Исследовательская работа "Треугольник Рёло"

«Треугольник Рёло
и его применение»

Выполнила: ученица 6 «А» класса МКОУ Тогучинского района
«ТСШ №4»
Ерёменко Кристина
Руководитель: учитель математики Ладошкина Надежда Сергеевна

В 21 веке, при быстро развивающихся технологиях, нельзя в стороне оставить фигуру постоянной ширины – треугольник Рёло, встречающийся в деталях некоторых устройств.

Цель  исследования:
определить, чем треугольник Рёло отличается от треугольников, которые изучаем в школе. 

Задачи  исследования:
изучить фигуры постоянной ширины, их свойства и применение;
изучить главные свойства треугольника Рёло
изучить методы построения треугольника Рёло и фигур постоянной ширины;
на основе изученных материалов предложить 
области использования треугольника Рёло; 
провести эксперимент с треугольником Рёло.

Методами исследования являются:
изучение документации и информационных материалов, 
наблюдение, 
анализ, 
эксперимент.

Гипотеза:
Считаем, что треугольник Рёло и другие фигуры постоянной ширины имеют большое значение в современном мире и, следовательно, большой спектр применения.

Треугольник Рёло представляет собой область пересечения трех равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи

Основные свойства треугольника Рёло:
Геометрические характеристики:
Площадь треугольника Рёло 𝑆𝑆= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝜋− 3 𝜋𝜋− 3 3 3 3 𝜋− 3 ∗ 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2
Периметр P = 𝜋𝜋a
Радиус вписанной окружности 𝑟𝑟= 1− 1 3 1− 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 1− 1 3 ∗𝑎𝑎

Радиус описанной окружности 𝑅𝑅= 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 3 3 3 𝑎 3

2) Симметрия
Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр.

3) Общие свойства:
Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности:
с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке;
расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины a, не может превышать a.

4. Построение

.

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей.

5. Качение по квадрату

Треугольник Рёло вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон. Каждая вершина треугольника 
при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, 
отклоняясь от этой траектории 
лишь в углах -там вершина описывает дугу 
эллипса

Задача с использованием треугольника Рёло

Найдите углы треугольника Рёло, образованные касательными к дугам окружностей в его вершинах.
Решение:





Ответ: 120°.

Области применения треугольника Рёло

Сверление квадратных отверстий




2. Двигатель Ванкеля



3. Кинотеатр

4. Каток



5. Плектр



6. Велосипед Гуань Байхуа

Эксперимент.

.

Для эксперимента были изготовлены четыре колесика, в форме треугольника – фигуры постоянной ширины, закрепленные парами на одной оси.
Затем изготовлены были колеса пятиугольники, тоже фигуры постоянной ширины.

Выберите, из предложенных фигур, треугольник Рёло


а б в


г д е

2. Хотели бы вы узнать что-либо о треугольнике Рёло и научиться его строить?
а) да б) нет

3. Как вы считаете, какие из фигур являются фигурами постоянной ширины?
1

2

3

Исходя из исследования можно сделать вывод: большинство опрошенных учащихся шестого класса угадали как выглядит треугольник Рёло и заинтересовались, как его можно построить, а так же, хотели узнать, где его можно увидеть.

Заключение

Изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется сегодня и его изучение не стоит на месте.

Считаю, что моя работа важна для инженеров, так как спектр применения треугольника Рёло огромный.