Дополнительный материал к урокам математики" ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОНЯТИЯ «НОЛЬ» (3-4 классы)

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОНЯТИЯ «НОЛЬ» Оглавление Оглавление...............................................................................................................1 Введение...................................................................................................................2 Глава I. История возникновения понятия «ноль»..................................................4 1.1. Как жили раньше без ноля?..........................................................................4 1.2. Вавилонская система исчисления.................................................................9 1.3. Родина нуля...................................................................................................9 1.4. «Великое переселение» ноля.....................................................................11 1.5. Ноль в Европе..............................................................................................12 1.6. Ноль на Руси................................................................................................15 .............................................................................................................................15 1.7. Ноль в альтернативных культурах.............................................................16 2.1. Восприятие понятия «ноль» математиками и философами.....................18 2.2. Ноль в нашей жизни....................................................................................24 Глава III. Ноль - это самое проблематичное место в математике.......................27 Заключение.............................................................................................................32 Список литературы................................................................................................33 1.Вернемся к пониманию цифр// http://www.sciteclibrary.ru/cgi- bin/yabb2/YaBB.pl?num=1302598800/26.............................................................33 2.Деление на ноль возможно// http://ndspaces.narod.ru/1by02.htm.................33 10.Как изобрели цифру ноль// http://atamanovka.ucoz.ru/publ/15-1-0-1653........33 Приложение............................................................................................................35 Прошлое и настоящее ­ наши средства,  только будущее ­ наша цель. Блез Паскаль(1623 ­ 1662 гг.), математик, физик,  писатель и религиозный философ.  Само познанье не едино, Оно для опыта дано, Чтоб оценить систему мира, Как по частям, так и всего. Введение   Цель моей работы выяснить  возникновение и историю понятия «ноль». Мы решаем задачи и примеры. Каждый раз записываем решение с помощью наших   цифр,   оперируем   ими.   В   повседневной   жизни   слышим   о   них   по   делаем   покупки, телевидению   и   радио, разговариваем с людьми и т.д. ­ они всегда рядом с нами. Слово “цифра” происходит от арабского “цифр”, – порожней или свободный. Сначала так же этим словом   назывался   символ,   который   у   арабов   и индусов употреблялся для обозначения нуля. Сам по себе он не значил ничего, но, будучи приставленным сбоку, увеличивал значение в 10 разов. К середине XVI века слово “цифра” распространилось на все   арабские   символы,   использовавшиеся   для   представления   чисел.   Всего цифр в десятичной системе 10: от 0 до 9. В двоичной системе цифр всего две: 0 и 1.0 являет собой бесконечность, безмерное бытие, первопричину всего сущего,   Брахманду   или   яйцо   Вселенной,   солнечной   системы   во   всей   ее полноте.   Таковым   образом,   ноль   обрисовывает   собой   универсальность.   Он 2 также   связан   с   отрицанием   и   ограничением.   Так   ноль   означает   безмерное величие   и   безмерную   малость.   Он   знаменует   собой   круг   бесконечности   и центральную точку, атом. В нуле находятся все числа от 1 до 9, и когда ноль соединяется с этими числами, то развивается необыкновенная серия чисел. К образцу, когда ноль объединяется с числом 1, возникает серия чисел с 11 по 19. Введение нуля с целью развития математики, общей науки, и современной технологии привело народонаселение земли к веку компьютеров, но сам по себе ноль не существует.  Традиционные   западные   соответствия   для   этого   числа: беспредельность,   неопознанность,   безграничность,   пустотность,   истина, чистота, любовь, альфа и омега, полнота, первопричинность, непроявленность, вдох Господа, источник сущего, место, осознанность [1]­[18].                      Цель: расширить свои знания о некоторых страницах истории чисел, в частности   выяснить,   как   вошло   в   наше   сознание   понятие   «ноль»   и   какие математические трудности связаны с этим числом.       Задачи: 1. Определить причины и последствия событий, приведшие к возникновению понятия «ноль». 2. Обобщить  информацию, связанную с историей возникновения нуля. 3. Оформление работы.        Методы работы (теоретические и эмпирические методы исследования): анализ литературы и интернет ресурсов. 3 Глава I. История возникновения понятия «ноль» «...