ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ БОРА

§ 9. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ БОРА 1.  Первый   постулат   Бора   (постулат   стационарных   состояний): существуют   некоторые   стационарные   состояния   атома,   находясь  в которых он не излучает энергии. Второй постулат Бора (правило квантования орбит): υρ v =nh(n=1,2,3,...) ,  h где                                     h  2   h — постоянная   Планка;    ρ    — радиус   круговой орбиты; mv — импульс электрона. ; Третий постулат Бора (правило частот): E ­E =2 hvπ , p n где v — частота   излучения   при переходе с р­й на п­ю орбиту (р > п),  Ер и Еп — энергии электрона на этих орбитах. 2. Частота излучения для водородоподобных атомов v RcZ  2 ( 1 2 n  ) 1 2 p где Z — порядковый номер элемента (заряд ядра в единицах эле­ ментарного  заряда); c — скорость света;   R — постоянная Ридберга; п = 1, 2, 3, .,.; р = п + 1, п + 2 Для   водорода   постоянная   Ридберга  RH  =   109677,759   см­1,   для спектральных линий серии Лаймана (ультрафиолетовая  область)  п  = 1, для спектральных линий серии Бальмера (видимая область  спектра)  п  = 2, для спектральных линий серии Пашена (инфракрасная область спектра) п = 3. 3. Полная энергия  атома водорода определяется выражением W n   4 me 2 2 2  08 h n где  т и е — соответственно масса и заряд электрона,  е0 — диэлектрическая постоянная вакуума,  h — постоянная Планка,  п — главное квантовое число (п =» 1, 2, 3, ...). 4. Коротковолновая   граница   λ  сплошного   рентгеновского   спектра, возбужденного   при   торможении   электрона, соотношения eU  ch где  h — постоянная Планка,  е — заряд электрона,  U — разность потенциалов, приложенная к трубке.   определяется   из 5. Частота рентгеновского излучения (закон Мозли):  v Rc Z b  ( 2 ) ( 1 2 n  ) 1 2 p где  b — постоянная экранирования, остальные обозначения те же, что в  пункте 2. 6. Длина   волны,   соответствующая   частице,   движущейся   со скоростью  vt  равна:  h где т — масса микрочастицы.   2 m ВОПРОСЫ 1. На  рисунке 9.1   показаны траектории движения  а­ частиц при их рассеянии на тонком слое одного и того же металла. Почему а­  частицы  изменили  направление своего движения?  Почему изменение направления движения различно, хотя начальные скорости а­  частиц одинаковы? 2. На фотографии спектра (рис. 9.2) некоторого водородоподобного атома различные линии обозначены цифрами. Какая из линий соответствует наибольшей длине волны? 3. Опыты Д.  Франка и Г. Герца по изучению столкновений электронов с атомами газов методом задерживающего потенциала экспериментально подтвердили постулаты Бора. В чем сущность этих опытов? Каким образом, используя результаты опытов, можно  рассчитать частоту первой резонансной линии газа? 4. На рисунке 9.3 представлена схема энергетических уровней атома водорода. Пользуясь ею, определите энергию испускаемых квантов, если свечение атомарного водорода возбуждается электронами с  энергией 12,5 эВ. Какие серии излучения наблюдаются при  этом? 5. Сколько s­,  р­,  d­электронов находится в атоме на первом, втором и третьем энергетических уровнях? K­,   L­,     определите,  M­оболочки   заполнены   полностью.   Каково напряжения между катодом и антикатодом; накала  нити  катода? Используя   принцип   Паули,   какое   максимальное число     электронов     в       атоме     может     иметь     одинаковые     квантовые числа при п = 2. В   атоме общее число электронов в атоме? Может ли водород дать рентгеновское излучение? Как   меняется   интенсивность   рентгеновского   излучения,   положение максимума   излучения   и   граница   излучения   в   коротко  волновой   части спектра при увеличении: а) б) Чем   отличаются   рентгеновские   характеристические   спектры от оптических спектров испускания? Почему   для   пользуются   или характеристическим, но тогда вращают кристалл? По   макроскопической   шкале   времени   распад   возбужденного атома   происходит   очень   быстро:   среднее   время   жизни   возбужденных состояний   атомов   и   молекул   имеет   порядок   10­8с.   