Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Оценка 5

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Оценка 5
Исследовательские работы
doc
математика
11 кл
16.01.2017
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена
В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, а также векторно-координатный метод, метод ключевых задач. Методы делятся на методы алгебры и геометрии. Геометрические методы: метод треугольников, метод площадей, метод вспомогательных фигур, координатный метод, векторный метод и др. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический или поэтапно-вычислительный. Этот способ требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение. Из других наиболее высокое положение занимает векторно-координатный метод потому, что он тесно связан с геометрией. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Векторно-координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Целью данной исследовательской работы является изучение способов и приемов для успешной сдачи ЕГЭ по математике, а именно изучение векторно-координатного метода и применение его для решения геометрических задач С-2 ЕГЭ по математике. Использование данного метода позволит мне значительно упростить и сократить по времени процесс решения задачи С-2. Таким образом, у меня будет больше времени для решения остальных заданий части С ЕГЭ по математике. Кроме того, знание векторно-координатного метода поможет мне при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях. Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом через привлечение большого количества вспомогательных теорем, здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений. В рамках данной исследовательской работы рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также их решение с помощью координатно-векторного метода.
НПК -2013 Метод координат в простр.doc
XX научно­практическая конференция «Шаг в будущее»: 1 Геометрия Использование метода координат в пространстве для решения заданий С­2  Единого государственного экзамена                                                                               Выполнила:                                                                               Юзаю Ксения Александровна,                                                                        ученица 10 «а» класса МБОУ СОШ     №37.                                                                                 Научный руководитель:                                                                                 Конева Галина Михайловна,                                                                                    учитель математики МБОУ СОШ №37,                                                                                  «Отличник  просвещения РФ»,                                                                                       Победитель Конкурса лучших учителей России(2009 г)                                                         Улан­Удэ 2 2013 Содержание I. II. Введение  Основная часть 1. Нахождение угла между прямыми 2. Нахождение угла между прямой и плоскостью 3. Нахождение угла между двумя плоскостями 4. Нахождение расстояния от точки до плоскости 5. Нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве.   6. Нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми III. IV. Заключение Список использованной литературы 3     I  .Введение В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто  геометрический) метод, метод преобразований, а также векторно­координатный метод,  метод ключевых задач. Методы делятся на методы алгебры и геометрии. Геометрические  методы: метод треугольников, метод площадей, метод вспомогательных фигур,  координатный метод, векторный метод и др. Они занимают различное положение в школе.  Основным методом считается синтетический или поэтапно­вычислительный. Этот способ   требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к  планиметрической. Способ хорош тем, что развивает  мышление и пространственное воображение. Из других наиболее высокое положение  занимает векторно­координатный метод потому, что он тесно связан с геометрией.  Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок,  дополнительных построений. Векторно­координатный метод этого не требует: решение  задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само  решение задачи. Координатный метод решения  задач  на сегодняшний день самый мощный  и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических,  физических, астрономических и технических  задач.  