Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4»

Пожарского муниципального район

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ»

Методическая разработка темы создана А.Г. Портнягиной, учителем математики высшей категории

МОБУ СОШ № 4 Пожарского МР

Лучегорск 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................... 3

1.        Теоретические основы построения элективного курса на старшей ступени обучения.......................................................................................................... 6

1.1           Профильное обучение как одно из направлений модернизации

современного образования............................................................................ 6

1.2          Элективные курсы в системе профильного обучения........................... 9

1.3           Принципы к отбору содержания обучения в рамках элективного

курса............................................................................................................ 13

2.        Технология конструирования содержания элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами»......................................................................... 17

2.1          Анализ учебников математики школьного курса основной школы.... 17

2.2           Методические положения по проведению элективного курса по математике         20

2.3           Разработка элективных занятий в 11 классе....................................... 21

2.4           Апробация методических материалов на тему «Уравнения и

неравенства с параметрами»....................................................................... 54

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................................................. 57

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.......................................... 59

ПРИЛОЖЕНИЕ А.......................................................................................... 61

ПРИЛОЖЕНИЕ Б........................................................................................... 67

ПРИЛОЖЕНИЕ В.......................................................................................... 80

ВВЕДЕНИЕ

Еще совсем недавно, каких-то 10-15 лет назад, задачи с параметрами встречались на вступительных экзаменах в вузах с самым высоким уровнем математики. Сейчас это уже элемент единого государственного экзамена. Хотя на ЕГЭ встречается всего одно задание с параметром, но те школьники которые хотят получить высший балл по ЕГЭ, должны уметь их решать.

Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащих параметры. В связи с чем возрастает важность умения решать задачи с параметрами.

При решении задач с параметрами важно установить, при каких значениях задача имеет решения, и найти эти решения в зависимости от значений параметра, т.е. решение подобного типа задач должно сопровождаться исследовательской работой.

Однако школьной программой задачи с параметрами никак не учтены как отдельная тема.

Можно отметить, что обучению решению задач с параметрами не должно быть сложным дополнением к основному изучаемому материалу, который может быть освоен только талантливыми детьми. Этот процесс может и должен использоваться в общеобразовательной школе, что обогатит обучение новыми методами и идеями, а также поможет учащимся развить свое мышление.

В связи с вышесказанным является актуальным создание элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами».

Для достижения поставленной цели были определены следующие

задачи исследования:

·                   рассмотреть    понятие    профильное    обучение   как    одно    из направлений модернизации современного образования

·                   проанализировать      программу      и       основные      учебники, предусмотренные Федеральным перечнем учебников по математике для 5-11

классов, с точки зрения наличия материала по теме: «Уравнения и неравенства с параметрами»;

·                   разработать элективный курс по математике «Уравнения и неравенства с параметрами»;

·                   апробировать технологию конструирования содержания элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами» по математике в профильном обучении;

·                   проанализировать результаты выполнения заданий, предоставленных школьникам.

Структура работы: введение, две главы, заключение, список использованной литературы, приложения.

В первой главе представлен аналитический обзор литературы по проблеме исследования; выявлена сущность понятия «элективные курсы», обозначены  задачи  элективного  курса  обучения.  Рассмотрено  понятие

«профильное обучение» как этап модернизации современного образования. Определены функции элективных курсов в преподавании в профильном обучении на старшей ступени общеобразовательной школы.

Во второй главе представлен анализ перечня школьных учебников по математике 5 - 11 класс; разработан элективный курс по теме «Уравнения и неравенства с параметрами», согласно требованиям разработки элективных курсов; представлены и описаны уроки с подробным описанием необходимой теории и разбором каждого примера, а также результаты апробации методических материалов по данному элективному курсу.

1.                 Теоретические основы построения элективного курса на старшей ступени обучения

1.1            Профильное обучение как одно из направлений модернизации современного образования

Постоянные изменения в системе образования связанны с модернизацией обучения, в которой основным направлением выступает профилизация.

Профильное обучение - система разделения и индивидуализирования образования, которое основывается на преобразованиях в структуре, содержании и организации образовательного процесса исходя из интересов, склонностей и способностей учащихся, создавая необходимые условия для их дальнейшего обучения [3].

Главной целью введения профильных классов на старшей ступени школы является приближение среднего общего и профессионального обучения. Учащиеся должны осознанно выбирать профиль для дальнейшего обучения еще в школе, чтобы дальше продолжать свою профессиональную подготовку. Так же можно выделить еще несколько основополагающих целей профильного обучения:

1)                Обеспечить учащимся углубленное изучение отдельных дисциплин полной общеобразовательной программы;

2)                Сформировать требования для дифференциации содержания преподавания старшеклассников с обширными и гибкими возможностями

для обучения школьников по индивидуальным образовательным программам;

              3)   Содействовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям учащихся в соответствии с их способностями, индивидуальными наклонностями и потребностями;

4)    Расширять возможности для социализации школьников, обеспечивать непрерывность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно готовить выпускников школ для овладения программами высшего профессионального образования.

Берем во внимание тот факт, что профильное образование способствует развитию индивидуальных навыков в выбранном направлении, тогда главными задачами системы профильного образования в средней школе будут являться следующие[2]:

-развивать навыки самостоятельной познавательной деятельности;

 -подготовить учеников для решения задач разного уровня сложности;

-сориентировать школьников в широком кругу проблем, связанных с той или иной сферой деятельности;

               -выработать у обучающихся мышление, которое позволяет не пассивно потреблять данные, а критически и творчески перерабатывать их;

                -сделать обучающихся конкурентоспособными в плане поступления в избранные ими университеты.

На основе базового общего образования и базовых профильных курсов проводятся единые государственные экзамены.

В каждой системе имеются сбои, на каком-либо определенном этапе процесса. В профильном обучении таковым является ошибочный выбор учащимися дальнейшего направления собственной подготовки обучения, поэтому проблему профессионального самоопределения принято возлагать на плечи учащихся только в старших классах, способных самостоятельно сделать основополагающий шаг на пути к высшему образованию. Специализированная система подготовки позволяет расширить возможность обоснованного выбора учащихся, предоставляя старшеклассникам разновидность вариантов, выражающаяся в углубленном изучении гуманитарного или физико-математического направления.

На сегодняшний день существует глобальный разрыв между общим и профессиональным образованием. Устранение данной проблемы, возможно за счет введения профильного образования, способствующего заметно его уменьшить.

Непрерывность между школой и институтом заметно сказывается на дальнейшем образовательном процессе учащихся. Для поступления в интересующийся вуз с целью получения выбранной профессии обучающимся приходится сталкиваться с такими проблемами как непонимание определенных аспектов необходимого учебного материала того или иного предмета. Решением этой проблемы можно считать посещение

платных образовательных курсов: например занятия с репетитором. Несомненно, такие методы решения сложившейся ситуации актуальны в школьном образовании, но если изначально изменить структуру построенного на обучении непрофильной подготовки, то свои результаты от перехода систем будут выявлена на более качественных уровнях.