– А еще один университетский волшебник как­то рассказал мне, что есть такая штука, «ничего», ну, ты наверняка знаешь, так вот, ее­то клатчцы и  придумали. А я его и спрашиваю: «Как так? То  самое ничего?» – «Ага, – говорит. – Это и есть их  большой вклад в архиметику. А именно – ноль». – И в самом деле, похоже, не шибко умные люди  то, – заметил Шнобби. – Я вот тоже, к примеру,  ничего не изобрел. Этак каждый может. – К чему я и веду, – поддержал Колон. – Я этому  волшебнику говорю: есть, мол, люди, которые  придумали, допустим, четыре… или… или… – …Семь… – Точно, семь. Вот эти люди – настоящие гении. А  НИЧЕГО изобретать не надо. Оно и так есть». (Т. Пратчетт «Патриот»)  1.1. Как жили раньше без ноля? Один из наиболее общих вопросов, который задают: кто открыл нуль? Ответить на этот вопрос в удовлетворительной форме невозможно. Если бы кто­то пришел к понятию “нуль”, а потом все увидели, какое это блестящее нововведение   в математике,   то   на   вопрос   можно   было   бы   дать удовлетворительный ответ, если даже было бы неизвестно, какой гений это придумал.   Однако   исторически   возникновение   этого   понятия   было совершенно иным. Неявно нуль появлялся, чтобы затем исчезнуть опять, как будто математики все еще искали его и не признавали его фундаментального значения даже тогда, когда нашли его. Первое, что нужно сказать о нуле, это то, что имеется два варианта его использования, оба очень важные, но немного различные. Один путь – это указатель пустого разряда в нашей позиционной системе счисления. Так, в 4 числе   2106   нуль   служит   для   того,   чтобы   позиции   2   и   1   были   верными. Очевидно, что 216 значит совершенно иное. Второй вариант использования нуля – это число, которое мы обозначаем 0. Имеются также разные аспекты применения нуля и внутри каждого из этих вариантов, а именно: понятие, обозначение   и   название.   (Наше   название   “нуль”   –   zero   –   происходит   в конечном счете от арабского “sifr”, которое также дало нам слово “цифра” – “cipher”). Однако   ни   один   из   указанных   выше   вариантов   не   имеет   истории, которую   можно   легко   описать.   Просто   не   получилось   так,   что   кто­либо придумал   идеи,   а   потом   все   начали   их   использовать.   К   тому   же,   нужно отметить,   что   нуль   –   далеко   не   интуитивное   понятие.   Математические проблемы   возникли   как   практические,   а   не   абстрактные   задачи.   Числа   в ранние   исторические   эпохи   имели   более   конкретное   значение,   чем   то абстрактное   понятие,   которым   они   являются   сегодня.   Есть   огромные мыслительные   различия   между   пятью   лошадьми   и   пятью   вещами,   и абстрактным   понятием   “пять”.   Если   люди   в   древности   решали   вопрос, сколько лошадей необходимо иметь фермеру, то ответом на него не могло быть ни 0, ни –23. 5 можно Как вообще   считать без   ноля?   (Или нуля   –   оба   не варианта будут ошибкой.)   голове   В не укладывается, но   в   средние века европейские математики не знали такого понятия ­ и как­то обходились в своих сложнейших уравнениях без него. Впрочем, даже узнав о «восточной диковинке», долгое время учёные не решались использовать её – ведь это число ничего не исчисляет! Однако, как показала практика, ноль был таким   же прогрессивным решающим изобретением, как и само колесо. Восток – колыбель ноля Как   жили   раньше без ноля? Начать с того, что   большинство   систем счёта   древности   были непозиционными   –   как всем   известные   римские цифры.  Кому не знакома римская   нумерация, ее  ­ памятник Петру I на Сенатской ае  вс дник М дный площади в Санкт­Петербурге 6 которой мы обозначаем века, королей­тезок и разделы в книгах? В огромной империи ноль был не востребован – даже для обозначения десятков и сотен. Число 20 записывается двумя десятками (ХХ=10+10), а 102 – сотней и двумя единицами (CII=100+1+1). Вроде бы всё просто, но вот беда – для каждого нового разряда надо выдумывать новый знак (I– 1, V–5, X–10, L–50, C–100, D–500, M–1000), иначе  крупное число из одних единиц  станет длинным  и неразборчивым. Однако чем больше число – тем более оно громоздкое, и тем больше времени нужно потратить хотя бы на то, чтобы прочитать его, а не то что совершать с ним математические операции [7].  На   постаменте   знаменитого   питерского   Медного   всадника   написана   дата открытия памятника – MDCCLXXXII. Сразу ли вы догадаетесь, что это 1782 год? Ну а совершать подсчеты, оперируя такими числами, было еще труднее.   Вот   как   бы   записали   древние египтяне   число   23145.   (Я.И. Перельман   ­   "Занимательная арифметика") 7 Абак и счеты позволяли работать с разрядами быстро и просто. (Фото: ru.wikipedia.org) На   практике производить расчёты римлянам помогали абаки счётные ­   доски,   которые дожили   и   до наших   дней   в несколько изменённом виде   и уступили   свои позиции только электронным калькуляторам. Абаки   и   счёты были   разделены   на   несколько   позиционных рядов  – единицы, десятки, сотни.  Так, чтобы обозначить   на   счётах   число   двести   семь,   на первой проволоке (разряд единиц) отбрасывали в   сторону   семь   костяшек,   на   третьей   (ряд сотен)   –   две,   а   на   второй   (разряд   десятков) ничего   не   отбрасывали,   так   как   десятков   в числе   не   было.   Вот   этот   пробел,   это   пустое место и стало первым прообразом нуля. Говоря образно,   нуль   как   число   и   цифра   появился практически из ничего.  8 1.2. Вавилонская система исчисления Произошло   это,   конечно,   не   сразу. Одно дело – пустое место, другое дело – знак, и уж совсем третье – число. Первые шаги   от   пробела   к   знаку   сделали вавилоняне.   Их   система   счета   была позиционной,   как   и   наша,   но   если   у   нас каждый новый разряд в десять раз больше предыдущего,   то   у   вавилонян   –   в шестьдесят.   