Объясните, почему   по   атомной   шкале   времени   времена   жизни   возбужденных состояний   считают   очень   большими   (учтите,   что   оптическим   фотонам соответствуют частоты 10­8с­1).   получения   дифракционной   картины   от   монокристалла излучением, рентгеновским   тормозным   или   Примеры решения задач 1.   Один   из   возбужденных   атомов   водорода   при   переходе   в   основное состояние   испустил   последовательно   два   кванта   с   длинами   волн  λ1  => 128,18  нм   и    2  =  105,57   нм.  Какое   число   спектральных   линий   можно наблюдать, если все атомы водорода получили одинаковую  энергию? λ Решение Число спектральных линий определяется числом термов, из комбинации которых   получаются   спектральные   линии.   Каждый   терм   соответствует определенному   главному   квантовому   числу.   Число   термов   равно   числу энергетических уровней, на которых может быть электрон, и определяется главным   квантовым   числом,   соответствующим   максимальной   энергии возбужденного атома. Энергия   атома   водорода   в   возбужденном   состоянии   связана   с   главным квантовым числом n соотношением: 1 2 n 4 me 2 2  8 h 0    — энергия   основного   состояния. где   W 0   4 me 2 2  8 h 0 2,17 10 W n W 0  18 Äæ     1 2 n По Бору атомы излучают при переходе из стационарного состояния с  большей энергией в стационарное состояние с меньшей энер­ гией.  По условию задачи атом переходит в основное состояние, излучив  два кванта, поэтому                                                             (2)   Äæ W 0    18  hc  2 hc  1 0,086 10 . nW ­34 (h=6,62×10Дж×c;c=3×10м с) 8 Используя соотношение (1),  получим,  что главное квантовое число,  соответствующее такому возбужденному состоянию, равно              n  W 0 W n   2,17 10  0,086 10  18  18  5                                  (3)  (квантовое число может быть только целым числом). Если каждый атом получает энергию, достаточную для заполнения пятого энергетического   уровня  (п  =   5),   то   термов   пять.   Их  комбинация   может привести к наблюдению 10 спектральных линий. 2. Определите выражение для термов водородоподобного атома (заряд Ze) с учетом конечности массы ядра. Р е ш е н и е Комбинация спектральных термов дает возможность определить  частоты всех   линий,   входящих   в   спектр   атома.   Спектральный   терм  Тп  связан   с энергией атома Wn соотношением T  n где h — постоянная Планка.                                          nW h  (1) Как   известно,   энергия   стационарного   состояния   в   атоме   водорода вычислена в предположении неподвижного ядра, что имеет место только при бесконечно   большой   массе   ядра   по   сравнению   с   массой  электрона.   В реальном   атоме   электрон   и   ядро   вращаются   вокруг  их   центра   массы. Поэтому энергия стационарного состояния атома слагается из кинетической энергии электрона и ядра (W') и их взаимной потенциальной энергии (W). Для   вычисления   этой   энергии   предположим,   что   расстояние  между центрами масс ядра и электрона равно b = R + r (где R и r — расстояния частиц от центра масс), массы ядра и электрона соответственно равны М и т и их скорости v1 и v2. Между частицами действуют кулоновские силы, которые каждой  частице сообщают нормальное ускорение 2  m  2 r                             2  M 1 R Ze 4 b 2 2 0 Отсюда кинетическая энергия частиц равна                                     W   ' 2  M 1 2 2  m 2 2               (2) 3 Ze  8 0 b (3) Потенциальная энергия двух частиц с зарядами Ze и — е равна W "   2 Ze  4 0 b                                     (4) Полная энергия стационарного состояния определяется суммой W   и   