Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу 2 - сабақ (1)

Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешудің әдістерін меңгеру;
Әдістерді есеп шығаруда қолдану

Біреуі сызықтық, ал екіншісі екінші дәрежелі теңдеу болатын екі теңдеуден тұратын теңдеулер жүйесін шешеді:
Теңдеулер жүйесін шешу әдістерін біледі және қолданады;
Өз ойын ашық жеткізе алады;
Өз қатесін тауып, оны дұрыстайды.

Үйге тапсырмаcын тексеру: Есептер Ch7_Section4 кіапшасынан алынған

1 – 10 есептерде теңдеулер жүйесін алмастыру тәсілімен шығарыңыз.

19 – 24 есептерде теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шығарыңыз.

https://bilimland.kz/kk/subject/algebra/9-synyp/eki-ajnymalysy-bar-syzyqtyq-emes-tengdeuler-zhujeleri-zhane-olardy-sheshu

Сұрақтар қою:
Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесін қалай шығарамыз?
Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешуде қандай әдістерді білесіздер?
Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешудің басқа қандай әдісі болуы мүмкін?

Келесі теңдеулерді қалай шығаруға болады?

𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +𝑥𝑥𝑦𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −𝑥𝑥𝑦𝑦=3. 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3.

9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 9 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −3𝑥𝑥+𝑦𝑦=0, 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑦𝑦=𝑥𝑥𝑦𝑦. 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦.

𝑥 2 +4𝑥𝑦−5 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0.

1 ) 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +𝑥𝑥𝑦𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −𝑥𝑥𝑦𝑦=3. 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3. 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑥𝑦=7, 𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑥𝑦=3.
Келесідей айнымалы енгізейік: 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =𝑡𝑡: 𝑥𝑥𝑦𝑦=𝑠𝑠
Бастапқы теңдеулер жүйесі келесі түрге келеді: 𝑡+𝑠=7, 𝑡−𝑠=3. 𝑡+𝑠=7, 𝑡−𝑠=3. 𝑡𝑡+𝑠𝑠=7, 𝑡+𝑠=7, 𝑡−𝑠=3. 𝑡𝑡−𝑠𝑠=3. 𝑡+𝑠=7, 𝑡−𝑠=3. 𝑡+𝑠=7, 𝑡−𝑠=3.
Бұл теңдеулер жүйеснің шешімі: 𝑡𝑡=5:𝑠𝑠=2
Алдыңғы белгілеуді ескерсек: 𝑥 2 + 𝑦 2 =5, 𝑥𝑦=2. 𝑥 2 + 𝑦 2 =5, 𝑥𝑦=2. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =5, 𝑥 2 + 𝑦 2 =5, 𝑥𝑦=2. 𝑥𝑥𝑦𝑦=2. 𝑥 2 + 𝑦 2 =5, 𝑥𝑦=2. 𝑥 2 + 𝑦 2 =5, 𝑥𝑦=2.
Жоғарыдағы теңдеулер жүйесінде екінші теңдеуді 2 – ге және -2 – ге көбейтіп, бірінші теңдеуге қосу арқылы, келесідей жүйені аламыз: (𝑥+ 𝑦) 2 =9, (𝑥− 𝑦) 2 =1. (𝑥+ 𝑦) 2 =9, (𝑥− 𝑦) 2 =1. (𝑥𝑥+ 𝑦) 2 𝑦𝑦) 𝑦) 2 2 𝑦) 2 =9, (𝑥+ 𝑦) 2 =9, (𝑥− 𝑦) 2 =1. (𝑥𝑥− 𝑦) 2 𝑦𝑦) 𝑦) 2 2 𝑦) 2 =1. (𝑥+ 𝑦) 2 =9, (𝑥− 𝑦) 2 =1. (𝑥+ 𝑦) 2 =9, (𝑥− 𝑦) 2 =1.

Жауабы: −2;−1 −2;−1 −2;−1 , 1;2 1;2 1;2 , −1;−2 −1;−2 −1;−2 ,(2;1)

2) 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 9 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −3𝑥𝑥+𝑦𝑦=0, 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑦𝑦=𝑥𝑥𝑦𝑦. 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 9 𝑥 2 − 𝑦 2 −3𝑥+𝑦=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦.