Суть   позиционной   системы заключалась   в   том,   что   каждый   новый разряд   записывался   одними   и   теми   же знаками,   только   располагали   их   левее предыдущего разряда. У вавилонян знаков было   два:   вертикальным   клинышком обозначали   единицу,   а   горизонтальным   – десятку. Таким образом записывали числа от   1   до   59,  а   число   60  снова   обозначали вертикальным   клинышком.   Как   это выглядело, вы можете увидеть на рисунке внизу [15]. пользовались позиционной системой, но шестидесятичной. Грубо говоря, там, где у нас шли десятки и сотни, у них были шестидесятки и тристашестидесятки. (Я.И. Перельман - "Занимательная Записывая числа, вавилоняне арифметика") Если какой­нибудь разряд отсутствовал, вавилоняне ставили пробел, а в V   в.   до   н.э.   стали   обозначать   пропущенный   разряд   двумя   клинышками. Правда, в конце числа отсутствие разряда не обозначали, в результате числа 1 и 60 выглядели одинаково и различались, видимо, исходя из контекста того, что считали. 1.3. Родина нуля Родиной   настоящего   нуля   по   праву   считают   Индию,   математики которой,   судя   по   всему,   совместили   позиционный   принцип   вавилонян   с десятичной  системой  китайцев.  Гениальным  итогом  индийской  математики 9 стала запись любых чисел с помощью десяти цифр, которыми мы пользуемся поныне и которые не совсем справедливо называем арабскими (cами арабы, кстати,   всегда   называли   их   индийскими).   Позже   всех   знаком   наградили злосчастный нуль.  Само понятие нуля (индийцы называли его «сунья/шунья» – пустое) по­ видимому возникло в середине V века. Первое же изображение нуля было обнаружено в числе 270, начертанном на стене г. Гвалиора (876 г.). Очень важно,  что   нуль   здесь   впервые   стоит   в   конце   числа   и   внешне   напоминает знакомую нам дырку от бублика (разве что немного меньше других цифр). Форма нуля отобразилось и в нашей речи, ведь когда мы хотим оставить в числе   только   крупные   разряды,   заменив   остальные   нулями,   то   говорим «округлить». Есть гипотеза, что сам знак нуля индийцы переняли у греков. Да­да, греческая   непозиционная   система   годилась   для   небольших   чисел,   но   для точных   и   громоздких   астрономических   расчетов   Клавдию   Птолемею приходилось   пользоваться   вавилонской   системой   –   с   ее   помощью   он записывал дроби. Вместо пропущенного разряда астроном ставил букву «О». Как и вавилоняне, в конце числа пропущенный разряд Птолемей не обозначал и числом не считал. Заметьте, нуль имеет смысл лишь там, где мы говорим об отсутствии ЧЕГО­ЛИБО. В  христианском богословии  даже был  прием доказательства бытия Божьего через отрицание. Он назывался апофатическим и заключался в том, что Бога определяли через то, чем он НЕ ЯВЛЯЕТСЯ. Так и нуль служит для исчисления ОТСУТСТВУЮЩЕГО в категориях, которые сами являются существующими. Разряд в числе – категория реальная и конкретная, но если он пуст, то мы употребляем для его количественной характеристики нуль.  10 Еще проще это пояснить на примере нескольких бидонов для молока. Отсутствие   в   одном   из   них   молока   отнюдь   не   отменяет   самого   бидона, поэтому   число   «ноль   литров»   имеет   вполне   конкретное   отношение   как   к бидону,   так   и   к   отсутствующему   в   нем   молоку.   В   математике   одно   из определений нуля так и гласит: «Нуль – это мера пустого множества, число элементов в множестве, в котором нет ни одного элемента». 1.4. «Великое переселение» ноля С   изобретением   ноля   в   десятичной   позиционной   системе   произошла революция – всё стало на свои места и получило строгую иерархию, а расчёты существенно   упростились   (наконец­то   можно   производить   расчёты   в столбик!)  Арабы, вторгнувшиеся на территорию Индии в VII веке, не могли пройти мимо этого великого открытия. Именно у арабов индийская система получила развитие и обросла новыми терминами – «алгебра», «алгоритм» и др. Здесь ноль назывался «аль­сифр», от которого происходит наше слово «цифра» (правда, применяемое ко всем 10 знакам, а не только нолю) – а от него   произошло   слова   «шифр».   Другое   название   –   «zephirum»,   то   есть «зефир», как ещё называют ветер (отсюда англиское название ноля ­ «зеро»). Позже термин «цифра» распространился на все знаки арабской нумерации. Слово же «ноль/нуль» вошло в обиход в XVI веке и произошло от греческого nullus – «никакой». Через арабов позиционная система счета пришла в Европу – и хоть мы привыкли   называть   цифры   «арабскими»,   они   являются   не   иначе   как индийскими, а сами арабы никогда не приписывали себе подобной заслуги. Знаменитый   математик   Аль­Хорезми   (IX   в.)   писал   в   своей   книге «Индийское искусство счета»: «Если не остается ничего, то пишут маленький кружок,   чтобы   место   не   оставалось   пустым.   Этот   кружок   должен   занять 11 место, потому что в противном случае у нас будет меньше разрядов, и второй, например, мы можем счесть за первый». Слова "Зеро" и "шифр" произошли от слова "цифра", которое первоначально означало только "нуль". (Фото: ru.wikipedia.org) Вот так в течение веков изменялось написание арабских цифр. (Я. И. Перельман ­ "Занимательная арифметика") 1.5. Ноль в Европе На   латыни   ноль звучит   как   всё   та   же   «ciffra». Другое название   ­   «thеta»   ­ «тэта»,   или   «theca»   ­ «тека».   Так   же латинские   переводы арабских   трактатов называли «circulus»   ноль («круглый»). Такая форма ноля отобразилось впоследствии в нашей речи: мы говорим  «округлить»,  когда   хотим   отбросить   единицы   и   оставить   в  числе только   крупные   разряды.   