W                                     (5)   W n 2 Ze  8 0 b Для  нахождения   b  воспользуемся   вторым  постулатом  Бора и  уравнением (2). Имеем:  2   2 M R m r n  h 2   2 m r                2 Ze  4 0 2 b ,                                     (6)                                 (7) После возведения (6) в квадрат и деления полученного выражения на  (7) получаем:                               ( 2 MR mr  mr 2 2 )  2 2 2 n h   b 0 2 Ze                        (8) Так как движение ядра и электрона происходит вокруг их центра массы, то  Учитывая это, преобразуем уравнение (8) и получаем: mr MR r ; Mb  m M   ) ( 2 b  M m 2 2   n h 0  Ze mM Подставим найденное значение в (5). 2 4 Z e 2 2 2  8 h n 0    уравнение (9) дает:      W n M 1; Z W n В том случае, когда                                       m m  (1 M 4 ) me 2 2 2  06 h n              (9) Последнее   совпадает   с   энергией   стационарного   состояния   атома водорода, полученного в предположении неподвижного ядра (введение, п. 3). Искомая  величина равна: cRZ 2 h где  постоян    ная   Ридберга   для   атома   водорода, m M M  T n W Z M  n ( ) h m M R cZ  2 h W n h      2 2 2 R  —   постоянная   Ридберга   для   водородоподобного   атома,  с  — скорость   света,  п  —   главное   квантовое   число,  Z  —   порядковый номер элемента. 3.   Наибольшая   длина   волны   спектральной   водородной   линии  серии Бальмера   равна   656,3   нм.   Определите   по   этой   длине   волны  наибольшую длину волны в серии Лаймана. Р е ш е н и е Частота излучения атома водорода                         v Rc ( 1 2 n  ) 1 2 p                       (1) В серии Бальмера п = 2, в серии Лаймана п = 1. Наибольшая длина волны в каждой серии соответствует р = n + 1. Для   наибольшей   длины   волны   в   сериях   Бальмера   и   Лаймана  можно записать:                                                           1 2 1 1 R  (  R ( 1 2 1 )   1 2 3  ) 1 2 2 1 2 2                                      (2)                  (3) Разделив уравнение (2) на (3), получим       2  1   5 4 36 3 , откуда λ2 = 1215  • 10­10 м. 4.   Определите   длину   волны  Ка  ­линии   характеристического рентгеновского   спектра,   получаемого   в   рентгеновской   трубке   с молибденовым (42Мо) антикатодом. Можно ли получить эту линию  спектра, подав на рентгеновскую трубку напряжение 4*103 В? Р е ш е н и е По закону Мозли частота излучения в характеристическом рентгеновском спектре                                                   (1) Излучению   серии  К  соответствует   значение   числа  п  =   1,   излучению  v Rc Z b  ( 2 ) (  1 2 n ) 1 2 p спектральной линии а соответствует значение числа р =  п + 1 ­ 2. Постоянная экранирования для серии К равна 1 (Ь = 1). Заряд ядра в единицах элементарного заряда для молибдена равен Z = 42. Постоянная Ридберга R = 1,097*107 м­1. Произведя соответствующие расчеты, получаем: λka = 0,72 х х 10­10 м. Чтобы   узнать,   можно   ли   получить   эту   линию   характеристического излучения при определенном напряжении на рентгеновской трубке, сравним энергию фотонов  Kа­линии молибдена  (Е1)  с энергией электронов, которую они приобретают в рентгеновской трубке (E 2) По условию задачи ; 2,5 10  15 eU  16 2 ka      6,4 10 Дж E hvДж E 1 Следовательно, при напряжении на рентгеновской  трубке  U  = 4 •   103  В   нельзя   получить   характеристического   излучения  с  Kа­ линией. При таком напряжении  будет наблюдаться  сплошной спектр (спектр торможения). 5. На узкую щель шириной  b  = 10­6  м направлен  пучок электронов, имеющих   скорость  v  =   3,65   •   108  м/с.   Определите   расстояние  между двумя   максимумами   первого   порядка   в   дифракционной   картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 см от щели и параллельном щели. Р е ш е н и е Проходя  через щель, электроны  рассеиваются  и на экране образуют дифракционную   картину.   