Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге
Оценка 4.7

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Оценка 4.7
Исследовательские работы
docx
математика
8 кл
05.05.2017
Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге
В школьном курсе математики и в заданиях ОГЭ и ЕГЭ встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить их площадь нужно не только знать формулы площадей многогранников, но и уметь делать дополнительные построения, что приводит к громоздким вычислениям, поэтому у нас возник вопрос существуют ли другие более рациональные приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге.
Исследовательская Маткова Юля.docx
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение  «Иртышская средняя общеобразовательная школа»   Научно­практическая конференция школьников и учащейся молодежи Тема: Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника  на клетчатой бумаге Учебно­исследовательская работа Научное направление: математика Выполнила:  Маткова Юлия ученица 8 "А" класса МБОУ «Иртышская СОШ» Научный руководитель: учитель математики                               высшей категории                                  МБОУ «Иртышская СОШ» Мартынова Елена Гейнриховна Омск – 2017 Содержание Глава 1. Способы вычисления площадей многоугольников.................................5 1.1 Многоугольники..............................................................................................5 1.2. Площади многоугольников............................................................................5 1.3. Формулы вычисления площадей простых многоугольников......................6 1.31. Формулы площади треугольника............................................................6 1.32. Формулы площади квадрата....................................................................6 1.33. Формула площади прямоугольника.........................................................7 1.34. Формулы площади параллелограмма.....................................................7 1.35. Формулы площади ромба.........................................................................7 1.36. Формула площади трапеции....................................................................8 Глава 2. Рациональные способы нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге.....................................................................................................9 2.1.Нахождение площади многоугольника геометрическим методом.............9 2.11. Задачи решаемые с помощью формул площади....................................9 2.12 Задачи решаемые путем разбиения на части или достроения до прямоугольника...............................................................................................10 2.2. Метод ( формула) Пика для вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге................................................................................................11 2.21. Решение задач на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге по формуле Пика...............................................................12 Заключение.............................................................................................................13 Список литературы................................................................................................14 Введение В   школьном   курсе   математики   и   в   заданиях     ОГЭ   и     ЕГЭ       встречаются   задачи   на вычисление   площади   фигуры,   изображённой   на   клетчатой   бумаге.   Чтобы   вычислить площадь изображённой фигуры, стороны которой не совпадают с линиями сетки, часто приходится   делать   дополнительные   построения:   разбивать     или   достраивать   данную фигуру на части, стороны которых ложатся на линии сетки и содержат полное количество клеток,     проводить   необходимые   элементы   (высоты)   и   затем   вычислять   площадь   по известным формулам.       Возникли вопросы существуют ли другие     более рациональные приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Мы приступили к изучению  литературы,  Интернет­ресурсов  по данной    теме. На одном из сайтов  нашли формулу Пика.  Эта формула нас заинтересовала, и мы попробовала решать задачи, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.  В   связи   с   этим   возникла  гипотеза  :     решение   задач   на   нахождение   площади   фигур, изображённых       на   клетчатой   бумаге     с   помощью   формулы   Пика   является     более рациональным.  Объект исследования: формула Пика. Предмет исследования:  применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Цель работы: определить рациональные способы  решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге предлагаемые в заданиях ЕГЭ и ОГЭ. Методы исследования: сравнение, обобщение.  Задачи: 1) Изучить теоретическое обоснование формулы Пика 2) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим  методом. 3) Прорешать  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика. 4) Сравнить и проанализировать  результаты исследования. 5) Определить рациональность применения геометрического метода и формулы Пика при нахождении   площади   многоугольника   на   клетчатой   бумаги   в   зависимости   от   вида многоугольника. Глава 1. Способы вычисления площадей многоугольников. 1.1 Многоугольники.  Плоская   фигура,   образованная   замкнутой   цепочкой   отрезков,   называется многоугольником.  В   зависимости   от   количества   углов   многоугольник   может   быть треугольником,  четырёхугольником,  пятиугольником,  шестиугольником  и   т.д.   На   рис.1 показан шестиугольник ABCDEF. Точки   А,   В,   C,   D,   E,   F –  вершины многоугольника;  A ,  B ,  C ,  D,  E ,  F – углы многоугольника; отрезки AC, AD, BE и т.