Но   современное   название   –   «ноль/нуль»   ­ 12 происходит от греческого слова «nullus» – «никакой», и вошло в обиход в 16 веке [11]. Итальянский   математик   Леонардо   Фибоначчи   одним   из   первых заинтересовался индийской системой счёта, и не исключено, что именно его готовность   к   восприятию   нового   позволила   ему   сделать   ряд   важнейших открытий   и   закономерностей.   Но   его   пропаганда   столь   удобного   способа записи   и   счёта   в   своей   «Книге   Абака»   не   возымела   особого   действия   на учёные средневековые лбы. В 1202 году он написал в своей «Книге абака»: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих   знаков   и   знака   0,   который   называется   по­арабски   zephirum,   можно написать какое угодно число». Реклама Фибоначчи не особо подействовала на   она   предпочитала   не   связываться   с европейскую   профессуру, подозрительными нулями и арабами и продолжала считать по старинке – с помощью античной системы или абака.  Когда   Фибоначчи   попытался   объяснить   своим   современникам   смысл понятия   ноля,   церковь   сочла   это   новшество   чересчур   революционным. Некоторым   инквизиторам   ноль   показался   творением   дьявола.   Ведь   если каким­то числам он прибавлял могущества, то другие, которые пытались на него   помножить,   он   просто   сводил   на «нет».   Говорили   о   том,   что   ноль   – великий   «уничтожитель»,   что   он превращает все к нему приближающееся в   ноль.   А   единицу,   напротив,   считали цифрой   очень   почтенной,  не   меняющей того,   что   на   нее   помножено.   Ноль, умноженный   на   пять,   остается   нулем. Единица,   умноженная   на   пять, 13 становится   пятью.   Но   в   конце   концов   все   уладилось.   Церковь   слишком нуждалась   в   хороших   бухгалтерах   для   того,   чтобы   не   понять   чисто материалистическую выгоду использования ноля. И   даже   в   16   веке   математики   продолжали   всячески   избегать   ноль, упёрто придерживаясь античной системы и полагаясь на счётные доски. Так, итальянский математик Джеронимо Кардан (1501–1576) умудрялся решать кубические и квадратные уравнения, не пользуясь нулем, что делало расчеты крайне сложными.   Но, надо признать, эту простую и удобную систему сразу же оценили банкиры и   купцы,   которые   считали   вполне   реальные   деньги,   а   не   извлекали воображаемые корни из воображаемых чисел в пыльной библиотеке. Уже в 15 веке   неакадемический   люд   вовсю   считал   с   помощью   индийских   цифр, опережая учёные умы на столетия. Окончательно же десять знаков, включая ноль, утвердились в европейской науке лишь к началу 18 века. 14 1.6. Ноль на Руси Здесь новая цифра появилась не так уж давно, и перекочевала, по всей видимости, уже из просвещённой Европы. Леонтий Магницкий, который так же   ввёл   названия   «миллион»,   «триллион»,   «биллион»,   «квадриллион», «множитель»   и   многие   другие,   на   рубеже   17­18   столетий   писал   в   своей «Арифметике» о ноле достаточно неуверенно. Так, математик называл его то «цифрой», то «ничем», то вообще «ни за что». Математические рукописи 17 века ноль называли «оном» ­ из­за сходства с буквой «О». 15 1.7. Ноль в альтернативных культурах Многие вещи и понятия были известны американским индейцам задолго до их изобретения в Европе. И, хоть у нас принято брать в расчёт только то, что появилось и было использовано у нас, а не существовало когда­то и стало известно благодаря изучению реликтов древности, ­ всё же, справедливости ради,   нужно   отдать   должное   культуре   Майя.   У   них   ноль   существовал,   и причём вполне реальный – в виде пустой раковины. За тысячу лет до индусов они уже использовали ноль в своей двадцатеричной системе исчисления. В календаре Майя месяц начинался не с первого, а с нулевого дня «Ахау». Ноль понимался не как «дырка от бублика», а как знак бесконечности, «начало» и «первопричина». Что до культуры инков, то они могли бы снять собственную трилогию «Матрицы»   ­   ведь   их   система   счёта   очень   близка   с   двоичной   системой исчисления,   лежащей   в   основе   работы   современной   техники.   «Кипу» представляла собой верёвочные сплетения и узелки, в которых и содержалась вся информация. Учитывая, что шнурки разделялись на 24 цвета, из­за чего 16 количество возможных комбинаций достигает 1536 – что в два раза больше, чем могли рассказать египетские иероглифы. 17 «О   вы,   нули   мои   и   нолики, Я   вас   любил,   я   вас   люблю!    меланхолики, Скорей   лечитесь, Прикосновением к нулю! ...Когда умру, то не кладите, Не покупайте мне венок, А лучше нолик положите На мой печальный бугорок». Глава II. Признание понятия «нуль» (Н. Олейников) 2.1. Восприятие понятия «ноль» математиками и философами. Выше   мы   уже   говорили,   как   тяжело   усваивалось   европейскими математиками   понятие   «Нуля».   Как   мне   кажется,  тому   были   свои   – мировоззренческие – причины. Космос   в   учениях   древнегреческих   философов   был   материален,   а мироздание – предметно. Для античного разума появление  мира из ничего было   непредставимым.   Мироздание   могло   родиться   из   неупорядоченного Хаоса, воды, огня, апейронов и прочих первоэлементов – из чего угодно, но только не из пустоты. Недаром числовой основой мироздания Пифагор считал единицу, и все остальные числа возникали уже из нее. Небытие, бессущность, как и понятие числа, ничего не исчисляющего, были для греков одинаково абсурдны. Об этом красноречиво свидетельствуют и два знаменитых античных принципа – Natura abhorret vacuum («Природа не терпит пустоты») и Ex nihilo nihil («Из ничего ничто не появится»). Даже для Демокрита, оперирующего понятием пустоты, эта пустота была лишь условием для пространственного 18 существования   и   движения   атомов   –   всё   тех   же   изначальных,   вечных, неделимых и качественно неизменных первоэлементов. Ну,   а   если   тому   же   Клавдию   Птолемею   приходилось   пользоваться позиционной системой и обозначать отсутствие разряда знаком, то этот знак ни в коем случае не воспринимался числом, он был просто заменой слову «ничего». И подобное отношение европейских ученых к нулю продержалось еще   несколько   веков.   