Целью данной исследовательской  работы   является изучение  способов и приемов для успешной сдачи ЕГЭ по  математике, а именно изучение векторно­координатного метода и применение его для  решения геометрических задач С­2 ЕГЭ по математике. Использование данного метода   позволит мне  значительно упростить и сократить по времени процесс решения задачи С­2.  Таким образом, у меня будет больше времени для решения остальных заданий части  С   ЕГЭ по математике. Кроме того, знание векторно­координатного метода  поможет мне  при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в  высших учебных заведениях.  Координатно­векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует  сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во  введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем –  исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод ­ довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные 4 задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с  большим трудом через привлечение большого количества вспомогательных теорем, здесь  получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений. В рамках  данной исследовательской работы  рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также  их решение с помощью координатно­векторного метода.    II   .Основная часть 1.Нахождение угла между скрещивающимися прямыми  Углом   между   скрещивающимися  прямыми   называется   угол   между   двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. 0˚<(a,α)<90˚.  Для нахождения угла  φ  между прямыми  m  и  l, если векторы   1  zyxq ; ; 1 1   и  zyxp ; ; 2 2 2   параллельны   соотвественно   этим   прямым,   используют   формулу: сos  pq  pq   или в координатной форме  cos   yy xx 1 21    2 2 z y 1 1 2  2 x 2 zz 21  y 2 x 1 . 2 2  z 2 2 В частности, для того чтобы прямые  m  и  l  были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы  0qp  или  xx 1 2  yy 1 2  zz 1 2  0 . Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁   AB=2, AD=4, AA₁=3.  Точка Е­ середина ребра А₁В₁ . Найдите угол между прямыми ВС₁ и АЕ. Решение: Пусть точка В(0;0;0)­начало координат. Тогда  С₁(0;4;3), А(3;0;0), Е(1,5;0;3).  Найдем координаты векторов            и    . По формуле:     находим  5 . Пример 2. . В правильной треугольной призме ABCA ₁B ₁C₁ , все ребра которой равны 1,  найдите косинус угла между прямыми АВ и A₁ C. Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее  находим координаты тех точек, которые необходимы и находим координаты векторов  (0;1;0) и  ( ; ;­ 1). Далее по формуле нахождения угла между двумя векторами  находим:  = = Ответ: 2.Нахождение угла между прямой и плоскостью 6  Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.  0˚<(a, α )<90˚. Угол между прямой l и плоскостью  α  можно вычислить по формуле  sin pn  pn   или в координатах  sin  xx 1 y 2 1 2  yy 1   z 2 1 2  x 2 2 zz 1 2  y x 2 1  2 2  z 2 2 , где  1  zyxn ; ; 1 1  ­ вектор нормали к плоскости  ,α    zyxp ; ; 2 2 2  ­ направляющий векор прямой l. Пример 3.  В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA1B1C1D1  рёбра  АВ  и  АА1  равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С). Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.): ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к  плоскости. Чтобы составить  это уравнение,  необходимо  определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0). Решая систему  d ,0 а  c ,0 d  2 b d ,0      находим коэффициенты а,  b  и с уравнения  ах+bу+cz+d=0: а= ­d,  b= d 2 ,  c=­d.  Таким образом, уравнение примет вид   dx  d 2 y  dz  0 d  или, после упрощения, 2х+у+2z­ 2=0. Значит, нормаль n  к этой плоскости имеет координаты  2;1;2n  . Найдем координаты вектора   BE  1;1;0   7 Найдем угол между вектором  ВЕ  и нормалью к плоскости по формуле скалярного  произведения векторов: sin  xx 1 y 2 1 2  yy 1   z 2 1 2  x 2 2 zz 2 1  y x 2 1  2 2  z 2 2   2111   2 1 2 2 2 2 2  3  32  2 2 . Ответ: 45˚ Пример 4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, каждое ребро которой равно 1,найти угол между прямой СD1 и плоскостью (Е1В1А) Рис.1 Рис.2 Решение: Решим вспомогательную задачу. Найдем  координаты правильного  шестиугольника со стороной, равной 1,  на плоскости (смотри рис.2): А( ), В( ),С(0,1), D( ), E( ), F(0,­1) Теперь решим исходную задачу( смотри рис.1). Найдем уравнение плоскости (E1В1А): E1( ); B1( ); А( ) 8 ;  ∙a+ b ­2∙c ­2∙d=0; ∙a+ b+ 2∙c+ 2∙d=0; ∙a – b+2 ∙d = 0; c =  ∙a; d = ­ ∙a; b = ­ ∙a.         Уравнение плоскости примет вид: а∙х ­ ∙a∙y + ∙a∙z ­ ∙a=0. Разделим обе части  уравнения на a. Получим общее уравнение плоскости: х ­ ∙y + ∙z ­ =0, в котором А=1,  В= ­  , С=  , D= ­  . Найдем координаты вектора  1: С(0;1;0); D1( ) ;  1 По формуле нахождения угла между прямой и плоскостью имеем:  =  . Ответ: а = arcs in  3. Нахождение угла между двумя плоскостями 9  Двугранный   угол,   образованный   полуплоскостями   измеряется   величиной   его линейного   угла,   получаемого   при   пересечении   двугранного   угла   плоскостью, перпендикулярной его ребру.  Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)  Величина   угла   между   двумя   пересекающимися   плоскостями   принадлежит промежутку (0˚; 90˚].  Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.  Угол   между    двумя   пересекающимися   плоскостями   можно   вычислить  как   угол   между нормалями к этим плоскостям  по формуле сos   ) ( ,   nn 1 2 n 1  n 2  или в координатной cos   ( ) ,  2 A 1 форме    AA CCBB 2 1 1 1 2     2 2 2 C B B 1 1 2  2 A 2 2  C 2 2 ,   где   1 ; CBAn  ; 1 1 1   ­   вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,      A2x+B2y+C2z+D2=0. CBAn { ; ; 2 2 2 } 2   ­ вектор нормали плоскости Пример 5. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и  D1FC, где точки Е и F­середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.  Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее  находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений  плоскостей:  (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0),  F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (A E), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это  уравнение и решим систему из трех уравнений:  10 А∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;  А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0; А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0. Получим, что А= ­ С, В= ­ 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0. Значит, А1=1, В1= 2, С1= ­1 Составим уравнение плоскости (CF ), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0.  Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех  уравнений:  А∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;  А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0; А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0. Получим, что В = С, А = 2С, D = ­ 3С. Таким образом, уравнение примет вид:  2х +у +z – 3 = 0.   Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле: cos   ) ( ,  2 A 1  AA CCBB 2 1 1 1 2     2 2 2 C B B 1 1 2  2 A 2 2  C 2 2 cos   ) ( ,  2 1  2  111221  2 2 )1(  2 2  2 1  1 2 . 2 1 Значит, угол между плоскостями равен 6 .  Ответ: 6 .   00 00 4.Нахождение расстояния от произвольной точки до плоскости.  Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .  Расстояние   от   точки  М  до   плоскости   α   вычисляется   по   формуле 11  М ( ; ) aх 0  a 0 bу  2  b 2 cz  0 c  d 2 ,   где   М(х0;у0;z0),   плоскость   α   задана   уравнением ax+by+cz+d=0. Пример 6.В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной 2 и высотой, равной 4, найти расстояние от точки А до плоскости (SBC). Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0). Составим уравнение   плоскости   (SBC),   используя   координаты   точек   В(2;2;0),   С(0;2;0),  S(1;1;4)   и решив систему уравнений: a∙2+b∙2+c∙0+d = 0 a∙0 +b∙2 +c∙0+d = 0 a∙1 +b∙1 +c∙4+d = 0. Получим, что d= ­2∙ b, a=0, c =   . Таким образом, уравнение плоскости примет вид:  0∙х +4∙у + z ­ 8 =0. Значит, a=0, b=4, c=1, d=­ 8. Точка А, расстояние от которой до плоскости нужно найти, имеет координаты: А(2;0;0).  Значит,  =2,  = 0,   =0.  По формуле нахождения расстояния от точки до  плоскости имеем: aх 0   a  bу 0  2 2 b cz 0  c  2 d  8010440  2 0  2 4  2 1  8 17 17  .   Ответ:  . 12 М  ) ( ; 5.Нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве.   Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве:   1) Ввести прямоугольную систему координат и найти длины сторон АВ, АС, ВС по  формуле: 2) Сделать дополнительный рисунок  треугольника АВС и с помощью теоремы Пифагора  найти высоту AD в треугольнике АВС. Пример 7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что AD= 2,  DC =4,  A = 6, точка Е­ середина ребра A .Найти расстояние от точки Е до прямой D .     Решение: 1)В (0; 0; 0); B1 (0; 0; 6); E (4; 0; 3);D (4; 2; 3). 2) |B1E|= 13 3) |ED|= 4)|B1D|= 5) EN2 = 25 – x2; EN2 =13 – ( )2; 25­ x2 = 13 – (56  4 x + x2) 4 x= 68;   x=  6) EN=  .   Ответ:  6. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.  Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.   Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной  из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через  другую прямую.   Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой  точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую  прямую параллельно первой прямой.  