Исследовательская работа « Множества»

Муниципальное казенное учреждение общеобразовательная школа­интернат «Салемальская школа – интернат среднего (полного) общего образования» _____________________________________________________________________________ ул. Первомайская 19, с.Салемал, Ямальский район, ЯНАО,629709, тел.(34996) 2­30­09,факс(34996) 2­32­12 Р/С 40204810900000000013,БИК 047182000, РКЦ Салехард г. Салехард, ИНН:/КПП 8909000965/890901001 ОКПО 43131735 ОГРН 1028900508757 Электронный адрес: School­[email protected]   Исследовательская работа « Множества» Автор:  Сатруева Кристина Львовна, Тюменская область, ЯНАО, Ямальский район, с. Салемал, МКУОШИ «Салемальская школа­интернат среднего (полного) общего образования», 6  класс.              Руководитель: Кошкина Л.А., Тюменская область, ЯНАО, Ямальский район, с. Салемал,   МКУОШИ «Салемальская школа­интернат среднего (полного) общего образования», учитель математики 2013           Исследовательская работа   « Множества» Автор:  Сатруева Кристина Львовна Тюменская   область,   ЯНАО,   Ямальский   район,   с.   Салемал,   МКУОШИ «Салемальская школа­интернат среднего (полного) общего образования», 6  класс Содержание Содержание. I.     Историческая справка. II.    Понятие множества. III.  Операции над множествами.  IV.  Исследование демографического и социального положения жителей с. Салемал.  V.  Заключение. Исследовательская работа « Множества» Автор:  Сатруева Кристина Львовна Тюменская   область,   ЯНАО,   Ямальский   район,   с.   Салемал,   МКУОШИ «Салемальская школа­интернат среднего (полного) общего образования», 6  класс Введение Цель  работы:    Исследование демографического и социального положения жителей       с. Салемал   с помощью теории множеств. Задачи   исследования: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Познакомиться с понятием множества. Изучит операции  над множествами. Собрать сведения о ставе населения по с. Салемал. По предприятиям выяснить количество жителей села, работающих на данное время. Установить количество детей в  школе. Выяснить количество пенсионеров в селах работающих и не работающих. Подсчитать безработных на данное время учтённых в социальной защите и не учтённых. Собрать сведения об учащихся и дошкольниках. С   помощью   теории   множеств   составить   таблицы   и   схемы,   по   результатам подсчётов сделать выводы и прогнозы на будущее. Объект исследования: множества. Предмет исследования:   жители села Салемал. Гипотеза   исследования:  при   помощи   множеств   можно   единым   взглядом   охватить самые разнообразные структуры.  Методы       исследования:   сбор информации,    наблюдение,  анкетирование,   сравнение,   обобщение. Глава I.  Историческая справка Математики утверждают, что теория множеств появилась на свет  в 1873 г.,  т. е.  более ста лет назад. Их придумал один немецкий математик или философ по фамилии Кантор1.  ­ Что заставило Кантора ввести множества в математику? Это объясняется, по всей вероятности, его склонностью к философии, и особенно в области бесконечного. Его заинтриговало: каких чисел больше ­ натуральных или действительных? В одном из писем, адресованных к своему   приятелю,   Дедекинду,   Кантор   писал,   что   ему   удалось   доказать   посредством множеств,   что   действительных   чисел   больше   чем   натуральных.   День,   которым   было датировано   это   письмо,   математики   считают   днём   рождения   теории   множеств.   Таково начало истории множеств. Математики   придают   множествам   огромное   значение:   благодаря   множествам математический язык стал проще, чище и яснее; более конкретными стали формулировки; при помощи множеств можно единым взглядом охватить самые сложные структуры. Глава II.   Понятие множества Учёные доказывают, что множества лежат в самой основе современной математики, что их можно применять буквально везде; они настолько собирательные и удобны, что позволяют   рассматривать   и   изучать   различные   бесконечности.  Множество   настолько простое понятие, принятое в повседневной жизни  и перенесённое в математику, что его нельзя свести к чему­нибудь ещё более простому.  Мы   часто   говорим:   множество   городов,   множество   государств,   множество   чисел, множество учащихся, множество автомобилей, множество птиц, множество зрителей на стадионе,  множество и  так далее. Кантор   сказал   что,   «Под   множеством   мы   подразумеваем  объединение   в   целое определённых,   различающихся   между   собой   объектов   нашего   представления   или мышления».  Следовательно, множество может быть собрано любым способом. Может, но математики рассматривают только те множества, которые обладают чётко определёнными свойствами, состоят из элементов или членов, имеющих некоторые общие свойства, короче ­ математические множества.  Например: множество натуральных чисел; множество чисел, делимых на пять; множество   учащихся   шестого   класса   Салемальской     школы   ­   интернат;   множество   дней недели;   множество   отличников   7   класса.   ­   Но   в   7   классе   нет   отличников.  