Согласно   гипотезе   де   Бройля   длина  волны, соответствующая   частице   массы  m,   движущейся   со   скоростью  v определяется величиной                                                                                 (1) Угловое   положение  k­го   максимума   интенсивности   дифракционной m h 2  k  1 k b sin картины определяется уравнением  m                                             где,  к = 0, 1, 2, 3, ... — порядковый номер максимума, b — ширина  щели (см. § 4, введение, п. 5).                                    (2) Для максимумов первого порядка (k = 1) угол  sin φ =  tg  φ  =  φ.   Из   (2)   угловое   расстояние   между   первыми   максимумами   равно 2 φ = 2 b  мал, поэтому   2 φ Линейное расстояние  х  =  2L  tg  φ  =  2L  φ. Учитывая (1), получим: Lh 3  bmv  м   (h = 6,62 • 10­34   Дж • с,   т = 9,1 • 1­31 кг). 6*10  31  x Задачи для самостоятельного решения 9.1. Согласно классической электродинамике электрон, движущийся с ускорением а, излучает в единицу времени энергию E  2 2 3 4 e e c 0 ,   где е — заряд  электрона; с — скорость  света; 3 e0 — электрическая проницаемость вакуума. Исходя из классических представлений   и   ограничиваясь   допущением,   что   полное   ускорение электрона все время совпадает с центростремительным, оцените «время жизни» атома. Начальный радиус орбиты электрона принять равным r = 10­10 м. Ответ    0  4  2  2  14  10 . c 3 3 с r m 0  4 4 У к а з а н и е .     Учесть, что излучение за время dt равно убыли полной  энергии взаимодействия протона и электрона:  du    E r dt  . 9.2.Пользуясь теорией Бора,  определите для  первой  орбиты в атоме водорода радиус орбиты,   скорость  и   ускорение электрона,  энергию основного состояния атома. На одном графике с куло­ новским потенциалом   постройте систему уровней энергии электрона для  трех  первых орбит.  Ответ    2,18 10 0,53 10  rм =   10 / ,  2 2 4 6 2 4  me   4 h 0  h 0  me e   м с a ,  2 0 h 8,94 10  22 2 м с E / , 4 me   h 2 8 0 2   13,6 . эВ 9.3.Пользуясь теорией Бора, определите для электрона, находящегося на   первой   и   второй   орбитах   в   атоме   водорода,   отношение:   а)   радиусов орбит; б) магнитного момента электрона к механическому. На какой орбите и во сколько раз полная энергия электрона   больше?  Ответ r 1 1 r 4 2  ; б )     : 2 1    p p 2 1  1.   На второй орбите энергия в 4 раза больше. 9.4.Определите,   как   изменится   орбитальный   момент   импульса электрона   в   атоме   водорода   при   переходе   электрона   из   возбужденного состояния   в   основное   с   испусканием   одного   кванта   с   длиной волны λ = 97,25 нм.  Ответ Уменьшится в 4 раза. 9.5.Пользуясь теорией Бора, определите для однократно ионизованного иона гелия (Не+): а) радиус первой орбиты; б) скорость электрона на этой орбите;   в)   потенциал   ионизации;   г)   первый   потенциал   возбуждения;   д) длину волны в спектре, соответствующую  переходу электрона со второй орбиты на первую.  Ответ   h  a rм б ) 0  mZe hcRZ e Ze  2 0 2 hcRZ 3 e   4,32 10 2,66 10 40,8 ; B 54 ; ) B г U  ; ) м с 1 30,3    ) д ) в U нм .         11 h   / ; 1 6 2 2 2 2 4 1 2          9.6.Определите       (в       длинах       волн)       спектральные       диапазоны, принадлежащие   сериям   Лаймана,   Бальмера,   Пашена,   Бреккета   и Пфунда. Изобразите на шкале длин волн их расположение относительно друг  друга.  7  Ответ Серия Лаймана —    серия Бальмера —   серия Пашена —   серия  Бреккета —  серия Пфунда —   0,915 10   7 3,65 10   7 8,24 10  14,6 10  7 22,5 10   1,22 10 м    7 м 6,55 10    7 18,8 10 м   7 40,5 10 м    7 74,8 10   . м  м; м . . м  7 . м . м м   7  9.7.В   спектре   атомарного   водорода   интервал   между   первыми двумя       линиями,      принадлежащими       серии       Бальмера,       составляет Δλ = 1,71 • 10­7 м. Определите постоянную Ридберга. 1 7  ;   1,09 10  Ответ  28  Rм V  15 9.8.