Исследовательская работа "Математика повсюду"

МБОУ Новосёлковаская СОШ                                   Арзамасского района Работа реферативного характера с элементами самостоятельного поиска Тема: «Математика повсюду»                                                      Выполнил ученик 11 класса                                                      Пазилов Павел Александрович                                                      Руководитель:                                                      Филатова Анастасия Николаевна                                                       учитель математики первой                                                     квалификационной категории.                              Нижегородская область                               Арзамасский район                                д.Бебяево д.40В novoselkii                                            2014­2015    @   mail  .  ru Содержание I. II. Введение. 1. Многоликая теорема Пифагора 2. Почему у кита нет ног? 3. Точное время.      III.     Заключение. IV. Литература. Введение. М. Борзаковский «Математика повсюду!» Математика повсюду. Глазом только поведешь И примеров сразу уйму Ты вокруг себя найдешь. Каждый день, вставая бодро. Начинаешь уж решать: Идти тихо или быстро. Чтобы в класс не опоздать. Вот строительство большое. Прежде чем его начать. Нужно все еще подробно Начертить и рассчитать. А иначе рамы будут с перекосом, Потолок провалится. А кому, друзья, скажите. Это может нравиться? Ох, скажу я вам, ребята, Все примеры не назвать. Но должно быть всем понятно. Что математику нам надо знать на пять. Если хочешь строить мост. Наблюдать движенье звезд. Управлять машиной в поле Иль вести машину ввысь. Хорошо работай в школе, Добросовестно учись. C математикой мы встречаемся везде, на каждом шагу, с утра и до вечера.  Просыпаясь, мы смотрим на часы; в трамвае или троллейбусе нужно рассчитаться  за проезд; чтобы сделать покупку в магазине, нужно снова выполнить денежные  расчеты и т. д. Без математики нельзя было бы изучить ни физику, ни географию,  ни черчение.           Летом мы все любим совершать различные походы по родному краю пешком  или на плоту по реке. Разве не приходится и здесь делать расчеты? Если мы пошли  в поход пешком, то нужно наметить маршрут по карте, измерить расстояние, а для  этого нужно уметь пользоваться линейкой или каким­нибудь прибором, например  курвиметром, нужно суметь вычислить длину маршрута, пользуясь масштабом. Но это еще не все. Необходимо произвести расчет продуктов, с тем чтобы не брать  лишнего, чтобы питание было вкусное и разнообразное.          Если решим плыть на плоту по реке, нужно определить длину маршрута, его  продолжительность, скорость течения реки. Как это узнать? На помощь приходит  математика. Даже в игре без математики трудно. Чтобы организовать спортивные  игры в пионерском лагере, нужно суметь разметить спортивную площадку, для  чего необходимо знание геометрии (построение прямых углов на местности,  вешение прямых, измерение расстояний рулеткой и т. д.) . Чтобы выиграть в  военной игре, нужно хорошо ориентироваться по компасу, знать, как определить  высоту дерева, расстояние до недоступного предмета, ширину реки и пр.  Мы живем в удивительное время: в нашей стране строятся гигантские  электростанции и домны, автоматические заводы, построен атомный ледокол  "Ленин", запускаются спутники и ракеты, тяжеловесные корабли штурмуют  космическое пространство. Первый — Юрий Гагарин, а за ним целая плеяда  героев­космонавтов облетели земной шар по космической трассе. Во всех этих  делах нам всегда помогала и помогает математика.          Наши ученые и инженеры создали такие вычислительные машины, которые за  одну секунду могут выполнить десятки и сотни тысяч арифметических действий,  что и позволило в кратчайшие сроки проделать сложнейшие технические расчеты,  связанные со строительством различных сооружений, с полетами наших ракет,  спутников, управляемых космических станций, космических кораблей с  советскими героями на борту.           