Введение профильной системы позволит наиболее полно реализовать запросы общества и отдельного человека, для того чтобы подготовить школьника не просто к поступлению в вуз, а к жизни как научной, так и профессиональной, потому что, профильное обучение - система специализированной подготовки старшеклассников, направленная на то, чтобы сделать процесс их обучения на последней ступени общеобразовательной школы более индивидуализированным, отвечающим реальным запросам, способная обеспечить осознанный выбор старшеклассниками своей профессиональной деятельности.

1.2                       Элективные курсы в системе профильного обучения.

Каждый элемент образовательной системы играют важную роль в структуре общеобразовательных учреждений. Элективные курсы являются неотъемлемой частью в профильном образовании на высшем уровне.

Для учащихся старших классов посещение элективных курсов являются обязательными по сравнение с факультативными. Они являются инструментом построение различных образовательных программ и главным образом связаны с выбором каждого школьника.

1)       Структура элективного курса составляет объединение образовательных заинтересованностей,                   потребностей     и предрасположенностей каждого индивидуума, позволяет выявить сильные стороны развития и интересов, способностей и планов в жизни. Данный элективный курс может развить содержание одного из основных курсов, изучение которого в этой школе (классе) осуществляется на минимальном общем уровне образования. Это позволяет заинтересованным учащимся удовлетворять свои познавательные потребности и получать дополнительное обучение, например, для прохождения ЕГЭ по предмету на уровне профиля.            Можно сказать, элективные курсы являются связующим объектом дополняющие основные и специализированные курсы. Главная предметная функция которых направлена на развитие навыков и методов деятельности связанных с решением практических задач, а также получения дополнительных знаний, объединяющие в единую научную картину мира.

I.             Элективные курсы по предметам, не включенным в базовую учебную программу.

Так же элективные курсы способствуют решению комплекса задач, наиболее важными среди которых являются [10]:

-   получение объективной и всесторонней информации о профессии и ее индивидуальная субъективная оценка в процессе «преломления» этой информации в сознании каждого школьника;

-   профессиональная проба, целью которой является соотнесение своих возможностей и потребностей с требованиями и перспективами овладения данной профессией;

-               формирование устойчивого профессионального интереса, являющегося закономерным результатом развития первичного познавательного интереса в процессе профессионально ориентированной деятельности;

-   развитие профессионально важных качеств и приобретение комплекса специальных знаний, умений и навыков, позволяющих решать определенный круг задач из данной профессиональной области;

-          социализация личности, включающая в себя этический и эстетический компоненты, направленные на формирование ценностных ориентаций, личной ответственности, отношения к процессу и результатам труда.

Эти задачи тесно связаны между собой и могут быть решены только в рамках единой системы, основной целью которой являются помощь старшекласснику в профессиональном самоопределении.

Определение содержания образования в рамках элективных курсов необходимо учитывать следующие требования [24, c.76]:

1)     Достаточность отображаемого учебного контента для реализации поставленных целей;

2)       Возможность усвоения учащимися отображаемого содержания обучения в этих конкретных условиях.

Необходимо учитывать, что элективные курсы в школьном образовании, представлены не только в виде программы и учебного пособия, но и отвечают за весь курс в целом как представители методологической системы обучения.

В образце учебных планов отдельных профилей за время, выделенного на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах для организации учебной практики, проектов, исследовательской деятельности. Применение новых методов обучения является важным и неотъемлемым фактором успешного проведения занятий на элективных курсах.

Высокий уровень математического преподавания является основой для элективного курса. Специализированные вузовские дисциплины готовят к определённой профессии. Ознакомление с их основами в самых общих чертах с помощью математики позволит придать процессу обучения в рамках

элективного курса конкретную профессиональную направленность, ориентацию на сравнительно узкую сферу профессиональной деятельности. Влияние этой связи определяет возможное включение в процесс обучения некоторых университетских форм: лекции, семинары, лабораторные занятия

Получается, что элективные курсы формируют и развивают разнообразные интересы у учащихся, математическую культуру мышления, самостоятельность восполнения знаний, приобщение к исследовательской работе, знакомству с передовыми достижениями науки. А еще раскрывают внутренний потенциал школьников, формируя условия для их самореализации и развития. Элективные курсы успешно учитывают индивидуализацию каждого учащегося, беря во внимание их способности, удовлетворяя их познавательные и жизненные интересы.

1.3                 Принципы      к   отбору   содержания   обучения   в    рамках элективного курса

Отбор содержания любого элективного курса должен удовлетворять некоторым педагогическим принципам. С помощью описанных ниже принципов построения содержания элективного курса возможно более полное и детальное описание сущности целей и задач образовательного процесса курса, отбор эффективных форм и методов обучения, а также средств анализа и контроля, то есть проектирования организационно- методического обеспечения курса.

Опишем принципы отбора содержания элективных курсов, удовлетворяющих современным требованиям к качеству математической подготовки учащихся образовательных учреждений [9, c.36].

Принцип дополнительности ориентирован на исследовании новейших математических  понятий,  не  входящих  в  основной  базовый  курс  по математике. Чтобы воспроизводить какие-либо математические явления, временами нужно применять систему понятий и характеристик из различных научных сфер. Это приводит к реализации расширения логической структуры, за счет изучения с разных, ранее не рассматриваемых прежде сторон явлений. И данный принцип так же не исключает использование ранее известных инструментов и способов, решения основных математических задач в новых необычных условиях. То есть, перед учениками появляется возможность получить абсолютно иную модель ситуации, в которую они не попадали, решая способами, которые они уже понимают. Применение этого образовательного принципа позволяет углубить и расширить познания, сформировать и развить способности и методы деятельности школьников по изучаемой им теме по математике.

Принцип дифференциации подразумевает введение в процесс математической подготовки учащихся задач разного уровня и типа. Эти задачи формируются и выбираются с учетом всех немаловажных и весомых вещей в процессе овладения теми или другими математическими навыками и способностями, индивидуальными качествами, необходимыми для всех возможных групп учащихся. Это значит, собственно, что целый образовательный процесс осуществляется точно, с учетом возможностей и способностей всякого учащегося. В итоге отбор задач предназначенных для овладения возможностью применить всевозможные известные методы и некоторые своеобразные методы, которые дают возможность правильно решать определенные классы задач.

Принцип проблемности основан на выявлении и формулировании, поставленной учителем или возникшей в ходе решении задачи проблемного характера, решение которой заключается в создании математической модели. На начальном этапе решения ученик нуждается в некоторой информации - методе, который ранее не был известен. С помощью учителей, которые в настоящее время являются главным звеном в своей поисковой деятельности, для этой цели проводится самостоятельный отбор ресурсов для ученика.

Процесс нахождения решения проблемы способствует развитию индивидуальности старшеклассника, его творческих способностей и когнитивных способностей, которые являются частью интеллектуальной сферы. Проблемный метод обучения довольно эффективен при решении различных задач-ловушек и задач, содержащих некоторые специально зафиксированные ошибки.

Принцип междисциплинарности его целью является включение в содержание элективного курса задач из абсолютно иной области науки (химия, физика, информатика, экология и т. д.). Это гарантирует, связь между разными дисциплинами и целостностью содержания и формирования совместной картины мира. Целенаправленное внедрение данных областей заключается в их вкладе в математическое образование для общего профиля, охватывая образовательные исследования и принятие решений по связанным с ними математическим задачам. При этом реализуется становление абстрактного мышления и креативных возможностей учащихся, формируется их мировоззрение, состоящее в рассмотрении математического явления или же закона, который не ограничивается рамками одной дисциплины.

