Исследовательская работа "Квадратное уравнение"

Муниципальное общеобразовательное  учреждение средняя общеобразовательная школа №22 ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ  РАБОТА «КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ВСЁ, ВСЁ, ВСЁ…»                                                  Руководитель:      Михайлова Л.Б.                                                                         Выполнил :                ученик   8  класса А Масюков Никита                                                                              0 г.  Иркутск 2010 г. Содержание. I. История развития квадратных уравнений ……………………….2   1.Сказка про квадратные уравнения …………………………………...2   2. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………..8   3. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………...9   4. Квадратные уравнения в Индии……………………………………...10   5. Квадратные уравнения у ал­ Хорезми ………………………………11   6. Квадратные уравнения в Европе XIII ­ XVII вв………………..........12   7.Франсуа Виет(Биография)……………………………………………..12    8. О теореме Виета ……………………………………………………….15 II. Способы решения квадратных уравнений ……………………….16 1. Способ…………………………………………………………………16 2. Способ…………………………………………………………………16 3. Способ…………………………………………………………………17 4. Способ………………………………………………………………....18 5. Способ………………………………………………………………....19 6. Способ………………………………………………………………...20 7. Способ………………………………………………………………...21 8. Способ………………………………………………………………...22 9. Способ………………………………………………………………...24 10.Способ………………………………………………………………...25 III. Заключение…………………………………………………..............27  Литература……………………………………………………………….28 1 Введение  Сказка про квадратные уравнения. О математика. В веках овеяна ты славой, Светило всех земных светил. Тебя царицей величавой  Недаром Гаусс окрестил. Строга, логична, величава,  Стройна в полете, как стрела, Твоя немеркнущая слава В веках бессмертье обрела. Мы славим разум человека,  Дела его волшебных рук, Надежду нынешнего века,  Царицу всех земных наук. Поведать мы сегодня вам хотим Историю возникновения  Того, что каждый школьник должен знать –  Историю квадратных уравнений. Появляются Франсуа Виет и Хранитель ЗУН. Хранитель: “Вы принесли?” Виет: (Держит в руках рукопись). “Да, конечно. Вот, но прежде чем уйти,  скажите, зачем вам это решение?” Хранитель: “Хорошо. Все дело в этом”. (Показывает кольцо). Виет: “Кольцо?” Хранитель: “На нем магические руны, подарок Зевса, знак могущества в науке.  Послушай, ведь у каждого народа есть легенды и мифы о подвигах героев  древних. Они служили и богам, и людям. О них слагали мифы, в балладах их  прославляли барды всех времен, одни в сравнениях явили доблесть, другие в  мирных состязаниях Олимпа. Я расскажу Вам о великих магах чисел, которые  во славу своего народа, нашли решение задачи непростой. Все началось со спора 2 меж богами. По приглашению Зевса они собрались, чтобы выяснить, чей народ  достоин называться лучшим в мире чисел.” Звучат фанфары, выходят девочки с факелами, выходят все боги. Зевс: “Приветствую Вас, братья и сестры! Сегодня мы узнаем, чей народ  достоин называться лучшим в мире чисел. Готовы вы представить своих героев,  которые постигли квадратных уравнений суть?” Все боги: “Готовы!” Зевс: “Тянем жребий!” (Выносят чашу с палочками для жребия). Зевс: “Ну что ж, кто первый?” Бог Египта: “Я, так выпал жребий! Я приглашаю Вас к себе в Египет!” Богиня Индии: “Потом уж в Индию, мой математик ждет нас!” Бог Китая: “Потом направимся в Китай!” Бог арабов: “Ну а ты, Зевс, покажешь, как греки решали уравнения?” Зевс: “Конечно, когда вернемся, а теперь не будем медлить и в путь!” (Все боги уходят) Звучат фанфары. Ведущий выносит таблицу “Древний Египет”. Исполняется  египетский танец. Выносят плакат две египтянки. Выходит математик Египта и  объясняет задачу. Математик: “О великий Осирис! Мы смогли решить квадратное уравнение и  решение его сейчас покажем. Вот поле площадью 12. Нам нужно определить его  стороны. Пусть х будет длина, тогда ширина будет 3/4 х, а площадь S будет  равна 3/4 х2. Разделим 12 на 3/4 и получим 16, значит х будет равен 4, это длина, а ширина равна 3, так мы и записали в папирус.” Зевс: “Отлично, но нам надо вывести правило решения этого уравнения”. Математик: “Конечно, о великий Осирис! Мы пригласили математиков из  Вавилона помочь нам в этом!” 3 Ведущий выносит табличку “Древний Вавилон”. Выходят ведущие. Звучит песня “Между Тигром и Евфратом…”: “Между Тигром и Евфратом Есть прекрасная страна. Мы живем в ней и гордимся, Что она чудес полна. Уравнения решаем, Площадь поля чтоб узнать. Днем его мы орошаем, Вечером поем опять: Это уравнения, уравнения родные, это уравнения квадратные мои”. (Песня на мотив “Коммунальная квартира” группы “Дюна”). После песни выходят математики Вавилона. Первый: “Мы вынуждены волею богов решать проблемы выживания, когда  приходится делить земельные участки или готовиться к войне, сооружая  укрепления.” Второй: “Да и в науке нынче никуда без правил решения уравнений. Ученые  Междуречья нашли это правило для решения приведенного квадратного  уравнения х2 + рх + q = 0.” Бог Египта: “Прекрасно, я вами доволен. Ваш труд достоин награды  высочайшей.” (Исполняется арабский танец). Ведущий выносит табличку “Древняя Индия”. Начинается индийский танец,  выходит бог Индии ­ Шива: Богиня Индии: “Математики Египта и Междуречья молодцы, конечно, но мой  великий народ достоин называться лучшим в мире чисел, ибо привык решать  подобные задачи, шутя, играя. Как солнце блеском своим затмевает звезды, как  священные воды Инда и Ганга орошают плодородные поля Индии, так ученый  человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая  алгебраические задачи”. (Танец продолжается) Выходят математики Индии, выносят плакат с задачей. 4 Первый: “О, богиня! Наш великий математик Бгсхара задал нам решить такую  задачу: “обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась их в квадрате часть восьмая  на поляне забавлялась””. Второй: “а двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.  сколько было обезьянок  ты скажи мне в этой стае?”. Вот смотри, составим уравнение: (х/8 )2 + 12 = х – решаем его и получаем два  корня х = 16 и х = 48”. Богиня Индии: “Да, молодцы! Весело и понятно. Интересно, чем ответят нам на это китайские мудрецы?”. Ведущий выносит табличку “Древний Китай”. Выходит бог Китая и говорит:  “Достижениями в науке славится народ Китая. Решения его задач хранятся в  девяти трактатах. О них поведает мой математик” (Исполняется китайский танец). Выходит математик Китая. Математик: “Во втором веке до нашей эры в Китае была написана математика  в пяти книгах. В этом трактате даётся объяснение, как извлечь квадратный  корень с помощью суммы квадратов двух чисел. Метод получил название “тянь­ юнь­ань”, что означает – “небесный элемент”, так у нас называют неизвестную  величину. (Китайский танец продолжается). На сцене появляется Хранитель ЗУН. Хранитель: “Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные  обладали каким­то общим правилом решения задач с неизвестными величинами.  Это правило совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом они  дошли до него. Все найденные до сих пор папирусные и клинописные тексты  приводят лишь задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, авторы их  лишь изредка снабжали их скупыми комментариями, типа: “Смотри!”, “Делай  так!”, “Ты на правильном пути” Итак, слово предоставляется Греции. (Уходит). 5 Ведущий выносит табличку “Древняя Греция”. Исполняется танец “Сиртаки”. Выходит Зевс, ведущий выносит плакат с уравнениями. Зевс: “Я расскажу вам, как составлял и решал квадратные уравнения греческий  математик Диофант. Вот, к примеру, одна из его задач: “Найти два числа, зная,  что их сумма равна 20, а их произведение 96”. Пусть первое число будет больше половины их суммы, т.е. (10+х), а второе – меньше, т.