Исследовательская работа "Метод Гаусса для расчета Пасхалий для юлианского календаря"

Метод Гаусса          для расчета Пасхалий     для юлианского календаря                                                    Казакова Н.Ю. 2008 год                                                    План   1. Вклад Гаусса в развитие алгебры                                                                                2. Вклад Гаусса в развитее астрономии и геодезии                                                        Исследования в области физики                                                                                       4. Научное наследие ученого и его особенности его исследований                             5. Метод Гаусса для расчета Пасхалий для юлианского календаря                             Выводы                                                                                                                                Библиография В ряду гениальных представителей нашей                                                                                              науки только два великих предшественника                                                                                            Гаусса – Архимед и Ньютон – были столь                                                                                            же щедро одарены природой как он.                                                                                            Подобно этим двум, Гаусс жил достаточно                                                                                            долго и имел возможность полностью                                                                                            проявить все заложенные в нем силы.                                                                                                                                                                                            Ф. Клейн                                                                1    Гаусс Карл Фридрих  ­ немецкий математик, физик, астроном, внесший  к тому же  существенный вклад в геодезию, член Лондонского королевского общества (с 1804 г.),  иностранный член­корреспондент Петербургской Академии наук (с 1802 г.), затем иностранный  почетный член этой академии (с 1824 г.). Он родился  ровно 230 лет тому назад в семье  водопроводчика 30.4.1777 г. в Брауншвейге. В 1795­98 г. учился в Геттингемском университете,  в 1799 получил доцентуру в Брауншвейге, в этом же году он получил степень доктора  философии в университете в Хельмштадте, с 1807 г. заведовал кафедрой математики и  астрономии в Геттингемском университете и одновременно был директором Геттингемской  обсерватории. На этих постах он оставался до конца жизни. Его работы оказали большое  влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории  электричества и магнетизма, теории притяжения, геодезии и  теоретической астрономии.      Еще до получения ученых званий в 1794­95 гг. он открыл основной математический метод  обработки неравноценных наблюдательных данных, более известный как метод наименьших  квадратов. Но более основательно разработал его он уже в 1821­23 гг.    Но в целом интересы Гаусса были связаны с доказательством основной теоремы алгебры, в  1799 г. он дал 4 доказательства этой теоремы.     Первую свою крупную работу по высшей алгебре и теории чисел он написал в 1801г. Она  называлась «Арифметические исследования» и  существенным образом определила  дальнейшее  развитие этих разделов математики. В ней Гаусс изложил теорию квадратичных вычетов,  первое доказательство квадратичного закона взаимности – одной из центральных теорем теории чисел, а также дал подробное изложение арифметической теории квадратичных форм, построенной  раннее Ж. Лангранжем. В конце книги он изложил теорию уравнения деления круга (т. е.  уравнения х n ­1 = 0), которая стала прообразом теории Галуа. Помимо общих методов решения  этих уравнений, Гаусс установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он нашел те значения n, для которых  n­угольник можно построить циркулем и линейкой. Он  впервые после древнегреческих ученых сделал значительный шаг в этом вопросе, в частности,  решив уравнение х n  ­1 = 0, он дал построение 17­угольника при помощи циркуля  и линейки.  