Принцип практико-ориентированности реализуется при помощи использования базовой методологии математики в результате практической работы из повседневной жизни. В данном случае математика дает мощное оружие для решения данных задач. В то же время задачи обучения ориентированы на внедрение важных вопросов, потребностей и запросов общества. В результате устанавливается индивидуальность личности школьника, способного решать неординарные задачки в определенных ситуациях, имеющих практическое направление. В данном отношении она саморазвивается, самореализуется и будет успешно реализована в будущем современном обществе.

Приходим к выводу, что, профильное образование, которое отводит ведущую роль личности учащегося и предусматривает предрасположенности и достижения в интересующих сферах науки и дисциплинах, близких с ними.

В результате углублённого изучения отдельных дисциплин с внедрением специально созданных индивидуальных программ, предусматривающих различный уровень освоения предметного содержания учащимися, реализуется формирование их социокультурного уровня и осмысленного профессионального выбора.

2.                 Технология конструирования содержания элективного курса

«Уравнения и неравенства с параметрами»

2.1       Анализ учебников математики школьного курса основной школы

Я  посчитала  необходимым,  разработать  элективный  курс

«Уравнения и неравенства с параметрами», который позволил бы сформировать представление об основных понятиях данной темы. Для этого обратимся к анализу школьных учебников [6,11, 13-16].

Просмотрев школьные учебники средней школы, я пришла к выводу, что задания связанные с параметрами относятся к задачам повышенного уровня. В связи с тем, что задания располагаются после изучения основных тем, они не всегда успевают рассматриваться в учебном году. Данные задания еще помечаются звездочкой и являются дополнительными. Но на экзаменах они часто встречаются, и учащиеся за них не берутся, потому что им не рассказывали и не показывали азы их решения. Не всем школьникам данная тема важна, но умения решать такие задачи необходимы для успешной сдачи профильного экзамена. Главное понять основу, на чем строится решение, а дальше логически подумать и начать действовать.

Открывая учебники алгебры 7-9 классов общеобразовательного учреждения под редакцией Макарыева Ю.Н., мы не увидим ни одного параграфа имеющего название: «Уравнения и неравенства с параметрами». Само же определение «параметр» и « уравнение с параметром» приведено в учебнике за 8 класс в главе 4 «Квадратные уравнения» в параграфе 24

«Основные понятия» в таком виде: «При каких значениях параметра p заданное уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при найденных значениях параметра: 6𝑥² + (𝑝 − 1)𝑥 + 2 − 4𝑝 = 0». Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных квадратных уравнений тем, что коэффициенты не являются конкретными  числами,  а  являются  буквенными  выражениями.  Такие уравнения называются уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами.

Так же слово параметр встречается в главе 5 «Неравенства» в параграфе 34 «Решение квадратных неравенств», в котором необходимо установить количество корней, зависящих от значений параметра.

В учебниках алгебры для учащихся 7 и 9 классов под редакцией Мордковича А. Г. уравнения и неравенства с параметром не представлены. Часов отводимых на изучение данной темы «Уравнения и неравенства с параметрами» в учебной программе не прописано, т. е. данные задачи если и включены в какие-либо темы, то с пометкой «повышенной сложности», и на уроках алгебры чаще всего не рассматриваются.

В книге для 9 класса Мордковича А. Г. в главе 1 «Неравенства и системы неравенств» параграф 1 «Линейные и квадратные неравенства» имеются задания на нахождение количества корней уравнения. В главе 2

«Системы уравнений» параграф 5 «Основные понятия» встречаются задания вида: «При каком значении параметра р пара чисел (а; b) является решение системы уравнений» [15, с.40].

В учебнике 9 класса под редакцией Макарычева Ю.Н. задачи с параметрами рассмотрены в разделе «Задачи повышенной трудности». Это задачи на нахождение корней уравнения, а также вот такого типа: «Найдите значение a, при которых один из корней уравнения 𝑥² − 3,75𝑥 + 𝑎³ = 0 является квадратом другого» [11, с.228].

В  учебнике  10  класса  по  алгебре  Мордковича  А.Г.  в  главе  10

«Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» содержится параграф 60 «Уравнения и неравенства с параметрами». В данном параграфе разобраны 4 задачи, в которых необходимо решить уравнение и неравенство относительно неизвестной x решить квадратное уравнение, зависящее от параметра, уравнение с квадратным корнем, содержащее параметр [13, с.383].

В учебнике 11 класса по алгебре Никольского С.М., во второй главе

«Уравнения. Неравенства. Системы», параграф 15 «Уравнения, неравенства и системы с параметрами» в разделе 15.1 «Уравнения с параметром» рассмотрены 5 примеров, и для самостоятельной работы предложены 8 номеров. В параграфе 15.2 «Неравенства с параметром» подробно объясняются 3 примера и для решения даны 14 номеров. В параграфе 15.3

«Системы уравнений с параметрами» подробно описываются 4 примера и для работы в классе 6 номеров. В параграфе 15.4 «Задачи с условиями» 6 примеров с подробным описание и на самостоятельную работу дают 16 номеров [16, с. 355] .

Итак,  нами  определено,  что  содержательно-методическая  линия

«Уравнения и неравенства с параметрами» и часы, отводимые на её исследование, находится в области «трудных задач», либо «задач высокой трудности», что приводит к «обеднению» школьного курса алгебры.

Мы отмечаем, что задачи с параметрами обладают огромной возможностью в формировании исследовательских умений, таких как способность видеть, исследовать, продвигать и обосновывать гипотезу, подводить итог и т. д. Данные трудности представляют немаловажную значимость в создании логического мышления и точной культуры школьников.

Задачи с параметрами дают возможность создать основные компетенции, применимые как в учебной, так и в предстоящей профессиональной деятельности.

Целенаправленное применение задач с параметрами дает возможность совершенствовать и распознавать формирование ряда предметных компетенций обучающихся. Осуществлять расчеты и преобразования.

К сожалению, в настоящий период, организовать работу, в том числе и весьма значительных обучающихся к решению задач с параметрами в условиях базовой школы не является допустимым. С целью этого нужен акцент  в  формирование  вариативности  математического  образования,

серьезная кружковая, факультативная и т. п. деятельность под управлением намеренно подготовленных педагогов.

2.2              Методические положения по проведению элективного курса по математике

Надобность ввода элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами» обоснована тем, фактически, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от средних учебных заведений и достаточно велика разница между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школьное учебное заведение, и требования, которые предъявляет собственно к выпускнику, вуз, тем более вуз высокой репутации. В процессе решения задач с параметрами приобретаются конкретные умения исследовательской работы.

Нередко при решении примеров с параметрами поступающие ограничиваются лишь тем, что составляют формулу, выражающие значения неизвестных через параметры. Такое формальное решение может оказаться неполным, поскольку не рассматривается вопрос о том, при каких значениях параметра эти формулы применимы.

Решить уравнение или неравенство с параметром означает:

1)                Определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2)                Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Существуют другие формы условий задач с параметрами – исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительны решения и др.

В силу такого многообразия условий нельзя дать одинаковые указания по решению примеров, поэтому в разработанном элективном курсе приводится много примеров с решениями.

