Элементы статистики и теории вероятности. Подготовка к ЕГЭ

В настоящее время элементы статистики и теории вероятностей включены в  государственный стандарт основной школы. Решение комбинаторных задач  способствует развитию логического мышления, расширению кругозора,  формированию математической культуры учащихся, возможности  использования математических методов и технологий статистической  обработки в различных исследованиях. Теория вероятности – очень сложный предмет, если рассматривать отдельно. Но на ЕГЭ надо знать только самые основные понятия теории вероятностей. Если дети их будете понимать, то и задача покажется лёгкой. 1. Случайное событие (СС)­ это событие, которое либо произойдёт, либо нет. В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными событиями. Примеры:  Вы   купили   лотерейный   билет.   Он   либо выигрышный,   либо   нет. Случайное событие ­ выигрыш. Оно может произойти, а может и нет.  Вы   подбросили   монету.   Выпадение   орла   ­  случайное   событие. Выпадение решки тоже случайное событие.  Студент сдаёт экзамен. Выпадение определённого билета –  случайное событие. Сдаст или не сдаст тоже случайное событие.  и т.д. 2.  Каждое   случайное   событие   (СС)   иметь   свою  вероятность  произойти (сбыться, реализоваться). Каждый, думаю, понимает интуитивно, что такое вероятность. Одно событие может произойти со 100%­ой вероятностью, другое почти с нулевой и т.д. Примеры:  Вероятность восхода солнца рано утром = 100%,  Вероятность выпадения восьмёрки на игральной кости (кубике) = 0%, т.к. 8­рки нет на кубике.  А   вероятность,   что   изделие   бракованное   –   может   принимать   любое значение (от 0 до 1). Это зависит от условий. Вот такие вероятности и будем находить в дальнейшем. 3.   Испытание  –   любое   действие,   которое   может   привести   к   одному   или нескольким результатам. 4. Исход  ­ конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов. Например:  Бросаете монету – это испытание. Исходы – орёл, решка.  Подбросили   кубик   (иногда   называют   игральной   костью)   –   это испытание. Выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6 – это исходы. 5. Благоприятный исход ­ желаемый исход. Примеры:  Бросаете монету. Хочу, чтобы выпала решка, => благоприятный исход = выпала решка. Значит выпадение орла – неблагоприятный исход.  Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно   и   2   не   знаю.   Хочу   сдать   на   хорошо.   Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо? Ответ: 5/20=1/4. Почему? Подробности ниже. Какова же связь между этими понятиями? ЗАПОМНИ: Эта   формула   называется  классической   формулой   вероятности  или классическим определением вероятности. Где: 1. Р(А) ­ вероятность события А. 2. m – число (количество) благоприятных исходов, 3. n – число (количество) всех исходов. 4. ПРАВИЛО:  Вероятность   всегда   равна   от   0   до   1.   Ни   меньше,   ни больше! Рассмотрим тот же пример: Сдаю   экзамен.   Из   20   билетов   10   знаю   на   отлично,   5   на   хорошо,   3   на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо? Решение: 1. m = 5. 2. n =20. 3. Значит Р(А) = 5/20 = 0,25. 4. Аналогично, можно найти вероятность сдать экзамен на отлично: Р(А1) = 10/20 = 0,5.  1. вероятность сдать экзамен на удовлетворительно: Р(А2) = 3/20 = 0,15. 2. вероятность не сдать экзамен: Р(А3) = 2/20 = 0,1. Заметьте,   ответы   представлены   в   десятичной   дроби,   потому   что   в бланках ЕГЭ, надо писать в десятичном виде (если не указано иное). Классическая формула вероятности – самая главная и основная. Но бывают затруднения в нахождении n и m.  В этом случае надо знать элементы комбинаторики.  1. Теорема о перемножении шансов:   Пусть множество  А состоит из k   элементов, а множество B — из m элементов, тогда можно образовать ровно  km  пар,   взяв   первый   элемент   из   множества   A,   а   второй —   из множества B. т.е.  если   первый   элемент   можно   выбрать  k  способами,   а   второй элемент — m  способами,   то   пару   элементов   можно   выбрать  km способами. Примеры: 1. При   подбрасывании   трёх   монет   возможно   2∙2∙2=8   различных результатов.   Т.к.   первая   монета   принимает   2   результата   (орел   или решка), вторая тоже два, и третья также два результата. 2. бросая   дважды   игральную   кость,   получим   6∙6=36   различных результатов. Объяснить самостоятельно. 2.   Выборы   шариков   из   урны  (или   кубиков   из   ящика,   или   карточек   из коробки, или книг с полки, или изделий из партии, или номер при жеребьёвке и т.д.): Есть урна (ящик), содержащая n пронумерованных объектов (шаров). Мы  выбираем из этой урны k шаров; результатом выбора является набор из k шаров. Нас интересует, сколькими  способами можно выбрать k шаров из n, или сколько различных  результатов может получиться? На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся: а) с тем, как организован выбор: можно ли шары возвращать в урну, и  б) с тем, что понимается под различными результатами выбора: учитывается или нет порядок. Рассмотрим следующие возможные способы выбора: 1)   Выбор с   возвращением:  каждый   вынутый   шар   возвращается   в урну, каждый   следующий   шар   выбирается   из   полной   урны.   Таким   образом,   в полученном наборе из k шаров могут встречаться одни и те же. 1.1) Выбор с   учётом   порядка:  например,   при   выборе   трёх   шаров   из   5, лежащих   в   урне,   наборы   (1,   5,   2)   и   (2,   5,   1)   различны,   если   порядок учитывается. 1.2) Выбор без учёта порядка:  т.е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается. 2)   Выбор без   возвращения:  вынутые   шары   в   урну   не   возвращаются,   и   в полученном наборе не могут встречаться одни и те же шары. 2.1) Выбор с   учётом   порядка:  например,   при   выборе   трёх   шаров   из   5, лежащих   в   урне,   наборы   (1,   5,   2)   и   (2,   5,   1)   различны,   если   порядок учитывается. 