Исследовательская работа на тему "Применение графического метода при решении текстовых задач на движение»"

ОГЛАВЛЕНИЕ     ВВЕДЕНИЕ I. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 1.1. Понятие  графического метода 1.2. Примеры решения текстовых задач на равномерное  прямолинейное движение  графическим методом II. ЗАКЛЮЧЕНИЕ III. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ IV. ПРИЛОЖЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Текстовые задачи на составление уравнений традиционно находят место во вступительных   экзаменах   в   вузы,   а   также   начиная   с   2003   года   в экзаменационных   материалах   ЕГЭ.   При   алгебраическом   способе   решения текстовых задач часто возникают определённые трудности, связанные : 1) с отбором неизвестных;  2) с   составлением   соотношений   между   этими   неизвестными   в   виде уравнений, систем уравнений и неравенств; 3) с решением  уравнений, систем уравнений или неравенств. Чтобы   создать   математическую   модель   ситуации,   описанной   в   условии,   и правильно   выбирать   неизвестное,   целесообразно   не   ограничиваться   только абстрактными   рассуждениями,   а   необходимо   обращаться   к   наглядным графикам   зависимости   величин,   на   которых   легче   анализируются   этапы описанного процесса. Такие наглядные модели помогают разбить задачу на логические   части,   которые   легко   выразить   с   помощью   уравнений,   систем уравнений   или   неравенства,   а   иногда   и   просто   заменить   алгебраическое решение чисто геометрическим, позволяющим избежать составления сложного уравнения,  громоздких рассуждений, не приносящих успеха. Особенно   успешно   графическое   изображение   функциональной   зависимости величин, можно применять при решении текстовых задач на движение, что и отражено в данной  работе. Цель   работы:  Разработать   и   применить   графический   метод   к   решению текстовых  задач на движение. Задачи:  1) Ознакомиться  с понятием  графического метода. 2) Использовать   графический   метод   в   решении   текстовых   задач   на движение. 3) Провести   сравнительный   анализ   решения   задач   алгебраическим   и графическим методами. I.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 1.1. Понятие графического метода Графический метод при решении текстовой задачи на движение предполагает составление  графической модели  ситуаций движения  каких­ либо объектов т.е.   функциональной   зависимости   перемещения   от   времени,   после   чего алгебраическая задача переводится на геометрический язык.    S    B       C    A                                     M   P O                              D               N                                          t Предположим, что точки движутся  слева направо. Будем отмечать изменение их   перемещения   с   течением   времени   в   системе   координат.   Ось   абсцисс   – горизонтальная ось времени  t , ось ординат – вертикальная ось перемещения s. При   равномерном   прямолинейном   движении   точки   график   зависимости перемещения от времени представляет собой прямую линию, например  AM, составляющую с осью  Ot  острый угол  , тангенс которого численно равен скорости движения точки из A в M. Если по условию задачи одновременно с маршрутом   из   А   в   В   начинается   встречный   маршрут   из   В   в   А,   то   отсчёт расстояния, пройденного от пункта В по направлению к точке О, ведётся от точки   В,   отмеченной   на   той   же   оси   Оs.   Графиком   встречного   маршрута является прямая  BN, составляющая с прямой  BM, параллельной  Ot, острый угол  , тангенс которого равен значению скорости движения точки из B в N. Координаты точки Р пересечения графиков указывают время встречи (AD) и пройденные от А до В расстояния до места встречи (соответственно АС и ВС). Таким образом, после создания графической модели ситуаций данных  задачи, алгебраическая   задача   носит   геометрический   характер   и   решается геометрическим   методом   или   алгебраическим   методом,   основанным   на геометрических   понятиях.   