Формирование математических способностей младших школьников

Математика – неотъемлемая часть общего образования. Ни одна область человеческой деятельности не может обходиться без неё – как без конкретных математических знаний, так и интеллектуальных качеств, развивающихся в ходе овладения этим учебным предметом. Школьное математическое образование способствует : овладению конкретными знаниями, необходимыми для ориентации в современном мире; приобретению навыков логического и алгоритмического мышления; развитию воображения и интуиции ; формированию мировоззрения, нравственных черт; воспитанию способности к эстетическому восприятию мира; обогащение запаса историко- научных знаний.

В настоящее время математическое образование становится важным элементом национальной идеи России. Президентом РФ В.В. Путиным была высказана такая мысль : «… Надо развивать наши сильные стороны. У нас в стране – традиционно сильные математические школы в университетах и РАН. Мы можем поставить задачу сделать наше школьное математическое образование через 10 лет лучшим в мире. Это даст нашей стране серьёзные конкурентные преимущества». Премьер – министр РФ Д.А. Медведев отметил, что особый акцент в программе российского школьного образования до 2020 года будет сделан на развитии математического образования как основы для создания высокотехнологической экономики. В рамках программы создаётся общенациональная система поддержки одарённых детей и талантливой молодёжи. По словам Медведева, к 2020 году половина школьников должна участвовать в олимпиадах и конкурсах различного уровня, две трети заниматься в системе дополнительного образования.

Высказанные идеи и направления развития математического образования заложены в «Концепции развития российского математического образования».В данном документе определены приоритетные цели дошкольного и школьного математического образования. Это развитие способностей к :

·         логическому мышлению, конструированию, коммуникации и взаимодействию на широком математическом материале ;

·         поиску решений принципиально новых математических задач, эксперименту и наблюдению, формированию внутренних (мыслительных) представлений и моделей математических объектов, формулированию и проверке гипотез. Преодолению интеллектуальных препятствий;

·         реальной математике : математическому моделированию, применению математики, в том числе, с использованием ИКТ.

Авторы «Концепции» принципиальную роль в школьном образовании видят в «воспитании математикой» таких личностных качеств и УУД ученика, которые соответствуют ФГОС, а также интеллектуальную честность, умение выражать свою точку зрения, способность понять другого, способность к преодолению трудностей, любовь к труду, уважение образованности.

Один из значимых разделов концепции посвящён профессиональным качествам педагога. Педагогу необходимо обладать арсеналом предметных и профессиональных компетенций, повышающих мотивацию к обучению и формирующих математическую культуру. Остановимся на тех, которые непосредственно касаются учителя начальных классов.

Предметная компетентность учителя

Учитель должен:

-Устойчиво выполнять задания открытых банков на уровне, который может устанавливаться в зависимости от аттестационной категории учителя (для учителя начальной школы – из открытого банка для 4-го класса – не хуже 95% выпускников);

-Квалифицированно набирать математический текс;

-Иметь представление о широком спектре приложений математики и знать доступные учащимся математические элементы этих приложений;

-Использовать информационные источники, периодику в области математики.

Профессиональные компетенции учителя

Учитель должен :

·         Уметь совместно с учащимися строить логические рассуждения, понимать рассуждение ученика, анализировать предлагаемое учащимся рассуждение с результатом : находить и анализировать причины ошибки, помогать локализовать и исправить ошибки;

·         Совместно с детьми анализировать учебные и жизненные ситуации, в которых можно применить математические инструменты, поощрять инициативы по использованию математики;

·         Совместно с учениками применять методы и приёмы понимания математического текста, его анализа, структуризации и трансформации;

·         Создавать самому и вместе с учащимися и использовать наглядное представление математических объектов и процессов;

·         Вести диалог с одним учащимся или с группой (классом) в процессе решения задачи, выявлять сомнительные места, подтверждать правильность решения;

·         Поддерживать баланс между самостоятельным открытием, узнаванием нового и технической тренировкой, исходя из возрастных и индивидуальных особенностей каждого;

·         Содействовать формированию у учащихся позитивных эмоций от математической деятельности, в том числе от нахождения ошибки ;

·         Формировать позитивное отношение со стороны всех учащихся к интеллектуальным достижениям товарищей по классу, независимо от абсолютного уровня этого достижения ;

·         Формировать представление детей о том, что математика пригодится всем;

·         Содействовать подготовке уч-ся к участию в математических олимпиадах, конкурсах, исследовательских проектах, интеллектуальных марафонах, шахматных турнирах и т. п.;

·         Распознавать и поддерживать высокую мотивацию и развивать способности ученика к занятиям математикой, предоставлять подходящие задания, вести кружки для желающих и эффективно работающих в них учащихся ;

·         Достигать того, чтобы на любом занятии в классе и при выполнении домашнего задания каждый учащийся получил результат в решении хотя бы одной задачи;

·         Обеспечивать помощь ученикам, не освоивших материал (специальные задания, индивидуальные консультации) ;

·         Обеспечивать коммуникативную и учебную «включённость» всех учащихся в образовательный процесс;

·         Работать с родителями, семьёй, местным сообществом по проблематике математической культуры.

