ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ ПРОГРАММА «Стереометрия в трудных задачах»

 

 

 

 

 

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ ПРОГРАММА

 

«Стереометрия в трудных задачах»

 

 

НАПРАВЛЕННОСТЬ: естественнонаучная

 

 

 

Уровень: углубленный

Возраст обучающихся: 16-17 лет

Срок реализации: 1 год

 

Составитель: Петрова Наталья Викторовна,

 учитель математики

МКОУ Заволжского лицея

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

 

Программа «Стереометрия в трудных задачах» предназначена для обучающихся 16-17 лет. Она направлена на углубление, обобщение знаний и умений учащихся по математике, на расширение и знакомство учащихся с одним из важнейших направлений развития современной математики – стереометрией.

Актуальность предлагаемой программы определяется следующими соображениями:

математика является профилирующим предметом в вузах по широкому спектру специальностей. В старших классах углубление основного курса выполняет функции подготовки к продолжению образования и успешному окончанию средней школы. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Предметом данной программы курса является достаточно сложный раздел школьной программы – геометрия. Как показывает практика, сложные геометрические задачи вызывают наибольшие затруднения у учащихся, поэтому требуется изучение дополнительных материалов, выходящих за рамки школьного курса.

Педагогическая целесообразность предлагаемой программы объясняется следующими мотивами:

выделяются следующие недостатки в подготовке выпускников: формальное усвоение теоретического содержания курса геометрии, неумение использовать изученный материал в ситуации, которая отличается от стандартной. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач. При изучении более глубокого изучения математики в старших классах необходимы систематизация знаний, полученных учащимися в урочной деятельности, выделение общих методов и приемов решения геометрических задач, демонстрация техники решения геометрических задач, закрепление навыков решения геометрических задач.

В связи с этим необходимо делать акцент не только на овладение теоретическими фактами, но и на развитие умений решать геометрические задачи разного уровня сложности и математически грамотно их записывать. Повторение геометрического материала по разделам позволяет реализовать широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся.

 

Цель программы состоит в формировании теоретических знаний, развития логического аппарата учащихся для дальнейшего осознанного и обоснованного решения задач.

 

Задачи программы:

- формирование у учащихся верного и наглядного изображения пространственных фигур на плоскости;

- развитие пространственного воображения, умения представлять геометрический   объект;

- выработка умений корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения любой геометрической задачи;

- знакомство учащихся с различными методами решения геометрических задач;

- совершенствование навыков решения задач;

- знакомство учащихся с историей развития науки;

- организация работы с дополнительной литературой;

- развитие мыслительных, творческих способностей учащихся;

- знакомство учащихся с элементами исследовательской деятельности.

 

Отличительные особенности данной программы:

 

тематика задач, предлагаемых при изучении данного элективного курса, выходит за рамки основного курса, и уровень их сложности – повышенный и высокий.

Поскольку изучение курса геометрии дает возможность учащимся приобрести опыт дедуктивных рассуждений, учит их умению доказывать основные теоремы курса, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач, то в дополнительном образовании данная линия приобретает еще большую значимость в связи с расширением содержательной составляющей курса геометрии. Рассмотрение избранных теорем геометрии, выходящих за рамки основного курса, а также решение избранных задач различными методами подчеркивают красоту содержания учебного предмета, способствуют воспитанию эстетического восприятия геометрии, помогает выбирать из всех известных методов решения или доказательства наиболее рациональный.

 

Содержание данной программы представлено несколькими разделами. Особое внимание в программе уделяется умению «видеть» и находить расстояния между точками, прямыми и плоскостями в различных геометрических комбинациях.   Программа «Стереометрия в трудных задачах» позволяет самостоятельно ориентироваться не только в поиске решения проблемных ситуаций, но и переносить приобретенные знания, умения и навыки к поисково-исследовательской деятельности в работе над задачами.

 

Программа на 34 (1 ч. в неделю) часа.

 

Форма занятия: групповая и индивидуальная.

 

Основными формами проведения итогов реализации данной образовательной программы являются следующие:

- зачеты, контрольные работы, исследовательские работы.