2.2) Выбор без учёта порядка:  т.е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается. Шпаргалка: Символ   n!  ( называется факториал  произведения:  1 ∙ 2 ∙ 3 ∙  … ∙ ( n – 1 ) ∙n . )   –   сокращённая   запись Подробнее о шпаргалке: Размещением k элементов из n (из n элементов по k) называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения. Перестановка: возьмём  n  различных элементов:  a1  , a2  , a3  , …, an  .  Будем переставлять   их   всеми   возможными   способами,   сохраняя   их   количество   и меняя лишь порядок их расположения.Каждая из полученных таким образом комбинаций   называется перестановкой.  Общее количество перестановок   из n элементов  обозначается Pn  .   Это   число   равно   произведению   всех   целых чисел от 1 до n. Сочетание   без   повторений:  число   способов   выбрать   m   элементов из n различных элементов (m≤n) без упорядочения. Сочетание   с   повторениями:  число   способов   разместить m   одинаковых элементов (предметов) в n ячейках (ящиках).  А сейчас давайте рассмотрим решение некоторых задач: 1. В секции айкидо занимаются 10 юношей и 4 девушки. Из них два юноши и одна   девушка   имеют   1   дан.   Для   проведения   спаррингов   во   время тренировки   жеребьевкой   выбираются   1   юноша   и   1   девушка.   Какова вероятность, что оба выбранных спортсмена будут иметь первый дан? 2/10*1/4=1/20=0,05 2. В   шестом   классе   учатся   28   человек.   Из   них   6   учащихся   занимаются плаванием,   а   4   учащихся   ­   фехтованием,   причем   3   занимаются   и плаванием,   и   фехтованием   одновременно.   Какова   вероятность,   что случайным   образом   выбранный   шестиклассник   из   этого   класса занимается плаванием или фехтованием. 6+4­3=7   7/28=1/4=0,25 3. Найдите вероятность выпадения четного числа очков при подбрасывании игрального кубика. Общее число исходов­6 Число благоприятных исходов­3 (2,4,6) 3/6=0,5 4. Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность того, что на обеих выпадает герб. Общее число исходов­4 Число благоприятных исходов­1                      1/4=0,25 5. Из   пяти   отрезков,   длины   которых   равны   2,3,5,10   и   12   см,   наугад выбирается   один.  Найдите   вероятность   того,   что   длина   этого   отрезка окажется более 5 см. Общее число исходов­5 Число благоприятных исходов­2 2/5=0,4 6. В   ящике   находится   10   одинаковых   по   форме   шаров,   среди   которых имеются 5 белых, 3 черных и 2 зеленых. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шар не окажется зеленым. 5+3=8 8/10=0,8 7. В   ящике   находится   20   одинаковых   по   форме   шаров,   среди   которых имеются 2 синих, 5 белых, 9 красных и 4 зеленых. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым или красным. 5+9=14 14/20=0,7 8. Подбрасывают   два   игральных   кубика.   Найдите   вероятность   того,   что сумма   выпавших   очков   окажется   равной   4.   Ответ,   используя   правило округления   представьте   в   виде   десятичной   дроби,   содержащей   три значащие цифры. Общее число исходов­36 Число благоприятных исходов­3            3/36=1/12=0,0833 9. В   сборнике   билетов   по   биологии   всего   25   билетов,   в   двух   из   них встречается   вопрос   о   грибах.   На   экзамене   школьнику   достаётся   один случайно выбранный билет. Найдите  вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. 25­2=23 23/25=92/100=0,92 10. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней. 4+8+3=15 3/15=1/5=0,2 11.  Доля   брака в производстве процессоров составляет   0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера   окажется исправным? 0,05%=0,0005 1­0,0005=0,9995 12. Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной? Общее число исходов­7 Число благоприятных исходов­3               3/7              13. Подбрасывают два кубика, какова вероятность, что оба числа окажутся меньше 5? Общее число исходов­36 Число благоприятных исходов­16 11    12    13   14           21    22    23   24           31    32    33   34           41    42    43   44           16/36=4/9 14. В ящике 3 красных и 3 синих шара. Из него, не глядя, вытаскивают друг за другом два  шара. Какова вероятность, что они буду одного  цвета?      Общее число исходов­ 6*5=30 Число благоприятных исходов­6*2=12 12/30=2/5=0,4    или После   того   как   вытащили   1   шар,   второй   того   же   цвета   можно вытащить с вероятностью 2/5 15.Карточка с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что получится четное число?                    Последняя цифра должна быть четной, находим вероятность выпадения                  четной цифры                      2/5 16. Буквы слова АКТЕР перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью при  этом получится слово ТЕРКА.  Общее число исходов­ 5*4*3*2=120            Число благоприятных исходов­1            1/120 17. Буквы слова Кубик перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью получится это же самое слово?  Общее число исходов­ 5*4*3*2=120            Число благоприятных исходов­2            так как две буквы К.            2/120=1/60 18.  Два   человека   садятся   в   электричку,   в   которой   8   вагонов.   С   какой вероятностью   они   окажутся   в   разных   вагонах,   если   каждый   из   них выбирает вагон случайным образом?           Пусть первый человек уже сел в один вагон, значит вероятность, того что второй сядет в другой вагон 7/8. 19.  Одновременно бросают 3 монеты. С какой вероятностью выпадет хотя бы один орел?   ООО   ООР    ОРО    ОРР     РОО     РОР      РРО     РРР Общее число исходов­8 Число благоприятных исходов­7  7/8