Особая роль в реализации целей и задач «Концепции» отводится учителю начальных классов. Именно в младшем школьном возрасте происходит бурное развитие интеллекта. Так называемый «ранний подъём» обусловлен наличием ярких природных способностей и задатков. В дальнейшем может произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что служит стартом для становления выдающихся умственных способностей. Однако, нужно осознавать, что начальная школа является «зоной повышенного риска», так как на этапе начального обучения в силу преимущественной ориентации учителя на усвоение знаний, умений и навыков может произойти блокировка развития способностей детей. Не секрет, что даже один такой ярко-способный ребёнок в классе, обладающий к тому же сильным типом нервной системы, способен в буквальном смысле слова, никому из детей рта не дать открыть на уроке. И в результате того, чтобы максимально стимулировать и развивать маленького «вундеркинда», мы вынуждены начинать с того, что учим его «держать свои гениальные мысли при себе», пока не спросят. Ведь в классе ещё больше двадцати других, не таких сообразительных детей. Такое «притормаживание» может привести к тому, что через 3-4 года ребёнок «выравнивается» со сверстниками. А поскольку математические способности относятся к группе «ранних способностей», то именно математически способных детей мы теряем в процессе этого «притормаживания» и «выравнивания».

2.Развитие математических способностей в учебной деятельности.

МБОУ СОШ №14 уже имеет определённые наработки по данному направлению. Педагоги нашей школы неоднократно делились накопленным опытом на ГМО учителей начальных классов и городских семинарах. На наш взгляд система работы учителя по развитию математических способностей должна осуществляться комплексно. Прежде всего – это диагностика исходного уровня математических способностей уч-ся в 1 классе, которая проводится совместно со школьным психологом. Следующий шаг – составление учителем краткосрочных и долгосрочных прогнозов на весь курс обучения. В «Концепции развития российского математического образования» особо отмечена идея индивидуального проектирования «коридора ближайшего развития». Понятие «ребёнок, не способный к математике» должно исчезнуть из лексикона учителей, родителей, школьников и общества. Важнейшим этапом работы по развитию математических способностей является реализация комплекса упражнений в учебном процессе в рамках выбранной образовательной программы, создание условий для включения в деятельность каждого ученика, использование технологии системно- деятельностного подхода и ИКТ. Говоря о комплексном подходе, нельзя забывать о многообразных формах внеурочной деятельности, индивидуальной работы с одарёнными детьми, привлечение детей к участию в интеллектуальных конкурсах, турнирах, олимпиадах.

2.1. Организация учебной деятельности младших школьников по развитию математических способностей :

а) в процессе решения текстовых задач

Математические способности проявляются в том, с какой скоростью, как глубоко и насколько прочно дети усваивают математический материал. Эти характеристики легче всего обнаруживаются в ходе решения текстовых задач. Способные учащиеся, воспринимая математическую задачу, систематизируют данные в задаче величины, отношения между ними. Для них характерно формализованное восприятие математического материала (объектов, отношений и действий), связанное с быстрым схватыванием в конкретной задаче их формальной структуры. Дети со средними способностями при восприятии задачи нового типа определяют, как правило, её отдельные элементы. Некоторым ученикам очень трудно даётся осмысление связей между компонентами задачи, они с трудом схватывают совокупность многообразных зависимостей, составляющих существо задачи.

Для развития способности к формализованному восприятию математического материала учащимся целесообразно предлагать следующие упражнения :

* Задачи с несформулированным вопросом:

«В столовую привезли 3 мешка гречки по 8 кг и 4 мешка риса по 9 кг».

*Задачи с неполным составом условия :

«В тарелке на 4 яблока меньше, чем в корзине. Сколько яблок в тарелке?

На сколько яблок меньше в тарелке, чем в корзине?»

На какой вопрос можно ответить, а на какой нет? Как дополнить условие задачи, чтобы ответить на оба вопроса?)

*Задачи с избыточным составом условия :

«В сервизе было 24 глубокие тарелки и 6 мелких. На стол поставили 8 глубоких тарелок. Сколько глубоких тарелок осталось?»

