Формирование математических понятий

1. Понятие

Понятие – форма теоретического мышления и является рациональной ступенью познания.

Реальная ступень мышления – процесс воспроизведения действительности в сознании человека с помощью языка.

Понятие – форма научного познания, отражающая существенное в изучаемых объектах и закрепляемая специальными терминами.

В математике используется:
символический язык,
понятия,
предложения,
аксиомы,
теоремы,
их доказательства.

Суждение – форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов, их свойств, отношений.

Мыслить – высказывать суждение.

Предложение – языковая оболочка суждения.

Умозаключение – высшая форма мышления, логическое действие, в результате которого из одного или нескольких суждений получается новое.

Термин «понятие» применяется для обозначения мысленного образа, некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.

Математические понятия отличаются высокой степенью абстрактности.

Математические понятия отражают в мозгу человека:
определенные формы,
свойства объектов, действительности.
Среди свойств можно выделить: единичные (индивидуальные), общие.

В математике понятия обозначаются:
термином (слово или группа слов),
названием,
символом (знаком).

2. Определение, его объем, содержание

Свойство – это то, что каким-то образом характеризует вещь и не требует для этого своего описания более одной вещи.

Существенные свойства – это те свойства, которые являются признаками объекта, выделяют его из множества других объектов, без которых понятие не существует.

Достаточные свойства – это те свойства, которые позволяют однозначно выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных.

Объем понятия – это множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков.

Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение называется определение понятия.

Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходимым, а все вместе – достаточными для установления данного понятия.

3. Родо-видовые отношения

4. Способы определения понятий

Через ближайший род и видовое отличие.
Генетически (способ, указывающий на происхождение понятия).
Индуктивно (с помощью формулы).
С помощью термина.
Описательно.
Через абстракцию.

5. Отношения между понятиями

6. Классификация понятий

Классификацией понятия называется деление (разбиение) множества (объема) этого понятия на подмножества (классы), удовлетворяющие следующим требованиям:
деление производится по одному существенному признаку – основание деления;
все подмножества не пересекаются;
объединение всех подмножеств есть все множество;
для подмножеств (видов) множество должно быть ближайшим родовым понятием.

7. Процесс формирования понятий

ОЩУЩЕНИЕ
ВОСПРИЯТИЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ПОНЯТИЕ

I ступень –
чувственная II ступень-
логическая

Методы введения понятий

Через ближайший род и видовое отличие.
С помощью термина.
Описательно.
Генетически.
Конкретно-индуктивный.
Абстрактно-дедуктивный.