Гаусс придавал этому своему открытию такое большое значение, что приказал выгравировать  правильный 17­угольник, вписанный  в круг на своем надгробном памятнике, что и было  исполнено.                                                                        2 Его астрономические работы связаны с решением проблемы определения орбит малых планет  и исследованием их возмущений. Он занимался ими  около 20 лет (1800­20 гг.). Широкую  известность они получили  практически сразу после разработки метода вычисления  эллиптических орбит по трем наблюдениям, примененного им при расчете орбит малых планет  Церера (1801), и Паллада (1802). Результаты своих вычислений Гаусс опубликовал в сочинении  «Теория движения небесных тел» (1809). В работах по астрономии он применял математические  методы обработки наблюдений (например, метод наименьших квадратов). А в связи с  астрономическими вычислениями, основанными на разложении решений дифференциальных  уравнений в бесконечные ряды, исследовал вопрос о сходимости бесконечных рядов  и изложил  его в работе, посвященной изучению гипергеометрического ряда (1812).     Работами по геодезии он занимался в 1820­30 гг. в связи с проведением геодезических съемок  и составлением детальной карты Ганноверского королевства, организовал измерение дуги  меридиана Геттингем – Альтон и в результате разработал основы высшей геодезии в работе  «Исследования о предметах высшей геодезии» (1842­47).  Изучение формы земной поверхности  потребовало от него разработки общего геометрического метода для исследования  поверхностей, чему он и посвятил свою работу «Общие исследования о поверхностях кривых»  (1827). Гаусс предложил рассматривать те свойства поверхности, которые не зависят от  изгибаний поверхности, не изменяют длин линий на ней (так называемые внутренние  поверхности). Созданная им внутренняя геометрия поверхностей послужила образцом для  создания n­мерной римановой геометрии. Геодезическая проекция Гаусса­Крюгера до сих пор  используется в России и ряде других стран.                                                                      3      К исследованиям в области физики относится также и разработка им принципа наименьшего  принуждения – одного из вариационных принципов механики (принципа Гаусса) в 1829 г. и  работы по теории капиллярности (1830). Его исследования по теоретической физике в 1830­40  гг. явились в значительной мере результатом совместной работы с В. Вебером. Вместе они  создали  систему единиц Гаусса, идею которой ученый высказал еще в 1832 г. Смысл его идеи  состоял в создании абсолютной системы с основными единицами миллиметр, миллиграмм и  секунда для измерения электрических и магнитных величин. В 1835 г. Гаусс основал магнитную  обсерваторию при Геттингемской астрономической обсерватории, а через три года издал труд  «Общая теория земного магнетизма». Его сочинение «О силах, действующих обратно  пропорционально квадрату расстояния», написанное в 1634­40 гг., содержит основы  теоретического потенциала. В работе «Диоптрические исследования» (1840) он заложил основы  теории изображения в системах линз.    Как мы видим, круг вопросов, которыми занимался Гаусс, был необычайно широк, поэтому  совсем неудивительно то, что с именем Гаусса связан целый ряд понятий, утверждений  и  методов  в астрономии, математике и физике.  Таких, например,  как теорема Гаусса, формулы  Гаусса, Гауссова кривизна, нормальное распределение (распределение Гаусса) или  постоянная  Гаусса (k = 0,01720209895), принятая в 1939 г. Международным астрономическим союзом как  точная астрономическая постоянная.                                                                     4        Гаусс умер 23 февраля 1855 г. в Геттингеме.    Многие исследования Гаусса остались неопубликованными, они представлены в виде очерков,  незаконченных работ, переписки с друзьями. Все вместе они составляют его богатейшее научное  наследие, которое тщательно изучалось Геттингемским научным обществом вплоть до Второй  мировой войны (1939­45 гг.), издавшим 12 томов его сочинений. Наиболее интересными в этом  наследии является дневник Гаусса и материалы по неевклидовой геометрии и теории  эллиптических функций. Дневник содержит 156 записей, относящихся к периоду от 30 марта 1796 г., когда 19­летний Гаусс отметил построение правильного 17­угольника, по 9 июля 1814 г.  Они дают отчетливую картину творчества ученого в первой половине его научной деятельности.  