Ну   и   что? Множество всё равно есть, только пустое    {O} . Глава III. Операции  над множествами  1. Равенство множеств. Два множества равны, если содержат одни и те же элементы. Возьмём множества {а, b, с} и {а, b, с}. Они явно равны, и их можно записать{a, b, с} = = {а, b, с}. А равны ли множества {а, b, с} и {b, а, с}? Множества равны, так как содержат одни и те же элементы. {Пётр, Марк, Ирина, Елена} = {Елена, Марк, Пётр, Ирина} {3,5,7,9, 11, 15} = {9, 5, 7, 3,15, 11}. 2. Множество, которое содержится в другом множестве.   Множество, которое содержится в другом множестве, называется подмножеством. Запишем множество дней в неделе: D = {воскресенье, понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота} Теперь отберём только рабочие дни: R = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}. Сразу видно, что все   элементы   множества  R  входят   в   множество  D.Если   каждый   элемент   какого­то множества R является в тоже время элементом множества D, то можно сказать, что R ­подмножество множества D. Если множество содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий подмножеству, то  ______________________________________________ Георг Кантор1  (1845 ­ 1918) ­ профессор математики и философии в Галле. Основоположник современной  теории множеств.  Ричард Дедекинд2 (1831 ­ 1916) – немецкий математик. мы говорим, что такое подмножество – истинное подмножество и применяем в записи  знак истинного подмножества  . R D Подмножество можно нарисовать так: D Сколько подмножеств может иметь множество? R Это зависит от числа элементов множества.   Чем больше элементов, тем больше и подмножеств. Если выписать все подмножества любого множества, то надо начинать с пустого множества, так как оно является подмножеством каждого  множества, затем все одночленные множества, дальше двухчленные подмножества,  трёхчленные ... и т. д. и, наконец, всё множество, которое является подмножеством самого себя. Например: S = {а, b, с}, то его подмножествами являются.  с}; {b, с}; {а, b, с}.  Всего восемь подмножеств. Ǿ ; {а}; { b}; {с}; {а, b}; {а,  3. Пересечение множеств. Рассмотрим пересечение двух прямых линий.    Место пересечения точка. К какой линии из двух прямых отнести эту точку? И к той и к другой, поскольку речь идёт об общей точке. Так и у множеств. Возьмём два множества: А = {1,2,3,4,5,6}, В = {5,6,7,8,9} Общими у них являются элементы 5 и 6. Следовательно, пересечение этих множеств – является   множество {5,6}(Приложение 1). Для  записи  пересечения  множеств  математики  ввели новый знак похожий на прокинутую вниз головой большую латинскую букву U. Вот таким образом    . Запишем наше пересечение на языке математики: А  В = {1,2,3,4,5,6} {5,6,7,8,9} = {5,6}  Приведём соответствующее определение: Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех, и только тех, элементов, которые входят и во множество А, и во множество В. Покажем, как это записывается «математической стенографией» А  В = {х |  х А   и   х В } 4. Объединение множеств.   Знак   объединения   напоминает   латинскую   букву  U  и   выглядит   так.   Возьмём   два множества: А = {1, 2, 3, 4}, В = {4, 5, 6, 7} Результатом их объединения будет. А    В ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Объединением двух множеств А и В называется множество, которое образуют все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В. Напишем это определение на языке математики: A  B  = { X | X A   И Л И   X   В}  Это   следует   читать   так:   объединением   множеств   А   и   В   является   множество, состоящее из элементов х, обладающих свойством : х является элементом множества А или множества В. }(Приложение 2). 1. Для любого множества А выполняются равенства: А   А  = А;     А    А = А. 2. Пересечение   любых   множеств   А   и   В   включается   в   каждое   из   них,   а каждое из этих множеств включается в их объединение: A    В   А;        А   А    В. 3. Для   любых   множеств   А   и   В,   где   А   есть   подмножество   множества   В, их   пересечение   равно   более   узкому   подмножеству, более широкому   из них.   а   объединение А    В = А;       А  В  = В       5. Дополнение множеств. Познакомившись   с   пересечением   и   объединением   множеств,       можно   легко определить   их   дополнение,   или   разность   (различие)   множеств.   Познакомимся   с обозначением дополнения. Оно напоминает обычный знак минус, только несколько длиннее и лежит наклонно. Вот так « \ ». Например: Возьмём два множества   А = {1, 2, 3, 4, 5} и  В = {4, 5, 6, 7} Их разность будет:{1, 2, 3, 4, 5}  \ {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}или  А \ В = {1,2,3}  Это новое множество получилось так: взяли те элементы первого множества,  которые не включены во второе. Разностью   множеств   или   дополнением   элементов   множества   В   до   А является множество, которое составляют элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Напишем это определение на языке математики: А \ В  = { х \   х А   и   х В }  Прочитаем   запись:   «Разность   множеств   А   и   В   является   множеством   состоящим   из элементов х, обладающих свойством: х является элементом множества А и не является элементом множества В».  