Фибоначчи   явно   отказывает   нулю   в   равноценности другим   цифрам.   А   Рене   Декарт,   много   сделавший   для   окончательной «легализации» нуля, сам считал его числом «ложным», «ненастоящим» (туда же он относил и отрицательные числа). Мол, для математических операций оно необходимо, но всерьез к нему относиться не стоит. Во многих словарях «нуль» как число до сих пор характеризуют только через арифметические операции. «Советский энциклопедический словарь», 1980 г.: «Число   0   от   прибавления   (или   вычитания)   которого   к   любому   числу последнее не меняется». Для   нас   этот   знак   так   и   остался   ничтожным   «ноликом»,   который становится «могучим нулем» только в сочетании с другими «настоящими» числами. Недаром такие выражения, как «Полный ноль», «Нуль без палочки»,   а   глагол   «аннулировать» характеризуют   ничтожного   человека, свидетельствует о полном уничтожении чего­либо. Иное дело – восточное сознание. Индуистов и буддистов Пустота не пугала. Мало того – только бессущное, безвещественное, непредставимое и считалось   настоящим,   истинным   в   противовес   «покрову   Майи»   –   тому иллюзорному   непрочному   меняющемуся   миру,   который   нас   окружает.   У 19 античного мировосприятия не было ничего похожего на буддистскую Нирвану или китайское Дао – понятия по определению не поддающиеся описанию. Поэтому представление о нуле как о ЧИСЛЕ опять­таки возникло в Индии.   Там   же   впервые   попытались   описать   математические   действия   с нулем. Сложение и вычитание дались индийцам просто. Справились они и с умножением, определив, что умножая число на нуль, мы получаем тот же нуль. И действительно – умножить число на ноль, это взять это число ноль раз, то есть, не брать вообще, а, следовательно, и результат будет нулевой. Настоящие   проблемы   возникли   с   делением   на   нуль.   С   детства   мы заучили,   что   делить   на   нуль   нельзя,   но   мало   кто   помнит,   почему   нельзя. Индийские математики делить на нуль отчаянно пытались. Так Брахмагупта (VII в.) писал, что «нуль на нуль есть нуль», а про число, деленное на нуль, пишет очень осторожно – «Положительное или отрицательное число, деленное на нуль, есть дробь с нулем в знаменателе». Более смелую попытку осознать деление на нуль сделал Бхаскара. Бхаскара, «Сиддханта­сиромани» («Венец науки») ок. 1150 г: «Величина, деленная на ноль, становится дробью с нулем в знаменателе. Эта дробь называется бесконечной величиной. Эта величина состоит из величины, имеющей ноль в качестве делителя, она постоянна, несмотря на то, что к ней можно многое добавить и многое из нее извлечь, так же как   бесконечен   и   неизменен   Бог   даже   тогда,   когда   создаются   или прекращают   существовать   целые   миры   и   множество   существ поглощается либо «извергается». Логика индийского математика понятна – при уменьшении знаменателя дробь   автоматически   возрастает,   а   значит,   если   знаменатель   становится ничем,   то   результат   поневоле   должен   обернуться   бесконечностью. 20 Непредставимое   отсутствие   обращается   таким   же   непредставимым нескончаемым   присутствием.   Нуль   здесь   как   бы   выступает   антагонистом Бесконечности и Вечности. Уже   одного   этого   достаточно,   чтобы   европейские   математики возненавидели   деление   на   нуль   и   отреклись   от   него.   Конечно,   и   они оперируют   понятием   бесконечности,   например,   признают   бесконечность числового ряда и стремление к бесконечности (вспомним графики, которые постоянно   приближаются   к   осям   координат,   но   никогда   с   ними   не пересекаются).   Однако   и   в   этих   случаях   математики   имеют   дело   с ОПРЕДЕЛЕННЫМИ   числами.   Чистая   же   бесконечность   невыразима численно, и арифметические операции с ней просто лишены смысла. «Идите вы… к философам!» – как бы говорят математики. К.Ф. Гаусс, 1831: «Я   возражаю   против   использования   бесконечных   величин   как   чего­то завершенного, это не допустимо в математике. Бесконечность – это всего лишь речевой оборот, реальное значение которого – предел, к которому неограниченно приближаются определенные отношения, в то время как другим позволено бесконечно увеличиваться». Запрет деления на нуль математики объясняют вполне логично. Пусть m:0 = n. Тогда должно выполняться и обратное действие – n∙0 = m. Но ведь мы   знаем,   что   умножение   на   нуль   всегда   дает   нуль,   следовательно, предыдущий результат был ошибочен. Хорошо, скажете вы, но ведь нуль на нуль   делить­то   можно.   Действительно,   кажется,   что   выражение   0:0=0 истинно,   ведь   истинно   и   обратное   действие   –   0∙0   =   0.   Однако   не   будем спешить   с   выводами.   Возьмем   не   менее   истинное   выражение   4∙0   =   0   и произведем обратное действие. Получается, что 0:0 = 4! А почему не пять, не 21 тридцать, не сто двадцать три? Ведь любое число, умноженное на ноль, даст ноль.   