Общие методические положения по проведению элективного курса

«Уравнения и неравенства с параметрами» располагается в Приложении А (см. Приложение А).

В процессе изучения решения задач с параметрами на элективных курсах по математике в 11 классе целесообразно использовать как традиционные формы обучения, так и самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационно- методическими материалами.

2.3            Разработка элективных занятий в 11 классе.

В тексте моей работы приведены частично материалы проведенных уроков по разделу «Квадратные уравнения с параметрами». По-моему мнению, самыми интересными и чаще всего встречающимися заданиями при поступлении в Вузы являются задания связанные с квадратными уравнениями. Если школьник будет понимать, как решаются уравнения данного вида, то ему не составит труда решать самые элементарные уравнения, например линейные уравнения. Задания, связанные с квадратными уравнениями, на первый взгляд оказываются сложными, но если немного поразмышлять, то можно с легкостью их решить. По своему опыту, когда училась в школе, нам из всех уравнений были интересны именно квадратные уравнения, потому что большинство учащихся помнит до сих пор формулу вычисления дискриминанта и соответственно нахождения корней, а некоторые наоборот помнят хорошо теорему Виета. Поэтому мне стало интересно создать собственный элективный курс, посвящённый «Уравнениям и неравенствам с параметрами». Конечно, не всем пригодятся полученные знания, но многим они помогут, а в целом будут служить для расширения кругозора.

Квадратные уравнения составляют основу алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности.

Квадратные уравнения широко распространены. Они применяется во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас.

Поэтому решила, что квадратные уравнения, тем более с параметрами интересные из всех видов уравнений, более подробное решение таких видов задач рассматриваются в разработанных мною уроках, представленных ниже в дальнейшем описании работы.

Так же в данной работе, в тематическом плане присутствуют самостоятельные работы по темам: «Уравнения первой степени с параметром (без «ветвлений»)», «Простейшие линейные уравнения с параметром (с

«ветвлениями»)». Тексты, содержащие перечень заданий с решением для этих работ прилагаются (см. Приложение В).

Занятие №12

Тема «Решение квадратных уравнений с параметрами»

Цель: углубить ранее полученные знания об уравнениях с параметрами, закрепить навыки решения уравнений; развить логическое мышление, сформировать потребность к приобретению знаний.

-Организационный момент

-Актуализация знаний

                     -Объяснение нового материала

Уравнение вида 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0 называется квадратным уравнением. 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 – дискриминант квадратного уравнения.

Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два различных корня

𝑥1,2 =

−𝑏 ± √𝐷

.

2𝑎

Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень

𝑏

𝑥 = − 2𝑎.

I.                              Решение задач

Пример 1. Решить уравнение

𝑎(𝑎 + 1)𝑥² + 𝑥 − 𝑎(𝑎 − 1) = 0.

Решение. При 𝑎 = −1 или 𝑎 = 0 уравнение будет линейным.

1.       Если 𝑎 = 0 то,  0 ∙ (0 + 1)𝑥² + 𝑥 − 0 ∙ (0 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 0.

2.     Если 𝑎 = −1 то,

−1 ∙ (−1 + 1) ∙ 𝑥² + 𝑥 − (−1) ∙ ((−1) − 1) = 0 ⟹ 𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 = 2.

3.     Если 𝑎 ≠ −1, 𝑎 ≠ 0 − находим корни уравнения:

𝐷 = 1 + 4(𝑎(𝑎 + 1))(𝑎(𝑎 − 1)) = 1 + 4(𝑎² + 𝑎)(𝑎² − 𝑎) =

= 1 + 4(𝑎⁴ − 𝑎²).

х1,2 =

−1 ± √1 + 4(𝑎⁴ − 𝑎²)

=

2𝑎(𝑎 + 1)

−1 ± √(2𝑎² − 1)²

=

2𝑎(𝑎 + 1)

−1 ± (2𝑎² − 1)

2𝑎(𝑎 + 1)

Откуда

−1 + 2𝑎² − 1       −2 + 2𝑎²       2(𝑎² − 1)

2(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)      𝑎 − 1

𝑥1 =

=                       =                       =

2𝑎(𝑎 + 1)          2𝑎(𝑎 + 1)      2𝑎(𝑎 + 1)

=             ;

2𝑎(𝑎 + 1)                𝑎

−1 − 2𝑎² + 1           −2𝑎²                   𝑎

𝑥2 =

=                       = −            .

2𝑎(𝑎 + 1)          2𝑎(𝑎 + 1)          𝑎 + 1

При 𝑎 = 1/√2:

𝑥 =

2 ∙  1

√2

−1

( 1

√2

+ 1)

√2

= − .

√2 + 2

При 𝑎 = −1/√2:

𝑥 =

2 ∙ (−

−1

 1 ) (−  1

√2          √2

+ 1)

√2

= − .

√2 − 2

Ответ: 1) 𝑥 = 2 при 𝑎 = −1; 2) 𝑥 = 0 при 𝑎 = 0;

3)  𝑥 = −√2/(√2 + 2) при 𝑎 = 1/√2; 𝑥 = √2/(√2 − 2) при 𝑎 = −1/√2;

4) 𝑥₁ = (𝑎 − 1)/𝑎; 𝑥₂ = −𝑎/(𝑎 + 1) при 𝑎 ≠ −1, а ≠ 0, 𝑎 = ±(1/√2).

Пример 2. Решить уравнение

(𝑎² − 𝑏²)𝑥² − 2𝑎 ∙ 𝑥 + 1 = 0.                                       (2.3.1)

Решение. Рассмотрим случаи:

1.                 𝑎 = 𝑏 = 0. Уравнение 0 ∙ 𝑥 + 1 = 0 решений не имеет.

2.                 𝑎² = 𝑏² ≠ 0. Уравнение (2.3.1) становится линейным:

−2𝑎 ∙ 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 =

1

.

2𝑎

3.                 𝑎² − 𝑏² ≠ 0. Находим корни уравнения (2.3.1):

𝐷 = 4𝑎² − 4(𝑎² − 𝑏²) ∙ 1 = 4𝑏² = (2𝑏)².

2𝑎 ± √(2𝑏)²        𝑎 ± 𝑏

𝑥1,2 =

2(𝑎² − 𝑏²)    = 𝑎² − 𝑏²

Откуда получаем:

𝑎 + 𝑏                    1

𝑥1 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏 ;

𝑎 − 𝑏                    1

𝑥2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 + 𝑏.

4.        𝑏 = 0 ∶ 𝐷 = 4𝑎² − 4𝑎² = 0, поэтому уравнение имеет один корень

2𝑎       1

𝑥 = 2𝑎2 = 𝑎 , 𝑎 ≠ 0.

5.     𝑎 = 0: − 𝑏²𝑥² + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = ±(1/𝑏).

Ответ: 𝑥 = 1/2𝑎 при 𝑎² = 𝑏² ≠ 0; 𝑥 = 1/𝑎 при 𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0; решений нет при 𝑎 = 𝑏 = 0; 𝑥1 = 1/(𝑎 − 𝑏); 𝑥2 = 1/(𝑎 + 𝑏) при 𝑎² ≠ 𝑏², 𝑏 ≠ 0.