6. «Отображения» множеств. Познакомимся   с   одним   из   самых   важных   понятий   современной   математики,   которое является её краеугольным камнем, ­  понятием отображения. Начнём с примера: Представьте себе множество мальчиков. Естественно, что у каждого из них должно быть имя. Приложение 3 Вся эта операция и называется отображением, поскольку каждому  элементу одного множества ставится в соответствие элементы другого. Взять отображения: множества   государств   на   множество   их   столиц;   множества   школ   на   множество   их директоров; множество учащихся нашей школы на множество классов; множества домов на множество жильцов. Что в этих примерах общего? 1. Речь   идёт   о   двух   множествах.   Назовём   их   начальным   (входным)   и  завершающим (выходным) множеством. 2. Известна   операция,   при   помощи   которой   можно   отобразить   одно   множество   на другое, т. е. задан способ присоединения элементов одного множества к элементам другого. При отображении множеств всегда надо иметь: а) два множества, начальное А и завершающее В; б) знать операцию, или правило, при помощи которого элементам одного множества  ставят в соответствие элементы второго множества. Элементы входного множества А называются независимой переменной, а элементы  выходного множества В – зависимой. Правило, при помощи которого элементы входного  множества отображаются на элементы выходного множества, обозначается буквой   f 7. «Пары».   Можно взять любые два числа, они и составят пару. Парами могут быть не только числа, но и буквы. Вот несколько пар: 4,8; 7,5;   n,m; R,Q; x, у. Можно записать по другому: 8,4;  5,7;   n,m;   Q,R;  у, x. Но в математике часто имеет значение последовательность записи объектов пары, т. е. какой   объект   стоит   первым,   а   какой   вторым.   В   таком   случае   говорят,   что   пара упорядочена. Приложение 4 Пример,   который   хорошо   отражает   применение   упорядоченных   пар,   –       система координат.   Система   координат   состоит   из   двух   числовых   осей.   Если   эти       две       оси взаимно   перпендикулярны,   то   такая   система   координат называется прямоугольной.   координат – это начало новой эры в математике. 8  .   Прямое произведение множеств.   Определение произведения: «Прямое произведение множеств А и В есть множество всех упорядоченных пар (a,b), в котором а является элементом множества А   и   b   элементом множества В» Приложение 5.  Запишем на языке математики: А В = { а , b \ а   А и b В }   Прямое произведение множеств А и В, есть множество всех упорядоченных  пар  а  и  b, обладающих свойством, согласно которому   а —  элемент множества  А и    b  —  элемент множества В. Глава IV. Исследование демографического и социального положения жителей с. Салемал 1.            Возрастной состав населения и обеспеченность работой. Приложение 6 2.         По предприятиям выяснить количество жителей села, работающих на данное время. Приложение 7 3.       Установить количество детей в  школе. Приложение 8 4. Выяснить   количество   пенсионеров   в   селе   работающих   и   не   работающих. Приложение 9  Количество жителей на каждой улице.  Приложение 10 5. 6. Собрать сведения об учащихся и дошкольниках. Приложение 11 __________________________________________________________________________________ Таблицы и схемы составлены по данным статистики на 1.01. 2013г администрации сельского  поселения и администрации   Глава V. Заключение   Заканчивая работу, я выяснила, что: «Множества» одно из интереснейших открытий в математике. Оно дало возможность изучать бесконечности и математические пространства. С помощью обозначений принятых в теории множеств, можно кратко записывать большие определения.   С помощью множеств можно исследовать проблемы села и школы,  прогнозировать   и составлять планы.   Литература: 1 .   Использованы материалы проекта «Бесконечность и множества»  Шалыгиной Юлии, ученицы 6 класса МОУ «Будаговская средняя общеобразовательная школа». Руководитель:  Калаш   Г.В.,   учитель   математики  МОУ   «Будаговская   средняя общеобразовательная школа» 2.   Б.А. Кордемский   А. А. Ахадов «Удивительный мир чисел»  Просвещение» Москва 1986г. 3.  Е.В.Галкин «Нестандартные задачи по математике» Просвещение» Москва 1996г. 4.  Е.В.Галкин «Задачи логического характера» «Учебная литература» Москва 1996г. 5. Златко Шпорер  «Ох, эта математика» «Педагогика» Москва 1985г. 6. И.Ф. Шарыгин А.В. Шевкин Математика 5­6 «Задачи на смекалку» Москва 1995 г 7.Н.Я. Виленкин, И.Я. Депман «За страницами учебника математики» Москва Просвещение 1989г 8. Л.Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» Москва Просвещение 1990г 9. Статистические данные Администрации Салемальского сельского  совета.   Салемал 1.01. 2013г 10. Статистические   данные     МКУОШИ  «Салемальская   школа   –   интернат   среднего (полного) общего образования» Салемал 1.01. 2013г. 11