Исследовательская работа на тему "Конечная бесконечность или бесконечная конечность?"

Научно-практическая конференция
«Дети – творцы XXI века»

Исследовательская работа по теме: «Конечная бесконечность или бесконечная конечность?»

Подготовила ученица 11 класса
МКОУ «СОШ №1» г. Поворино
Качевская Инесса.
Научные руководители:
Евтухова И.Ю.
Антропова И.В.
Технический редактор:
Иванов Д.Ю.

2015 г.

«В одном мгновенье видеть вечность,

Огромный мир – в зерне песка,

В единой горсти – бесконечность

И небо – в чашечке цветка».

Ещё в начальной школе мы познакомились с понятием бесконечности. Тогда мы  с удивлением узнали, что наибольшего числа не существует. Сколько ни прибавляй к бесконечному, оно остается все тем же бесконечным. При изучении дробей в среднем звене, я с удивлением замечала, что бесконечное в математике часто противоречит здравому смыслу, например, аксиоме "целое больше своей части". Бесконечное множество, в частности, определяется как то, что равно не совпадающей с ним части.

Мои дальнейшие попытки постигнуть бесконечность на уроках алгебры и геометрии связаны с преодолением все большего числа парадоксов и противоречий (ноль в степени бесконечность, единица деленная на бесконечность и т. д.).

Например, в школьной программе есть тема «Сумма бесконечной геометрической прогрессии». Рассмотрим следующий бесконечный ряд чисел: 1, а, a², a³и так далее, где а-положительно и меньше единицы — это и есть геометрическая прогрессия. Числа в этом ряду становятся всё меньше и меньше. Оказывается, что если сложить весь этот бесконечный набор чисел, то получится простой ответ:

Возникает вопрос: почему бесконечная сумма дает красивый конечный ответ? зачем может понадобиться сложение бесконечно многих чисел?

Так что же такое бесконечность? Можно ли говорить о бесконечности как о объективно существующей реальности или это просто математическая абстракция? Можно ли «пощупать» бесконечность, смоделировать? Эти вопросы всегда интересовали меня, может быть потому, что в повседневной жизни нам всегда приходиться иметь дело только с конечными величинами, а бесконечность манит своей необычностью и даже таинственностью.

Чтобы найти ответы на них,  я решила более глубоко изучить эту тему.

Гипотеза.

Бесконечность- это не абстрактное  понятие, а  объективно существующая реальность.

Бесконечность иногда становится конечной  (находит воплощение в конечном).

Ноль это полное отсутствие чего-либо

Мир познаваем, т. к. устроен по подобию.

2. Бесконечность, одно из самых удивительных и парадоксальных научных понятий, неизменно привлекала внимание человека, волнующих мыслителей и ученых.

По существу, история бесконечного пронизывают всю историю познания человеком окружающего мира и своего места в нем. Пифагор писал «В конечности – красота и совершенство. В безграничности – незавершенность и несовершенство».

Аристотель считал, что бесконечность – это процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий и нет последнего. Он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями над бесконечностью. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер убежден, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если вы прибавите к нему единицу, вы получите ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».

Первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знания, в частности понятие бесконечности для решения практических задач, был Архимед.Он использовал бесконечный числовой ряд, чтобы найти площадь сегмента параболы .

Как действовал Архимед? Разбив параболу на вписанные треугольники, складывая их площади, заметил, чтони за какое конечное число шагов всю площадь под параболой исчерпать не получится, то есть мы не доберёмся до точного ответа. Лишь при переходе к бесконечному, т. е. формуле суммы        бесконечной геометрической прогрессии, получаем красивый конечный результат.

Оказывается, что это общая закономерность: если в математической или физической задаче устремить в бесконечность какую-либо величину из условий задачи, то, как правило, ответ упрощается или даже нерешаемая задача становится решаемой. Есть даже шутка про физика-теоретика, которого попросили рассчитать, будет ли стул стоять устойчиво. За первые пять минут он решил эту задачу для стула с одной ножкой, за следующие пять минут — для стула с бесконечным числом ножек, а потом всю оставшуюся жизнь пытался рассчитать устойчивость стула с четырьмя ножками.Красивая конечность становится следствием бесконечности.

    Но какой бы красивый ответ не был получен, сама  бесконечность никогда не сможет быть выражена или определена не через какие числа, какими бы огромными они не были. Это понятие существует "вне чисел". К нему можно лишь бесконечно стремиться.

  Но что означает "стремящийся к бесконечности"? Математики придумали для этого предел. В пределе получаем какой-то конечный результат одной величины тогда, когда другая к чем- то стремится, уходит в бесконечность.

Математика создает  модели для изучения бесконечного, получая конечные результаты. Бесконечные процессы на конечном шаге становятся уловимыми. Сама же бесконечность ускользает от нас, как только мы приближаемся к ней. То, что становится конечным на данном этапе, дает рождение нового бесконечного процесса.

Это можно сравнить с попытками добраться до горизонта, но они всегда будут заканчиваться неудачей. Он незаметно, но с видным постоянством будет ускользать от нас каждый раз, когда мы, казалось, приблизились к нему на достаточно близкое расстояние.

    Еще одно интересное соседство неизменно преследует бесконечность. Понятие «ноль» и «бесконечность» тесно связаны.   Известно, число, деленное на бесконечность стремится к нулю,  число,  деленное на нуль стремится к бесконечности.

  Таким образом, бесконечность и ноль- две противоположности, которые составляют единое целое. Это полностью соответствует диалектическому закону единства и борьбы противоположностей.