е. (10­х). Отсюда получим  уравнение (10+х)(10­х)=96. Решив его, нашли х2 =4, х=2. Первое число равно 12,  а второе 8”. (Оба уходят) Выходит хранитель ЗУН. Хранитель: “А сейчас обратим свои взоры к Средневековому Востоку.” Ведущий выносит табличку “Средневековый Восток”. Исполняется восточный  танец и разыгрывается сценка под песню С. Никитина “Хорошо жить на  Востоке”. Выходят бай и его слуга. Слуга: “Мухаммед, ты сказал, что смог придумать правило решения квадратных уравнений” Мухаммед: “Да, я составил Аль – Джебр:  При решении уравнения Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный Мы к обеим частям Равный член придадим Только с знаком другим, И найдем результат положительный” Слуга: “Какие же уравнения умеешь ты решать?” Мухаммед: “Я составил шесть видов уравнений” (показывает на плакат с  уравнениями ах2 = вх ах2 = с ах = с ах2 + с = вх 6 ах2 + вх = с вх + с = ах2) Слуга: “Ай, молодец! Есть чем похвастаться, и есть повод устроить пир!” (Оба кланяясь, уходят) Звучат фанфары, все боги выходят. Зевс: “Ну вот, мы видели решения многих, кто лучше – трудно доказать. Мое  решение: все народы достойны называться лучшими в мире чисел. Эти  достижения послужат людям и ныне, и в далеком будущем. Пусть знания,  умения и навыки Хранитель ЗУНа обратит в магические руны на кольце,  которое творенье Аполлона, его передадим грядущим поколеньям”. Богиня Индии: “Твое решение великолепно, о великий Зевс!” Бог арабов: “Мой брат, ты прав, пускай потомки преумножат достижения  великих магов чисел”. Бог Египта: “И добавят рун на золотом кольце”. Бог Китая: “Хотел бы я увидеть, как это будет!” Зевс: “Возможность есть такая, Хранитель, расскажи, что будет!” (Боги отходят в глубину сцены) Ведущий выносит табличку “Европа”. Исполняется европейский танец. Выходит математик Европы. Математик: “На развитие алгебры в Европе повлияло учение восточных  математиков, которые нашли новое решение задач. Вывод формул квадратного  уравнения есть у Франсуа Виета”. Звучит песня на мотив “Миллион алых роз”  Аллы Пугачевой: Жил математик один. Мог бы вельможей он стать. Но он науку любил, Что математикой звать. Как уравненья решать, Дискриминант не считать. Можно, подумав чуть­чуть, Корни его угадать. 7 Миллион, миллион разных задач И уравнения он мог решать Теорему он нам подарил Теоремой Виета ее звать. Выходят Хранитель ЗУН и Виет. Хранитель: “Ну вот, Франсуа, история квадратных уравнений подошла к концу. Теперь ты понимаешь, что и твое решение добавило рун на золотом кольце”. Виет: “Я думаю, твоя история, Хранитель, позволяет лучше понять роль  математики в развитии человеческого общества”. Хранитель: “Галилео Галилей говорил, что Великая книга природы написана  языком математики” Виет: “И великие математики всех времен и народов вписывают новые строки в эту книгу”. (Выходят все участники спектакля) Звучит песня на мотив “Синяя птица” группы “Машина времени”: Мы в такие ходили дали, Что не очень­то и дойдешь. Уравнения мы решали, Не взирая на снег и дождь. Но откуда они появились Пусть история даст ответ. Мы ­ охотники за удачей И преграды нам в науке нет. Уравнения мы решаем. Сразу многое не поймешь. Но учитель нам помогает И до цели своей дойдешь. Математика – вот наука. Развивает она умы. Не страшна никакая скука, Коль задачи все решены. 2. Квадратное уравнение. Основные определения 8 Квадратным   называется   уравнение   вида   действительные числа и а 0.      Если а =1, то квадратное уравнение x2+bx+c=0, называют приведённым,      если а 1 – ax2+bx+c=0 называют неприведённым.       Если в квадратном уравнении ах2+bх +с=0 хотя бы один из коэффициентов b  ax2+bx+c=0,  где  a,b,c  – или   с   равен   нулю,   то   такое   уравнение   называют   неполным   квадратным уравнением.     Например:     Если b = 0        Если b = 0, с = 0  Если  с = 0 ах2 + с = 0, Неполное   квадратное ах2 = 0, уравнение   этого   вида имеет два корня:         ­   если ­  ас /  и  ,   ас / с 0, и не имеет  а с 0.  а корней, если ­ Решают такие уравнения,  сводя их к уравнениям  вида х2 = m. Примеры: 1)6х2 – 6 = 0; 2) 6х2 + 6 = 0 Примеры: 6х2 = 0, ­0,7х2 = 0 ах2  +  bх = 0,  Неполное квадратное   уравнение этого   вида   имеет   два корня: b . Такие           0 и ­ a уравнения обычно  решают разложением его левой части на  множители:  х(ах + b) = 0, х = 0 или ах + b = 0,                  ах = ­b,                  х= ­ b /а. Примеры: 2х2 + 4х = 0, ­7х2  + 14х = 0, 6х2 – 0,8х = 0, ­ 0,256х2 – 0,8х = 0                  3. История возникновения квадратного трехчлена             Рассмотрим,  исторические   корни   квадратного   трехчлена,  имена   каких ученых математиков связаны с данной темой. 9 Первые   задачи,   приводящие   к   квадратным   уравнениям,   появились   в глубокой   древности   в   Египте,   Вавилоне,   Китае   вместе   с   зарождением земледелия. 3.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне и Египте. Второе тысячелетие до нашей эры. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в  древности  была вызвана  потребностью  решать  задачи,  связанные  с  нахождением  площадей   земельных  участков  и  с  земляными   работами  военного характера, а также  с  развитием  астрономии  и  самой  математики.  Квадратные  уравнения  умели  решать около  2000  лет  до н. э.  вавилоняне. Применяя современную алгебраическую  запись,  можно  сказать, что  в  их  клинописных текстах встречаются, кроме неполных,  и такие, например, полные  квадратные уравнения: X2 + X = ¾;  X2 ­ X = 14,5   Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах,  совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом  дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор  клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде  рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.        Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа   и общие методы решения квадратных уравнений. 10 скобки, приведём  подобные. Получится  квадратное уравнение х2 – 29х + 210 = 0. Вычислим  дискриминант: D=(­ 29 )2 – 210= 2 1 . ­ 210= 4 841   4 И наконец, найдём  корни: 29  ; 1 х1,2= 2 2 х1=15,х2=14. Итак, мы получили два  различных значения  длины поля: 15 и 14. Используя формулу  у = 27 – х, вычисляем ширину поля: у1=27 – 15 =12, у2=27 – 14= 13 и его площадь: S1=15 12=180, S2=14 13 = 182.  Древний математик  также получил в  процессе вычисления числа 15 и 14. Но он  взял для длины  только 15 и написал,  что истинная ширина 12, а площадь 180.  Мы же нашли ещё  одно решение: длина  14, ширина 13,  площадь 182.   ЗАДАЧА ИЗ  ВАВИЛОНСКОЙ  ТАБЛИЧКИ «Я сложил длину и ширину,  полу чил 27.Избыток длины над  шириной я прибавил к  площади поля и получил 183. Найди длину, ширину и  площадь».    Пусть х – длина, у –  ширина. Получаем систему  уравнений х + у = 27, (х – у) +ху = 183. Из первого уравнения  находим у=27­х. Подставим  это выражение во  второе уравнение,  раскроем Огромный   шаг   вперёд   по   сравнению   с   математикой   Египта   сделали   учёные Междуречья.   Они   нашли   правило   для   решения   приведённого   квадратного уравнения x2+px+q=0, где  p  и   q – любые действительные числа.                  В одной из вавилонских задач также требовалось определить длину прямоугольного поля (обозначим её х) и его ширину (y):                    «Сложив длину и две ширины прямоугольного                     поля,   получишь 14,а площадь поля 24.                     Найди его стороны». Составим систему уравнений:                                 x+2y=14,                   x y=24.             11 Из второго уравнения находим y= 24   и подставляем в первое уравнение: x 48 =14. х x+        Отсюда получаем квадратное уравнение   x2­14x+48=0.        Для его решения прибавим  к выражению x2­14x некоторое число, чтобы  получить полный квадрат: x2 – 14x = x2 ­ 2  7 x  +7 2­ 7 2= ( x – 7 ) 2 – 49        Теперь уравнение можно записать так:  (x – 7)2 – 49 + 48 = 0,или (x – 7)2 = 1.         Мы пришли к квадратному уравнению, которое умели решать и египтяне. Не зная отрицательных чисел, древние математики получали  x  – 7 = 1,  x=8. Следовательно, y = 24/8 = 3. То есть длина поля равна 8, а ширина 3.       Вообще же квадратное уравнение (x – 7)2=1 имеет два корня: 1. x – 7 = 1 , откуда x=8, y=3; 2. x – 7 = ­1, откуда x = 6, y = 24/6=4. Заметим,   что   в   вавилонском   тексте   сказано,   как   надо   делать,   но   вовсе   не объяснено, почему надо делать именно так, а не иначе. Обычно древние мудрецы и не отвечали на вопрос «почему?». 3.2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения. III  в.   –   древнегреческий   математик   Диофант   в   основном   своем   труде «Арифметика»   дал   решение   задач,   приводящих   к   так   называемым диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.  В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых  объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.        При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело  выбирает неизвестные.         Вот, к примеру, одна из его задач : «Найти два числа, зная, что их сумма  равна 20, а произведение ­ 96»         Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что  искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение  12 равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины  их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 ­ х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: или же: (10 + х)(10 ­ х) = 96 100 ­ х2 = 96                                                 х2 ­ 4 = 0                                             (1) Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = ­2 для  Диофанта не существует, так как греческая математика знала только  положительные числа.         Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из  искомых чисел, то мы придем к решению уравнения у(20 ­ у) = 96,                                у2 ­ 20у + 96 = 0.                            (2)         Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел,  Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного  квадратного уравнения (1). Первое тысячелетие нашей эры. Примерно   I  вв. – Герон Александрийский своими трудами по механике и математике   связал   математику   с   практикой,   дал   способы   измерения площадей (формула Герона), извлечения квадратного корня из рациональных чисел,   советы   по   нахождению   объемов   и   решению   задачи   об   извлечении кубического корня. Первая половина IX в. – среднеазиатский ученый Мухаммед Бен Мусса аль Хорезми создает основополагающие трактаты по арифметике и алгебры. В «Краткой   книге   об   исчислении   алгебры   и   алмукабалы»   впервые   произвел классификацию уравнений, указав пять видов квадратных уравнений: 1)   «квадраты равны корням», что в современной записи означает: ах2 = bх; 13 2) «квадраты равны числу», т.е.                                          ах2 = с; 3) «квадраты и корни равны числу», т.е.                                          ах2 + bх = с; 4) «квадраты и числа равны корням», т.е.                                          ах2 +с = bх;                    5) «корни и числа равны квадратам», т.е.                                          bх + с=ах2 . 3.3 Квадратные уравнения в Индии.        Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом  тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и  астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.),  изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой  канонической форме:                      ах2 + bх = с, а > 0.                                  (1)        В уравнении (1) коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными.  Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.        В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении  трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу  таких  соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды,  так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и  решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.       Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.  «Обезьянок резвых стая                        А двенадцать по лианам… Власть поевши, развлекалась.              Стали прыгать, повисая… Их в квадрате часть восьмая                 Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась.                         Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).                                          Соответствующее задаче 13 уравнение: Бхаскара пишет под видом: (x/8)2 + 12 = x 14 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к  обеим частям 322, получая затем: х2 ­ 64х = ­768 х2 ­ 64х + 322 = ­768 + 1024, (х ­ 32)2 = 256, х ­ 32 = ± 16, х1 = 16,  х2 = 48. 3.4 Квадратные уравнения у ал ­ Хорезми.       В алгебраическом трактате ал ­ Хорезми дается классификация линейных и  квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их  следующим образом:  1) «Квадраты равны корнями», т.е.  ах2 + с = bх.                            2) «Квадраты равны числу», т.е.  ах2 = с.                           3) «Корни равны числу», т.е.  ах = с.           4) «Квадраты и числа равны корням», т.е.  ах2 + с = bх.      5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.         6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.  bx + с = ах2.          Для ал ­ Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены  каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не  берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор  излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал ­ джабр и ал ­ мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при  решении неполного квадратного уравнения первого вида  ал ­ Хорезми,  как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения,  вероятно, потому,  что в конкретных практических задачах оно не имеет  значения. При решении полных квадратных уравнений ал ­ Хорезми на частных  числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические  доказательства.          Приведем пример:  Задача:  «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»                        (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь   5,  умножишь  5  само  на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый  корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. 15 Трактат ал ­ Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой  систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны  формулы их решения. 3.5. Квадратные уравнения в Европе XIII ­ XVII вв.     Второе тысячелетие нашей эры.  Конец XV в. – Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила арифметический   действий,   решения   некоторых   алгебраический уравнений,   их   приложения   к   геометрии,   теорию   геометрических пропорций.  1591   г.   –   французский   математик   Франсуа   Виет   ввел   буквенные обозначения не только неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.  В   «Арифметике»   ­   в   первом   русском   печатном   руководстве   по математике   квадратные   уравнения   выглядели   так:   неизвестная обозначалась   «R»    Rаdiх (радикс­«корень»);   квадрат   неизвестной   – «q  »  (первая   буква   слова   (первая   буква   латинского   слова quadratum  –   «квадрат»);   знак   сложения   «   »   ­   знак   больше;   знак вычитания   «   »   ­   был   знак   меньше.   Автором   руководства,   этой энциклопедии   математических   знаний   того   времени,   был   Леонтий Филиппович   Магницкий   (1669­173910.   Уравнение   х2  –   5х   =   х+2   в символике Л.Ф.Магницкого  выглядело так    q  ­ 5R = R  2.         Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал ­ Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским  математиком Леонардо Фибоначчи.  Этот объемистый труд, в котором  отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции,  отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал  самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и  первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга  способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги  16 абака» переходили почти во все европейские учебники XVI ­ XVII вв. и  частично XVIII.         Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому  каноническому виду: х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было  сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.        Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у  Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские  математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают,  помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря  труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных  уравнений принимает современный вид. 4. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ПОЛНЫХ  КВАДРАТНЫХ  УРАВНЕНИЙ 4.1 Решение приведенных квадратных уравнений. Теорема Виета Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и  его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.  следующим образом: «Если B + D,  умноженное на A ­ A2, равно BD, то A  равно  В и равно D».  Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая  гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D ­  коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры  вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место т.е.  х2 ­ (а + b)х + аb = 0,то   х1 = а,  х2 = b. (а + b)х ­ х2 = ab,                Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими   формулами,   записанными   с   помощью   символов,   Виет   установил единообразие   в   приемах   решения   уравнений.   Однако   символика   Виета   еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при   решении   уравнений   рассматривал   лишь   случаи,   когда   все   корни положительны.          Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения x2+px+q=0, то 17 р ,    х 1 х 1  х 2  q / х 2 Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам  p и  q можно  предсказать знаки корней).      а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то  уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго  коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба  корня положительны.        Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2  и  x2 = 1, так как q = 2 > 0 и  p = ­ 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = ­ 7  и  x2 = ­ 1,  так как q = 7 > 0  и  p= 8 > 0.        б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0),  то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю  корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .          Например,  x2 + 4x – 5 = 0; x1 = ­ 5 и x2 = 1,  так как  q= ­ 5 < 0  и  p = 4 > 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1  = 9  и x2 = ­ 1, так как q = ­ 9 < 0  и p = ­ 8 < 0.  4.2 Неприведённое квадратное уравнение         Неприведённое  квадратное уравнение имеет вид: ax2+bx+c=0, a 0, b  =0, x a после деления на а превращается в приведённое уравнение  x2+ c a Дискриминант неприведённого  уравнения равен D = b2 ­ 4ac.       Теорема Виета для неприведённого уравнения звучит так: Если х1 и х2 – корни квадратного    уравнения ax2+bx+c=0, то х1+х2 = ­b/a, а х1  х2=с/а.          При решении квадратных уравнений имеет смысл различать три случая – в зависимости от знака дискриминанта.           При D < 0 уравнение не имеет корней. 18 При D > 0 оно имеет два различных корня х1 и х2, которые находятся по формулам   x 1  b  2 a D    ; x 2  D  b  2 a           При  D=0 уравнение имеет два равных корня x1=x2=­ b a 2 .                                             Обратим внимание ещё на одно интересное соотношение – дискриминант уравнения равен квадрату разности его корней : D=(x1 ­x2)2.                  Исследование знаков корней квадратного трехчлена (квадратного уравнения).  Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений D=b2 ­4ас  0, х1 х2= с/а > 0,  при этом оба корня будут положительными, если дополнительно выполняется  условие  х1 +х2 = ­ b/а > 0; и оба корня будут отрицательны, если х1 +х2 = ­ b/а  <  0; Теорема   2.  Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения х1 х2= с/а < 0.               При   использовании   теоремы   2   нет   необходимости   проверять   знак дискриминанта.   Действительно,   так   как   с/а   <     0,   то   са   <     0,   поэтому дискриминант D=b2 ­4ас будет положительным.   Приведем следующую табличку для распознания знаков корней.             Знаки коэффициентов c<0 b>0 a > 0 a > 0 b> 0 c<0 Знаки корней Разные: больший по абсолютной величине отрицателен Разные: больший по абсолютной величине положителен 19 a > 0 a> 0 b>0 b < 0 c > 0 c > 0 Одинаковые: оба отрицательные Одинаковые: оба положительные                                                                                                                                           Пользуясь этой зависимостью корней и коэффициентов  квадратного уравнения, можно всегда составить такое уравнение, оба корня которого неизвестны.            Квадратные уравнения ­ это фундамент, на котором покоится величественное  здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при  решении тригонометрических, показательных, логарифмических,  иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем  решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.          В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных  уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.  Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые  позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется  десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я  разобрал каждый из них. О первых двух способах я рассказал выше: это теорема Виета и решение квадратных уравнений по формуле.      3 СПОСОБ  Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х ­ 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 + 10х ­ 24 = х2 + 12х ­ 2х ­ 24 = х(х + 12) ­ 2(х + 12) = (х + 12)(х ­ 2).     Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х ­ 2) = 0     Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его  множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х  = 2, а также при х = ­ 12. Это означает, что число 2 и ­ 12 являются корнями  уравнения х2 + 10х ­ 24 = 0.  4 СПОСОБ  Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х ­ 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. 20 Для этого запишем выражение х2 + 6х  в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2• х • 3. В полученном выражении первое слагаемое ­ квадрат числа х, а второе ­  удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат,  нужно прибавить 32, так как х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х ­ 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6х ­ 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 ­ 32 ­ 7 = (х + 3)2 ­ 9 ­ 7 = (х + 3)2 ­ 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 ­ 16 =0,  (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 ­ 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = ­4, х2 = ­7.     5 СПОСОБ  Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению  у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а  и  х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а  умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его  называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко  найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда  дискриминант есть точный квадрат.          • Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. 21 Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате  получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у1 = 5                х1 = 5/2         x1 = 2,5                                        у2 = 6                x2 = 6/2         x2 = 3. Ответ: 2,5; 3. 6 СПОСОБ Свойства коэффициентов квадратного уравнения. А. Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,  х2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное  квадратное уравнение x2 + b/a • x + c/a = 0.  Согласно теореме Виета x1 + x2 = ­ b/a,                                                         x1x2 = 1• c/a.  По условию а – b +  с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x1 + x2 = ­ а + b/a= ­1 – c/a,                                              x1x2  = ­ 1• ( ­ c/a), т.е. х1 = ­1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать. • Примеры. 1) Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то  х1 = 1,      х2 = c/a = ­208/345. Ответ: 1; ­208/345. 2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так как  а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то  х1 = 1,    х2 = c/a = 115/132. Ответ: 1; 115/132. 22 Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней • Пример.  Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.  Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7; D = k2 – ac = (­ 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня; Ответ: 2; 8/3 В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому  для приведенного квадратного уравнения формула корней  принимает вид:  Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число. • Пример.  Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0. Решение. Имеем: х1,2 Ответ: х1 = 15; х2 = ­1. =7±   7 СПОСОБ Графическое решение квадратного уравнения.  23 Если в уравнении  х2 +  px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = ­ px ­ q.  Построим графики зависимости у = х2 и у = ­ px ­ q.       График первой зависимости ­ парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости ­  прямая (рис.1). Возможны следующие случаи: ­ прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,  абсциссы точек пересечения являются корнями квад­ ратного уравнения; ­ прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; ­ прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. • Примеры.  1) Решим графически уравнение х2 ­ 3х ­ 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую  у = 3х + 4  можно  построить по двум точкам М (0; 4) и  N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках  А и В с абсциссами х1 = ­ 1 и х2  = 4. Ответ: х1 = ­ 1;   х2  = 4.  2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 ­ 2х + 1 = 0.  Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х ­ 1.          Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х ­ 1.  Прямую у = 2х ­ 1 построим по двум точкам М (0; ­ 1)  и N(1/2; 0).  Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1. 3) Решим графически уравнение х2 ­ 2х + 5 = 0 (рис. 4).  Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х ­ 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х ­ 5. Прямую у = 2х ­ 5 построим по двум точкам М(0; ­ 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение х2 ­ 2х + 5 = 0 корней не имеет. 24 8 СПОСОБ Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и                                                       линейки.               Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы  неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при  этом степень точности получаемых результатов невелика.        Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного    уравнения    ах2  + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).        Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 ­ корни уравнения   ах2  + bх + с = 0,  и  проходит  через  точки А(0; 1) и С(0; c/a) на  оси  ординат.  Тогда по теореме о секущих  имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB •  OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK,  восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому Итак: 1) построим точки  2) проведем окружность с радиусом SA; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями  исходного квадратного уравнения.       (центр окружности) и A(0; 1); При этом возможны три случая. 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или  R > a + c/2a),   окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 ­ корни квадратного уравнения  ах2  + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра  (AS = SB, или R = a + c/2a),  окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 ­ корень  квадратного уравнения.  3) Радиус окружности меньше ординаты центра                                       25 окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае  уравнение не имеет решения.                                • Пример.  Решим уравнение  х2 ­ 2х ­ 3 = 0  (рис. 7). Решение. Определим координаты  точки центра окружности по формулам:  Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1). Ответ: х1 = ­ 1; х2 = 3. 9 СПОСОБ Решение квадратных уравнений с помощью                                                        номограммы.            Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных  уравнений, помещенный  на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные  математические таблицы. ­ М., Просвещение, 1990).       Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта  номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен­ 26 там определить корни уравнения.       Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):      Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия   треугольников  САН  и  CDF получим  пропорцию                   откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение   z2 + pz + q = 0, причем буква   z   означает метку любой точки криволинейной шкалы. • Примеры. 1) Для уравнения z2 ­ 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0  и  z2 = 1,0 (рис.12).  2) Решим  с  помощью  номограммы   уравнение  2z2 ­ 9z + 2 = 0. Разделим  коэффициенты  этого уравнения на 2,  получим уравнение z2 ­ 4,5z + 1 = 0.  Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5. 3) Для уравнения  z2 ­ 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q  выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,  получим уравнение t2 ­ 5t + 2,64 = 0,  которое решаем посредством номограммы и получим  t1 = 0,6  и  t2 = 4,4,   откуда z1 = 5t1 = 3,0  и z2 = 5t2 = 22,0. 10 СПОСОБ Геометрический способ решения квадратных                                                            уравнений.             В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные  уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший  знаменитым пример из «Алгебры» ал ­ Хорезми. 27 • Примеры.       1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.       В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и  десять корней равны 39» (рис.15).        Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся  прямоугольники  так,  что  другая  сторона   каждого   из   них    равна  2,5,  следовательно,  площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют  затем до нового квадрата ABCD, достраивая в  углах четыре равных квадрата ,  сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.       Площадь  S  квадрата  ABCD  можно  представить  как сумму  площадей:  первоначального  квадрата   х2,  четырех  прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и  четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S =  39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона  квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального  квадрата получим 2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у ­ 16 = 0. Решение представлено на рис. 16, где  у2 + 6у = 16, или  у2 + 6у + 9 = 16 + 9.  Решение. Выражения  у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой  один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у ­ 16 + 9 ­ 9 = 0 ­ одно и то  же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = ­ 8 (рис.16). 28 3) Решить геометрически уравнение у2 ­  6у ­ 16 = 0. Преобразуя уравнение, получаем у2 ­  6у = 16.        На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 ­  6у, т.е. из площади  квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной,  равной 3. Значит, если к выражению у2 ­  6у  прибавить 9, то получим площадь  квадрата со стороной  у  ­ 3. Заменяя выражение у2 ­  6у  равным ему числом 16, получаем: (у ­ 3)2 = 16 + 9, т.е. у ­ 3 = ± √25, или у ­ 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = ­ 2. 11 СПОСОБ    Из   геометрического   метода   нахождения   квадратных   корней вытекает любопытнейший способ решения квадратных уравнений. Рассмотрим его на нескольких примерах.     Пусть надо решить уравнение: х2+10х+9=0. Рисунок 3.     29 Выполним следующее построение (рис.3). Сначала по катету ВС= q = 9   =4. А теперь радиусом, равным =3 и гипотенузе  АВ = 3*35*5 2)2/   = p q  ( р/2=5, проведем окружность с центром в точке А. Она пересечет продолжение катета АС в двух точках ,которые обозначим D и Е. Заметим, что отрезок DC составлен из АС= разность   отрезков   АЕ=р/2=5   и   АС= =4 и AD=р/2=5, т.е. DC=9=х1. Отрезок же  СЕ есть =4,   т.е.   отрезок   СЕ=1=х2. 2)2/ 2)2/ q р q р ( ( Почему   так   хорошо   получилось?   Да   потому,   что   отрезок   ВС   есть   корень квадратный из произведения отрезков х1 и х2.       Итак,   получился   такой   порядок.   Сначала,   имея   уравнение   х2+px+q=0,   построим   отрезки   р/2   и q .   Это   всегда   можно   сделать.   Начнем   строить прямоугольный треугольник по двум отрезкам – гипотенузе и катету. Сначала отложим   катет,   равный   q .   Это   тоже   всегда   получится.   