Рассмотрим скрещивающиеся прямые (АВ) и (СD). Отметим на прямой a некоторую точку  М1, через прямую b проведем плоскость, параллельную прямой a, и из точки М1 опустим  перпендикуляр М1H1 на построенную плоскость. Длина перпендикуляра M1H1 есть  расстояние между скрещивающимися прямыми a и b. Алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми АВ и СD, где   А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C (x3;y3;z3), D (x4;y4;z4): 14 1) Найти координаты векторов   и  2)Найти координаты вектора  , где   и  . Так как  векторы  перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0, т.е.   и  . В результате получим вектор  3)Найти уравнение плоскости  α , проходящей через точку А( . x1;y1;z1) (или через точку В) и перпендикулярно вектору  a∙(x­x1)+b∙(y­y1)+c∙(z­z1)=0 Затем привести это уравнение к виду: а∙x+b∙y+c∙z+d=0.  по формуле: 4)Найти расстояние от точки C (x3;y3;z3) (или от точки D) до плоскости  α  по формуле  Пример 8. В кубе ABCDA1B1C1D1 , каждое ребро которого равно 1,  найти  расстояние между прямыми A1D и B1E, где Е­середина ребра DD1. Решение:   Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В(0;0;0) и далее работаем по  алгоритму: 1) А1(1;0;1), D(1;1;0) => 15 B1 (0;0;1), E(1;1;0,5) =>  2) Пусть   и   . Тогда  ;  ; = >   или   =>  . 3) Составим уравнение плоскости  α , проходящей через точку  D(1;1;0) перпендикулярно вектору    : Значит, a= ­ 0,5; b=1; c=1; d= ­ 0,5 4) Найдем расстояние от плоскости  α  до точки  E(1;1;0,5): Ответ:  Пример №9. В правильной треугольной пирамиде АВСА₁В₁С₁, все ребра которой  равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ₁. Решение. 1)Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Найдем  координаты векторов АВ и СВ₁: В( ; ;0), С(0;1;0), В₁( ; ;1),   ( ; ;0),   ( ; 16 ;1). 2)Найдем координаты вектора  , перпендикулярного векторам   и  .  Так как векторы перпендикулярны, то их скалярные произведения равны нулю.  Отсюда следует система из двух уравнений:      ∙ = 0 и  ∙ = 0.  ∙ + ∙ = 0; = - ∙  ∙ - ∙ + = 0; =- ∙ ; ⇒ - ∙ ; - ∙ ) ⇒ . 3)Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору  ) и  проходящей через точку В( ; ;0),используя уравнение  ∙ (x­x1)+b∙(y­y1) +c∙(z­z1)=0: 1∙ (х ­  ) ­  ∙ (у ­   ) ­  ∙ z = 0;  ∙ у ­   ∙ z = 0. х ­  4)Найдем теперь расстояние от точки С(0;1;0) до найденной плоскости:  2 С ; ( )  aх 0  a bу 0  2 b  01   03  13  331  21 7  d 2 cz  0 c 17  Ответ: √21 ∕ 7 III   . Заключение Данной исследовательской работой я занималась в течение последних  месяцев. Сначала я изучила тему «Метод координат в пространстве» по учебнику  «Геометрия 10­11» автора Атанасян.  В этом учебнике я нашла две формулы.  Формулу для нахождения угла между прямыми и формулу для нахождения угла  между прямой и плоскостью. И далее я начала решать задачи С­2 уже двумя  способами: поэтапно­вычислительным и координатно­векторным. И поставила  перед собой задачу: можно ли с помощью координатного способа находить углы  между плоскостями, можно ли находить расстояния от точки до плоскости,  расстояния между прямыми в пространстве? По совету своего руководителя  я  начала искать эти формулы и применять их при решении всех прототипов С­2 ЕГЭ  по математике. Координатно­векторный метод решения был для меня открытием!  До того момента, пока я не знала этого метода, я и самостоятельно, и с помощью  учителя решала множество заданий уровня С­2,  изучала редко используемые  формулы и приёмы, упрощающие решение задач. После изучения этого метода  оказалось, что те задачи, над которыми я ломала голову несколько часов, решались  за несколько минут!  Однако не все задачи стереометрии надо решать методом  координат, иногда это просто нецелесообразно. Применять координатно­ векторный метод нужно тогда, когда геометрическое решение задачи перегружено  формулами, редко используемыми теоремами, сложными преобразованиями и  вычислениями.  IV   . Список использованной литературы 1.Задачи по стереометрии. Координатный метод. Н.А. Бунеева, А.М. Каргаполов;  Новосибирск, 2006. 2. Подготовка к ЕГЭ по математике. А.Г. Малкова. Материалы сайта EGE­Study.ru 18 3. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии.  Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., 2008. 4. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2013:  Математика /авт.­сост . И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред.  А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель , 2012. – (ФИПИ). 5. www.mathege.ru  – открытый банк заданий. 6. www.problems.ru – каталог задач. 7. Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатно­векторный метод)//  Холева, О. В. Математика в школе. ­ 2011. ­ №4. ­ С. 18­21  8. Стереометрические задачи и методы их решения. Э. Г. Готман Москва.  Издательство МЦНМО, 2006

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена

Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2  Единого государственного экзамена
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.