Вычислительные машины не только освобождают человека от утомительных  и однообразных операций (одна такая машина может заменить армию  вычислителей в несколько десятков тысяч человек) , не только ускоряют процесс  вычислений, но и, это, пожалуй, самое главное, могут управлять различными  процессами производства, транспортом. Вычислительные машины настолько  совершенны, что их часто называют "думающими". Это не случайно, ибо они могут  быть использованы для переводов с одного языка на другой, могут играть в  шахматы, причем достаточно успешно (об этом можно судить хотя бы по тому, что известный американский гроссмейстер Решевский в партии с вычислительной  машиной смог добиться только ничьей) . Но и всем этим их возможности не  исчерпаны. С полным основанием можно сказать, что практические приложения  математики не ограничены.          Значит, математика нам нужна всюду: в магазине, в школе, в походе и в игре, в жизни. Цель моей работы: 1. Познакомиться с различными отраслями, в которых применяется  2. 3. математика.  Показать красоту математики.  Накопление определенного запаса математических фактов и сведений,  умений и навыков, дополняющих и углубляющих знания.      МНОГОЛИКАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА      Вполне возможно, что следующая легенда не имеет под собой  исторической основы:    «Когда греческий математик Пифагор впервые доказал теорему, носящую  ныне его имя, он на радостях принес в жертву богам сто быков (совершив  гекатомбу, т.е. большое жертвоприношение). С тех пор все скоты дрожат,  заслышав об открытии новой истины».  b2 a2 b c a c2 Рис. 1. Графическое представление теоремы Пифагора a2 + b2=c2.        По­видимому, теорему о том, что в прямоугольном треугольнике сумма  квадратов двух меньших сторон (катетов) равна квадрату наибольшей  стороны (гипотенузы), применяли еще в древнем Вавилоне (рис. 1). Но  Пифагор (570­497 гг. до н. э.) оказал огромное влияние на весь ход развития  математического мышления с древности до наших дней. Многие поколения  школьников испытали первое в своей жизни математическое потрясение,  познакомившись с теоремой Пифагора, но, вникнув в доказательство, не  могли не признать правильность теоремы. И это очень важно, ибо современная прикладная математика немыслима без теоремы Пифагора.        Пифагор и его последователи – так называемые пифагорейцы –  исповедовали мистику чисел и пытались за всеми явлениями природы прежде  всего найти определенные соотношения между целыми числами. Не  удивительно поэтому, что особенно заинтересованные люди уже давно  исследовали, при каких целочисленных значениях x, y и z уравнение                                                 X2 + Y2 = Z2 допускает решение. Разумеется, случай, когда все три числа x, y, иz имеют  общий делитель, следует заранее исключить, ибо в противном случае  уравнения можно было бы разделить на квадрат этого общего делителя.         Наименьшие целые числа (3, 4 и 5), удовлетворяющие теореме Пифагора,  по­видимому, были известны еще древним египтянам. Многие тройки таких  чисел приведены в следующей таблице:         …  X 9 … 40 Y Z … 41      Многоточия в конце каждой из трех строк показывают, что эта таблица  далеко не полная.     Когда я захотел продолжить таблицу и вписать в нее новые тройки чисел      x, yи z, то заметил такую закономерность. Выбирая два натуральных, т.е.  целых положительных, числа ( ,  ), удовлетворяющим трем условиям:  5 12 13 21 20 29 15 8 17 7 24 25 υ ω 35 12 37 11 60 61 45 28 53 3 4 5 1) >υ ω 2) числа   взаимно простые, т.е. не имеют общего множителя,  отличного от 1 (и, следовательно, не могут быть оба четными) ; υ ω  и  υ ω  и  υ ω  не должны быть оба нечетными. 3) числа  Тогда следующие  3 числа удовлетворяют уравнению Пифагора x2+y2=z2:                 X = υ2­ ω2,               Y=2υω,               Z = υ2 + ω2. Предложим, например, что я выбрал числа  =8,  =5. Эти два числа, как  нетрудно видеть, удовлетворяют условия 1­3. Тогда              X= 82 – 52 = 39,             Y=2 * 8 * 5 = 80,             Z= 82 + 52 = 89             и            X2+Y2=Z2, т.е. 392 + 802= 7921 = 892.  А как обстоит дело в трехмерном случае? Т.е. какие целочисленные  решения допускает уравнение                                             X2 + Y2 + Z2 = U2. Числа x, y и zможно представлять себе, как длинны ребер коробки из­под  ботинок. Тогда u– длинна ее пространственной диагонали. В следующей  таблице ( также неполной ) приведены четверки чисел, удовлетворяющих  трехмерному аналогу уравнения Пифагора: X Y Z U 4 8 19 21 2 6 9 11 2 10 11 15 2 10 25 27 … … … … 14 10 35 39 2 6 3 7 4 8 1 9 … … … … Когда я захотел дополнить таблицу, то в качестве x, y и z выбрал два  четных и одно нечетное число.  