Возьмем   теперь раствор циркуля, равный р/2, ножку циркуля поместим в точку В и проведем дугу окружности , чтобы получить точку А. А вот это получится далеко не всегда! Если катет   q   больше гипотенузы р/2, то треугольника не построить. Иначе можно сказать, что если  q р/2, то р2/4 – q – дискриминант квадратного уравнения, отрицателен, такое уравнение решений не имеет.     Но если р 0? А ничего особенного – лишь бы q было положительным числом, а все остальное делается одинаково и для р 0, и для р 0. Надо тока знать, какие знаки приписать числам, выражающим длины отрезков СЕ и ВС.      В случае, когда перед  q стоит знак минус, построение производится иначе, здесь старый рисунок нам уже не поможет.         Итак,   пусть   дано   уравнение:     х2+8х­9=0.           Построим   прямоугольный треугольник   АВС   с   катетами   ВС= q =3   и   АС= p =4.   Его   гипотеза   АВ   по 2 теореме Пифагора  ( p 2 2) q =5. Заметим сразу, что такое построение возможно всегда, тут нет каких­либо исключений. 30 Рисунок 2.        А теперь радиусом  p =4 проведем окружность с центром в точке А, она 2 пересечет гипотенузу и ее продолжение в точках D и E. Нетрудно убедиться – на этот раз вы сделаете это сами, что DВ=|х1|, а ВЕ=|х2|/ знак модуля поставлен для   того,   чтобы   можно   было   рассматривать   эту   задачу   и   для  p 0,   но   над знаками корней все же придется подумать.      Конечно, решать уравнение по формуле проще, чем выполнять эти  замысловатые построения. Но нам интересно отметить сейчас важный факт:  квадратные уравнения могут быть решены геометрическим путем. Могут быть!  Иногда в науке важно установить саму возможность решения задачи заданными  средствами или не надо – другое дело. 12 СПОСОБ   Для тех, кто уже знает, что такое синус и тангенс,   может показаться   любопытным   еще   одно   следствие   описанного   геометрического способа решения квадратных уравнений.         Сначала вернемся к рисунку 2. Обозначим буквой  угол ВАС. Соединим Е и С и рассмотрим треугольник ЕВС. В нем угол ВЕС=  2  ( почему?), а угол ВСЕ составляет   90+   2 . 31 Значит, по теореме синусов: | х 2 | sin( 90   ) 2   q  2 sin .  =   Отсюда следует сразу х2= q:tg 2        Точно так же , но уже из треугольника ВСD можно вычислить         И снова по теореме синусов    sin 1 х  2  =  q sin( 90   ) 2 . х1= q*tg 2         Отметим, что мы получили совершенно особый способ решения квадратных уравнений – тригонометрический. 13 СПОСОБ Метод введения новой переменной      Позволяет легко решать уравнения четвёртой степени, имеющие вид ах4 + bх2 + с =0.             Уравнения вида  ax4  +  bx2  +  c  =0,  где а 0,  являющиеся квадратными относительно х2, называют биквадратными уравнениями.       Действительно, сделав замену x2=y,  мы получим квадратное уравнение  ay2  +  by  +  c=0,  найдём его корни  у1  и  у2, а затем и корни первоначального уравнения х1,2= у 1, х3,4= у 2. Ясно, что среди значений у1 и у2  могут быть и отрицательные, и комплексные числа, а действительные значения  х  возможны лишь при положительных значениях у.       Применённый здесь метод может быть использован более широко.            Задача  1.  Решим биквадратное уравнение 9х4 – 10х2 + 1 =0.              (1) Для   этого   введём   новую   переменную,   обозначив  х2  через  у:х2=у.  Получим квадратное уравнение с переменной у: 9у2­10у + 1=0. Решив его, найдём, что у1= 1  или х2=1. 9 Значит,   х2= 1 ,у2 =1. 9 32 Из уравнения х2= 1  находим, что  9 х1 = ­ Из уравнения х2=1, находим, что 1 , х2= 3 1 . 3 Итак, уравнение (1) имеет четыре корня: х3 =­1,х4=1. х1=­ 1 ,х2= 3 1 ,х3=­1,х4=1. 3                                  Подводя   итог,  можно   сказать,  что   об   одном   и   том   же   явлении   мы рассказали   на   трех   языках   –   алгебраическом, тригонометрическом. Еще раз подчеркнем – языки разные, а задача одна.   геометрическом   и         Рассмотрим случаи, когда вопрос будет идти об исключении корней.  Это задачи, чаще всего будут уравнениями и неравенствами с параметром. 4.4 Уравнения с параметром                 Мы   остановимся   сначала   на   одном   общем   вопросе,   связанном   с параметром. Он возникает при решении квадратных уравнений и неравенств в самом   «хорошем»   случае,­   когда   дискриминант   уравнения,   то   есть соответствующего квадратного трёхчлена является полным квадратом.   пусть, например, требуется решить уравнение                            х2 –(2а+1)х – 3а2 + 7а – 2=0.          Дискриминант этого уравнения, как нетрудно подсчитать, равен (4а­3)2  и поэтому, строго следуя формуле вычисления корней квадратного уравнения, получаем          (2а+1)    х1,2=                        2  или, более подробно, (2а+1)   (4а­3)2 4 а 3 =    2 3а­1 при а  3 , 4 х1= 2­а при а   3 , 4 х2= 33 2­а при а  3 ,                                      3а­1 при а  4 3 4        Мы видим, что корнями данного уравнения являются числа 3а­1 и 2­а, но при а  3  и при а 4 3  они по­разному занумерованы. Однако нумерация корней 4 для уравнения не играет, разумеется, никакой роли, и поэтому вполне можно записать корни уравнения в виде х1 = 3а­1; х2 = 2­а.       Обе указанные формы записи корней, таким образом правильны, но первая из них – формальное следствие общей формулы корней – неудобна, как мы увидим ниже для решения задач, а вторая формула удобна, но не согласуется с общей формулой.      Практический выход из этого «противоречия» нетрудно найти. Именно, при решении квадратного уравнения с параметром можно, вычислив дискриминант и убедившись, что он является полным квадратом, выписать значения корней во второй, более простой, форме – без знака модуля; при этом общую формулу лучше не выписывать – иначе возникнет логическое противоречие.      Заметим, однако, что при втором способе нумерации корней даже при а 0 нельзя утверждать, что корень х1 всегда  больше х2.    Мы рассмотрим один из наиболее распространённых видов задач, которые тем или   иным   образом   сводятся   к   исследованию   принадлежности   корней квадратного   трёхчлена   ограниченной   области.   Типичные   ограничения   в   этих задачах состоят в том, что 1) корни   трёхчлена   не   должны   принимать   определённые   («запрещённые») значения (их обычно конечное, и притом небольшое число); 2) корни   трёхчлена   должны   лежать   на   некотором   луче   (открытом   или замкнутом, то есть с концами включенными или исключенными); 3) корни трёхчлена должны лежать на некотором конечном промежутке.       Особо подчеркнём, что при решении задач с параметрами на самом деле идёт речь, как правило, не о проверке, удовлетворяет или не удовлетворяет 34 полученный   корень   заданным   ограничениям,   но   об   отборе   значений параметра, при которых он им удовлетворяет. Поэтому «непосредственная проверка»   часто   вообще   не  делается,  но   сам   способ   решения  «отбирает» нужные   значения   параметра   и   соответствующие   им   решения   задачи   – уравнения или неравенства.      Прежде, чем перейти к решению конкретных задач, договоримся называть для краткости «хорошими» искомые значения параметра. Остальные значения параметра   будем,   естественно,   называть   «плохими».   Правда,   в   работах «официальных»,   предназначенных   для   проверки,   эти   «термины»   лучше   не употреблять.   1.Решить уравнение         а2­1   = х                ах – 1    а             Решение. При решении  уравнений с параметрами целесообразно с самого начала указывать значения параметра, при которых уравнение имеет смысл, то есть область допустимых значений (ОДЗ) параметра, ­ знание этих значений, как правило, помогает в дальнейшем при исследовании корней.         В данном случае ОДЗ параметра условием а 0, и мы считаем далее, что а 0.    Данное уравнение очевидным образом сводится к квадратному (в силу а  0) уравнению    ах2 – х + а – а3 = 0,  для которого надо найти корни, отличные от 1/а.      Дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего в левой части полученного  D(а)=1­4а2+4а2=(2а2­1)2,  и   поэтому   корни   уравнения уравнения,   равен       1  а 2 а . х1=а, х2=                                                     Обратим   внимание   на   обозначение  D(а)   вместо   стандартного   для дискриминанта обозначения D. Дело в том, что в процессе решения уравнения с параметром  всегда приходится рассматривать различные значения а, то есть а 35 становится переменной, а дискриминант  функцией а, так что функциональное обозначение D(а), вполне естественно, напрашивается само собой.       