На   этом   этапе   в   решении   задач     используются следующие приемы графического метода: 1) применение метода подобия; 2) применение определения и свойства средней линии треугольника; 3) применение соотношения между сторонами и углами  прямоугольного  треугольника ( тангенс острого угла ); 4) последовательные умозаключения, основанные на исследовании  относительного движения, приводящие к простому решению или  составлению уравнений, систем уравнений. 1.2. Примеры решения текстовых задач на равномерное прямолинейное движение  графическим методом. Рассмотрим   использование     приёмов   графического   метода   на   примерах решения задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. 1) Применение метода подобия Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через два часа из пункта А   выехал   велосипедист,   а   ещё   через   30   мин   –   мотоциклист.   Пешеход, велосипедист   и  мотоциклист   двигались   равномерно   и  без   остановок.  Через S,км некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что все трое к этому моменту преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут                                           F         K       x ч       M раньше  пешехода в пункт В прибыл  велосипедист, если  пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?    B    O     A          2 ч       C   ч    D                      1 ч                              t,ч Решение:  AOC  и   MOK ­ подобны ( по двум углам) = >  KO CO следовательно: MK  AC FK  CD  FOK  и   DOC ­ подобны ( по двум углам) = >  KO CO MK  AC FK CD 1  x 2 x  1 2    =>    1 2 x  22 x    =>    8,0x ч = 48 мин Ответ: велосипедист прибыл в пункт В на 48 минут раньше пешехода. Далее, для сравнения, приведу решение этой же задачи, но алгебраическим  способом. Пусть путь АВ=1, скорость пешехода – x, скорость велосипедиста – y, скорость  мотоциклиста – z. С начала движения пешехода до начала движения мотоциклиста прошло  2, 5 часа и за это время пешеход прошёл путь 2,5x. Велосипедист к моменту начала  движения мотоциклиста проехал путь 0,5y. Если к моменту времени t мотоциклист догнал  пешехода, то zt –xt = 2,5x  =>    t  5,2  z x x . Это же время потребовалось мотоциклисту,  чтобы догнать велосипедиста, так как все трое преодолели одинаковый путь. Значит: tz 5,0 ty y   =>   t  5,0  z y y .   Получаем уравнение:   5,2  z x x  5,0  z y y Известно, что пешеход прибыл в пункт В на час позже мотоциклиста. Это означает, что  путь, равный 1­2,5x  пешеход шёл на час дольше, чем мотоциклист ехал от А до В.  Следовательно,  5,21  x x  1 1 z      =>    1 x  1 z 3 5 Требуется найти на сколько минут меньше затратил велосипедист на путь от А до В, чем  пешеход на путь 1 – 2x, т.е. следует найти величину n      21 x x  1 y  1  x  60    1 y    60  120 , Величину   1  x 1 y  найдём, решив систему:  5,0  z y y 5,2  z 1 x x x 1 z  5,3                   5,2  z x x  5,0  z y y    =>   x z  x 5 z  y  y   =>   z 5 x 1 5  1 z y                               z x  1 5 z y 5    =>   5 x 5 y  4 x 4 z    =>    1 x     4 5 1 y  1 x 1 z    1 x 1 x     4 5  5,3 1 y 1 z  1 x 1 z          =>   1 x  1 y 8,2         Значит  n 8,2 60 120  48  мин Ответ:  велосипедист прибыл в пункт В на 48 минут раньше пешехода. Итак, в данном случае,  решение  задачи алгебраическим способом очень  непростое и  нужен долгий и упорный поиск, чтоб додуматься до такого  решения. Поэтому графический метод  – выход к простому, рациональному,  короткому и изящному решению. 