9 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −3𝑥𝑥+𝑦𝑦= 3𝑥−𝑦 3𝑥𝑥−𝑦𝑦 3𝑥−𝑦 3𝑥+𝑦 3𝑥𝑥+𝑦𝑦 3𝑥+𝑦 − 3𝑥−𝑦 3𝑥𝑥−𝑦𝑦 3𝑥−𝑦 ==(3𝑥𝑥−𝑦𝑦)(3𝑥𝑥+𝑦𝑦−1)

(3𝑥−𝑦)(3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥−𝑦)(3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥𝑥−𝑦𝑦)(3𝑥𝑥+𝑦𝑦−1)=0, (3𝑥−𝑦)(3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑦𝑦=𝑥𝑥𝑦𝑦. (3𝑥−𝑦)(3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥−𝑦)(3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦.

(3𝑥−𝑦)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥−𝑦)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥𝑥−𝑦𝑦)=0, (3𝑥−𝑦)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑦𝑦=𝑥𝑥𝑦𝑦. (3𝑥−𝑦)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥−𝑦)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. немесе (3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥𝑥+𝑦𝑦−1)=0, (3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑦𝑦=𝑥𝑥𝑦𝑦. (3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦. (3𝑥+𝑦−1)=0, 𝑥 2 +𝑦=𝑥𝑦.

Жауабы: 0;0 0;0 0;0 , 1,5;4,5 1,5;4,5 1,5;4,5 ,(0,5:−0,5)

3) 𝑥 2 +4𝑥𝑦−5 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥 2 +4𝑥𝑦−5 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑥𝑦𝑦−5 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =0, 𝑥 2 +4𝑥𝑦−5 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −3𝑥𝑥𝑦𝑦+4𝑦𝑦=0. 𝑥 2 +4𝑥𝑦−5 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥 2 +4𝑥𝑦−5 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0.

𝑦𝑦≠0; бірінші теңдеуді 𝑦 2 бірінші теңдеуді 𝑦𝑦 бірінші теңдеуді 𝑦 2 2 бірінші теңдеуді 𝑦 2 −қа бөлейік:
𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 2 2 𝑥 𝑦 2 +4 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 −5=0

𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 =1 немесе 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 =−5

𝑥=𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥=𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥𝑥=𝑦𝑦, 𝑥=𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −3𝑥𝑥𝑦𝑦+4𝑦𝑦=0. 𝑥=𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥=𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. немесе 𝑥=−5𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥=−5𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥𝑥=−5𝑦𝑦, 𝑥=−5𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −3𝑥𝑥𝑦𝑦+4𝑦𝑦=0. 𝑥=−5𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0. 𝑥=−5𝑦, 𝑥 2 −3𝑥𝑦+4𝑦=0.

Жауабы: 0;0 0;0 0;0 , 2;2 2;2 2;2 ,(0,5;−0,1)

Ж
1)Теңдеулер жүйесін бірінші теңдеуді у2 – қа бөлу арқылы шешіңіз:
2𝑥 2 +7𝑥𝑦−4 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −5𝑥𝑦+𝑦=−11. 2𝑥 2 +7𝑥𝑦−4 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −5𝑥𝑦+𝑦=−11. 2𝑥 2 2𝑥𝑥 2𝑥 2 2 2𝑥 2 +7𝑥𝑥𝑦𝑦−4 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =0, 2𝑥 2 +7𝑥𝑦−4 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −5𝑥𝑦+𝑦=−11. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −5𝑥𝑥𝑦𝑦+𝑦𝑦=−11. 2𝑥 2 +7𝑥𝑦−4 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −5𝑥𝑦+𝑦=−11. 2𝑥 2 +7𝑥𝑦−4 𝑦 2 =0, 𝑥 2 −5𝑥𝑦+𝑦=−11.
2)Теңдеулер жүйесін жаңа айнымалы енгізіп, қысқаша көбейту формуласын қолдану арқылы шешіңіз:
𝑥𝑦=2, (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑥𝑦=24.