Следовательно,   ноль,   деленный   на   ноль,   тоже   должен   дать   ЛЮБОЕ число, что сводит на нет саму суть чисел. Множество хитрых математических лжедоказательств, вроде того, что «дважды два – пять», содержат в своих действиях закамуфлированное деление на нуль. Всё это безобразие и привело к тому, что математики запретили деление на нуль. Ведь отказаться от самого нуля они уже не могли… Настоящий   путь   к   равноправию   нуль   начал   после   появления   в математике   отрицательных   чисел.   Думаю,   теперь   вы   не   сильно   удивитесь тому, что это открытие сделали всё те же индусы. На этот раз большую роль сыграла   житейская   практика,   а   не   отвлеченное   мышление.   Недаром отрицательные   числа   индийцы   называли   «долгами»,   предвосхищая бухгалтерский учет и распространенное выражение «пойти в минус», то есть, понести убытки вместо прибыли. Границей между прибылью и убытками стал «нулевой баланс», где затраты и прибыль взаимно погашают друг друга. Так   нуль,   ранее   только   заполнявший   пустые   разряды,   начал   «карьеру» разделительного барьера между разнокачественными  числами. В XVII веке Декарт вводит в обиход математики свою систему координат (видимо, не без влияния географической сетки, изобретенной еще древними греками). Вместе с ней нуль обрел графический зрительный  образ, став точкой пересечения осей абсцисс и ординат – точкой, в которой исчезали как количественные, так и качественные характеристики чисел. А. Степанов в своей работе «Число и культура» считает, что и здесь проявился европейский рационализм по отношению к нулю. Он пишет: «Нуль – такая же «точка», как и остальные числа. Геометрия предполагает сенсорную   зримость,   наглядность,   и   о   каком   же   «настоящем» отсутствии   тогда   может   идти   речь?   Европейцы   с   самого   начала 22 «материализовали» нуль. Кроме того, арифметика и геометрия вообще принципиально различны». 23 2.2. Ноль в нашей жизни Самый известный разделительный нуль – это конечно нуль шкалы термометра. Сначала положение нуля было определено самой минимальной температурой, которую   ученый   Фаренгейт   смог получить в своей лаборатории (это была   температура   смеси   соли   и льда).   Нам   же   более   знакома температурная   шкала   Цельсия,   в которой   нуль   градусов   –   это температура   плавления   льда.   Для живого   организма,   состоящего   в основном   из   воды,   и   живущего   в   окружении   воды,   эта   система   отсчета оказалась наиболее удобной. Выражения «ниже нуля» и «выше нуля» дают достаточно реальное представление о погоде за окном. Однако для ученых Кельвин разработал абсолютную температурную шкалу, где никакого «ниже нуля» нет. Здесь нуль назван абсолютным и составляет минус 273 градуса по Цельсию. При такой температуре должно полностью прекратиться всяческое движение   атомов   и   молекул.   «Должно»   –   сказано   не   случайно,   ибо   (если законы термодинамики правы) считается, что в реальности абсолютный нуль недостижим.   Объясняется   это   тем,   что   чем   ближе   система   подходит   к абсолютному нулю, тем больше работы нужно затратить  на ее дальнейшее охлаждение. 24 После   введения   координат   нуль   утвердился   в   массовом   сознании   как исходная точка. Сегодня никого не удивляет выражение «начать с нуля» или время 00:00. А вот древние греки никогда бы не произнесли «ноль часов». Полночь для них была бы двадцать четвертым часом, после чего начался бы отсчет часа первого – и никаких там нулей. Подобный счет во многом не лишен смысла, ведь нередко привычка относиться к нулю как к точке отсчета, приводит   к   несуразностям.   Взять   хотя   бы   памятное   празднование   так называемого «миллениума». Начало нового тысячелетия народы мира дружно отпраздновали   1   января   2000   года,   искусившись   красивой   круглой   датой. Хотя не надо быть ученым, чтобы понять, что двухтысячный год – не первый, а последний год тысячелетия. Тем   не   менее,   «время   номер   ноль»   в современной   науке   выглядит   не   таким   уж абсурдом.   Именно   нулевой   точкой   отсчета времени   принято   считать   момент   Большого взрыва  –  момент   образования   Вселенной.  О том, что было до этого, ученые предпочитают не рассуждать – с этим бы разобраться!   Нулевой меридиан в Гринвиче  (маркировка на полу и на здании).  Именно от него отсчитывают долготу     Наконец,   без   ноля   не   существовало   бы современной   компьютерной   техники.   Еще   в   первой   половине   ХIХ   века немецкий   инженер   Конрад   Цузе   сконструировал   первую   электрическую вычислительную   машину,   которая   оперировала   цифрами   "1"   и   "0".   Ноль означал, что ток отсутствует, единица ­ что ток есть. Со временем на смену машине   Z1   пришли   ЭВМ.   Но   в   основе   их   работы   ­   все   тот   же   принцип бинарного (двоичного) счисления.    А представить себе современную жизнь 25 без   компьютера   уже   так   же   трудно,   как   и   то,   что   когда­то   наши   предки испытывали ужас перед цифрой "0". Так что нуль, при всем удобстве его использования, до сих пор остается самым загадочным числом, более того – знаком и символом, выходящим за рамки математики в область чистой философии, где господствуют такие же таинственные понятия, как Вечность и Бесконечность. Благодаря нулю, люди смогли оперировать с тем, что они не могут представить. А разве это не чудо? 26 Глава III. Ноль ­ это самое проблематичное место в математике В принятой современной системе аксиом   и   определений,   именуемых "математика", деления на ноль не было, нет   и   никогда   не   будет.   В   Природе деление   на   ноль   было,   есть   и   будет всегда.   