д. ­ углы    диагонали; AB, BC, CD, DE, EF, FA – стороны многоугольника.           рис.1               рис.2                  рис.3 В   элементарной   геометрии   рассматриваются   только  простые  многоугольники, контуры которых не имеют самопересечений, как показано на рис.2. Если все диагонали лежат   внутри   многоугольника,   он   называется  выпуклым.   Шестиугольник   на   рис.17 выпуклый; пятиугольник  ABCDE  на рис.3 не выпуклый, так как его диагональ AD лежит снаружи.  1.2. Площади многоугольников. Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.  Измерение площади связана с сравнением занимаемой части плоскости с некими единицами измерения площади.  За единицу измерения площади принимает квадрат, сторона которого — единица измерения отрезков, и называют квадратной единицей измерения, то есть площадь квадрата равна квадрату его стороны.   Свойства площадей: 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 2.   Если   многоугольник   состоит   из   нескольких многоугольников   (которые   не   перекрываются),   то   его площадь   равна   сумме   площадей   этих   многоугольников. рис.4 (рис.4) 1.3. Формулы вычисления площадей простых многоугольников. 1.31. Формулы площади треугольника Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на  длину проведенной к этой стороне высоты.  S= 1 2 a∙h Формула площади треугольника по трем сторонам  Формула Герона S=√p(p−a) (p−b) (p−c) Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними  Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на  синус угла между ними.  S=1 2 a∙b∙sinγ Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной  окружности:     S=a∙b∙c 4R    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной  окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус  вписанной окружности.  S=p∙r Обозначения используемые в формулах: S ­ площадь треугольника, a, b, c ­ длины   ­ угол между сторонами a и b, r ­ радиус  сторон треугольника, h ­ высота треугольника,  γ вписанной окружности,R ­ радиус описанной окружности, р = (a+b+c):2­ полупериметр. 1.32. Формулы площади квадрата Формула площади квадрата по длине стороны  Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.  S = a2 Формула площади квадрата по длине диагонали Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали. S=  1 2 d2 где S ­ Площадь квадрата, a ­ длина стороны квадрата, d ­ длина диагонали  квадрата. 1.33. Формула площади прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его  смежных сторон   S = a ∙ b где S ­ Площадь прямоугольника, a, b ­ длины сторон  прямоугольника. 1.34. Формулы площади параллелограмма Формула площади параллелограмма по длине стороны и  высоте Площадь параллелограмма равна произведению длины его  стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.  S = a∙h Формула   площади   параллелограмма   по   двум   сторонам   и   углу   между   ними Площадь параллелограмма  равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними. S = a ∙ b ∙ sin α Формула   площади   параллелограмма   по   двум   диагоналям   и   углу   между   ними Площадь   параллелограмма  равна   половине   произведения   длин   его   диагоналей умноженному на синус угла между ними.  S= 1 2 d1∙d2∙sinγ где S ­ Площадь параллелограмма, a, b ­ длины сторон параллелограмма, h ­ длина   ­  угол  между высоты  параллелограмма,  d1, d2  ­ длины  диагоналей  параллелограмма,   сторонами параллелограмма,  γ α  ­ угол между диагоналями параллелограмма. 1.35. Формулы площади ромба Формула площади ромба по длине стороны и высоте Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону  высоты. S = a ∙ h Формула площади ромба по длине стороны и углу Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и  синуса угла между сторонами ромба.  S = a2 ∙ sin α Формула площади ромба по длинам его диагоналей Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей. S= 1 2 d1∙d2 где S ­ Площадь ромба, a ­ длина стороны ромба, h ­ длина высоты ромба,  сторонами ромба, d1, d2 ­ длины диагоналей. α  ­ угол между  1.36. Формула площади трапеции Формула площади трапеции по длине основ и высоте  Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту    S= 1 2(a+b)∙h Глава 2. Рациональные способы нахождения  площади многоугольника на клетчатой  бумаге. 2.1.Нахождение площади многоугольника геометрическим методом. Решим несколько задач на нахождение площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, используя свойства геометрических фигур и  формулы  площадей. 2.11. Задачи решаемые с помощью формул   площади.  Этот   способ  удобен   для   стандартных   фигур:   треугольника,   трапеции   и   т.д.   у которых элементы используемые в формуле совпадают с линиями сетки и легко считаются по количеству клеток  Задача 1. Найдите площадь треугольника  ABC  (рис.5), считая стороны квадратных клеток равными 1.  Решение: Проведем высоту AH (рис.6). Тогда BC = 6, AH = 3 и,      следовательно, S =   9. Ответ: 9 .   36 2 Рис.5                   Рис.6 Рис.7 Задача 2. Найдите площадь трапеции ABCD(рис.7), считая  стороны квадратных клеток равными 1.  Решение: Основания AD и BC данной трапеции равны соответственно 4 и 2. Высотой является боковая сторона CD. Она равна 3. Так как площадь трапеции   равна   произведению   полусуммы   оснований   на   высоту,   то площадь данной трапеции будет равна 9.  Ответ: 9. Таким   образом   для   решения   таких   задач   рациональным   является метод вычисления площади с помощью формул площади. 