В связи с уравнение Пифагора выяснил допускает ли целочисленные  решения уравнение x2 + y2 = s2 + t2. Оказывается, допускает и даже  бесконечно много. В принципе могут представиться два различных случая:  1. все четыре неизвестных нечетны; 2. два неизвестных четны и два нечетны. Несколько решений для каждого из этих двух случаев приведены в  следующих таблицах: Случай 1 x 7 11 13 15 19 19 11 21 … y s t 11 5 5 Случай 2 9 x y 2 7 s t 6 3 9 7 13 4 11 8 1 11 7 8 1 4 7 5 13 9 17 6 15 10 7 17 11 21 8 19 12 3 17 9 12 1 8 9 3 7 9 25 2 23 10 1 19 9 11 2 5 10 … … … … … … …             Почему у кита нет ног?      Всякий, кому приходилось бывать в палеонтологическом музее и видеть  скелеты различных «завров», невольно поражался их гигантским размерам. Из иллюстрации в научно­популярных книжках и журналах мы знаем, как  необычно выглядели динозавры и другие ящеры.                                          Но если обратиться к млекопитающим, то для того, чтобы найти среди них  гигантов, нам вовсе не нужно углубляться на сотни тысяч или даже миллионы  лет в глубь истории Земли: самые крупные из когда либо обитавших на Земле  млекопитающих здравствуют ныне. Это голубые киты.   ( Мы стоим на грани  их полного уничтожения. Вполне возможно, что наши правнуки когда­нибудь  будут рассматривать в музее скелеты китов так же, как мы разглядывали  скелеты доисторических ящеров. )     Самый большой из убитых китов был измерен на аргентинской в  Антарктиде. Туловище кита имело в длину 110 футов 2,5 дюйма. Там же, в  Антарктиде, удалось взвесить кита, точнее самку кита («китиху»), правда, не  целиком, а по частям. Ее туша, разрубленная на куски весила 183,34 т.              ( Живаякитиха весила еще больше: в ее жилах струилась кровь, которую  выпустили при разделки туши.) Китобои считают, что обычно кит длинной  100 футов весит 179т.     Здесь я прерву свое повествование о китах и познакомлюсь ( хотя бы в  общих чертах ) с единицами, принятыми в США. Герой переводного романа из ковбойской жизни имеет рост 6 футов и весит 190 фунтов. Переводчик  обычно сохраняет единицы длинны и веса подлинника, так как привычные нам единицы метрической системы в художественном тексте « не звучат».  Сравните: «Король до последнего сантиметра» ( то есть с головы до пят) и «Король до кончиков ногтей» или до «последнего дюйма», как говорят по­ английски. Дюйм означает «фаланга пальца»: такие «натуральные» единицы в  США пользуются большой популярностью, чем системные единицы  физических величин. Впрочем, и наш слесарь диаметры труб и резьбовых  соединений в дюймах. Что же касается героя переводного романа, то его рост  равен ( 6 * 30,48 + (2 * 30, 48) : 12 ) см = 1,88 м, а его вес – 190 фунтам, а  каждый английский фунт равен 453,50 г.       Если быть точными, то следовало бы проверить, кто именно наш герой –  американец или англичанин. Дело в том, что 1 английский дюйм равен  2,539998 см, а 1 американский дюйм – 2,540005 см.        После этого небольшого отступления я возвращаюсь к голубому киту.  Перевести длину его туловища( 110 фунтов 2,5 дюйма) в привычные  метрические меры не составляет особого труда: с помощью  микрокалькулятора я вычислил , что наш гигант имеет в длину более 30м.  Таковы размеры взрослого кита.      При пересчете веса ( точнее, массы ) кита в метрическую систему  необходимо соблюдать известную осторожность. В английском оригинале, из  которого я заимствовал данные задачи , сказано без каких­либо уточнений:  179 т. Но тонны могут быть разные: 1 длинная тонна = 1016,05 кг, а 1  короткая тонна = 907,185 кг. К тому же речь в романе вполне может идти и о  метрической тонне.        Регистровые тонны отличаются в зависимости от того, идет ли речь о  брутто­регистре или нетто­регистре, так как они служат единицами  измерения ( 2,83 м3 ) объема судна. Грузоподъемность судна (в тоннах массы)  принято измерять в так называемых дедвейт­тоннах. Разница между длинной и короткой тонной составляет 11%. При массе кита 179 т эта величина равна  19, 2 т: чтобы перевезти такую массу по железной дороге, понадобился бы в  один грузовой вагон. Для простоты я буду исходить в своих расчетах из 170  метрических тонн.        Итак, мне хотелось выяснить, почему у кита нет ног. Из школьного курса  биологии я знаю, что ноги кита превратились в плавники. Можно ли вообще  было бы «сконструировать» кита массой 170т, который мог бы передвигаться  на четырех ногах? Казалось бы, ничто этому не мешает: ведь слоны –  животные отнюдь не маленькие, а они передвигаются на четырех  колоннообразных ногах. Не следует, однако, забывать об одном  немаловажном обстоятельстве: масса слона до смешного мала по сравнению с  массой кита и достигает лишь 6 т. = π r2 = 13528,2 см2,         Когда четырехногое животное ступает по земле, вся нагрузка при каждом шаге приходится лишь на две ноги. Следовательно, если бы у кита были ноги,  то на каждую из них при ходьбе приходилось бы по 85т. Причем, что почва  способна выдержать в среднем нагрузку 2кгс/см2 20*10 4 Па. Чтобы кит не  проваливался сквозь землю, его ступня должна была иметь площадь 42500см2.                    