Геометрические преобразования плоскости и их приложение к решению задач

«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ»

Курсовую работу подготовила студентка 2-го курса МИ-21.2
Маруева Танзила Ибрагимовна

Научный руководитель: Исаева Марьям Абдурахмановна

Фалес Милетский

Евклид

Введение

Важным разделом геометрии как науки и темой школьного курса геометрии являются отображения и преобразования фигур. Но на изучение данной темы в школьной программе выделяется недостаточно времени. Тема движений – одного из видов преобразования плоскости – в школьном курсе геометрии затрагивается лишь поверхностно, рассматриваются основные понятия, не уделяя большого внимания ее применению при решении задач.

Актуальность

𒊹Объект исследования – геометрия на плоскости.

𒊹Предмет исследования – процесс геометрического преобразования плоскости и их приложение к решению задач.




𒊹Цель исследования – изучить теоретически
процесс геометрического преобразования плоскости и их приложение к решению задач и привести примеры решения задач.

- рассмотреть понятие геометрического преобразования плоскости;
- изучить движение плоскости и их виды
- рассмотреть и показать решение задач на тему «Движения плоскости»;
- рассмотреть и показать решение задач школьного курса геометрии на тему «Движения плоскости»;
- рассмотреть и показать решение задач на подобие.

Задачи исследования:

Геометрическое место всех преобразованных точек, получившихся из точек фигуры F в результате данного преобразования, образует некоторую фигуру F’. В этом случае говорят, что фигура F’ получена преобразованием фигуры F.

Понятие геометрического преобразования плоскости

Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением (или перемещением).

Осевая симметрия обладает следующим важным свойством — это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

Движение плоскости и их виды.

Осевую симметрию можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси а. На рисунке показано, каким образом происходит такой поворот.

Центральная симметрия плоскости также является движением

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Пусть Р – произвольная точка отрезка MN,Р1 — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР+PN=MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то
М_1 N_1 = MN, М_1 P_1 = МР и N_1 P_1 = NP. (1)

Преобразованием плоскости, при котором каждая точка перемещается в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние, называется параллельным переносом.

Возьмем на плоскости ось a. Для каждой точки A плоскости построим точку A’ так, чтобы отрезок AA’ был перпендикулярен к оси a и делился ею пополам. Такая точка A’ называется симметричной точке A относительно оси a. Ясно, что если точка A’ симметрична A, то A симметрична A’ относительно той же оси a.

Возьмем на плоскости точку O, называемую центром. Для каждой точки A плоскости построим точку СA’ – такую, что отрезок AA’ проходит через центр O и делится им пополам.
Такая точка A’ называется симметричной точке A относительно центра симметрии O.

Точка O называется центром поворота, а угол фи- углом поворота.

ЗАДАЧИ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ «ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ»

1) Точка A в этом преобразовании остается неподвижной. Так как прямая a в данном преобразовании переходит в прямую a, то точка B прямой a, перейдет в некоторую точку прямой a_1;
2) Отрезок AB перейдет в равный отрезок. Таким отрезком является отрезок AB_1. Значит, отрезок AB перейдет в некоторый отрезок AB_1 , а точка B - в точку B_1.

Даны окружность и две точки A, B, причем A – внутри, B – вне окружности. Построить параллелограмм ABCD, две вершины С и D которого лежат на данной окружности.

Предположим, задача решена, параллелограмм ABCD удовлетворяет условию задачи. Определим положение вершин C,D. Для этого рассмотрим параллельный перенос на вектор (AB) ̅. При указанном движении вершина D перейдет в вершину С, а окружность (O,R), на которой лежит точка D, перейдет в окружность (O_1,R).

УРОК В ШКОЛЕ НА ТЕМУ
«ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теперь то я
понял эту
тему

Спасибо за внимание!