Пример 3. Изобразить на координатной плоскости множество точек,

координаты которых удовлетворяют уравнению

8𝑥² − 6𝑥𝑦 + 𝑦² = 0.

Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный трехчлен относительно x, считая y параметром.

𝐷 = 36𝑦² − 4 ∙ 8 ∙ 𝑦² = 4𝑦².

Тогда, получаем корни

𝑥1 =

6𝑦 + 2𝑦

=

16

12𝑦

=

16

3𝑦

4

6𝑦 − 2𝑦      𝑦

𝑥2 =

= .

16           4

Следовательно, данное уравнение можно представить в виде

3𝑦             𝑦

(𝑥 − 4 ) (𝑥 − 4) = 0,

т.е. оно выполняется при 𝑥 = 3𝑦/4 и при 𝑥 = 𝑦/4.

Так что искомое множество является объединением двух прямых с уравнениями 𝑦 = (4𝑥)/3 и 𝑦 = 4𝑥.

Ответ: 𝑦 = (4𝑥)/3 и 𝑦 = 4𝑥.

Пример 4. При каких a, система имеет решение

{ 4𝑥² − 4𝑎𝑥 − 3𝑎² − 2𝑥 + 7𝑎 − 2 = 0, 3𝑥² + 𝑎𝑥 + 2𝑎² − 13𝑥 + 11𝑎 + 10 = 0.

(2.3.

Перепишем первое и второе уравнение системы в виде:

4𝑥² − (4𝑎 + 2)𝑥 − 3𝑎² + 7𝑎 − 2 = 0,

{

3𝑥²

+ (𝑎 − 13)𝑥 + 2𝑎²

+ 11𝑎 + 10 = 0.

Дискриминант первого уравнения системы (2.3.2) равен:

𝐷 = (4𝑎 + 2)² − 4 ∙ 4(−3𝑎² + 7𝑎 − 2) = 64𝑎² − 96𝑎 + 36 = (8𝑎 − 6)².

Значит, он нам подходит для выражения одной переменной через другую

𝑥1 =

4𝑎 + 2 + 8𝑎 − 6

8                =

3𝑎 − 1

2      ;

𝑥2 =

4𝑎 + 2 − 8𝑎 + 6

=

8

−𝑎 + 2

2

Подставим во второе уравнение системы (2.3.2) , 𝑥₁ и получим:

3𝑎 − 1 ²

3 (              )

2

+ 𝑎 (

3𝑎 − 1

2

) + 2𝑎² − 13 (

3𝑎 − 1

2

) + 11𝑎 + 10 = 0

41𝑎² − 54𝑎 + 69;

𝐷 = 54² − 4 ∙ 41 ∙ 69 < 0

следовательно, решений нет.

Подставим во второе уравнение системы (2.3.2), 𝑥₂ и получим:

−𝑎 + 2 ²

3 (               )

2

+ 𝑎 (

−𝑎 + 2

2

) + 2𝑎² − 13 (

−𝑎 + 2

2

) + 11𝑎 + 10 = 0

3(𝑎² − 4𝑎 + 4) − 2𝑎² + 4𝑎 + 8𝑎² + 26𝑎 − 52 + 44𝑎 + 40 = 0;

9𝑎² + 62𝑎 = 0

𝑎 = 0 , 𝑎 = −(62/9)

Ответ: при 𝑎 = 0, 𝑎 = −(62/9).

II.                        Домашняя работа

Задание 1. Решить уравнение: (𝑐 + 1)𝑥² − 3𝑐 = 0

Решение:

1)   Если 𝑐 + 1 = 0, т. е. 𝑐 = −1, то уравнение примет вид 0 ∙ 𝑥² = −3 − решений нет.

2)  Если 𝑐 + 1 ≠ 0, т. е. 𝑐 ≠ −1, то 𝑥² = 3𝑐/(𝑐 + 1).

Рассмотрим три случая:

1.     с = 0, тогда 𝑥² = 0, 𝑥1,2 = 0;

2.     3с/(с + 1) > 0, 𝑐(𝑐 + 1) > 0, 𝑐 ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞), тогда

𝑥₁ = −√3𝑐/(𝑐 + 1);

𝑥₂ = √3𝑐/(𝑐 + 1).

3.     3𝑐/(𝑐 + 1) < 0 , 𝑐 ∈ (−1; 0), то уравнение не имеет действительных корней

Ответ: 1) с ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞), 𝑥1, 𝑥2; 2) 𝑐 = 0, 𝑥1,2 = 0;

𝑐 ∈ [−1; 0), действительных корней нет.

3)  Задание 2. Решите уравнение:

(𝑚² − 9)𝑦² − 𝑚² + 4𝑚 − 3 = 0

Решение: Если 𝑚 − 3 = 0, то 𝑚 = 3 и 0 ∙ 𝑦² = 0, откуда 𝑦 ∈ 𝑅.

Если 𝑚 + 3 = 0, то 𝑚 = −3 и 0 ∙ 𝑦² = 24 − решений нет.

Пусть 𝑚 ≠ −3 и 𝑚 ≠ 3 тогда 𝑦² = (𝑚 − 1)/(𝑚 + 3).

Рассмотрим три случая:

1.     Если (𝑚 − 1)/(𝑚 + 3) = 0, т. е. 𝑚 = 1, то 𝑦² = 0, 𝑦1,2 = 0.

2.     Если (𝑚 − 1)/(𝑚 + 3) > 0, 𝑚 ∈ (−∞; −3) ∪ (1; 3) ∪ (3; +∞), то

𝑚 − 1

𝑦1 = −√

𝑚 + 3

𝑦₂ = √(𝑚 − 1)/(𝑚 + 3)

3.     Если   (𝑚 − 1)/(𝑚 + 3) < 0, 𝑚 ∈ (−3; 1),     действительных   корней нет.

Ответ: 𝑚 = 1, 𝑦1,2 = 0; 𝑚 ∈ (−∞; −3) ∪ (1; 3) ∪ (3; +∞), то 𝑦1, 𝑦2;

𝑚 ∈ (−3; 1) действительных корней нет.

III.                        Подведение итогов

IV.                           Рефлексия

Занятие №13

Тема урока: «Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами»

Цель: углубить ранее полученные знания об уравнениях с параметрами, закрепить навыки решения уравнений по теореме Виета; поспособствовать

развитию логического мышления, сформировать потребность к приобретению знаний.

I.                       Организационный момент

II.                       Актуализация знаний.

III.                        Объяснение нового материала

Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к формулировке.

Теорема Виета

Если уравнение 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет корни 𝑥1 и 𝑥2 , то выполнены равенства 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝; 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞.

Особенности теоремы:

1.     Теорема верна только для уравнения 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 и неверна для

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на ненулевой коэффициент 𝑎 при 𝑥², а потом уже применять теорему Виета.

2.     Для использования результатов теоремы необходимо существование корней уравнения, т.е. важно проверить условие 𝐷 > 0.

3.     Обратная Теорема Виета. Если числа 𝑥1 и 𝑥2 таковы, что

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 и 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞,

то 𝑥₁ и 𝑥₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения

𝑥² + 𝑝 · 𝑥 + 𝑞 = 0.

