Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство автора

Шкода Лидия Ильинична

Геометрический смысл производной с практической частью.

Презентации учебные
docx
14.09.2023

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

Геом.смысл произв.(с С.Р.) .docx

Геометрический смысл производной.

Краткая теория.

Геометрический смысл производной связан с углом наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке или с угловым коэффициентом наклона касательной.

( Теория и разобранные примеры должны быть записаны в тетрадь)

На рис.1 угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ – острый, а на рис.2 этот угол тупой. Если угол наклона касательной острый, то функция при увеличении значения переменной Х будет возрастать. Если угол наклона касательной тупой, как на рис.2, то функция на этом участке убывает.

Геометрический смысл производной:

1)f ´(x) = tgɑЗначение производной в заданной точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в заданной точке.

Или

2)f ´(x) =KЗначение производной в заданной точке равно угловому коэффициентуКнаклона касательной. (Так как касательная – это прямая линия, то ее уравнение имеет вид: y = k·x + b, где k =f ´ (x) )

Пример1. На рисунке изображен график функции и касательные , проведенные к нему в точках с абсциссами A, B, C, D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C, D.Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ	ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
A	1) – 1,8
B	2) – 0,7
C	3) 1,4
D	4) 0,5

При решении заполните таблицу, расчерченную ниже, в которой для каждой точки укажите номер соответствующего значения производной.

A	B	C	D

(При записи ответа укажите полученное четырехзначное число).

Решение.

Пояснения к решению. Их можно в решении не писать только заполненную таблицу и ответ.(Пояснения даны для того, чтобы вы поняли, как решать такого типа задание).

Сначала определим знаки производной в каждой отмеченной точке. Для этого надо мысленно продолжить каждую касательную ( красная) до пересечения с осью ОХ ( как сделано синим цветом для точки B). Увидим, что в точке A угол наклона касательной будет тупой ( угол берем только с положительным направлением оси ОХ, куда указывает стрелка оси), в точке B этот угол острый, в точке С– острый, в точке D – тупой. Производная f ´(x) = tgɑЗначение производной в заданной точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в заданной точкеДля острых углов тангенс положительный, чем больше острый угол тем больше его тангенс.Для тупых углов тангенс отрицательный, чем больше тупой угол тем меньше значение его тангенса. В точках Bи С производная положительная, причем в т.Bострый угол больше , чем в т. С. Значит, в таблицу ответов под точкой B пишем цифру 3, под точкой С пишем цифру 4. В точках Aи D производная отрицательна, причем в т. А тупой угол больше, чем в т.D. В таблице ответов под точкой А пишем цифру1, под точкой D пишем цифру 2.

A	B	C	D
1	3	4	2

Ответ: 1342

Пример 2.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.

Решение. Поскольку касательная параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

Пример 3.

Ответ: 4

27489

, ,

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны −2. Найдем количество точек, в которых это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

27501

, ,

Пример 4.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

$y'~ левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс \angle ACB= дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс 4, знаменатель: 1 плюс 2 конец дроби =2.$

Ответ: 2.

Пример 5.

Ответ: 2

27503

, ,

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

$y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ACB правая круглая скобка =$
$= минус тангенс \angle ACB= минус дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 8 конец дроби = минус 0,25.$

Ответ: −0,25.

Пример 6.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  −6.

Решение. Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 7.

Ответ: 7.

Пример 7.

На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких x производная принимает значение 2. Искомая точка

Ответ: 5.

Пример 8. Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

Ответ: 0,5.

Пример 9. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax² + 2x + 3. Найдите a.

Решение. Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и В нашем случае имеем:

система выражений новая строка 2ax_0 плюс 2=3, новая строка ax_0 в квадрате плюс 2x_0 плюс 3=3x_0 плюс 1 конец системы . равносильно
равносильно система выражений новая строка ax_0=0,5, новая строка 0,5x_0 минус x_0= минус 2 конец системы . равносильно система выражений новая строка a=0,125, новая строка x_0=4. конец системы .

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

Пример 10. Прямая является касательной к графику функции Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение. Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

$левая фигурная скобка \beginalign f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =k, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l. \endalogn .$

В нашем случае имеем:

$левая фигурная скобка \beginalign 56x плюс b= минус 5, 28x в квадрате плюс bx плюс 15= минус 5x плюс 8 \endalogn . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginalign b= минус 5 минус 56x, 28x в квадрате плюс левая круглая скобка минус 5 минус 56x правая круглая скобка x плюс 15= минус 5x плюс 8 \endalogn . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginalign b= минус 5 минус 56x, x в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . \endalogn .$

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x = 0,5, откуда b = −33.

Пример 11.

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Найдите значение производной функции g(x)  =  6f(x) − 3x в точке x₀.

Решение. Найдём производную функции g(x):

По рисунку найдём значение Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Поэтому

Тогда для искомого значения получаем

Ответ: −7

Пример 12.

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции в точке x₀.

Решение. Найдём производную функции g(x):

Найдём значение Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Тогда искомое значение

Ответ: 42.

Пример 13.

На рисунке изображен график функции y  =  f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите

Решение. Поскольку касательная проходит через начало координат, её уравнение имеет вид y  =  kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10  =  8 · k, откуда k  =  1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем:

Ответ: -0,25

510384

-0,25

, ,

Решить самостоятельно.

Ответ: 7

510938

, ,

Ответ: 0,25

27504

0,25

, ,

Ответ: -2

27505

-2

, ,

На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Ответ: -0,25

27506

-0,25

, ,

Ответ: 1,25

40129

1,25

, ,

Ответ: 5

40130

, ,

На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Ответ: -3

40131

-3

, ,

Ответ: 0,5

27485

0,5

, ,

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y  =  f(x) параллельна прямой y  =  6x или совпадает с ней.

Ответ: -1

27486

-1

, , ,

Ответ: 7

119974

Ответ: -33

119973

-33

, , ,

515183

, ,

Ответ: -7

525688

-7

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке Найдите значение производной функции в точке x₀.

Ответ: 3,6

525689

3,6

Ответ: 42

525690

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции в точке x₀.

Ответ: 13

525691

Ответ: -8

525698

-8

Ответ: 1

525699

Ответ: 26,8

525700

26,8

Ответ: -2

525702

-2

Ответ: 0,75

525703

0,75

10.

На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Ответ: 1,4

541372

1,4

Ответ: 1,8

541816

1,8

, ,

11.

На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 4). Найдите корень уравнения f '(x)  =  0.

12.

На рисунке изображен график функции и касательные , проведенные к нему в точках с абсциссами A, B, C, D.

ТОЧКИ	ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
A	1) - 0,5
B	2) 1,7
C	3) -2
D	4) 0,6

(При записи ответа укажите полученное четырехзначное число).

13.

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

А) A

Б) B

В) C

Г) D

1) −0,5

2) −2

3) 1,5

4) 0,3

14.

Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке М с координатами М( -2; 9). Найдите значение производной в точке х₀ = -2

15.

Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке А с координатами А ( -3,5; -10,5). Найдите значение производной в точке х₀ = -3,5

https://znanio.ru/Ответ: 2134

Ответ: 2

562751

Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс

Пример 6 . На рисунке изображен график функции y = f ( x ), определенной на интервале (−6; 5)

Пример 8 . Прямая параллельна касательной к графику функции

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0

Найдём значение Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0

На рисунке изображен график функции и касательные , проведенные к нему в точках с абсциссами

Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Посмотрите также