Его записи кратки, написаны на латыни и излагают сущность открытых им теорем. Материалы,  относящиеся к неевклидовой геометрии, подтверждают, что Гаусс еще в 1818 г. пришел к мысли  о возможности построения  наряду с евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой.  Но  возможно, опасение, что эти идеи не  будут  поняты,  или недостаточное осознание их научной  важности  самим  ученым стали причиной того, что Гаусс их не разрабатывал далее и не  опубликовал. Более того, он почему­то категорически запрещал публиковать их тем, кого  посвятил в свои взгляды. Когда же вне всякого отношения к этим идеям Гаусса неевклидова  геометрия была  построена и  опубликована Николаем Ивановичем Лобачевским в 1826 г., Гаусс с большим вниманием отнесся к этим публикациям и был инициатором избрания русского  ученого членом­корреспондентом Гетиннгемского научного общества. Архивы Гаусса, как уже  отмечалось выше, содержат большие материалы по теории эллиптических функций и их  своеобразную теорию, однако заслуга их самостоятельной разработки и публикации  принадлежит уже другим ученым К. Якоби и Н. Абелю.     Отличительными чертами творчества Гаусса являются глубокая органическая связь его  теоретических исследований с практикой и необычайная широта проблематики.       Многие исследования Гаусса, как мы видим из вышесказанного,  имели большое практическое значение или были вызваны практической деятельностью.    Например, для оптической сигнализации он изобрел специальный прибор – гелиотроп. Это  геодезический инструмент, используемый при точных измерениях горизонтальных углов. Он  представляет собой плоское зеркало, отражающее солнечные лучи с одного геодезического  пункта по направлению к другому геодезическому пункту, в котором производятся угломерные  измерения другим прибором – теодолитом.     Мало кому известно, что он совместно с В. Вебером  сконструировал в 1833 г. первый в  Германии электромагнитный телеграф.                                                       5   Гаусс  также разработал метод определения даты христианского праздника  Пасхи для  юлианского календаря, которым тогда еще широко пользовались в Европе.   Метод этот достаточно прост. Рассмотрим его подробно. В его расчетах a – остаток от деления числа года на 19; b ­ остаток от деления числа года на 4; c ­ остаток от деления числа года на 7; d – остаток от  выражения  (19a +15) : 30; e – остаток от выражения (2b + 4c + 6d  + 6) : 7; далее применяется принцип: если d + e < 9, то Пасха в марте, если d ­ e > 9, то Пасха  в апреле. из данного утверждения следует уже непосредственное определение даты Пасхи: если Пасха в марте, то 22 + d + e = дата праздника,  если Пасха в апреле, то  d + e ­ 9 = дата праздника.     Так как данная система расчетов создана для юлианского календаря, а сейчас мы живем по  григорианскому календарю, и разница между ними составляет 13 дней, то к высчитанной дате  следует прибавлять 13 дней. При этом в качестве проверки может служить тот факт, что  высчитанная дата должна всегда  приходиться на воскресенье. Произведем расчеты даты Пасхи на 2007 год.  a = 12, т. к.  2007 : 19 = 105, в остатке 12.  b = 3, т. к. 2007 : 4 = 501, в остатке 3. c = 5, т. к. 2007 : 7 = 286, в остатке 5. d = 3, т. к. (19 ∙12+15) : 30 = 8, в остатке 3. e = 1,  т. к (2 ∙ 3 +4 ∙ 5 + 6 ∙ 3 + 6) : 7 = 7, в остатке 1. d + e = 3 = 1 < 9, следовательно Пасха в марте.  Если Пасха в марте,  то 22 + d + e = 22 + 3 + 1 = 26 – дата Пасхи по юлианскому календарю,  прибавляем разницу между календарями в 13 дней и получаем дату пасхи по григорианскому  календарю – 8 апреля.   Опираясь на предложенный метод, я рассчитала даты Пасхалий за последние 30 лет: 1982 год – 18 апреля 1983 год – 8 мая – самая поздняя дата Пасхи 1984 год – 22 апреля 1985 год – 14 апреля 1986 год – 4 мая 1987 год – 19 апреля 1988 год – 10 апреля 1989 год – 30 апреля 1990 год – 15 апреля 1991 год – 7 апреля 1992 год – 26 апреля 1993 год – 18 апреля 1994 год – 1 мая 1995 – 22 апреля 1996 – 14 апреля 1997 – 27 апреля 1998 – 19 апреля 1999 – 11 апреля  2000 – 30 апреля 2001 – 15 апреля 2002 – 5 мая 2003 – 27 апреля 2004 – 11 апреля 2005 –  1 мая 2006 – 23 апреля 2007 – 8 апреля 2008 – 27 апреля 2009 ­ 19 апреля 2010 – 4 апреля ­ самая ранняя дата Пасхи 2011 – 24 апреля 2012 – 15 апреля 2013 ­ 5 мая 2014 – 20 апреля  2015 – 12 апреля            А затем рассчитала даты Пасхалий на 12 лет вперед и