Разница     между     головными     линиями     серий   Лаймана           и Бальмера   в   длинах   волн   в   спектре   атомарного   водорода   равна Δλ = 534,7 нм. Определите по этим данным постоянную Планка.  Ответ  6,6 10  .   34  V  4 e m 15 hДж с  2 704 c 0  3 9.9.Квант   света   с   энергией  Е  =   15   эВ   выбивает   электрон   из атома   водорода,   находящегося   в   нормальном   состоянии.   С   какой относительной скоростью будет двигаться электрон вдали от ядра?  Ответ   2    E E 1 m   7 10 5 / м с  (E1 — энергия ионизации атома водорода). 9.10.Электрон, имеющий вдали от покоящегося протона скорость v=  1,870­106м/с, захватывается последним, в результате чего образуется возбужденный атом водорода. Определите длину волны фотона, который испускается при переходе атома в нормальное  состояние.  Ответ    1,25 10 . м    7 2 hc  2 m 9.11.Какие   спектральные   линии     появятся     при     возбуждении атомарного водорода электронами с энергией: а) 12,5 эВ; б) 14 эВ?  Ответ   ) aнм 1  б) все линии спектра.  , нм 2 122 103  , нм 3 103   ; 9.12.Пользуясь теорией Бора, определите для двукратно ионизованного атома лития (Li++) радиус первой орбиты; первый потенциал возбуждения; длину   волны   резонансной   линии   (линии,   возникающей   при   переходе   из первого возбужденного   состояния в основное);    потенциал ионизации.  Ответ  1,76 rнм U  ,  B 91,5 ,   нм U 13,5 1 ,  B 122,5 . 9.13.Квант     света,       возникающий       при       резонансном       переходе в однократно ионизованном атоме гелия  (Не+),  вырывает фотоэлектрон из атома водорода, который находится в основном состоянии. Определите скорость этого электрона вдали от ядра атома.  Ответ   3,1 10  6 м с n . /  4. 9.14.При   наблюдении   спектра   атомарного   водорода,   полученного   с помощью дифракционной решетки с периодом d = 2 мк, обнаружено, что одна из спектральных линий серии Бальмера в  спектре второго порядка соответствует 29°05'' Определите   главное   квантовое   число   энергетического   уровня   атома, переходу с которого отвечает данная линия.  дифракции углу  а  =       Ответ  n=4.  9.15.В   качестве   экрана   от   рентгеновского   излучения   используется пластина   свинца   толщиной  dx  =   0,5   см.   Его   коэффициент  поглощения равен μ1 = 52,5 см­1.  Какой толщины нужно взять пластину из алюминия, 2  =  0,765   см­1,   чтобы   она коэффициент   поглощения   которого   μ  экранировала в такой же степени?  Ответ   dсм 2 34,3  .  d 1 1  2  =10 9.16.Солнечная   радиация   при   прохождении   через   слой   воды толщиной     10   м   теряет   82%     энергии,   а   рентгеновское   излучение λ ­10  м) слоем воды ослабляется в  е  раз. Определите коэффициент ( поглощения  воды   для   этого   рентгеновского   излучения  и сравните его с коэффициентом поглощения солнечной радиации.  Ответ  0,03, 15.  1    1  2 9.17.Определите   наибольшую   скорость   электронов,   подлетающих   к антикатоду   рентгеновской   трубки,   если   минимальная   длина  волны   в сплошном спектре рентгеновых лучей равна 1 нм.  Ответ  2,09 10 / м o .     hc 2  m 9.18.Длина   волны   одного   из   видов   γ ­лучей,   испускаемых   радием (RaC), равна 1,6* 10­3 нм. Какую разность потенциалов надо приложить   к рентгеновской     рентгеновы   трубке,   лучи с этой длиной волны?  Ответ    получить     чтобы   5 7,8 10 . B U              hc e 9.19.При напряжении U = 31 кВ, приложенном к рентгеновской трубке, длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра оказалась равной   λ  = 4*10­2  нм. Определите постоянную Планка.  Ответ  eU  hДж с c 6,6 10  .   34  9.20.Определите   длину   волны   коротковолновой   границы   сплошного рентгеновского спектра, если известно, что при увеличении ускоряющего ­2 напряжения на трубке в 2 раза длина волны уменьшается на Δ  = 5*10 нм. λ  Ответ   0,1 .нм   составляет   половину   скорости   света. 