Для   выяснения   вопроса,   отличны   ли   полученные   корни  х1  и  х2  от   «запрещённого» значения 1/а, точнее – для нахождения значений а, при которых х1 и х2 отличны от 1/а, следует решить «не – равенства»               а  1 ,      а 1  2 а а  1 а     Однако с «не – равенствами» обращаться неудобно, и поэтому лучше искать «плохие» значения параметра.  В первом случае плохими будут значения а, при которых  а = 1 ,  то есть  а = 1, во втором – значения, при которых  ,   то есть а а=0. Но а 0, так что во втором случае все значения                  параметра а – хорошие, а в первом хорошими являются все значения а, кроме1 и ­1. Другими словами, х1 является корнем исходного уравнения при а   1, а х2 – при любом а, и, таким образом, исходное уравнение имеет следующие решения:    при а  1: х1=а, х2=1­а2;                                         а    при а=1 и при а = ­1: х=0;    при остальных значениях параметра решений нет.     В связи с этим ответом отметим два обстоятельства. Во – первых, указанные в первой строчке значения х1 и х2   могут оказаться совпадающими ( при D(а)=0, то   есть   при    а2  =   1 ),   и,   во   –   вторых,   в   последней   строчке   мы   не   стали 2 специально выделять случай а=0, когда уравнение не просто не имеет решения, а вообще не имеет смысла.       Вопрос   о   правильности   такой   формы   записи   ответа   в   уравнениях   с параметрами связан с некоторыми логическими соображениями, на которых мы не будем останавливаться. Отметим только, что считается более приемлемым 36 ( а в некоторых вузах даже  и обязательным) не  допускать совпадения корней, и в данном случае ответ лучше записать в такой форме: 1    при а  1,                                                     а 2 : х1 = а, х2=1­а2; при а=1 и при  а=1: х=0,    при а =  1    при а = ­  1    при остальных значениях а решений нет. 2 :  х =  1 2 ; 2 : х = ­  1 2 ;     Преимущество этой формы записи, хотя и более длинной, состоит, например,  в том, что в ней, в отличие от первой, сразу же  очевидно число корней  уравнения. И поскольку вопрос о числе корней уравнения часто имеет  специальный интерес и фигурирует непосредственно в условии  задачи, то на  возможное совпадение корней полезно всегда обращать  внимание.      В заключение решения данного уравнения заметим, что если бы мы  воспользовались первой формой записи корней уравнения с параметром, то  получили бы х1 =1+ а2 2 ­ 1       х2=1­ а2 2­1  2а                        2а  и тогда для исследования их совпадения со значением 1/а пришлось бы решать  уравнения 1+ а2 2­1   =   1 ,  1­ а2 2­1  =  а 1 а                                               2а                        2а ­­ задача не слишком сложная, но, как видно из приведённого решения,  совершенно излишняя.  2. Решить уравнение                                              3а2 – 5а + 2   + 3а   =1.  1 2 1­х                            а х      При этих значениях имеем: 37 ,1,0 4 . 3    при а=0: х1= ­1,х2=2;    при а=1: х1=2, х2 = 1; 1 :х1 – 1,х2 =     при а = 3  Таким образом, решение данного уравнения может быть записано в виде: 3                при а  4                при а=0:  х = ­1; 2 : х =                 при а =  3 3 : х =  4               при а =                при а=1 решений нет.        Как мы уже сказали, в данном случае не менее и даже, быть может, более х1=3а­1,х2=2­а; 4 ; 3 5 : 4 2 3 : , просто   проводится   непосредственное   исследование   корней   х1  и   х2,   однако предложенный   приём   решения   оказывается   эффективным   именно   в   более сложных случаях, когда, как это чаще всего бывает, дискриминант трёхчлена не является полным квадратом и корень его «не извлекается». На наш приём  этот факт совершенно не влияет, тогда, как непосредственное исследование корней приводит в этих случаях к необходимости  решать иррациональные уравнения. Разумеется,   иррациональные   уравнения   тоже   надо   уметь   решать,   но рассмотренный приём ведёт к цели более коротким и технически более простым путём. 3. Решить уравнение 2  1 х  4  х 1  3  ах .  Решение. После необходимых преобразований мы придём к следующей задаче: найти корни квадратного уравнения 3х2 – 2(3а – 1)х – 2а + 3=0, отличные от 1, ­1 и а. Дискриминант квадратного трёхчлена f(х), стоящего в левой части уравнения, равен D (а) =4[(3а­1)2 ­3(­2а+3)] =4(9а2­8), так что  0  (D a)                         3                     3   или а 22 22 а . 38 Далее   мы   будем   рассматривать,   естественно,   только   такие   значения параметра   а,   при   которых  D(а) 0 –  при   остальных   значениях   а  квадратное уравнение решений не имеет, и тем более не имеет решений исходное уравнение.     При этих значениях параметра квадратное уравнение имеет два корня 3( а х1,2= а 2  8 , 9 )1  3 22  совпадающие при D(а)=0, то есть при а =  и при  а = ­  Вычислим значения трёхчлена f(x) в «запрещённых» точках: 3 22 3 . f (1)=­8а+8, f(­!)=4а + 4, f(а) = ­3а2 + 3. Тогда f(1) = 0   f=1. f(­1) = 0   f= ­1. f (a) = 0   f=1 или а=­1.  и поэтому при значениях а, отличных от 1 и ­1 ( и удовлетворяющих, конечно, условию D(а)  0) оба корня х1 и х2 отличны от «запрещённых» значений. Рисунок 4 Остаётся рассмотреть особые значения а=1 и а = ­1. При а = 1 имеем х1 = 1, х2 =  1/3, а при а = ­1 х1 = ­1, х2 =  ­5/3. Для записи ответа удобно воспользоваться  координатной прямой (рис.№3): при а <­1:х1,2= 3( а )1  3 9 а 2  8 ;                                         при а = ­1: х = ­ 5 ; 3 39 при  ­1 < a < ­  22 3 : х1,2= 3( а )1  3 9 а 2  8 ;                                         при а = ­  22 3 : х= ­   ; 122                                         при а = 22 3 : х= 3  ; 122 3          при  22 3 < a <1: х1,2= 3( а )1  3 9 а 2  8 ;                                         при а=1: х= 1 ; 3 при а>1: х1,2 =  3( а )1  3 9 а 2  8 ;                 при остальных значениях а решений нет. 22 3  ( Значения корней при а =   , то есть при D(а) = 0, получены из равенств  1 3 а 3 =а ­  1   при соответствующих значениях а). 3 х1,2=     Впрочем,   в   такой   подробности   записи   решения   ответа   нет   логической необходимости, и он будет менее громоздким, если объединить первую, третью, шестую и восьмую строчки и написать: при а< ­1, 1 < a < ­  22 3 3( а х1,2 =  )1  3 9 а 2  8 , . 22 3 < a <1, а>1: Для   лучшего   представления   об   эффективности   рассматриваемого   приёма решения отметим, что при решении задачи прямым путём для исследования отличия корней х1  и х2  от «запрещённых» значений нам пришлось бы решать шесть иррациональных уравнений (3а – 1)  а 9 2  =3, 8     (3а – 1)        (3а – 1)   а 9 2  8  а 9 2  = ­3, = ­3а. 8                 В       рассказе   о   квадратном   уравнении   мы   рассматривали   только действительные   корни.  Но   в   области     комплексных   чисел   всё   обстоит   даже проще: любое квадратное уравнение имеет два корня, возможно совпадающих 40 (   при  D=0).   При   отрицательном   дискриминанте   корни   будут   сопряжёнными комплексными   числами.   Доказательство   и   вывод   формул   сохраняются   без всяких   изменений.   Более   того,   и   формулы   для   корней,     и   теорема   Виета остаются   в  силе   для   квадратных   уравнений   с  произвольными   комплексными коэффициентами.   В   этом   случае   D   надо   понимать   как   любой   из   двух комплексных корней числа D.          5. Применение квадратичной функции на примере квадратных уравнений в физике 1. Путь пройденный при равномерно­ускоренном движении.       На рис. 1 дан график пути равномерно­ускоренного ­ движения с начальной скоростью, равной нулю.       График построен по этой формуле: S= 1 at2       (для значения а=2 м/с2). 2 Рисунок 1.   Он изображается кривой линией, поднимающейся вверх всё круче и круче. Расстояние   точек   графика   от  оси   времени   пропорциональны   квадратам расстояния от оси пути. Такая кривая называется парабола.  2. Движение тела брошенного горизонтально. Найдем   траекторию   движения   тела,   брошенного   горизонтально.   