МБОУ Кишкинская СОШ
Фигурны
е числа
с учащимися 5 класса
Проектно-исследовательская работа
Учитель математики : Кузьмина Нина Юрьевна
2015 ГОД
В мире нет места для
некрасивой
математики.
Г. Харди
Целью работы является знакомство с основными
теоретико – числовыми доказательствами фигурных
чисел.
В соответствии с поставленной целью решались
следующие задачи:
изучить историю происхождения фигурных
чисел;
рассмотреть виды фигурных чисел;
рассмотреть плоские и пространственные
фигурные числа.
Методы исследования:
обработка и анализ научных источников;
анализ научной литературы и пособий по
исследуемой проблеме.
История
возникновен
ия фигурных
чисел.
Давным – давно, помогая себе при
счёте камушками, люди обращали
внимание на правильные фигуры, которые
можно выложить из камушков. Можно
просто класть камушки в ряд: один, два,
три. Если класть их в два ряда, чтобы
получались прямоугольники, мы
обнаружим, что получаются все чётные
числа. Можно выкладывать камни в три
ряда: получатся числа, делящиеся на три.
Всякое число, которое на что–нибудь
делится, можно представить таким
прямоугольником, и только простые числа
не могут быть «прямоугольными».
Фигурные числа были известны ещё в
глубокой древности. Предполагают, что
впервые они появились в школе
Пифагора. Числа древними греками, а
вместе с ним Пифагором и
пифагорейцами мыслились зримо, в
виде камешков, расположенных на
песке или на счётной доске – абаке. По
этой причине греки не знали нуля, т. к.
его невозможно было «увидеть». Но и
единица ещё не была полноправным
числом, а представлялась как некий
«числовой атом», из которого
образовывались все числа.
Пифагорейцы называли единицу
«границей между числом и частями», т.
е. между целыми числами и дробями, но
в то же время видели в ней «семя и
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев,
играют важную роль в структуре мироздания. О
них много говорится в пифагорейских
учебниках арифметики, созданных Никомахом
Геразским и Теоном Смирнским. Изучением
фигурных чисел занимались многие математики
античности: Эратосфен, Гипсикл и другие.
Диофант Александрийский написал большое
исследование о свойствах многоугольных чисел,
фрагменты которого дошли до наших дней.
Счёт на камушках оставил глубокий
след в истории математики.
Древние греки, когда им
приходилось умножать числа,
рисовали прямоугольники;
результатом умножения трёх на
пять был прямоугольник со
сторонами три и пять. Это –
развитие счёта на камушках.
В дальнейшем многие математики
интересовались этими числами. Про
них доказано много важных и
трудных теорем. В Новое время
фигурными числами занимались
Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и
другие. Ферма сформулировал в
1670 году так называемую
«золотую теорему»:
Определение и виды
фигурных чисел.
Числа камушки раскладывались в виде
правильных геометрических фигур, эти
фигуры классифицировались. Так
возникли числа, сегодня именуемые
фигурными.
Линейные числа
(простые) – числа,
которые делятся на единицу и на самих себя,
представимы в виде последовательности точек,
выстроенных в линию.
Плоские числа – числа, представимые в виде
произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3).
Телесные
выражаемые
произведением трёх сомножителей (телесное
число 8=2∙2∙2).
числа,
Треугольные числа (3, 6, 10).
Квадратные числа (4,9,16).
Пятиугольные числа (5, 12, 22)
Именно от фигурных чисел пошло выражение:
«Возвести в квадрат или куб».
(пятиугольные числа 12, 5)
Кубические числа
Очень интересны кубические числа, возникающие при
складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из
квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3)
4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125,
6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10=
1000
и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа
говорят:
"два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?
Пирамидальные числа возникают при
складывании круглых камушков горкой так,
чтобы они не раскатывались. Получается
пирамида. Каждый слой в такой пирамиде
треугольное число. Наверху один камушек,
под ним 3, под теми 6 и т.д.: 1, 1+3=4,
1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …
представление
чисел
Фигурное
помогало
пифагорейцам открывать законы арифметических
операций, а также легко переходить к числовой
характеристике
измерению площадей и объемов. Так, представляя
число 10 в двух формах:
геометрических
объектов
5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон
умножения: a*b=b*a.
Хочу отметить, считается, что именно
от фигурных чисел пошло выражение
«Возведение в квадрат или куб».
Посмотрите:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91…
4 9 16 25
81
121
169
1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и
т.д.
Выводы
числа,
Итак, работая по данной теме, я
пришла к следующим выводам:
•Фигурные
действительно,
существуют: они выкладываются в
виде геометрических фигур;
•Выделяются несколько видов данных
чисел;
•Фигурное
представление
«открыть»
помогло
математических законов
•Фигурные числа – это интересно!
чисел
ряд
Фигурные
числа
и наше
время
Список использованной литературы:
ВандерВарден Б.Л. Пробуждающаяся
наука. Математика Древнего Египта,
Вавилона и Греции.
Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико
математический журнал, Квант,, 1974г.,
№6.
Детская энциклопедия: Я познаю мир.
Математика. Сост. А.П. Савин, В. В.
Станцо, А. Ю. Котова
Энзенбергер Х.М. Дух числа.
Математические приключения. Харьков.
2005
фигурные числа.pptx