2.12  Задачи решаемые путем разбиения на части или достроения до прямоугольника. Этот способ удобен для фигур стороны которых не совпадают с линиями клеток, и тогда   необходимо   выполнить   некоторые   геометрические   преобразования:   разбиение многоугольника   на   части,   площади   которых   можно   вычислить   по   формулам,   или достроение до прямоугольника, "лишними" элементами   которого будут многоугольники площади которых вычисляются по формулам. Алгоритм нахождения площади многоугольника геометрическим методом. Способ 1. 1. 2. Достроить искомую фигуру до прямоугольника. (рис.8) Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника. 3. Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.  Достроим до прямоугольника     рис.8 Получился   один   (нужный)   треугольник   внутри   и   целых   три   ненужных   треугольника снаружи.   Но   зато   площади   этих   ненужных   треугольников   легко   считаются   на   листе   в клетку! Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника. Итак. Площадь прямоугольника равна  6⋅7=42 S1=1/2⋅6⋅4=12,  S2=1/2⋅7⋅4=14, S3=1/2⋅3⋅2=3 ⇒S=42−12−14−3=13 Этот способ  работает и для самых хитрых фигур.   рис.9 Достроим до   прямоугольника и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых. А теперь чтобы найти площадь  S  просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге.  S = Sпрямоуг. ­ ( S1+S2+S3+S4) Sпрямоугольника=6⋅11=66, S2 площадь НЕ прямоугольного треугольника, но все равно легко считается по основной формуле), S3=1/2⋅5⋅2=5, S4=1/2⋅1⋅11=5,5. Таким образом S=66−12−10−5−5,5=33,5  S2=1/2⋅a⋅h=1/2⋅5⋅4=10   (обратите    S1=1/2⋅6⋅4=12,     внимание, Способ 2. 1. Разбить  искомую фигуру на части. (рис.10) 2. Найти площадь   получившихся   фигур.   3. Найти площадь фигуры как сумму составляющих ее частей.     рис. 10 SABCD= 2SADC=   2∙1 2 ∙AC∙DH=2∙1 2 ∙4∙2=8 . 2.2. Метод ( формула) Пика для вычисления площади многоугольника на клетчатой  бумаге. Формула Пика ­ это формула при помощи которой можно находить площадь  фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник,  многоугольник). Важно ввести понятия внутренние и граничные узлы клеток. Под узлами клетчатой бумаги следует принимать точки в которых пересекаются линии ( прямые) сетки. Оказывается площадь любого многоугольника можно найти зная количество узлов  расположенных внутри многоугольника и на его границах при условии что его вершины  расположены в узлах клеток. Площадь вычисляется по формуле  S=В+Г 2−1 , которая  была открыта Георгом Пиком. Теорема доказывающая справедливость формулы   появилась в сборнике работ Пика в 1899 году  привлекла довольно большое внимание  и  начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью. В формуле использованы следующие обозначения: В­количество внутренних узлов, Г­ количество узлов на границе( стороне) Рассмотрим пример использования формулы Пика для вычисления площади  многоугольника.(рис.11) Внутренние точки отмечены красным, граничные  точки зеленым цветом. Следовательно В=30, Г= 10. рис По формуле Пика S=30+ 10 2 −1=34 1 см .11. 2.21. Решение задач на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге по  формуле Пика. Рассмотрим       несколько   примеров   вычисления   площади   многоугольника   по формуле Пика.        Г=7, В=8 Г=6, В=6 Г=4, В=8 Г=4, В=3 S = 8+  7 2  ­1=10,5 S = 6+ 6 2 -1=8 S = 8+ 4 2 -1=9 S = 3+ 4 2 -1=4 Данный   метод   рационально   использовать   если   вершины   многоугольника расположены в узлах клеток и стороны многоугольника не совпадают с линиями сетки, а также эта формула универсальна для вычисления площади любого многогранника. Заключение Изучив   теоретическое   обоснование   формулы   Пика,   прорешав   ряд     задач   на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим  методом и используя формулу Пика мы  определили  рациональность применения геометрического метода и формулы Пика при нахождении площади многоугольника на клетчатой бумаги в зависимости   от   вида   многоугольника   и   его   расположения   на   клетчатой   бумаге относительно сетки пришли к выводу:   ­ если  стороны  и  элементы    многоугольника  необходимые  для  подстановки  в формулу площади совпадают с линиями сетки, то для решения таких задач рациональным является метод вычисления площади с помощью формул площади; ­ если многоугольник разбивается на части или   достраивается до прямоугольника при этом образует   многоугольники площадь которых   находится по формулам и затем применяется свойство площади, то этот способ не всегда является рациональным так, как нужно находить площадь всех частей его составляющих; ­   формула   Пика   является   универсальной   формулой       вычисления   площади многоугольника и  может быть использована для решения любой  задачи на нахождение площади   многоугольника   на   клетчатой   бумаге.   Поэтому   использование   формулы   Пика часто является самым   рациональным способом вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге. Список литературы 1.Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика, журнал «Квант» №12,1974 г., с.39­43. 2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика, журнал          « Математика», 2009, № 17, с. 24­25. 3. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2016. Режим доступа:  http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32  4. Кушниренко А. Целые точки в многоугольниках и многогранниках, журнал «Квант» №4,  1977г., с.13­20. 5. Математический энциклопедический словарь. – Москва «Советская энциклопедия»  1988г. 4.  Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В3. Планиметрия. Р/т. – М.: МЦНМО, 2016. 5.  Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды,  2009. 6. Ященко И.В. Математика ЕГЭ, профильный уровень 50 вариантов, Издательство  "Экзамен", Москва 2017.

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге

Формула Пика, как один из рациональных способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
05.05.2017