42500см2 :  r = 116, 3 см.           Итак, диаметр китовой ступни был бы равен 2,33 м. Столь изящные  ступни вряд ли могли бы без особого механизма выравнивать неровности  почвы. Ноги слона с особой наглядностью показывают, что природа  действует, как заправский конструктор: 6 т, распределены на две ноги, при  допустимой нагрузке на почву 2 кг­сила/см2 соответствует диаметру ступни                                    2 * ( 1500 :              В следующий раз, когда мне случится побывать в зоопарке, прикину на  глаз, совпадает ли моя оценка с истинной толщиной слоновьих конечностей по порядку величины.   44 см.  ≈  )π 1/2 см  ≈                         Точное время В середине 18 в. английский парламент назначил премию в 20 000 фунтов  стерлингов ( по тем временам неслыханно большая сумма! ) за создание часов,  которые показывали бы точное время в условиях открытого моря – при сильной и  длительной бортовой и килевой качке. В таких часах ( получивших название  хронометра ) испытывал острую потребность английский флот: не зная точного  времени, мореплаватели не могли определять географическую долготу. В 1765 г.  английский часовой мастер Харрисон представил в Адмиралтейство  сконструированные им часы, которые при испытаниях показали поразительную  точность: за несколько месяцев они отставали всего лишь на 10 или 20 с .  Разумеется, современные морские и авиационные штурманы, космонавты или  астронавты вряд ли были удовлетворены такой точностью, но в 18 в. изобретатель  хронометра еще мог стать состоятельным человеком.             Я попытался понять, почему английским капитанам ( как и навигаторам  других стран ) был столь необходим хронометр.           Кто из берлинцев не знает часов на Александерплац, показывающих точное  время во многих городах мира. Взглянув на эти часы, я узнал, который час в Нью­ Йорке или Иокагаме, когда в Берлине, например, 9 часов утра. Тому же, кто знает  точное время в городах, расположенных на различных меридианах, не составляет  особого труда определить точное время для любой точки земного шара. Дело в том, что во всех точках, лежащих на одном меридиане от северного до южного  полюса, часы показывают одно и то же время ( например, одновременно во всех  точках наступает полдень, то есть тот момент, когда Солнце в своем видимом  движении по небу достигает высшей точки ). Единственное различие состоит в  том, что жители северных широт видят солнце на юге, а жители южного  полушария, например австралийцы, видят наше дивное светило на севере.        Если выделить какой­нибудь меридиан и его местное время принять за начало  отсчета, то нетрудно определить местное время меридиана, проходящего через  город, в котором я живу. Как известно, международное сообщество постановило  вести отсчет от меридиана, проходящего через Гринвич близ Лондона ( возможно,  в память о том, что премию за создание морского хронометра получил  англичанин ) .         Когда пассажирский лайнер плывет в Санкт­Петербург, штурман определяет с помощью секстанта, что наступил полдень («берет солнце») и засекает время по  имеющемуся на борту судна хронометру. Этот хронометр поставлен по  гринвичскому времени и показывает, например, 10 ч 45 мин 11 с . Мы, пассажиры,  находимся неподалеку, и нам отлично виден хронометр, и то, что делает штурман.  Разумеется, у меня нет под рукой морского ежегодника, по которому штурман  производит свои точные вычисления, зато собираясь в отпуск с родителями, я  прихватил с собой микрокалькулятор и теперь могу определить свою  географическую долготу достаточно точно.        Вот как я рассуждаю. Меридианная сеть на земном шаре простирается от  гринвичского меридиана на восток до 180˚долготы (восточной) и «в другую  сторону» ­ на запад – также до 180˚долготы (западной), причем оба 180˚­х  меридиана совпадают. Всего, таким образом, я получил 360˚ долготы, на каждом  из которых каждые 24 ч наступает полдень. Солнце в своем видимом движении  развивает скорость 360˚ : 24 ч = 15˚/ ч.         