  x = 2πn,nϵZ Преподаватель: ­ Отлично, теперь рассмотрим следующее уравнение.  Для решения уравнения к доске вызывается следующий студент. tg x­3ctg x=2 Преподаватель: ­ Является ли это уравнение квадратным относительно одной тригонометрической функции? Студент: нет Преподаватель: ­Сначала это уравнение нужно преобразовать. Найдите в своих рабочих тетрадях формулы и посмотрите как связаны между собой функции тангенс и котангенс. Студенты смотрят формулы в тетрадях. Студент: ctg x =  1 tgx .  tg x­3 1 tgx =2 Преподаватель: ­ Что нужно сделать, чтобы найти его корни? Студент: Нужно левую и правую часть уравнения помножить на tg x tg2x−3=2tgx tg2x−tgx−3=0 Замена: tg x = y y2−2y−3=0 D=16 y1= y2= 2−4 2 2+4 2 =­ = 2 2=−1 6 2 =3 Возврат к замене:  tg x = ­1 x = ­arctg 1+ n, nπ ∈Z π 4 + n, nπ ∈Z x = ­ tg x = 3 х = arctg 3 + n, nπ ∈Z Ответ: x = ­ х = arctg 3 + nπ , n ∈Z π 4 + nπ , n ∈Z 4. Закрепление (8 мин) Студентам предлагается решить уравнения.(приложение 3)  2sin2х−3sinх−2=0 tg x = 2­ tg2x Резервные задания 6cos2х+cosх−1=0 cos2х+3sinх=3 1) 2) 5. Подведение итогов  постановка домашнего задания. (3 мин) Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на уроке. ­Какой  метод   мы  использовали   при  решении   тригонометрических   уравнений,   приводимых   к квадратным? (метод замены переменной) ­  Каковы   особенности   этого   метода?(Введение   новой   переменной,   получение   квадратного уравнения, нахождение корней уравнения) ­  На   следующих   уроках   мы   продолжим   с   вами   применять   данный   метод   при   решении тригонометрических уравнений. 6. постановка домашнего задания. (2 мин) Выставление отметок. Отметки за урок получают все с учетом результатов выполненных тестов и работы на уроке. Постановка  и комментарии к выполнению домашнего задания № 621(1­4). Формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Приложение 1. 1. sinх = а Общая формула: х =  Частные случаи: а)  sinх=0 , х= πn,nϵZ (−1)narcsina+πn,nϵZ      б) sin x = 1, x =       в) sin x = ­1, x =  π 2 +2πn,nϵZ −π 2 +2πn,nϵZ 2. cosх = а Общая формула: х =  ±arccosa+2πn,nϵZ Частные случаи: а)  cosх=0 , х= π 2 +πn,nϵZ      б) cos x = 1, x = 2πn,nϵZ      в) cos x = ­1, x =  π+2πn,nϵZ 3. 4. tg x = a ctg x = a x = arctg a +  πn,nϵZ x = arcctg a +  πn,nϵZ Самостоятельная работа на проверку пройденного материала Приложение 2 Ф.И.________________ Группа _____________ Соотнесите: Вариант 1. 1. 2. 3. 4. 5. sinх=1 cosх=1 2 tg x = 3 cosх=−1 cosх=5 а) корней нет б) х =  π+2πn,nϵZ в) x= ±arccosπ 3 +2πn,nϵZ г) х = arctg 3 +  πn,nϵZ π 2 +2πn,nϵZ д) х = Ф.И.________________ Группа _____________ π 2 +2πn,nϵZ а) х = π 2 +2πn,nϵZ б) x = ­ в) х= ­ arctg 8+πn,n ϵZ г) Корней нет д) x= π+2πn,nϵZ 5 «5» 4 «4» 3 «3» <3 «2» Вариант 2. 1. 2. 3. 4. 5. sinх=−1 cosх=0 tg x = ­8 cosх¿−1 cosх=−1.02 Ответы: Вариант 1 1­д, 2­в, 3­г, 4­б, 5­а Вариант 2 1­б, 2­а, 3­в, 4­д, 5­г  Критерии оценивания задания отметка Задания для работы на уроке. Приложение 3 sin2х+sinх−2=0 1. 2. 2 cos2х−cosх−3=0 3. 2 tg2x+3tgx−2=0 4. 5. Задания на закрепление изученного материала cos2x−sin2x−cosx=0 tg x­3ctg x=2 2sin2х−3sinх−2=0 tg x = 2­ tg2x Резервные задания 6cos2х+cosх−1=0 cos2х+3sinх=3 1) 2) 6. Заключение В данной методической разработке   представлен урок изучения нового материала. Его цель достигается путем применения традиционных методов и приемов ведения урока.  Применение традиционных методов обучения позволяет эффективно организовать учебную деятельность студентов и добиться качественного усвоения материала. В качестве основного используется практический метод. Его преимущество в том, что обучающие учатся самостоятельно получать знания, приобретают умения работать с материалом, представлять результаты своей деятельности в знаковых системах и нести за неё ответственность. Таким образом, реализуется компетентносто­ориентированный подход к обучению, что очень важно в условиях реализации ФГОС нового поколения. Список используемой литературы 1. . Колмагоров, А.Н. Алгебра и начало анализа[Текст]: Учебник 10­11кл. ОУ / А.Н.  Колмагоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын.­ Москва : Просвещение, 2010.­ 384с.  2. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. [Текст]: Учебник 10­11 кл. ОО/  Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – 19­е изд. – М.: Просвещение, 2013. –  464с.