Горизон­ тальная проекция тела, двигаясь с постоянной скоростью DO пройдет к моменту t  путь, равный   S  =  0t  (1)  Путь пройденный вертикальной проекцией, будет равен  h =  1 2 2 gt  (2).   Зная S и h, можем построить точку, в которой  будет находиться тело в момент t (рис. 2). 41 Величины S и h можно считать абсциссой и ординатой тела в системе координат с началом в точке, откуда шарик начал падать, с осью абсцисс, расположенной горизонтально, и осью ординат, направленной вертикально в низ. Чтобы найти уравнение   траектории   тела,   выразим   из   (1)   промежуток   времени   через  S  и подставим в (2). Получим:               h =  1 gt2 . 2 Рисунок 2.          Ординаты точек траектории оказываются пропорциональными квадратам  абсцисс. Мы знаем, что такие кривые называются параболами.        Путь, проходимый в вертикальном направлении, не зависит от начальной скорости.   Но   путь,   проходимый   в   горизонтальном   направлении   за   данный промежуток   времени,   пропорционален   начальной   скорости.   Поэтому   при большой горизонтальной начальной скорости парабола, по которой падает тело, более вытянута в горизонтальном направлении. Если из расположенной гори­ зонтально трубки выпускать  струю воды (рис.3), то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик, падать по параболе. Чем больше открыт кран, через который поступает вода в трубку, тем больше начальная скорость и тем дальше от крана падает струя на дно кюветы. Поставив позади струи, экран с заранее начерченными   на   нём   параболами,   можно   убедиться,   что   струя   воды 42 действительно имеет форму  параболы.  Зная начальную скорость  DO  и высоту падения h, можно найти расстояние по горизонтали до место падения.                                                                                   Рисунок 3.          Полученные формулы можно было бы применить к падению авиационной бомбы, сброшенной с горизонтально летящего самолёта, если бы можно было бы пренебрегать сопротивлением воздуха. В момент сбрасывания, бомба обладает той же скоростью, что и самолёт; поэтому она начинает падать с горизонтальной начальной   скоростью,   равной   скорости   самолёта.   Если   бы  сопротивление   не было,   бомба   падала   бы   по   параболе   и   в   течении   всего   времени   падения находилось точно под самолётом (если бы последний сохранял свой курс и ско­ рость). В частности, падение бомбы на землю происходило ба как раз под той точкой,  где  в  момент  составляющая  скорости  бомбы  сильно уменьшается, а вертикальная  составляющая   растёт   гораздо   медленнее,   чем   при   падении   в пустоте. Вследствие сопротивления воздуха сброшенная с самолёта бомба сразу начинает отставать от самолёта и падает далеко позади от него (рис.4), это уменьшает точность бомбометания. Рисунок 4. 43 6. Франсуа ВИЕТ Виет (Вьет) Франсуа (1540­1603), французский математик. Разработал почти  всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость  между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (см. Виета  теорема). Ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке  Фантене­ле­Конт. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом,  окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою  карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную  гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем  его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в  молодом юристе интерес к математике. Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и  переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих  математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с  крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую  переписку. В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником  парламента, а затем советником короля Франции Генриха III. В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост  рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов. В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из  Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание  всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты,  объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой  буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в  аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой  логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в  некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их  корни, квадраты, кубы, квадрато­квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал  специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского  44 алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для  переменных ­ согласные. Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который  применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем  виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало  возможным буквенное исчисление. Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его  корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам  автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате  равно ВD, то А равно В и равно D". В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую  геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения  уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой  степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции  угла или построением двух средних пропорциональных. Математиков столетиями интересовал вопрос решения тре­угольников, так как  он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно  сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения,  эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры.  Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум  данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета  исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие  преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван  приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое  применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии,  но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных  успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для  синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг. В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет  звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал:  "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и  рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему  было более шестидесяти лет".         7. Заключение 45 Квадратные уравнения находят широкое применение при решении  тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и  трансцендентных уравнений и неравенств. Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и  то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не  редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и  внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и  соотношений. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало  изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много  скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей  работы над ней. Здесь я остановился на вопросе решения  квадратных уравнений, а что,  если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые  закономерности, какие­то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все  новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.          Подводя  итоги, можно сделать вывод:  квадратные уравнения играют  огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные  уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут  пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении,  то   они,  безусловно,  должно    заинтересовать     увлекающихся  математикой  учеников.  Моя работа дает возможность по­другому посмотреть на  те задачи,  которые ставит перед нами математика.  8. Список литературы 1.Алгебра   учебник   для   9   класса   общеобразовательных   учреждений.     Под редакцией С. А. Теляковского 9­е издания. Москва «Просвещение» 2002. 2.Большой энциклопедический словарь       2­е изд. перераб. и доп. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.­ 1456 с.: ил. 3. Балаен Э. Н.    Как сдать ЕГЭ по математике на 100 баллов Ростов – на Дону «Феникс» 2003. 4.Галицкий М. Л., Гольдман А. М. , Звавич Л.И.  46