Анализ текста показывает, что одно из данных лишнее – 6 мелких тарелок. Для ответа на вопрос оно не нужно. После ответа на вопрос задачи учитель предлагает внести в текст изменения, чтобы это данное понадобилось, что приводит к составной задаче : «В сервизе было 24 глубокие тарелки и 6 мелких. На стол поставили 8 глубоких тарелок. Сколько тарелок осталось?»

*Работа по классификации задач.

Разбей эти задачи по две так, чтобы из них можно было составить одну :

-У детей было 15 конфет, они съели 6 конфет. Сколько конфет у них осталось?

-В вазе лежали 2 ириски, а карамелек в 4 раза больше. сколько конфет в вазе?

-У детей было 9 конфет. Они раздали их трём друзьям поровну. Сколько конфет получил каждый друг?

-В вазе было 10 конфет. Двое детей разделили эти конфеты поровну. Сколько конфет у каждого ребёнка?

*Составление задач :

-по выражению на определённую тему : «Составьте задачу о животных в зоопарке, которая будет решаться выражением 14 х 2 + 5 х 7» ;

-с помощью опорных слов : «Составьте задачу, в которой были бы слова : привезли, продали, осталось, и которая будет решаться выражением (54 + 34) – 70» ;

-по данному решению: «Составьте задачу, которая будет решаться 15 х 4 = 60 (см)

Для развития способности к обобщению мы используем следующие упражнения:

*Решение задач одного типа:

«Бабушке 56 лет, а внуку 8. Во сколько раз бабушка старше внука?

У пристани стояло 36 лодок и 4 катера. Во сколько раз меньше лодок, чем катеров?»

*Решение задач разного типа :

«Масса тыквы 4 кг, а кабачка в 2 раза меньше. Какова масса кабачка?

Масса тыквы 4 кг, а кабачка 2 кг. Во сколько раз тыква тяжелее кабачка?

Масса тыквы 4 кг, а кабачка 2 кг. Какова масса тыквы и кабачка?

Масса тыквы 4 кг, а кабачка 2 кг. На сколько кабачок легче тыквы?»

*Решение задач с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный план :

«Ручка стоит 15 руб., а карандаш 9 руб.Сколько стоят 3 ручки и 2 карандаша?

Ручка стоит Х руб., а карандаш 9 руб. Сколько стоят 3 ручки и 2 карандаша?

Ручка стоит Х руб., а карандаш У руб. Сколько стоят 3 ручки и 2 карандаша?

Ручка стоит Х руб., а карандаш У руб. Сколько стоят В ручек и 2 карандаша?

Ручка стоит Х руб., а карандаш У руб. Сколько стоят В ручек и С карандашей?»

Для развития гибкости мышления предлагаются следующие упражнения :

*Задачи, имеющие несколько способов решения :

«В магазин привезли 7 ящиков с персиками по 20 кг и 4 таких же ящика с грушами. Сколько кг фруктов привезли?»

*Решение и составление задач, обратных данной.

*Решение задач обратным ходом:

«На 1-й остановке из автобуса вышло 15 пассажиров, а вошли 7, после 2-й остановки количество пассажиров увеличилось в 2 раза, а после 3-й остановки пассажиров стало на 12 человек меньше. Когда автобус доехал до конечной остановки, в нём было 20 пассажиров. Сколько человек ехало в автобусе сначала?»

*Решение задач с альтернативным условием:

Это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все возможные варианты будут исследованы.

1-й уровень : «В коробке лежали 7 красных и 9 зелёных шариков. 4 шарика одного цвета забрали из коробки. Сколько красных и сколько зелёных шариков осталось в коробке?»

2-й уровень : «В коробке лежали 7 красных и 9 зелёных шариков. 4 шарика забрали из коробки. Сколько шариков каждого цвета осталось в коробке?»

Для того, чтобы в учебной деятельности у детей максимально развивались математические способности стараемся создать для этого определённые условия, а именно :

·         положительная мотивация и микроклимат в коллективе;

·         поддержка постоянного интереса к предмету;

·         творческая активность;

·         предоставление свободы выбора действий ;

·         вариативность заданий.

Важно использовать дифференциацию учебных заданий по уровню творчества, трудности и объёму. При дифференциации по уровню творчества работу организуем следующим образом : ученикам с низким уровнем математических способностей предлагаются репродуктивные задания : работа по образцу, выполнение тренировочных упражнений, а ученикам со средним и высоким уровнем — творческие задания.