IV.                        Закрепление материала

Пример 1. Составить квадратное уравнение, имеющее своими корнями числа 𝑥₁ = √5 − 1 и 𝑥₂ = √5 + 1.

Решение. Имеем

{𝑥1 + 𝑥2 = √5 − 1 + √5 + 1 = 2√5

𝑥₁ ∙ 𝑥₂ = (√5 − 1)(√5 + 1 ) = 4

Согласно обратной теореме Виета, уравнение

𝑥² − 2√5х + 4 = 0

имеет своими корнями числа 𝑥₁ = √5 − 1 и 𝑥₂ = √5 + 1.

Пример  2.  При  каком  значении  p  отношение  корней  уравнения

𝑝𝑥² − 𝑝𝑥 − 3𝑥 = −3 равно 3?

Решение. Приведем уравнение к виду

𝑝𝑥² − (𝑝 + 3)𝑥 + 3 = 0.

Если p=0, то уравнение становится линейным, имеет вид −3𝑥 + 3 = 0.

Решением этого уравнения будет один корень х=1. Поэтому об отношении корней не имеет смысла говорить. Следовательно, значение 𝑝 = 0 условию задачи не удовлетворяет.

Если 𝑝 ≠ 0, то исходное уравнение – квадратное. Пусть р - искомое значение параметра, а 𝑥₁ и 𝑥₂ – соответствующие этому значению корни, отношение которых равно 3, т.е. 𝑥₁: 𝑥₂ = 3. Тогда, применяя теорему Виета, получаем систему уравнений с тремя неизвестными 𝑥₁ , 𝑥₂, 𝑝:

⎛𝑥₁ + 𝑥₂ =

⎪

𝑝 + 3

(2.3.3)

𝑝

3

⎨ 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑝                                                       (2.3.4)

𝑥

= 3                                                              (2.3.5)

{ 𝑥2

Находя из уравнения (2.3.5) 𝑥₁ = 3𝑥₂ и подставляя это значение в уравнение (2.3.3), получаем

𝑥2

= 𝑝+3.

4𝑝

Следовательно,

𝑥₁ = (3𝑝 + 9)/4𝑝.

Подставляя найденные значения 𝑥₁и 𝑥₂ во второе уравнение системы, получаем уравнение

3𝑝 + 9

4𝑝

𝑝 + 3      3

∙             = .

4𝑝         𝑝

После   несложных   преобразований   оно   приводит   к   квадратному уравнению 𝑝² − 10𝑝 + 9 = 0, корни которого 𝑝 = 1 и 𝑝 = 9.

Ответ: 𝑝 = 1 и 𝑝 = 9 .

Пример 3. При каких 𝑎 сумма квадратов корней уравнения равна 10

𝑥² − 𝑎𝑥 + 𝑎 + 7 = 0 ?

Решение. Пусть 𝑥₁ и 𝑥₂ − корни данного уравнения. Тогда по теореме Виета

{ 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑎

𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎 + 7

Теперь имеем

𝑥1 2 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)² − 2𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎² − 2(𝑎 + 7).

По условию 𝑎² − 2(𝑎 + 7) = 10 ⟹ 𝑎² − 2𝑎 − 24 = 0

{𝑎1 + 𝑎2 = 2

𝑎1 ∙ 𝑎2 = 24

Откуда 𝑎₁ = 6, 𝑎₂ = −4.

Легко видеть, что при 𝑎 = 6 исходное уравение корней не имеет, т.к. его дискриминант отрицателен, а число 𝑎 = −4 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 𝑎 = −4.

Пример 4. Найти все значения a, при которых сумма корней уравнения

𝑥² − 2𝑎(𝑥 − 1) − 1 = 0 равна сумме квадратов этих корней.

Решение. Перепишем в виде

𝑥² − 2𝑎𝑥 + 2𝑎 − 1 = 0.

𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑎

{      𝑥1 ∙ 𝑥2 = 2𝑎 − 1

𝑥1 2 + 𝑥22 = 𝑥1 + 𝑥2

Теперь имеем

𝑥1 2 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)² − 2𝑥1 ∙ 𝑥2 = 4𝑎² − 2(2𝑎 − 1).

По условию

4𝑎² − 2(2𝑎 − 1) = 2𝑎 ⟹ 4𝑎² − 6𝑎 + 2 = 0

Избавимся от коэффициента 4 перед 𝑎²:

𝑎2

3         1

−  𝑎 +  = 0

2         2

Откуда

3

𝑎1 + 𝑎2 = 2

{                     1

𝑎1 ∙ 𝑎2 = 2

Получаем

𝑎₁ = 1, 𝑎₂ = 0,5.

Легко видеть, что при 𝑎 = 1 исходное уравнение корней не имеет один корень, а получаем что только число 𝑎 = 0,5 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 𝑎 = 0,5.

     Домашняя работа

Задание 1. При каких значениях параметра 𝑎 сумма квадратов корней уравнения 𝑥² − 6𝑥 + 𝑎 = 0 равна 6?

Решение:

{        𝐷 ≥ 0

𝑥12 + 𝑥22 = 6

{              9 − 𝑎 ≥ 0

(𝑥1 + 𝑥2)² − 2𝑥1𝑥2 = 6

По теореме Виета:

𝑥1 + 𝑥2 = 6

{ 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎

{       𝑎 ≤ 9

36 − 2𝑎 = 6

Ответ: решений нет.

{ 𝑎 ≤ 9

𝑎 = 15

Задание 2. При каких значениях параметра 𝑎 сумма корней квадратного уравнения (3 − 𝑎)𝑥² − 2𝑎𝑥 + 4 = 0 больше 1, а произведение корней

меньше 8? Решение:

𝑎 ≠ 3

𝐷 ≥ 0       ⇒

𝑥1 + 𝑥2 > 1

{ 𝑥1 ∙ 𝑥2 < 8

𝑎² + 4𝑎 − 12 ≥ 0

2𝑎

> 1

3 − 𝑎                  ⇒

4

{        3 − 𝑎 < 8

𝑎² + 4𝑎 − 12 ≥ 0 3𝑎 − 3

> 0

3 − 𝑎                  ⇒

8𝑎 − 20

< 0

3 − 𝑎

(𝑎 + 6)(𝑎 − 2) ≥ 2

⇒ { (𝑎 − 1)(𝑎 − 3) < 0 ⇒ 𝑎 ∈ [2; 2,5).

(𝑎 − 2,5)(𝑎 − 3) > 0

Ответ: 𝑎 ∈ [2; 2,5).

Подведение итогов

Рефлексия

Занятие №14

Тема урока: «Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами»

Цель: углубить ранее полученные знания об уравнениях с параметрами, закрепить навыки решения уравнений по теореме Виета; развивать логическое мышление, научить проводить исследование корней квадратного уравнения.

I.                       Организационный момент

II.                       Актуализация знаний.

III.                        Объяснение нового материала

𝑥𝐵 − абцисса вершины параболы,

которая вычисляется по формуле:

𝑥𝐵 =

−𝑏

.

2𝑎

Таблица 2.14. Условия существования корней уравнения

I.                       Закрепление материала

Пример 1. При каких значениях параметра 𝑛 оба корня квадратного уравнения (𝑛 − 2)𝑥² + 8х + 𝑛 + 4 = 0 будут положительными?