Ожидаемые результаты и способы определения их результативности

В освоения изучения данной программы курса учащиеся должны:

- правильно употреблять новые термины, связанные с основными понятиями;

- знать основные аксиомы и теоремы стереометрии, признаки и свойства геометрических фигур;

- правильно анализировать условия задач;

- уметь выполнять грамотный чертеж к задаче;

- уметь исследовать поставленную задачу;

- уметь логически правильно строить свои рассуждения;

-  уметь строить искомый перпендикуляр двух скрещивающих прямых;

- умения решать геометрические задачи различными методами;

- применять полученные знания при решении задач;

- использовать символический язык для записи решений геометрических задач.

 

УЧЕБНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

 

№	Содержание темы	Кол-во часов	Виды занятий
I	Обобщение курса планиметрии	4 ч
1	Решение опорных задач планиметрии	2	Лекция.    Практикумы.   Обобщающие занятия.
2	Решение задач координатно-векторным способом.	2
II	Расстояния и многогранники в задачах.	7 ч
1	Нахождение расстояния от точки до прямой.	1
2	Нахождение расстояния от точки до плоскости	2
3	Теорема о существовании и единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых	1
4	Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.	2
5	Тестирование и выполнение задач с обоснованиями.	1	Самостоятельное решение задач с самопроверкой и взаимопроверкой.
III	Углы и многогранники в задачах.	7 ч
1	Нахождение угла между двумя плоскостями.	2	Лекция.  Практикумы. Обобщающие занятия.
3	Нахождение угла между прямой и плоскостью.	2
5	Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.	2
7	Тестирование и выполнение задач с обоснованиями.	1	Самостоятельное решение задач с самопроверкой и взаимопроверкой.
IV	Координатный метод решения задач на нахождение расстояний и углов	12 ч
	Нахождение расстояния от точки до прямой координатным методом.	2	Лекция.    Практикумы.   Обобщающие занятия.
	Нахождение расстояния от точки до плоскости координатным методом.	2
	Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным методом.	2
	Нахождение угла между двумя плоскостями координатным методом.	2
	Нахождение угла между прямой и плоскостью координатным методом.	2
	Нахождение угла между скрещивающимися прямыми координатным методом.	2
	Контрольное тестирование	2	Самостоятельное решение задач с последующей проверкой учителем.
	Защита проектов «Одна задача – решений много»	2	Учебно-исследовательская конференция

 

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

 

Раздел 1. Обобщение курса планиметрии (4 ч)

1.1. Решение опорных задач планиметрии. Решение задач координатно-векторным способом.

Основная цель -  вспомнить с учащимися основные свойства многоугольников, теоремы, помогающие решать задачи.

Многоугольники; основные свойства медиан, биссектрис, высот в равнобедренных, равносторонних, прямоугольных треугольниках; формулы площадей многоугольников; вписанные и описанные многоугольники и окружности; теоремы о касательной к окружности, о четырёхугольниках и окружностях; решение задач.

В результате изучения данного раздела учащиеся должны аргументировать утверждения при решении задач, правильно пользоваться определениями и свойствами фигур. Учащиеся должны знать и при необходимости использовать специальные свойства многоугольников.

 

Раздел 2. Расстояния и многогранники в задачах (7 ч.)

2.1. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Теоретический зачет.

Основная цель -  изучить приемы нахождения расстояний между двумя точками; между точкой и фигурой; между двумя фигурами; изучить приемы нахождения этих расстояний. Формировать умения «видеть» и вычислять различные расстояния в пространстве, используя многогранники и многоугольники, расположенные в пространстве; решать задачи метрического характера на нахождение расстояний, углов, площадей, используя куб, правильную пирамиду, правильный тетраэдр, параллелепипед, корректно аргументируя каждый шаг построения изображения, доказательной и вычислительной частей решения задачи; используя геометрические места точек в пространстве, осуществлять пропедевтическую работу по подготовке учащихся к решению содержательных задач в вузах.

В результате изучения данного раздела учащиеся должны определять расстояния: от точки до прямой и до плоскости; между двумя параллельными плоскостями; между двумя скрещивающимися прямыми; знать основные геометрические места точек в пространстве;

 

 

Раздел 3. Углы и многогранники в задачах (7 ч.)

3.1 Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя плоскостями. Угол между двумя скрещивающимися прямыми. Теоретический зачет.

 

Основная цель -  изучить способы нахождения углов между двумя прямыми; между прямой и плоскостью; между двумя плоскостями; между двумя скрещивающимися прямыми. Формировать умения «видеть» и вычислять углы в пространстве, используя многогранники и многоугольники, расположенные в пространстве; решать задачи метрического характера на нахождение расстояний, углов, площадей, используя куб, правильную пирамиду, правильный тетраэдр, параллелепипед, корректно аргументируя каждый шаг построения изображения, доказательной и вычислительной частей решения задачи.