Жұптық жұмыс жауабы:

−1;−2 −1;−2 −1;−2 , 11 9 ; 22 9 11 9 11 11 9 9 11 9 ; 22 9 22 22 9 9 22 9 11 9 ; 22 9


2) −2+ 2 ;−2− 2 −2+ 2 2 2 2 ;−2− 2 2 2 2 −2+ 2 ;−2− 2 , −2− 2 ;−2+ 2 −2− 2 2 2 2 ;−2+ 2 2 2 2 −2− 2 ;−2+ 2 , 2+ 2 ;2− 2 2+ 2 2 2 2 ;2− 2 2 2 2 2+ 2 ;2− 2 , 2− 2 ;2+ 2 2− 2 2 2 2 ;2+ 2 2 2 2 2− 2 ;2+ 2

Ө
Тапсырма бойынша саралау:
А
Теңдеулер жүйесін шешіңіз:
a) 𝑥+𝑦=6, 𝑥𝑦=5; 𝑥+𝑦=6, 𝑥𝑦=5; 𝑥𝑥+𝑦𝑦=6, 𝑥+𝑦=6, 𝑥𝑦=5; 𝑥𝑥𝑦𝑦=5; 𝑥+𝑦=6, 𝑥𝑦=5; 𝑥+𝑦=6, 𝑥𝑦=5; b) 𝑥 2 + 𝑦 2 =26, 𝑥𝑦=5. 𝑥 2 + 𝑦 2 =26, 𝑥𝑦=5. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =26, 𝑥 2 + 𝑦 2 =26, 𝑥𝑦=5. 𝑥𝑥𝑦𝑦=5. 𝑥 2 + 𝑦 2 =26, 𝑥𝑦=5. 𝑥 2 + 𝑦 2 =26, 𝑥𝑦=5.
Б
Берілген теңдеулер жүйесінің шешімі болмайтынын дәлелдеңіз:
𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥+3=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2. 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥+3=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑥𝑥+3=0, 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥+3=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =2. 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥+3=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2. 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥+3=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2.
С
Әрбір теңдеудің графигін салу арқылы теңдеулер жүйесінің неше шешімі барын табыңыз:
𝑥=1− 𝑦 2 , 𝑥 2 =3− 𝑦 2 𝑥=1− 𝑦 2 , 𝑥 2 =3− 𝑦 2 𝑥𝑥=1− 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 , 𝑥=1− 𝑦 2 , 𝑥 2 =3− 𝑦 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =3− 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑥=1− 𝑦 2 , 𝑥 2 =3− 𝑦 2 𝑥=1− 𝑦 2 , 𝑥 2 =3− 𝑦 2
Д
𝑝𝑝−параметрінің қандай мәнінде 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2𝑝 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2𝑝 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑥𝑥=0, 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2𝑝 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =2𝑝𝑝 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2𝑝 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥=0, 𝑥 2 − 𝑦 2 =2𝑝 теңдеулер жүйесінің бір ғана шешімі болады?

Дескрипторлар:
А
1)Теңдеулер шығаруда таңдаған әдісті дұрыс қолданған;
2)Теңдеудің шешімін жазған.
Б
1)Теңдеулер жүйесін шешуге алмастыру тәсілін қолданады;
2)х – ке қатысты алынған квадрат теңдеуде дискриминант теріс екенін анықтайды.
С
1)Әр теңдеуге сәйкес графигін бір координаталық жазықтыққа салады;
2)Графиктердің қиылысу нүктелері бойынша теңдеулер жүйесінің шешімдер санын анықтайды.
Д
1)Теңдеулер жүйесін шешуге алмастыру тәсілін қолданады;
2) х – ке қатысты алынған квадрат теңдеуде дискриминантты нөлге теңестіріп, p-ны анықтайды.

Үйге тапсырма: Алгебра 9 класс 2013 (№456(б), 463(б)) 140, 141 – беттер

6𝑥 2 +2𝑥𝑦−3𝑥−𝑦=0, 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥+𝑦= 3 2 . 6𝑥 2 +2𝑥𝑦−3𝑥−𝑦=0, 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥+𝑦= 3 2 . 6𝑥 2 6𝑥𝑥 6𝑥 2 2 6𝑥 2 +2𝑥𝑥𝑦𝑦−3𝑥𝑥−𝑦𝑦=0, 6𝑥 2 +2𝑥𝑦−3𝑥−𝑦=0, 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥+𝑦= 3 2 . 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +2𝑥𝑥+𝑦𝑦= 3 2 3 3 2 2 3 2 . 6𝑥 2 +2𝑥𝑦−3𝑥−𝑦=0, 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥+𝑦= 3 2 . 6𝑥 2 +2𝑥𝑦−3𝑥−𝑦=0, 2 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥+𝑦= 3 2 .


𝑥−𝑦= 3 , 𝑥𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑥=−1.