Кажущаяся безрассудной идея о том, что ноль и бесконечность совпадают, оказывается, находит много подтверждений.   Например, физический вакуум – это то, что остается в пространстве, когда из него удаляют весь воздух и все до последней элементарной частицы. Казалось бы, остается пустота, ноль, но оказывается, что эта пустота – своеобразная материя – Прародитель всего во Вселенной.

Таким образом, с точки зрения современной физики вакуум вовсе не пустота. Об этом свидетельствует один из замечательных физических эффектов- эффект Казимира получения энергии из « ничего».

Если взять две проводящих металлических пластины и расположить их в вакууме параллельно друг другу, то согласно классической физике, не должно быть никакой силы, действующей между ними. Но вот сюрприз. Когда физики в 1958 году поставили эксперимент, они обнаружили, что сила действительно существует.

Объяснение эффекта Казимира

Энергия физического вакуума бесконечна, но, как заметил Казимир,  если вычесть эту бесконечность из исходной (до внесения пластин), то получится некоторая конечная энергия, заключенная между пластинами.. Необычность такой силы притяжения, называемой вакуумной или казимировской, состоит в том, что она не зависит ни от масс, ни от зарядов, ни от других постоянных, , а определяется только расстоянием между пластинами.

Как оказалось, эффект Казимира, имеет прямое отношение к одному из самых интригующих  вопросов в истории человечества:  конечна или бесконечна Вселенная?

     В связи с рассмотрением вопросов бесконечности Вселенной и конечности, ограниченности нашего разума продолжает оставаться актуальным основной вопрос философии –  вопрос о том, познаваем ли мир? Если конечное не может «объять необъятное», то может быть, мы никогда не познаем истину и  все наши знания о мире просто иллюзия?  Ведь известно, что наука изучает мир, основываясь на моделях, (различные математические, физические модели). Но реальный мир гораздо сложнее!

        На этот счет мнения философов расходятся. В результате систематизации и обобщения информации по этому вопросу я поняла, что я придерживаюсь точки зрения, согласно которой мир познаваем. Мое убеждение основано на том, что в нашем мире действует принцип подобия, вытекающий из одного из основных законов диалектики – закона преемственности и подобия (закон отрицания отрицания).

Согласно этому принципу часть любого целого устроена подобно тому, как устроено целое.

Яркой иллюстрацией принципа подобия является голограмма. Отличительная особенность голограммы заключается в том, что по любой (даже малой) части можно восстановить изображение целиком, потому что каждый фрагмент голограммы содержит в себе информацию обо всем изображении.

Так и весь мир устроен по принципу голограммы: в любой точке Вселенной есть информация обо всей Вселенной.

   Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда подобно голограмме, отдельная клетка растения или животного несёт в себе полную информацию обо всём организме.

   В математических моделях свойство самоподобности находит свое выражение во фрактальных фигурах.  Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Пример «съедобного фрактала» — это некий сорт цветной капусты. Если рассмотрим его поближе, то увидим, что он состоит из «шишечек», идущих по спирали, причём каждая из них состоит из таких же маленьких «шишечек», а они, в свою очередь, — из совсем маленьких( капуста Романеско).

Реальный мир достаточно хорошо описывается фрактальной геометрией. Фрактал - может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, кораллы, снежинки и т.д.

С помощью специальных компьютерных программ 3Dmax мы моделировали различные фрактальные множества, пытаясь « пощупать» бесконечность.

Используя программы моделирования фракталов Треугольник Серпинского, смоделировали его в пространственные фракталы пирамиды Серпинского.

Попробовали смоделировать и природные фракталы: капусту Романеско.

Фрактальные фрагменты позволяют наглядно прочувствовать переходы от бесконечно больших величин к бесконечно малым и наоборот ( от «минус» к « плюс» бесконечности).Раскладывая тело, состоящее из бесконечно большого числа фрактальных сегментов, мы приходим к конечному маленькому сегментику- исходной фигуре и наоборот, от начального фрагмента можем «заглянуть» в бесконечность, получая все новые и новые формы.

3.Вывод.

Бесконечность - это не абстрактное  понятие, а  объективно существующая реальность. Бесконечность иногда становится конечной  (находит воплощение в конечном). Ноль и бесконечность совпадают. Пустота – своеобразная материя – Прародитель всего во Вселенной. Математика и физика создают различные модели для изучения бесконечности, получая конечные результаты, но реальный мир гораздо сложнее. «Пощупать» бесконечность можно, прибегая к «образу и подобию», т.е. моделируя ее.

        Рассуждая о бесконечности, невольно приходишь к понятию Бога.

В священном писании есть такие слова: «Я есмь всё, и альфа, и омега, и начало, и конец» (альфа – первая буква алфавита, омега – последняя). То есть Бог сотворил всё из «ничего» (физического вакуума) и в конце концов, все исчезнет для того, чтобы дать начало новой жизни».

                                                      Литература.

1.Н. Я. Виленкин  В поисках бесконечности. - М.: Наука, 1983. - 160 с

2.Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел. М,1959.

3.«В мир информатики», журнал «Информатика»: №23, №24/2008, изд-во «1ое сентября»

4.Тео Овербек .Сила из «ничего»,1960.

5.Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство./Математика в школе, №5/2005.

6. Библия

                                                    Интернет ресурсы.

- http://ru.wikipedia.org/wikiСимметрия

- http://slovari.yandex.ru

- http://www.fractals.nsu.ru/

Скачано с www.znanio.ru