Как   и   любой   другой   закон Природы, деление на ноль не зависит от глубины наших познаний. Например, закон всемирного тяготения исправно работал задолго до того, как появилась Солнечная система и планета Земля. Даже   когда   люди   свято   верили   в   то,   что   Земля   держится   на   трех   китах, падали они всегда, почему­то, вниз. Можно тысячи раз на день повторять, что деление   на   ноль   невозможно,   и   тысячелетиями   пользоваться   его плодами)))) [13]­[15]. Согласно общепринятому определению, ноль ­ это число, отделяющее  положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль ­ это  самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а  все математические действия с нулём основаны не на логике, а на  общепринятых определениях.       Первый   пример   проблематичности нуля ­   это натуральные   числа. русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Поскольку понятие "натуральные числа" ­ это    В искусственное   отделение   некоторых   чисел   от   всех   остальных   чисел   по определённым признакам, то математического доказательства натуральности 27 или   не   натуральности   нуля   быть   не   может.   Ноль   считается   нейтральным элементом по отношению операций сложения и вычитания.       Ноль   считается   целым,   беззнаковым   числом.   Также ноль считается чётным   числом,   поскольку   при   делении   нуля   на   2   получается   целое число ноль.       Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. В позиционных   системах   счисления,   к   которым   принадлежит   привычная   нам десятичная система счисления, цифрой ноль обозначают отсутствие значения данного   разряда   при   записи   числа.   Индейцы   майя   использовали   ноль   в принятой   у   них   двенадцатиричной   системе   счисления   за   тысячу   лет   до индийских математиков. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц.   Интересно,   что   тем   же   самым   знаком ноль математики   майя обозначали и бесконечность ­ вторую проблему современной математики.  Слово "ноль" в арабском языке звучит как "сыфр". От арабского  слова ноль (сыфр) произошло слово "цифра".       Как правильно пишется ­ ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в  значении, но различаются употреблением. Как правило, нольупотребляется в  обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль ­ в терминологии, в  научной речи. Правильными будут оба варианта написания этого слова.  Например: Деление на ноль. Ноль целых. Ноль внимания. Ноль без палочки.  Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых.       В грамматике производные слова от слов ноль и нуль пишутся так:  нолевой или нулевой, нолик или нулик, ноля или нуля, нулевой или реже  28 встречающееся нолевой, ноль­ноль. Например: Ниже нуля. Равно нулю.  Свести к нулю. Нулевой мередиан. Нулевой пробег. В двенадцать ноль­ноль.       В математических действиях с нулем на сегодняшний день определены  следующие результаты: сложение   ­   если к любому числу прибавить ноль, число останется  неизменным; если к нулю прибавить любое число результатом сложения  будет то же самое любое число: a + 0 = a 0 + a = a вычитание   ­   если из любого числа вычесть ноль, число останется  неизменным; если из нуля вычесть любое число в результате получится то же  самое любое число с противоположным знаком: a ­ 0 = a 0 ­ a = ­a умножение   ­   если любое число умножить на ноль, результатом будет ноль;  если ноль умножить на любое число в результате получится ноль: a ∙ 0 = 0 0 ∙ a = 0 деление   ­  деление на ноль запрещено, поскольку результат не существует;  a : 0 = делить на ноль запрещено, при этом а не равно нулю 29 ноль разделить на ноль   ­   выражение не имеет смысла, так как не может  быть определено: 0 : 0 = выражение не имеет смысла ноль разделить на число   ­   если ноль разделить на число в результате  всегда будет ноль, не зависимо от того, какое число находится в знаменателе  (исключением из этого правила является число ноль, смотри выше): 0 : a = 0, при этом а не равно нулю ноль в степени   ­   ноль в любой степени равен нулю: 0a = 0, при этом а не равно нулю возведение в степень   ­   любое число в степени ноль равняется единице  (число в степени 0): a0 = 1, при этом а не равно нулю ноль в степени ноль   ­   выражение не имеет смысла, так как не может быть  определено (ноль в нулевой степени, 0 в степени 0): 00 = выражение не имеет смысла извлечение корня   ­   корень любой степени из нуля равен нулю: 01/a = 0, при этом а не равно нулю факториал   ­   факториал нуля, или ноль факториал, равняется единице: 0! = 1 30 распределение цифр   ­   при подсчете распределения цифр ноль считается незначащей цифрой. Изменение подхода в правилах подсчета распределения цифр, когда ноль считается ЗНАЧАЩЕЙ цифрой позволит  получать более точные   результаты   распределения   цифр   во   всех   стандартных   системах счисления, в том числе в двоичной системе счисления. 31 Заключение Поначалу необходимость ноля была не очевидна, ведь за этим значком не скрывается никакой реальной величины. Так ­ пустота, ничто! Между тем ныне на этом "пустом месте" зиждется все здание современной математики. Припишите   позади   любой   цифры   невзрачный   нолик,   и   значение   числа возрастет в 10 раз. Попробуйте разделить эту цифру на ноль, и на вас повеет бесконечностью. Наоборот, при умножении любого числа на ноль происходит крах:   миллионы   и   миллиарды,   соприкоснувшись   с   нолем,   в   ноль   же   и обращаются.     "В цифре ноль таится намек на неописуемое и невыразимое, в ней заключено беспредельное и бесконечное. Вот почему ее издавна боялись, ненавидели, а то и запрещали", ­ пишет американский математик Чарлз Сейф, автор вышедшей недавно книги "Биография цифры ноль".  