Рассмотрим дифференциацию заданий по уровню творчества. Дана задача «За 6 л минеральной воды заплатили 12 рублей. Какова стоимость 3л этой воды?» Задание для детей с низким уровнем математических способностей : «Решите задачу. Подумайте, можно ли её решить другим способом». Задание для детей со средним и высоким уровнем : «Решите задачу двумя способами. Придумайте задачу с другим сюжетом, чтобы её решение при этом не изменилось. Составьте и решите задачу, обратную данной». Можно предложить продуктивные задания всем ученикам, но при этом детям с низким уровнем способностей даются задания с элементами творчества, в которых нужно применить знания в изменённой ситуации, а остальным — творческие задания на применение знаний в новой ситуации. При использовании таких заданий лучше организовать индивидуальную работу. Напомним, что существует два вида индивидуальных форм организации выполнения заданий: индивидуальная и индивидуализированная. Первая характеризуется тем, что деятельность ученика по выполнению общих для всего класса заданий осуществляется без контакта с одноклассниками, но в едином для всех темпе, вторая позволяет с помощью дифференцированных индивидуальных заданий создать оптимальные условия для реализации способностей каждого. Дифференциация учебных заданий по уровню трудности предполагает три типа задач :

-задачи, решение которых состоит в стереотипном воспроизведении заученных действий ; степень трудности задач связана с тем, насколько сложным является навык воспроизведения действий и насколько прочно он усвоен ;

-задачи, решение которых требует некоторой модификации заученных действий в изменившихся условиях ; степень трудности связана с количеством и разнородностью элементов, которые надо координировать наряду с описанными выше особенностями данных ;

-задач, решение которых требует поиска новых, ещё неизвестных способов действий ; задачи требуют творческой активности, эвристического поиска новых схем действий или необычной комбинации известных.

Дифференциация по объёму учебного материала предполагает, что всем учащимся даётся некоторое количество однотипных задач. Можно предложить задания творческого характера по составлению однотипных объектов, где требуется составить максимальное их количество за определённый период времени. Например, кто больше составит задач с различных содержанием, решение каждой из которых будет выражение :

(35 + 25) : 20

Для детей с низким уровнем математических способностей составляется система заданий, которая содержит : образцы решений и задачи, подлежащие на основе изученного образца, различные алгоритмические предписания, теоретические сведения.

б)система долгосрочных листов – заданий как индивидуальный подход в формировании и развитии математических способностей учащихся начального звена

Как показал опыт, весьма эффективной формой работы по формированию и развитию математических способностей является использование долгосрочных листов-заданий. Данные листы на печатной основе объединены в блоки, охватывающие целую тему. Каждый блок содержит 12-20 листов. Лист представляет собой систему заданий, методически и графически организованных таким образом, чтобы по мере их решения ребёнок мог самостоятельно подойти к пониманию сути и способа выполнения нового вычислительного приёма, а затем закрепить новый способ деятельности. Такой лист можно предлагать ребёнку на уроке или давать на дом в виде задания «с отсроченным сроком исполнения», который учитель устанавливает ученику индивидуально. На первых порах листы можно предлагать как на уроке, так и в качестве домашнего задания, индивидуально договариваясь о сроках его выполнения. По мере освоения этой системы можно перейти к предваряющему (для инертных детей) или параллельному способу работы, т.е. давать лист до знакомства с темой (накануне урока) или на самом уроке. Внимательное и доброжелательное наблюдение за учеником в процессе деятельности, «договорной стиль» отношений (пусть ребёнок сам решит, когда он хочет получить этот лист), консультативная помощь – всё это поможет учителю в полной мере сделать этот процесс индивидуализированным.

Следует отметить принципы составления листов-заданий :

- принцип дозированности, т.е.в одном листе вводится только один приём или одно понятие, это помогает ребёнку чётко осознать цель работы, а учителю отслеживать качество усвоения этого приёма или понятия ;

- принцип постепенного нарастания уровня сложности (задания выстроены таким образом, чтобы ребёнок мог «двигаться» по листу самостоятельно, отталкиваясь от уже знакомых ему способов действий, и постепенно «входить» в новый способ) ;

-принцип доступности (организация продвижения ребёнка в освоении материала в удобном для него индивидуальном темпе) ;

-принцип перспективности (постепенное включение учащегося в деятельность планирования учебного процесса; задания, рассчитанные на длительную подготовку, требуют перспективного планирования, а это является важнейшим учебным умением);

- Принцип индивидуализации проверки и оценки знаний учащихся, причём не на основе дифференциации уровня сложности заданий, а на основе единства требований к уровню знаний, умений и навыков.

