Функция Жуковского
Оценка 4.9

Функция Жуковского

Оценка 4.9
docx
08.07.2021
Функция Жуковского
Функция Жуковского.docx

Конформные отображения, определяемые комбинациями основных элементарных функций

 

Функция Жуковского

 

Определение 8. Функция

называется функцией Жуковского. Эта функция аналитична в точках z ≠ 0, ∞, причем

однолистна, в частности, в следующих областях:

а) |z| >1 – внешность единичного круга,

б) |z| < 1 – единичный круг,

в) Im(z) > 0 – верхняя полуплоскость,

г) Im(z) < 0 – нижняя полуплоскость.

Положив в (7) z = re, w = u + iv, получим

Отсюда следует, что образом окружности z = peiϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π, p > 0 – фиксировано) является эллипс

с полуосями

и с фокусами в точках w = ±1.

Исключая из уравнений (9) параметр ϕ при  p ≠ 1, получим уравнение эллипса в каноническом виде

При замене р на 1/p (p ≠1) эллипс (10) остается тем же самым, но его ориентация меняется на противоположную.

Таким образом, окружности |z| = p, p >1, ориентированные по часовой стрелке, переходят в эллипсы (10), ориентированные также по часовой стрелке. При отображении окружностей |z| = p, 0 < p < 1 ориентация меняется на противоположную.

При p = 1 эллипс (9) вырождается в отрезок  [−1, 1], проходимый дважды, т.е. окружность |z| =1 переходит в отрезок  [−1, 1], проходимый дважды. Таким образом, функция Жуковского конформно отображает внешность (внутренность) единичного круга на внешность отрезка [−1, 1] (рис. 3).

Из (8) следует, что образом луча z = re, 0 < r < +∞ (α – фиксировано), является кривая

Исключая параметр r , при α ≠ kπ 2 ( k – целое), получаем

 

Рис. 3

 

Кривая (12) – гипербола с фокусами в точках  w = ± 1 и с асимптотами v = ±utg(α). Если 0 < α < π/2, то кривая (11) является правой ветвью гиперболы (12), т.е. луч r = re, 0 < α < π/2 переходит в правую ветвь гиперболы (ориентация показана на рис. 4), при  π/2 – < α < π в левую ветвь (в (11) заменяем α на π − α ). При замене в (11) α на − α получаем ту же ветвь гиперболы, но с противоположной ориентацией. При α = 0 (луч arg (z) = 0) кривая (11) вырождается в луч [1, +∞), проходимый дважды, луч arg (z) = π переходит в луч  [− ∞,−1], проходимый дважды, лучи arg(z) = π/2 и arg(z) = 3π/2 переходят в мнимую ось Re(w) = 0. Отсюда следует, что функция Жуковского конформно отображает верхнюю полуплоскость Im(z) > 0 на плоскость w с разрезами по лучам [ − ∞,−1] и [ 1 ,+∞] (аналогично нижнюю полуплоскость Im(z) < 0).

Любой эллипс (10) пересекается с любой гиперболой (12) под прямым углом.

Рис. 4

 

Функция w = z +  − является обратной к функции Жуковского, она аналитична в плоскости z с выколотыми точками z = ±1, а в плоскости z с разрезом, соединяющим точки 1 z = ± , распадается на две регулярные ветви f1(z) и f2(z) , где f1(∞) = ∞, f2(∞) = 0.  Из свойств функции Жуковского следует, что функция w = f1(z) конформно отображает плоскость z с разрезом по отрезку [−1, 1]на внешность единичного круга, а функция w = f2(z)  – на круг |w| < 1.

 


 

Скачано с www.znanio.ru

Конформные отображения, определяемые комбинациями основных элементарных функций

Конформные отображения, определяемые комбинациями основных элементарных функций

При замене р на 1/p (p ≠1) эллипс (10) остается тем же самым, но его ориентация меняется на противоположную

При замене р на 1/p (p ≠1) эллипс (10) остается тем же самым, но его ориентация меняется на противоположную

Рис. 3 Кривая (12) – гипербола с фокусами в точках w = ± 1 и с асимптотами v = ±u ⋅ tg(α)

Рис. 3 Кривая (12) – гипербола с фокусами в точках w = ± 1 и с асимптотами v = ±u ⋅ tg(α)

Любой эллипс (10) пересекается с любой гиперболой (12) под прямым углом

Любой эллипс (10) пересекается с любой гиперболой (12) под прямым углом
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
08.07.2021