32 Список литературы 1. Вернемся к пониманию цифр// http://www.sciteclibrary.ru/cgi­ bin/yabb2/YaBB.pl?num=1302598800/26 2. Деление на ноль возможно// http://ndspaces.narod.ru/1by02.htm 3. Дж. Дж. О’Коннор,  Е.Ф. Робертсон  История нуля/ Дж. Дж. О’Коннор,   Е.Ф. Робертсон //  http://elenakosilova.narod.ru/studia3/math/translatio/zero.htm 4. Губайловский  В.Триединый нуль/ Губайловский  В.//  http://www.svobodanews.ru/content/transcript/24203648.html 5. Идея происхождения арабских цифр у новых хронологов //  http://www.runitsa.ru/publications/publication_389.php  6. История нуля // http://hijos.ru/2010/10/31/istoriya­nulya/ 7. История Нуля// http://superspeak.ru/index.php?showtopic=5173 8. Как изобрели цифру, обозначающую «ничего»? История нуля//  http://shkolazhizni.ru/archive/0/n­38973/   9. Как изобрели цифру ноль// http://origin.iknowit.ru/paper1338.html 10.Как изобрели цифру ноль// http://atamanovka.ucoz.ru/publ/15­1­0­1653 11.Почему европейцы долгое время не любили нуль?//  http://shkolazhizni.ru/archive/0/n­38975/ 12.Почему нельзя делить на ноль?//  http://howitworks.iknowit.ru/paper1051.html 13.Почему нельзя делить на ноль? //http://www.elementy.ru/email/1530320 14. Почему нельзя делить на ноль? (ОТВЕТ) //  http://magspace.ru/blog/blog/156647.html 15.Появление ноля произвело революцию не только в математике //  http://jtdigest.narod.ru/dig2_02/null.htm 33 16.Презумпция Статуса Нуля //  http://www.numbernautics.ru/content/view/636/1/ 17.Происхождение числа ноль // http://mobius­m.ru/science/349­ proisxozhdenie­chisla­0­nol.html 18.Умножение и деление на ноль//  http://www.ndspaces.narod.ru/ 19.Шандра И. Сказка про то, как цифры Нуль обнулили/ Шандра И. //  http://www.stihi.ru/2011/08/03/6062 34 Приложение Игорь Шандра Сказка про то, как цифры Нуль обнулили Год назад, а может – двести, Может – триста лет, Собрались все цифры вместе На Большой Совет. Чтобы  честно, не юля Рассмотреть вопрос НУЛЯ. Первой с речью обратиться Поспешила ЕДИНИЦА: – НУЛЬ, ты должен измениться! Ты – какой­то не такой! Поскорей  нас  успокой! Выпадать из коллектива Неразумно! Некрасиво! – Точно! – Выпалила ДВОЙКА.  –Стал себя вести ты бойко! Слишком  стал  в себе уверен, Чересчур высокомерен! Представляете, друзья –  На  него делить нельзя! Тут вмешалась цифра ТРИ: – НУЛЬ, смотри – ты пуст внутри, 35 Крив и замкнут, словно круг, Ты – идейно близорук! Ты  мне больше  не коллега И, тем  более, не друг! Гневно бросило ЧЕТЫРЕ: – Я вопрос  поставлю шире: В чём ещё его вина? Он меняет имена! Это возмутительно! И очень подозрительно! Объяснить нам, НУЛЬ, изволь: НУЛЬ ты всё же или НОЛЬ? Возмутилась цифра ПЯТЬ: – Что с НУЛЯ, скажите, взять? Если нас на  НУЛЬ умножить –  НУЛЬ получится  опять! Что тут дальше  говорить? На  него ни  разделить, Ни создать произведенье, В общем, каши не сварить! Он нарочно всем  вредит! Не  иначе он – бандит! – Я прошу, друзья, учесть,  – Заявила  цифра ШЕСТЬ,  – Есть ли НУЛЬ на самом деле, ­ У меня сомненья есть! 36 ­ НУЛЬ прибавь хоть двести раз – ­ Всё  без изменения! ­ Он, скорей всего мираж, ­ Так сказать, видение! ­ Он, да будет вам известно ­ НИЧЕГО, пустое  место! – Да! – сказала  громко всем, Ухмыляясь, цифра СЕМЬ.  – Ничего раз он не  значит, Значит, нет его совсем! – Не секрет ни для кого.  –Прокричала цифра ВОСЕМЬ.  –НУЛЬ похож на букву О, Может, он – не цифра вовсе? А на самом деле  он  – К нам подосланный шпион? Стала  требовать ДЕВЯТКА: – Надо НУЛЬ призвать к  порядку! Он всё  делает не так! Он – предатель, лютый враг!  Цифры все критиковал И повсюду нос совал! Никакая НУЛЬ ни цифра, Он фактически – Овал! И сказали цифры дружно: – Вреден НУЛЬ  и нам не нужен! 37 НУЛЬ пытался  на  совете На  нападки все ответить, Но его лишили слова, Обругав при этом снова. И решил Большой Совет: Цифры НУЛЬ на свете  нет; НУЛЬ прилюдно обнулить; Из расчётов  удалить И отныне  не  пускать Ни в  учебник, ни в  тетрадь. НУЛЬ кричал: – Я – есть! Я – есть! Вот он я, ребята, здесь! А ему  все  отвечали: Уходи и к  нам  не  лезь! НУЛЬ сказал: – Коль я  не  нужен, Я уйду, но вам же  хуже! Знают все учителя – Невозможно без НУЛЯ. Стали вечером  считать, Умножали ШЕСТЬ на  ПЯТЬ, Но ответ задачи (тридцать) Не сумели записать.  Говорит СЕМЁРКА: – Боже, 38 С ТРОЙКОЙ нас  теперь не  сложишь! Как  теперь нам  дальше жить? Ни умножить! Ни сложить! Скажем честно, не юля, Очень плохо без НУЛЯ. – Да, – Сказала грустно ДЕВЯТЬ.  – Опустел наш общий дом. Что теперь нам, бедным, делать? Без НУЛЯ мы  пропадём! Предложила ЕДИНИЦА: – Надо всем  нам извиниться. Согласилась цифра ДВА: – Как  была  я  не права! Залилась слезами ТРОЙКА: – Стыдно, больно мне  и горько! Стала  всхлипывать ЧЕТЫРЕ: – НУЛЬ – наш компас  в этом  мире! Все равнялись на  него! На  него, на одного! Принялась вовсю рыдать, Не смолкая, цифра ПЯТЬ: – НУЛЬ – начало всех начал! Он добру  нас обучал, Не терпел несправедливость И про подлость не  молчал! – Отдавался  делу весь,  39 – Подхватила цифра  ШЕСТЬ.  – НУЛЬ – наш гений, наша гордость, Наша совесть, ум  и честь! –  НУЛЬ служил примером всем.  – Заявила цифра СЕМЬ.  – Что ж его мы не ценили? И  обидели зачем? Тут взмолилась цифра ВОСЕМЬ: – НУЛЬ, вернись! Мы  очень просим! И  добавила ДЕВЯТКА: – Пусть все  цифры удивятся! Возвращайся поскорей, Нас теплом  своим согрей! Все  тебя с надеждой  ждут! НУЛЬ в ответ: – А я уж тут! Вновь пред вами в  лучшем  виде. И на вас я не в  обиде. Всем хочу я  предложить  –  Не  ругаться, а  дружить! И с тех пор все цифры дружат И наукам верно служат! 40