получил следующие данные: 2016 – 1 мая 2017 – 16 апреля 2018 – 8 апреля  2019 – 28 апреля 2020 – 19 апреля 2021 – 2 мая 2022 ­ 24 апреля 2023 – 16 апреля 2024 – 5 мая 2025 ­  20 апреля 2о26 – 12 апреля 2027 – 2 мая                                                                                                                                     Выводы                                               Замечена интересная закономерность ­  Пасхи чередуются: поздние (конец апреля ­ начало  мая), средние (середина апреля), ранние (первая половина апреля), либо поздние Пасхи  чередуются только со средними или ранними по срокам Пасхами. Большинство дат повторяется  каждые 6 или 11 лет.  Например,  1 мая были Пасхи в  1994 и 2005 гг. и 1 мая будет Пасха    в  2016 г., а еще через 11 лет  в 2027 г. она будет  уже 2 мая. Или, например, 11 апреля Пасхи были  в 1999 и 2004 годах, в 1015 г. Пасха будет уже 12 апреля.     Это общая закономерность, свойственная и юлианскому, и григорианскому календарям.         В юлианском календаре високосный год определяется признаком делимости двух его  последних цифр на 4, високосными также являются годы, обозначение которых имеет  последними двумя цифрами ноли. Например, 1700, 1800, 1900, 1956 годы.    В григорианском календаре високосный год  также определяется признаком делимости двух  его последних цифр на 4, и  високосными также являются те годы,  обозначение которых имеет  последними двумя цифрами ноли  при условии, что первые 2 цифры обозначения года делятся на 4. Так в  григорианском календаре 1700, 1800, 1900 годы високосными не являлись, 17, 16 и 19  не делятся без остатка на 4. Високосным был только 2000, а также, например, 1956, 1960, 1988 и  другие.        Юлианским календарем пользовались в течение ряда веков, и астрономы обратили внимание  на его неточность. Поэтому Главный христианский праздник  ­ Пасху – сделали подвижным. Его  праздновали после весеннего равноденствия (21 марта), в первое воскресенье после весеннего  полнолуния, которое приходится на период между 21 марта и 25 апреля. Но в XVI в.  равноденствие  уже фактически приходилось на 11 марта, а это грозило в дальнейшем при  условии сохранения   равноденствия 21 марта, перемещением  Пасхи с весны на лето. И  католическая церковь осуществила  реформу календаря в 1582 г. при папе римском Григории  XIII, по имени которого календарь и получил свое название. Папская булла предписывала 5  октября 1582 года  считать 15 октября и, таким образом, весеннее равноденствие возвращалось  на 21 марта.    В XVI такой календарь был введен в Италии, Франции. Испании, Португалии и Южных  Нидерландах, а затем в Польше, Австрии, католических землях Германии.      Кстати, это произошло тогда, когда в России еще не знали даже юлианского календаря. Его  Петр I ввел своим указом в 1700 году.  В странах, где господствовала православная  христианская церковь,  юлианским календарем пользовались еще очень долго.    Например, в Болгарии  его ввели только в 1916 году, в России декрет о переходе на новый  календарь В. И. Ленин подписал 24 января 1918 года. Декрет предписывал за 31 января считать день не 1 , а 14 февраля. Как видно из этого декрета разница между календарями  уже  составляла не 10 дней, как в XVI, а  уже 13.  Увеличение в разнице между календарями на 1  сутки происходило в 1700,  1800 и 1900 годах, потому что эти годы по григорианскому  календарю не являются високосными, а по юлианскому являются. После  2000  года разница не  изменилась, потому что в обоих календарях этот  год високосный. Разница между календарями   достигнет   14 суток  только в 2100 году, который по юлианскому календарю будет  високосным, а по григорианскому календарю – простым.                                                                                                                                                        Литература: Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. – М., 1989 Бюлер В. К. Гаусс. – М., 1989 Большая Российская Энциклопедия. – М., Научное изд­во «БРЭ», 2006, Т.6 Большая Советская Энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. – М., Изд­во «Советская  Энциклопедия», 1971, Т. 6. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 2 3 4 5 6 7                        май Месяц                                                            апрель Год 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027