2) Применение определения и свойства средней линии треугольника Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг другу. Они  встретятся на половине пути, если поезд из А выйдет на 2 часа раньше, чем  поезд из В. Если же оба поезда выйдут одновременно, то через 2 часа  расстояние между ними составит 0,25 расстояния между А и В. За какое время каждый поезд проходит весь путь? S,км    B                N       2 ч                                                                               C E    x ч O S 4 F  A                          K                            L                      M                  t,ч Решение:  OEF  и   OKA ­ подобны ( по двум углам) = >  EO  KO EF KA     = >  x  2 x  1 4 1 2 S S     => KE EO  2x KO NO – средняя линия   ABC  =>   KE– средняя линия   ABL  =>   4 BC AL  KO 2 8  KE 2 4 Ответ: поезд из А проходит весь путь за 8 часов, из В – за 4 часа. 3) Применение соотношения между сторонами и углами  прямоугольного  треугольника ( тангенс острого угла ). Пассажир, едущий из А в В, одну половину затраченного на путь времени ехал на автобусе, а вторую – на автомашине. Если бы он ехал от А до В только на автобусе, то это заняло бы в полтора раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит путь от А до В машина, чем автобус? K S,км    B    F                                            O C  S  A                                                                                              t,ч           t,ч Решение:     Обозначим  мv ­ скорость машины,  аv ­ скорость автобуса  OCF  и   OSK ­ прямоугольные,     KS  FC , v v м а  tg tg    FC OC : FC t  t  FC  2 FC 1 2 t Ответ: машина проходит путь от А до В в 2 раза быстрее, чем автобус. 4) Последовательные умозаключения, основанные на исследовании  относительного движения, приводящие к простому решению.  Велосипедист отправляется из А в В и после 15 – минутного отдыха в пункте  В возвращается в пункт А. На пути из А в В велосипедист догоняет в 11 часов  пешехода, который движется из А в В со скоростью, в 4 раза меньшей, чем у  велосипедиста. В 12 часов происходит вторая встреча пешехода и  велосипедиста. Определить время отправления велосипедиста из пункта А,  если известно, что велосипедист возвращается в пункт А одновременно с  прибытием пешехода в пункт В. S,км    B       D    C                                             B   B             B D C A                                A     11ч             12ч          A                     t,ч                                                                     Решение: Обозначим x (км/ч) – скорость пешехода, тогда 4x (км/ч) – скорость велосипедиста. C 11 до 12 часов пешеход прошёл CD = x (км),  тогда велосипедист проехал путь равный  CD+DB+BD = 4x    1  1 4    =3x  (км),  но DB = BD и CD = x (км)  => DB = CD = x (км), т.е.  и на этот путь пешеход затратил 1час.  Значит его путешествие закончилось в пункте В в 13 часов. Велосипедист из пункта В в пункт D попал  через  1 4 часа. По условию он прибыл в пункт А  из пункта B одновременно с пешеходом, в 13 часов, т.е. за 1 час. Это означает, что  на  обратный путь из В в А он затратил  1 часа. На протяжении всего пути  скорость  1 4 велосипедиста была постоянной, поэтому на путь из А в В  он потратил те же  1 часа, да  1 4 ещё  1 4 часа отдыха в пункте В.  13ч ­  1 ч ­ 1 4 1 ч ­  1 4 1 4 ч =  10  ч= 10ч 15 мин. 1 4 Ответ: велосипедист начал своё путешествие из пункта А в  10ч 15 мин. II. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Графический метод решения сочетает в себе межпредметные связи алгебры,  физики, геометрии, что повышает познавательный интерес учащихся в  изучении данных предметов. Наглядные модели изменяющихся ситуаций,  представленные в виде графиков, помогают приобретению учащимися  достаточно устойчивых навыков решения текстовых задач на движение. Итак, выбирая указанным образом систему координат, отражая в ней  правильно отношение между скоростями движущихся точек и моделируя  графически данные в задаче ситуации ( встречи, изменение направления  движения), можно просто, без громоздких уравнений и их систем решать  нелёгкие задачи на движение с явной пользой для развития умения рассуждать, а также для эффективной экономии учебного времени. Анализ решения 20 задач ( также см. приложение ), предлагаемых на ЕГЭ и  вступительных экзаменах в вузы  показал, что текстовые задачи на движение  решаются легче под сопровождением графического изображения функций, чем алгебраическим способом. В заключение хочется напомнить латинскую поговорку: «Bis dat, qui cito dat» ­  вдвойне делает тот, кто делает скоро. III. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Капкаева Л.С. Алгебраический и геометрический методы в обучении  математике.   /Математика в школе – 2004, № 7, стр.27 – 31. 2. Кимы ЕГЭ, 2003 3. Мясникова Т.Ф. Графическое моделирование в задачах на движение. /Математика в школе – 2005, № 5,  стр. 78 – 80.  4. Сканави М.И. Сборник задач по математике. Алгебра. – М.: Оникс 21 век.  Мир и образование, 2002, стр.66 – 71, 83 – 88, 99 – 105. 5. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.:МЦНМО, 2003, стр.170 – 181,  541 – 754. 6. Шевкин.А.  Нестандартные способы решения текстовых задач. / газета Математика – 2005, № 23, стр.23 – 26. 7. Шевкин.А.  Текстовые задачи на конкурсном экзамене. / газета Математика – 2005, № 24, стр.19, 24 – 26. 8. Хабибуллин К.Я. Моделирование ситуаций при решении задач на движение.  /Математика в школе – 2003, № 8,  стр.43 – 45.   IV. ПРИЛОЖЕНИЕ 1)Из пунктов А и В навстречу друг другу в 11 00  вышли два поезда. Двигаясь с постоянными скоростями, они встретились в 12 00 , после чего продолжили движение. В 13 15 первый поезд прибыл в пункт В. Сколько минут был в пути второй поезд? S,км    B             1 ч                   K                ч                     F II I O  A                                  D          x ч         G                            t,ч ч                                    ч                                       ч Решение:  BKO  и   GDO ­ подобны ( по двум углам) = >   KFO  и   DAO ­ подобны ( по двум углам) = >  1 4 1 x 1:1    =>   1 1  x 1ч + 48 мин = 108 мин. 1 4  4 5  ч = 48 мин. BK  DG KT  AD KO OD следовательно: KO OD BK  DG KF AD Ответ: 108 минут был в пути второй поезд. 2)Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они   встретились   в   полдень   и   достигли   чужого   города:   первая   в   4   часа пополудни, а вторая в 9 часов. Узнайте, когда они вышли из своих городов. S,км    B             x ч                  C          4 ч        D O  A                 x ч                 K          9 ч                         M         t,ч                                             ч Решение:  BCO  и   MKO ­ подобны ( по двум углам) = >   CDO  и   KAO ­ подобны ( по двум углам) = >  BC  MK CD  KA CO KO следовательно: CO KO BC  MK CD KA 4 x     =>  x 9 6 часов старушки были в пути до встречи, т. е. вышли в 6 часов утра. 6x 2 x 36  =>  ч  Ответ: в 6 часов утра. 3)Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два курьера. После встречи один был в пути 16 часов, а другой – 9 часов. Сколько времени был в пути каждый? S,км    B             x ч                   С               16 ч                     F II I O  A                x ч             D          9 ч         K                            t,ч Решение:  СFO  и   DAO ­ подобны ( по двум углам) = >   CBO  и   DKO ­ подобны ( по двум углам) = >  CO DO CF  DA CB  DK следовательно: CO DO СF  DA CB DK x 9     =>   16 x 12+16=28 ч – был в пути I поезд, 12+9=21 ч ­ был в пути II поезд. 12x 2 x 144  =>  ч  Ответ: 28 ч – был в пути I поезд, 21 ч ­ II поезд. 