Функционалдық теңдеулерді шешу

Функционалдық теңдеулерді шешудің элементар әдістері М.Тынышпаев  атындағы  Қазақ көлік және  коммуникациялар академиясының  Ақмола  колледжі   Жоғары санатты математика пәні оқытушысы Математика мамандығы бойынша  педагогика ғылымдарының магистрі     Шакирова Эльмира Айдакашевна Функционалдық  теңдеулерді  шешу   математикалық   анализдің  негізгі  түсініктерін   ғана үйренуді   талап   етеді,   сондықтан   олар   барлық   математикалық   класс   оқушыларының   және математика факультетінің студенттерінің қызығушылығын  танытады.   Функционалдық   теңдеулерді   шешудің   әдістерін   қарастырмақ   бұрын  функционалды теңдеу ұғымынан бастайық.   Функционалды   теңдеу   деп     белгісіз   функцияның   композиция   операциясымен байланысқан   функциясын   атайды.   Функционалдық   теңдеуге   келесі     мысалды   қарастыруға болады:     және Мұндағы   ­ белгісіз  функция, х және у –тәуелсіз айнымалылар. Екі теңдеуде де белгісіз бір айнымалы функциясы болып табылады, бірақ екінші теңдеуде Екінші теңдеуге қарағанда  бірінші теңдеу бос айнымалысыз теңдеу болып саналады. екі белгісіз айнымалылар бар, олардың бірі бос айнымалы(мысалы,у).             осы облыстағы барлық  тәуелсіз айнымалыларды қанағаттандыратын болса. Мысалы,    D облысындағы  функционалдық теңдеу шешімі деп аталады, егер ол                                                                                                 (1)  теңдеу шешімі Төмендегі теңдеу шешімі , мұндағы ­ кез­келген тұрақты сан.                                                                          (2)  с1 *3х + с2 *2х, мұндағы с1 және с2 –кез­келген тұрақты сан.  Және, соңында төмендегі теңдеу шешімі Мұнда х  болғанда  , мұндағы Ф­ кез­келген функция. Бұл мысалдардан  функционалдық теңдеулерін шешу деңгейлері әр түрлі екендігін  көреміз.Сонымен, бірінші мысалда теңдеу шешімі  кез­келген тұрақтыға  байланысты, ал екінші мысалда­ с1 және с2 тұрақтылар және үшінші мысалда кез­келген Ф функциясына байланысты  екендігі       көрініп тұр. Егер  функионалдық   теңдеуді   шешімі  кез­келген  тұрақтылардан   немесе  кез­келген функциялардан тұрса, онда осы тұрақтылар мен функцияларға әр түрлі мәндерді бере отырып, теңдеудің әр түрлі шешімдерін аламыз, олар жеке шешімдер деп аталады.      Жеке шешімді алу үшін әдетте қосымша шарттар беріледі. Мысалы, егер (1) теңдеуінің шешімі   қосымша шартты  =4   қанағаттандырса, онда шешімде x=2 деп алып, алатынымыз 4 = . Осыдан =2 және сәйкесінше  қосымша шарты  табылады. =4 кезінде (1) теңдеуінің жеке шешімі болып   функциясы  Ұқсас түрде құрамында екі еркін тұрақтысы бар (2) теңдеуінің шешімі қосымша  шарттыры   және    кезінде келесідей жеке шешімге айналады     Бұдан кейін, ережеге сай, ізделіп отырған функция бір айнымалының функциясы болып  табылатын теңдеуді қарастырамыз. Алайда, көрсетілгендей, бұндай теңдеудің құрамында еркін  айнымалы болуы мүмкін немесе жоқ болуы да мүмкін.  Осындай   екі   класқа   жататын   теңдеулерді   шешу   әдістерінің   айтарлықтай айырмашылықтары бар және сондықтан олар жеке ­жеке зерттеледі.  Функционалдық  теңдеудің  шешімін  іздеу функция  класына  байланысты  екендігін  айта кетейік. Осылайша, үзіліссіз функция (сонымен қатар дифференциалданатын функция класында)    функциясы болады, мұндағы    – үзілісті функция класында (1) теңдеуінің шешімі   класындағы тұрақты, оның шешімі болып келесі функция табылады                         Ең қарапайым жағдайларда функционалды теңдеуді шешу үшін  бір қатар қиын емес  математикалық операцияларды орындау жеткілікті. Мысалы, келесі теңдеуді шешу үшін                       3 Осылайша келесі теңдеуді жазуға болады  ­                         бұл теңдеуде   деп алып   ге қатысты квадраттық теңдеуді аламыз                        Бұл теңдеудің екі шешімі болғандықтан  (4)= 4 онда  функционалдық теңдеудің де екі шешімі болады                және Алайда, функционалдық теңдеуді шешудің қарапайымдылығы сирек кездеседі.  Көптеген жағдайда сыртқы формасы бойынша да функционалдық теңдеу шешімін табу үшін   өте   күрделі   әдістерді   қолданылуды   талап   етеді.   Одан   басқа,   басқа   математикалық теорияларға қарағанда функционалдық теңдеулер теориясында шешімді табудың жалпы әдістері өте аз. Бұндай жағдай функционалдық теңдеулердің алуан түрлілігімен және оларды зерттеу кезіндегі туындайтын қиындықтармен түсіндіріледі.  Функционалдық   теңдеулер   классикалық   математикалық   сарапатаманың   туындауымен қатар пайда болды.  XVIII   ғасырдың   ортасында   күш   параллелограммасының   мәселесі   Даламберді   Бұл теңдеуді Коши ХІХ ғасырдың басында шешкен еді. Ол келесідей теңдеуді қарауға  функционалдық теңдеуін шешуге алып келді.  енгізді:                                                                                                                                                                  Олар     математиканың   әр   түрлі   бөлімдерінде   қолданылады,   жеке   жағдайларда, элементарлық функцияларды анықтаудың негізіне қойылуы мүмкін. Оларды Коши теңдеулері деп атау қабылданды.  Бұндай Коши (және оларға туыстас) теңдеулерін шешу үшін қазіргі кезде соның атымен аталып жүрген әдіс ұсынылды.  Коши функционалдық теңдеуі Н.И.Лобачевскиймен оның геометриясында қолданылды, ал            формуласы параллелдік бұрыш үшін келесідей теңдеуді шешу арқылы Лобачевский тапты.  Бірқатар   маңызды   функционалдық   теңдеулер   норвегиялық   математик   Абельмен зерттелген еді, ол оларды дифференциалдық теңдеулерге алмастырды.       Әсіресе,   функционалдық   теңдеулер   теориясында   айырмашылықты   теңдеулер   ерекше      орынға ие. Қолданбалы математиканың көптеген есептерін шешуге байланысты олардың ролі ерекше. Пайдаланылған әдебиеттер: 1. Л.М.Лихтарников  «Элементарное введение в функциональные уравнения» Лань, 1997ж. 2. Н.Темірғалиев  «Математикалық анализ» І­ІІ бөлімдері,Алматы «Ана тілі»,1991ж.