Решение. Так как заданное уравнение является квадратным, то 𝑛 ≠ 2.

𝐷 ≥ 0

𝑏

𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 > 0

𝑐

                                        𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎 > 0

Так как

𝐷 = 64 − 4(𝑛 + 4)(𝑛 − 2),

а по теореме Виета,

𝑥1

{

+ 𝑥2

= −  8

𝑛−2

𝑥1

∙  𝑥2

= 𝑛+4

𝑛−2

то получим систему неравенств:

64 − 4(n + 4)(n − 2) ≥ 0

8

− 𝑛 − 2 > 0

𝑛 + 4

{                 𝑛 − 2 > 0

𝑛² + 2𝑛 − 24 ≤ 0

𝑛 − 2 < 0

𝑛 + 4

𝑛 − 2 > 0

−6 ≤ 𝑛 ≤ 4

⇒ {             𝑛 < 2

𝑛 < −4 или 𝑛 > 2

Ответ: −6 ≤ 𝑛 ≤ −4.

Пример 2. При каких значениях параметра k квадратное уравнение

𝑥² − (2𝑘 − 1)𝑥 + 1 − 𝑘 = 0 имеет два различных положительных корня?

Имеем,

  𝐷 = (2𝑘 – 1)² – 4(1 – 𝑘) = 4𝑘² – 3;

𝑥₁ + 𝑥₂ = 2𝑘 – 1

{ 𝑥1 ∙ 𝑥2  = 1 – 𝑘

Получаем систему неравенств:

4𝑘² − 3 > 0            (2𝑘 − √3)(2𝑘 + √3) > 0

{ 2𝑘 − 1 > 0    ⟹ {

1 − 𝑘 > 0

𝑘 > 0,5

𝑘 < 1

Ответ: 𝑘 ∈ (√3/2; 1).

Пример 3. При каких m корни уравнения отрицательны

𝑚𝑥² − 2(𝑚 − 1)𝑥 + 3𝑚 − 2 = 0?

Решение.

𝐷 = 4(𝑚 − 1)² − 4𝑚(3𝑚 − 2) = 4𝑚² − 8𝑚 + 4 − 12𝑚² + 8𝑚 = −8𝑚² + 4

𝐷 > 0

−8𝑚² + 4 > 0

1      1

⎛(−  ; )

{𝑥1

∙  𝑥2

𝑐

= 𝑎

< 0 ⟹      {

3m − 2             ⟹

< 0

𝑚

√2 √2 2

⟹ 𝑚 ∈ (0; 2/3)

(0; )

3

Ответ: 𝑚 ∈ (0; 2/3).

Пример 4. Найти все значения параметра m , при которых корни квадратного уравнения 𝑚𝑥² + 2(𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚 + 2 = 0 неположительны (различны).

Решение. Так как заданное уравнение является квадратным, то m не равно 0.

𝐷 ≥ 0

{𝑥₁ + 𝑥₂ ≤ 0

𝑥1 ∙ 𝑥2 ≥ 0

𝐷 = 4(𝑚 + 3)² − 4𝑚(𝑚 + 2) = 4(𝑚² + 6𝑚 + 9) − 4𝑚² − 8𝑚 = 4𝑚² +

+24𝑚 + 36 − 4𝑚² − 8𝑚 = 16𝑚 + 36

а по теореме Виета

𝑥1 + 𝑥2 = −

{

𝑥1 ∙ 𝑥2 =

2(𝑚 + 3)

𝑚

𝑚 + 2

𝑚

то получим систему неравенств.

16𝑚 + 36 ≥ 0

2(𝑚+3)

{ −      𝑚         ≤ 0 ⟹ {

𝑚+2 ≥ 0

𝑚

𝑚 ≥ − 9

4

𝑚 > 0 и 𝑚 ≤ −3

𝑚 > 0 и 𝑚 ≤ −2

⟹  откуда 𝑚 > 0.

Ответ: 𝑚 > 0.

   Домашняя работа

Задание 1. Дано уравнение: (3 + 𝑎)𝑥² − 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 2 = 0. При каких значениях параметра a:

a)     Оно имеет два различных действительных корня;

b)    Имеет один корень;

c)     Не имеет действительных корней. Решение:

3 + 𝑎 ≠ 0                            𝑎 ≠ −3

a)                      𝐷 > 0               𝑎² − (3 + 𝑎)(𝑎 + 2) > 0

{     𝑎 ≠ −3     ⇒ {

5𝑎 + 6 < 0

𝑎 ≠ −3                  ⇒

𝑎 < −1,2

⇒ 𝑎 ∈ (−∞; −3) ∪ (−3; −1,2)

b)    При 𝑎 = −3 уравнение 6𝑥 − 1 = 0 имеет единственное решение. Пусть 𝑎 ≠ −3. Рассмотрим уравнение второй степени

𝑎 ≠ −3            𝑎 ≠ −3

{                      {

⇒ 𝑎 = −1,2

𝐷 = 0          5𝑎 + 6 = 0

c)         𝑎 ≠ −3 ⇒         𝑎 ≠ −3

⇒ { 𝑎 ≠ −3

⇒ 𝑎𝜖(−1,2; +∞).

𝐷 < 0

−5𝑎 − 6 < 0

𝑎 > −1,2

Ответ: 𝑎) 𝑎 ∈ (−∞; −3) ∪ (−3; −1,2); 𝑏) 𝑎 = −1,2; 𝑐)𝑎𝜖(−1,2; +∞).

Подведение итогов

Рефлексия

Занятие №15

Тема урока: «Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным»

Цель урока: углубить ранее полученные знания об уравнениях с параметрами, закрепить навыки решения уравнений сводящихся к квадратным; развивать логическое мышление, сформировать у учащихся желания и потребности теоретического обобщения изучаемого материала.

I.                       Организационный момент

II.                       Актуализация знаний

III.                        Решение задач

Пример 1. Решите уравнение

𝑥(𝑥 − 𝑝)

𝑥 + 3

= 0

Решение. ОДЗ: 𝑥 + 3 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −3.

Решим уравнение-следствие приравнивая числитель к нулю.

𝑥(𝑥 − 𝑝) = 0 ⟹ 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 𝑝                                   (2.3.6) Если 𝑥₁ = 0, то 𝑝 ∈ 𝑅 т.е.

0∙(0−𝑝) = 0

0+3

Если 𝑥₁ = 𝑝, то 𝑝 ≠ −3, иначе в знаменателе получится н𝑜ль. Если 𝑝 = −3, то 𝑥 = 0 т. е.

𝑥(𝑥 + 3)

𝑥 + 3     = 0 ⟹ 𝑥 = 0

Если p=0, то

𝑥(𝑥 − 0) = 0 ⟹ 𝑥² = 0 ⟹ 𝑥 = 0.

𝑥 + 3

     Если 𝑥₁ = 𝑥₂, то 𝑝 = 0 следует из уравнения (2.3.6).

Ответ: 1) если 𝑝 ≠ −3, 𝑝 ≠ 0, то два корня 𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 𝑝;

2) если 𝑝 = −3 или 𝑝 = 0, то один корень 𝑥₁ = 0.

Пример 2. Решите уравнение

𝑥2−𝑎2 = 0.                                                 (2.3.7)

𝑥−3

Решение. ОДЗ: 𝑥 ≠ 3.