Я находился  в Балтийском море, следовательно, к востоку от Гринвич. Так  как солнце восходит на востоке, полдень наступает на Балтике наступает раньше,  чем в Англии. Следовательно, когда на 15˚ восточной долготы наступает полдень,  знаменитый Биг­Бен в Лондоне бьет лишь 11 раз.         Мне требовалось найти меридиан, на котором в 10 ч 45 мин 11 с по  гринвичскому времени наступает полдень. Для этого необходимо установить  соответствие между градусной меридианной сеткой и часами, минутами и  секундами:                                        1 ч                                        1 мин  →                                       1 с   15˚,→ → ΄΄  0,0042˚ = 15 . ΄  15˚/ 60 = 0,25˚= 15 , (В тех микрокалькуляторах, где предусмотрен перевод минут и секунд в  десятичные доли градуса, установить такое соответствие нетрудно.)      Так как в том месте, где я находился, наступил полдень, местное время  отличается от гринвичского на 1 ч 14 мин 49 с ( такое время я получил с помощью  вычитания времени на меридиане которого нам нужно найти ( 10 ч 45 мин 11 с ) из  настоящего времени ( 11 ч 59 мин 60 с иная запись 12 – 00 – 00 ). Теперь найдем  меридиан:   1 ч 15  14 мин 021   49 с 5121  033   573 ΄     Стоит лишь теперь взглянуть на морскую карту или попросить у штурмана атлас Балтийского моря, как я сразу вижу, где именно долгота 18˚42 ( получившиеся  сложение полученных результатов) пересекает мой курс: мой лайнер находится в  вблизи острова Готланд.       Для профессиональных штурманов мои вычисления недостаточно точны. Ведь я предполагал, что солнце ровно в 12 ч дня проходит нулевой меридиан, то есть  стоит над Гринвичем. Но так солнце « поступает » лишь в среднем. В  действительности же солнце достигает кульминации незадолго до или вскоре  после полудня. Эти отклонения штурман берет из морского ежегодника,  издаваемого гидрографической службой каждой морской державы.       Астрономическими методами капитан определяет место своего судна с  точностью до 2 морских миль( напомним, что 1 морская миля = 1,852 км ). В моем  более прикидочном расчете погрешность составляет около 10 морских миль. Если  бы я находился в Атлантике ( например, держал курс на Кубу), то такая ошибка в  определении места была бы вполне приемлемой: кругом так много воды, что 10  милями больше или меньше – не составляет особой разницы.       Из проведенных мной расчетов помимо опыта в навигационном искусстве я  извлек еще один важный метод: наши часы идут более равномерно, чем вращается  земля. Заключение.         Выполняя эту работу я узнал много интересной информации, попробовал мыслить как инженер, математик, физик, проверял различные гипотезы, делал оценки. Я почувствовал себя современным исследователем. В данной работе я рассмотрел неформальные задачи, которые помогают расширить сферу  применения математики. У меня появилось совершенно новое отношение к  математике. Такого рода опыт соответствует историческому развитию этой  науки. Великие математики прошлого – Гаусс, Ньютон, Лейбниц, Паскаль,  Кеплер и другие,  от природы или в силу необходимости, были одарёнными  вычислителями. Из числовых примеров они выводили общие законы и  закономерности.           В своей работе, на несложных примерах, я прочувствовал  математические зависимости между функциями.            Исследуя рассмотренные задачи я заполнил свой досуг, извлёк для себя много полезной информации           "С тех пор, как существует мирозданье,            Такого нет, кто не нуждался б в знанье. Какой мы не возьмём язык и век ­            Всегда стремился к знанью человек”. Литература: 1. Дорофеева   А.В.   Страницы   истории   на   уроках   математики.­   Львов: журнал «Квантор», 1991. 2. Аксенова. М. Д. ­ Энциклопедия для детей.Т. 11. Математика/ Главный ред. М.Д. Аксенова. ­ М. Аванта+, 1998 3. Шалаева   Г.П.   Всё   обо   всём.   Популярная   энциклопедия   для   детей. Москва «Слово» 1997,1999.  4. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Изд­во «Наука».  М.1975. 5. Ткачев М.В. Домашняя математика. М. «Просвещение» .1994. 6. Минских  Е.М. «От игры к знаниям»,  М., «Просвещение»,    1982г. 7. Писаревский Б.М.Харин В.Т. Беседы о математике и математиках.  «Физматлит». 2007. 8. В.Гильде, З.Альтрихтер «С микрокалькулятором повсюду». М., «Мир», 1988. 9. http://www.mann­ivanov­ferber.ru/books/matemagiya/ 10.http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/10/07/vneklassnoe­ meropriyatie­po­teme­matematika­povsyudu 11. www.webmath.ru, ru.wikipedia.org