Фигурные числа

МБОУ Кишкинская СОШ Фигурны е числа с учащимися 5 класса Проектно-исследовательская работа Учитель математики : Кузьмина Нина Юрьевна 2015 ГОД

В мире нет места для                                                                     некрасивой  математики.                                                                                                     Г. Харди

Целью работы является знакомство с основными  теоретико – числовыми доказательствами фигурных  чисел.           В соответствии с поставленной целью решались  следующие задачи:        ­ изучить историю происхождения фигурных  чисел;        ­ рассмотреть виды фигурных чисел;        ­ рассмотреть плоские и пространственные  фигурные числа.       Методы исследования:        ­ обработка и анализ научных источников;        ­ анализ научной литературы и пособий по  исследуемой проблеме.

История возникновен ия фигурных чисел.

Давным – давно, помогая себе при  счёте камушками, люди обращали  внимание на правильные фигуры, которые  можно выложить из камушков. Можно  просто класть камушки в ряд: один, два,  три. Если класть их в два ряда, чтобы  получались прямоугольники, мы  обнаружим, что получаются все чётные  числа. Можно выкладывать камни в три  ряда: получатся числа, делящиеся на три.  Всякое число, которое на что–нибудь  делится, можно представить таким  прямоугольником, и только простые числа  не могут быть «прямоугольными».

Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, т. к. его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев,  играют важную роль в структуре мироздания. О  них много говорится в пифагорейских  учебниках арифметики, созданных Никомахом  Геразским и Теоном Смирнским. Изучением  фигурных чисел занимались многие математики  античности: Эратосфен, Гипсикл и другие.  Диофант Александрийский написал большое  исследование о свойствах многоугольных чисел,  фрагменты которого дошли до наших дней.

Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках.

В дальнейшем многие математики  интересовались этими числами. Про  них доказано много важных и  трудных теорем. В Новое время  фигурными числами занимались  Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и  другие. Ферма сформулировал в  1670 году так называемую  «золотую теорему»:

Определение и виды  фигурных чисел. Числа­ камушки раскладывались в виде  правильных геометрических фигур, эти  фигуры классифицировались. Так  возникли числа, сегодня именуемые  фигурными.

Линейные  числа  (простые)  –  числа,  которые  делятся  на  единицу  и  на  самих  себя,  представимы в виде последовательности точек,  выстроенных в линию. Плоские  числа  –  числа,  представимые  в  виде  произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3). Телесные  выражаемые  произведением трёх сомножителей (телесное  число 8=2∙2∙2). числа,  Треугольные числа (3, 6, 10).

Квадратные числа (4,9,16). Пятиугольные числа (5, 12, 22) Именно от фигурных чисел пошло выражение:  «Возвести в квадрат или куб».

(пятиугольные числа 12, 5)  Кубические числа Очень  интересны  кубические  числа,  возникающие  при  складывании  кубиков:  1,  2*2*2=8(два  этажа  из  квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3)  4*4*4=64  (четыре  этажа  из  квадратов  4*4)  5*5*5=125,  6*6*6=216,  7*7*7=343,  8*8*8=512,  9*9*9=729,  10*10*10=  1000   и  так  далее.  Теперь  понятно,  почему  про  такие  числа  говорят:  "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?

Пирамидальные  числа  возникают  при  складывании  круглых  камушков  горкой  так,  чтобы  они  не  раскатывались.  Получается  пирамида. Каждый слой в такой пирамиде ­  треугольное  число.  Наверху  один  камушек,  под  ним  ­  3,  под  теми  ­  6  и  т.д.:  1,  1+3=4,  1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

представление  чисел  Фигурное  помогало  пифагорейцам  открывать  законы  арифметических  операций,  а  также  легко  переходить  к  числовой  характеристике  ­  измерению  площадей  и  объемов.  Так,  представляя  число 10 в двух формах:  геометрических  объектов  5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон  умножения: a*b=b*a.

Хочу отметить, считается, что именно  от фигурных чисел пошло выражение  «Возведение  в  квадрат  или  куб».  Посмотрите: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91…   4      9    16     25   81   121   169 1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и  т.д.

Выводы числа,  Итак,  работая  по  данной  теме,  я  пришла к следующим выводам: •Фигурные  действительно,  существуют:  они  выкладываются  в  виде геометрических фигур; •Выделяются  несколько  видов  данных  чисел; •Фигурное  представление  «открыть»  помогло  математических законов  •Фигурные числа – это интересно!  чисел    ряд

Фигурные числа и наше время

Список использованной литературы:  Ван­дер­Варден Б.Л. Пробуждающаяся  наука. Математика Древнего Египта,  Вавилона и Греции. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико­ математический журнал, Квант,, 1974г.,  №6. Детская энциклопедия: Я познаю мир.  Математика. Сост. А.П. Савин, В. В.  Станцо, А. Ю. Котова Энзенбергер Х.М. Дух числа.  Математические приключения. Харьков.  2005

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