В результате изучения данного раздела учащиеся должны вычислять углы: между двумя прямыми; между прямой и плоскостью; между двумя скрещивающимися прямыми; между двумя плоскостями.

 

Раздел 4. Координатный метод решения задач на нахождение расстояний и углов (12 ч)

 Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты точки. Формулы нахождения: расстояния между точками в координатах; точки координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, середины отрезка. Решение простейших задач стереометрии в координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Нахождение угла между прямыми в пространстве. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Нахождение угла между двумя плоскостями.

Основная цель -  формировать умения учащихся с помощью уравнений прямых и плоскостей решать задачи стереометрии на нахождения расстояний и углов, используя в качестве объектов правильный тетраэдр, правильную пирамиду, куб, призму.

В результате изучения данного раздела ученик должен в координатной форме знать и понимать выражение скалярного произведения и условие перпендикулярности двух векторов; условие коллинеарности двух векторов, условие компланарности трех векторов; формулу вычисления длины вектора, а также формулу расстояния между двумя точками, деления отрезка в данном отношении. Формулу для вычисления расстояния от данной точки до данной плоскости. Формулы для нахождения углов. Уметь: находить длину вектора, расстояние между двумя точками и координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении; вычислять скалярное произведение двух векторов и определять, перпендикулярны ли они; вычислять расстояние: от данной точки до данной плоскости (прямой); между параллельными плоскостями; между параллельными прямой и плоскостью. Находить углы между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. С помощью уравнений прямых и плоскостей решать метрические задачи стереометрии. 

 

ОРГАНИЗАЦИОННО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ

РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ

При реализации Программы в учебном процессе используются методические пособия, дидактические материалы, материалы на электронных носителях, интернет-ресурсы.

Занятия построены на принципах обучения развивающего и воспитывающего характера: 

ü  доступности; 

ü  наглядности; 

ü  целенаправленности;

ü  индивидуальности; 

ü  результативности.

В работе используются разные методы обучения:

ü  вербальный (беседа, рассказ, лекция, сообщение); 

ü наглядный (использование мультимедийных устройств, использование интернет-ресурсов и т.д.); 

ü практический (выполнение практических заданий в объединении); 

ü самостоятельной работы;

ü работа над проектом и т.д. 

Усвоение материала контролируется при помощи педагогического наблюдения за выполнением практических заданий и работ, тестирования.

Итоговое (заключительное) занятие объединения проводится в форме защиты проектов и подведения итогов обучения.

 

Материально-технические условия реализации Программы

Программа реализуется в учебном кабинете с возможностью зонирования пространства как для индивидуальной, так и для групповой работы. 

Размещение учебного оборудования должно соответствовать требованиям и нормам СанПиН, правилам техники безопасности и пожарной безопасности. 

Требования к мебели: количество стульев должно соответствовать количеству обучающихся; мобильные парты должны обеспечивать возможность индивидуальной работы, работы в микрогруппах и коллективной работы.

Требования к оборудованию: интерактивная доска или проектор, экран, звуковое оборудование; МФУ или принтер и сканер; компьютер или ноутбук для педагога. 

 

Литература:

1. Елизарова, Н.Г. О расстоянии от точки до плоскости. / Н.Г. Елизарова, Р.С. Понарядова // Математика в школе – 2009. - № 4 – С. 67 – 73.

2. Кожухов С.К. О некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми / С.К. Кожухов, В.К. Володин // Математика в школе – 2008. - №1. – С.15-17.

3. Потоскуев Е.В. Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ. – М.: Илекса, 2012. – 108 с.

4. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. – 64 с.

5. Звавич, Л.И. Тематические тестовые задания 7-9 классы (ЕГЭ: шаг за шагом) / Л.И. Звавич, Е.В. Потоскуев // - М. : Дрофа, 2011. – 189 с.

6. Черняк, А.А. Геометрия. 7 – 11 классы (ЕГЭ: шаг за шагом) / А.А. Черняк, Ж.А. Черняк // – М.: Дрофа, 2011. – 247 с.

7. Семёнов А.Л., Ященко И.В. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2009. – 272 с. – (Готовимся к ЕГЭ).