Приравниваем числитель к нулю:

𝑥² − 𝑎² = 0 ⟹ 𝑥1 = 𝑎, 𝑥2 = −𝑎

Если 𝑥₁ = 𝑥₂ тогда

𝑎 = −𝑎; 2𝑎 = 0; 𝑎 = 0.

Если 𝑥₁ = 𝑎, то 𝑎 ≠ 3 т. к знаменатель не может быть равен нулю

𝑎² − 𝑎²

= 0

𝑎 − 3

Если 𝑥₂ = −𝑎, то 𝑎 ≠ −3 т.к. знаменатель не может равняться нулю

𝑎² − 𝑎²

= 0

−𝑎 − 3

Если 𝑎 = −3 и 𝑎 = 3 , то из (2.3.7) следует 𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = −3.

Ответ: 1) 𝑎 ≠ −3, 𝑎 ≠ 0, 𝑎 ≠ 3, то два корня 𝑥₁ = 𝑎, 𝑥₂ = −𝑎;

2)  если 𝑎 = −3 или 𝑎 = 3, то 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −3;

3)     если 𝑎 = 0, то 𝑥₁,2 = 0.

Пример 3. Решите уравнение

𝑥² − 4𝑥 + 3

𝑥 − 𝑎

= 0.

Решение. ОДЗ: 𝑥 ≠ 𝑎.

𝑥² − 4x + 3 = 0

𝑥1 + 𝑥2 = 4

{ 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 3

⟹ 𝑥1

= 1, 𝑥₂ = 3

Если 𝑥 = 1, то 𝑎 ≠ 1. (Знаменатель не может быть равен нулю) Если 𝑥 = 3, то 𝑎 ≠ 3. (знаменатель не может быть равен нулю) Если 𝑎 = 1, то 𝑥 = 3 т. е.

𝑥² − 4𝑥 + 3

𝑥 − 1        = 0                                                  (2.3.8)

ОДЗ: 𝑥 ≠ 1. Приравнивая числитель из уравнения (2.3.8) к нулю получаем корни 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3. Но 𝑥1 не подходит по ОДЗ.

Аналогично если 𝑎 = 3, то 𝑥 = 1.

Ответ: 𝑎 ≠ 1, 𝑎 ≠ 3 то 𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 3; 𝑎 = 1, то 𝑥 = 3; 𝑎 = 3, то 𝑥 = 1.

Пример 4. При каких значениях a уравнение имеет единственное решение

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 2𝑎) (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

= 0

Решение. ОДЗ:𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ 2.

Решив уравнение

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 2𝑎) = 0

получим: 𝑥1 = 𝑎, 𝑥2 = −2𝑎.

При 𝑥1 = 𝑥2 получаем 𝑎 = −2𝑎 ⟹ 𝑎 = 0.

И так при a=0 уравнение имеет единственное решение x=0.

Если 𝑥1 = 1, то 𝑎 = 1. Тогда 𝑥2 = −2.

Если 𝑥₂ = 1, то

             −2𝑎 = 1 ⟹ 𝑎 = −0,5. Тогда 𝑥₁ =−0,

Если 𝑥1 = 2, то 𝑎 = 2. Тогда 𝑥2 = −4.

Если 𝑥2 = 2, то 𝑎 = −1. Тогда 𝑥1 = −1.

Ответ: 𝑎 = −1; 𝑎 = −0,5; 𝑎 = 0; 𝑎 = 1; 𝑎 = 2.

IV.            Домашняя работа

Задание 1. Решите уравнение:𝑦² + 3𝑚𝑦 + 2𝑚² = 0.

Решение:  𝐷 = (3𝑚)² − 4 ∙ 2𝑚² = 𝑚²; 𝑚² ≥ 0  при  любых  значениях

𝑚 ∈ 𝑅.

Рассмотрим два случая:

1)    Пусть 𝐷 = 0, т. е. 𝑚 = 0: 𝑦1,2 = 0.

2)    Пусть    𝐷 > 0, т. е. 𝑚 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞) имеет    два    различные корня:  𝑦1,2 = (−3𝑚 ± 𝑚)/2; 𝑦1 = −2𝑚, 𝑦2 = −𝑚.

Ответ: 1) 𝑚 = 0, 𝑦1,2 = 0; 2) 𝑚 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞), 𝑦1, 𝑦2.

Задание 2. Решите уравнение

𝑥2−(2𝑎+1)𝑥+𝑎2+𝑎 = 0.                              (2.3.9)

𝑥−2

Решение: ОДЗ 𝑥 ≠ 2.

𝑥² − (2𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎² + 𝑎 = 0.

𝐷 = (2𝑎 + 1)² − 4(𝑎² + 𝑎) = 4𝑎² + 4𝑎 + 1 − 4𝑎² − 4𝑎 = 1

𝑥1,2 =

𝑥₁ = 𝑎 + 1; 𝑥₂ = 𝑎.

(2𝑎 + 1) ± 1

2

1)               𝑥₁ ≠ 𝑥₂ при любом 𝑎 ∈ 𝑅.

2)               𝑥₁ = 𝑎 + 1, то 𝑎 ≠ 1. (иначе знаменатель в (2.3.9) будет равен нулю)

3)               𝑥₂ = 𝑎, то 𝑎 ≠ 2. (иначе знаменатель в (2.3.9) будет равен нулю)

4)               𝑎 = 2, то 𝑥₂ = 3.

5)               𝑎 = 1, то 𝑥₁ = 1.

Ответ: 𝑎 = 2, 𝑥2 = 3; 𝑎 = 1, 𝑥1 = 1; 𝑎 ≠ 2 и 𝑎 ≠ 1, 𝑥1 = 𝑎, 𝑥2 = 𝑎 + 1.

V.                       Подведение итогов

VI.                        Рефлексия

Занятие №16

Тема урока: «Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра»

Цель урока: сформировать умение распознавать расположение корней квадратного уравнения и положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от параметра; развивать логическое мышление; умение работать в проблемной ситуации.

I.                       Организационный момент

II.                       Актуализация знаний

III.                        Объяснение нового материала.

IV.            Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

V.               Пусть  квадратный  трёхчлен  𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐  имеет  корни

VI.            𝑥1 и 𝑥2, 𝑥0 = −𝑏/2𝑎 - абсцисса вершины параболы 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, d - заданное число. Рассмотрим ряд утверждений, связанных с взаимным расположением 𝑥1 и 𝑥2 и числа d.

VII.         Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были

VIII.      больше числа d, необходимо и достаточно выполнение условий.

𝑏² − 4𝑎𝑐 ≥ 0

𝑏

−        > 𝑑 2𝑎

𝑓(𝑑) > 0

или

𝑏² − 4𝑎𝑐 ≥ 0

𝑏

−        > 𝑑 2𝑎

𝑓(𝑑) < 0

(2.3.10)

{        𝑎 > 0                  {        𝑎 < 0

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше числа d, необходимо и достаточно выполнение условий

𝑏² − 4𝑎𝑐 ≥ 0

𝑏

− 2𝑎 < 𝑑

𝑓(𝑑) > 0

или

𝑏² − 4𝑎𝑐 ≥ 0

𝑏

− 2𝑎 < 𝑑

𝑓(𝑑) < 0