Большим преимуществом является то, что ребёнку не надо заниматься утомительным «переписыванием заданий». Он работает карандашом, только дописывая ответы или действия. Это вызывает положительные эмоции и увеличивает производительность. Из опыта работы можем сказать, что хотя листы содержат до полусотни примеров, дети работают с удовольствием, многие дети просят новый лист каждый день. Практика показала, что через 2-3 месяца в классе выделяется группа детей, стремительно уходящая вперёд. Это дети, способности которых стимулируются индивидуальным подходом. На определённом этапе дети этой группы нуждаются в подобной систематической интеллектуальной «догрузке», из них формируется команда будущих участников математических олимпиад.

3.Развитие математических способностей во внеурочной деятельности.

Для развития математических способностей нами используются широкие возможности внеурочной деятельности младших школьников.

3.1.Кружок «Логика»

Кружок предназначен для развития математических способностей уч-ся, формирования элементов логической и алгоритмической грамотности, коммуникативных умений с применением коллективных форм организации занятий и использованием современных средств обучения и технологий.

Создание на занятиях ситуаций активного поиска, предоставление возможности сделать собственное «открытие», знакомство с оригинальными путями рассуждений, овладение элементарными навыками исследовательской деятельности позволяют обучающимся реализовать свои возможности, приобрести уверенность в своих силах. Программа кружка предусматривает включение задач и заданий, трудность которых определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной и необычностью математической ситуации. Это способствует появлению желания отказаться от шаблонного мышления, формированию умений работать в условиях поиска. В процессе выполнения заданий дети учатся видеть сходства и различия, замечать изменения, выявлять причины и характер этих изменений, делать выводы. Совместное с учителем движение от вопроса к ответу — это возможность научить ребёнка рассуждать, думать, сомневаться, стараться самому найти выход-ответ.

Кружок «Логика» учитывает возрастные особенности младших школьников. Поэтому мы предусматриваем организацию подвижной деятельности учащихся, которая не мешает умственной работе. В занятия включаются подвижные математические игры, предусматривается последовательная смена одним учеником «центров» деятельности в течение занятия, передвижение по классу в ходе решения математических заданий на листах бумаги, расположенных на стенах класса и др. Во время занятий стараемся поддерживать прямое общение между детьми (возможность подходить друг к другу, обмениваться мыслями). Используем принцип игр «Ручеёк», «Пересадки», работу в парах сменного и постоянного состава, групповую работу. Продолжительность занятия 30-35 минут 1 раз в неделю.

3.2.Школьный интеллектуальный клуб «Эрудит»

Опытные учителя знают, что математические способности - «товар штучный». Если не заниматься математически одарённым ребёнком индивидуально (не в рамках кружка), то эти способности могут и не развиться дальше. К сожалению, на сегодняшний день практически отсутствуют специальные методические пособия для учителя начальных классов, предназначенные для работы со способными и одарёнными детьми. Таким детям слишком легко учиться на начальном этапе, у них не формируется «иммунитет» к неудачам. В результате при переходе в среднее звено происходит «обвал» успеваемости.

Данная цель может быть достигнута при решении ряда задач :

-поддержка постоянного интереса к предмету;

-содействие развитию математического образа мышления;

-развитие навыков сравнения, обобщение и познавательных интересов.

Особенностью программы является использование большого количества дидактических игр, содержание которых способствует развитию познавательных процессов.

Каждое занятие состоит из 4-х частей :

-сведения из истории математики;

-занимательная задача, решаемая устно или с небольшим количеством действий;

-основная часть : разбор задач повышенной трудности, логических задач, задач без числовых данных, а также примеров и задач, требующих нестандартного подхода к их решению;

-математические игры, задачи-шутки-головоломки.

Основными способами проверки результативности работы являются внутренние олимпиады клуба «Эрудит», олимпиады школьного и муниципального уровня.

4.Результативност работы

Продуманная система использования выше изложенных форм работы с учащимися в урочной и внеурочной деятельности позволяет показывать стабильно высокое качество знаний по математике. Отмечается положительная динамика уровня развития математических способностей и довольно высокая учебная мотивация в классах (при диагностике выпускников начальной школы в сравнении с результатами исследования в 1-х классах). Результаты анкетирования в 2017/2018 году показали, что 67% уч-ся 3-4 классов выделяют математику как один из самых любимых учебных предметов (причём данные не связаны с успеваемостью по предмету : выбор в пользу математики делают и ученики, успевающие удовлетворительно). В последние 5 лет мы наблюдаем увеличение числа участников олимпиад и интеллектуальных конкурсов.