9.21.Скорость   электронов,   подлетающих   к   антикатоду   рентгеновской трубки,   Определите: а)   длину   волны   коротковолновой   границы   сплошного   рентгеновского спектра; б) ускоряющее напряжение на трубке.  Ответ а  )  E 0 hc 1   2 1   1   0,015 нм ; ) б U  E 0 e 1  1  2   1   7,7 10  4 B  (    , E 0  0,511 МэВ — энергия покоя электрона). 9.22.Излучение       рентгеновской       трубки       падает       на       кристалл кальцита   (СаСО3).   Наименьший   угол   между   плоскостью   кристалла и   пучком   рентгеновых   лучей,   при   котором   можно   отметить   отражение, равен         =   2°36'.         Постоянная       решетки       кальцита       равна d  =   3,04*10­8  см.   Под   каким   напряжением   работает   рентгеновская трубка?  Ответ   UкВ 45,6 φ  . hc sin 2 de              9.23.Разность   длин   волн   между  Kа­линией   никеля   и   коротко волновой       границей       сплошного     рентгеновского     спектра     равна Δλ  =   0,084   нм.   Определите   напряжение   на   рентгеновской   трубке с никелевым антикатодом.   Ответ  UкВ 18,7 . 9.24.При     увеличении       напряжения       на       рентгеновской   трубке от U1 = 10 кВ до U2 = 20 кВ интервал длин волн между Ка­ли­ нией   и   коротковолновой   границей   увеличился   в   3   раза.   Определите порядковый номер элемента антикатода этой трубки.  Ответ  Z = 27. 9.25.Кристалл с постоянной решетки d = 0,281 нм установлен φ так, что угол скольжения рентгеновых лучей   = 14°. Постепенно увеличивая напряжение, приложенное к рентгеновской трубке, при напряжении   U = 9100  В  получили  первый  максимум.   Найдите по этим данным постоянную Планка.   Ответ h = 6,6.10­34 Дж.с 9.26.В рентгеновской трубке антикатод сделан из серебра47 Ag. Определите длину волны и энергию кванта для линии К  α (без уче та ионной структуры), а также наименьшее напряжение, необходимое для  возбуждения K­серии серебра.  Ответ   hнм 3 Е = 18 кэВ, U = 18   кВ. 0,068  , 4  R Z   2 1 9.27.Коротковолновая    граница    сплошного    рентгеновского спектра 0,5 нм. Будут ли при этом наблюдаться в спектре K­линии характеристического излучения алюминия 13А1?   Ответ Да. 9.28.Сравните работу выхода электрона из вольфрама, у которого «красная граница» фотоэффекта соответствует длине волны 276, 0 нм, и работу вырывания электрона с K­оболочки атома вольфрама.   Длина  волны  Kα­линии характеристического  излучения вольфрама равна 0,01782 нм.  Ответ  4 15 10 .   A 2 A 1 9.29.Какова максимальная скорость электронов, вырываемых из меди (29Сu) характеристическим излучением железа (26Fе)?  Ответ   5,4 10  7 .м с / 9.30.Определите длину волны де Бройля: а) электрона, про шедшего ускоряющую разность потенциалов 103 В; б) молекулы водорода (т = 3,4*10­24 г), движущейся со средней квадратичной скоростью, при температуре 300 К; в) тела массой 1 г, имеющего скорость 1 м/с.  Ответ  0,039 6,62 10 нм б ; ) 0,095 , нм . нм  )      22  а  9.31.При   каком   значении   кинетической   энергии   электрона его дебройлевская длина волны равна комптоновской длине волны?  Ответ  Е  0,21 . МэВ У к а з а н и е .     Следует   воспользоваться   определением   кинетической  энергии в специальной теории относительности. 9.32.Считая    разрешающую   способность    приборов    равной   , определите для  числовой  апертуры А = 0,1 разрешающую  2a d=  способность   электронного микроскопа, работающего при напряжении U  = 105 В.  Ответ   h dнм 2 A meU  0,02 . 9.33.Пучок электронов падает на естественную грань моно θ кристалла под углом скольжения   = 30°. Отраженные электроны наблюдаются под углом, равным углу падения. Постоянная кри­ сталлической решетки d = 0,25 нм. Определите первую и вторую ускоряющие   разности   потенциалов,   при   которых   наблюдается максимальное отражение электронов. Ответ  U  2 d 2  2 h 2 2 sin  me , U 1  24,4 , B U 2  97 . B