4)Из города А в город В вышел пешеход. Через некоторое время после выхода пешехода из города В в город А выехал велосипедист, а ещё через час вслед за велосипедистом выехал мотоциклист. Все участники двигались равномерно и встретились в одной точке маршрута. Пешеход пришёл в город В через 6 часов после выезда мотоциклиста из города В, а мотоциклист прибыл в город А через 4 часа после выхода пешехода из города А. Через сколько часов после мотоциклиста велосипедист прибыл в город А? S,км    B       C    1 ч    D                   6 ч                               K в м O п  A                4 ч                      P x ч  S                            t,ч Решение:  DKO  и   PAO ­ подобны ( по двум углам) = >   CDO  и   SPO ­ подобны ( по двум углам) = >  DK  PA CD  SP DO PO DO PO следовательно: DK  PA CD SP 6     =>   4 1 x 6 x 4  =>  2x 3 ч  Ответ: через  2 3 ч после мотоциклиста прибыл в город А велосипедист. 5)Два туриста одновременно вышли из городов А и В навстречу друг другу. После встречи на трассе первый турист затратил 6 ч на оставшийся путь до города В, а второй турист затратил 2 ч 40 мин на оставшийся путь до города А. Найдите время движения второго туриста. S,км    B             x ч                   L               6 ч                             N II I O  A                x ч             R      ч      M                            t,ч LO RO LN  RA LB  RM следовательно: LO RO LN  RA LB RM Решение:  LNO  и   RAO ­ подобны ( по двум углам) = >   LBO  и   RMO ­ подобны ( по двум углам) = >  6 x  x 2 3 2    =>   2 x 16  =>  4x ч  24  2 3  6 2 3  ч – время движения второго туриста. Ответ:  6  ч был в пути второй турист. 2 3 6)Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались по шоссе в одну сторону с постоянными   скоростями.   В   тот   момент,   когда   пешеход   и   велосипедист находились   в   одной   точке,   мотоциклист   отставал   от   них   на   6   км.   Когда мотоциклист   догнал   велосипедиста,   пешеход   отставал   от   них   на   3   км.   На сколько километров велосипедист был впереди пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист? V O x M 3 P S,км          P     6 M в п м                                                                                          t,ч Решение:  1OMP 1  и   2OMP 2 ­ подобны ( по двум углам)     = >  OP  1 OP 2 MP 1 1 PM 21     = > OP 1 OP 2  6 3 2   = >    OP  1 2OP 2 ,      PP 21  OP 1  OP 2  3OP 2  VOP1  и   PMP 1 2 2 ­ подобны ( по двум углам)       = >  VO  PM 2 2 OP 1 PP 21   = > x  3 2 OP 2 3 OP 2      =>       x 3 2 3     =>     2x  км Ответ: велосипедист был впереди пешехода на 2 км в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист. 7)Три пункта – А, В, С – расположены на одной прямой, причём пункт В расположен между А и С. Из пунктов А и В по направлению к С одновременно выехали   два  автомобиля.  Через  5 часов  расстояние  между  ними  составило треть расстояния ВС, а ещё через 5 часов они одновременно прибыли в С. Найдите отношение скоростей автомобилей. S,км    C     B                                                                                   D B A 1 3 S S I II  A                  5 ч                                   5 ч                              t,ч Решение: В   ABD ­ A 1 B 1  ­ средняя линия ( по теореме о пропорциональных отрезках). A 1 B 1  =  1 3 S  =>  AB = 2 A 1 B 1  =  2 3 S ( по свойству средней линии ) АС =  2 3 S + S =  S 5 3 Обозначим через  1v  ­ скорость первого автомобиля,  Т.к. время, затраченное на путь каждого автомобиля одинаково, то имеет место равенство: 2v  ­ скорость второго. 5 3 v S 2 S  v 1   =>  v 2 v 1  =  5 3 Ответ:   v 2 v 1  =  5 3 8)Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда велосипедист и мотоциклист находились в одной точке, пешеход был на расстоянии 10 км впереди них. В тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист отставал от них на 5 км. На сколько километров мотоциклист будет обгонять пешехода в тот момент, когда пешехода настигнет велосипедист? S,км              B     10    A D x C E F 5 п м в                                                                                                         t,ч Решение: В   ABC,  EF параллельна AB,  EF =  1 2 AB  =>  EF­ средняя линия. t 2 t 1  t 3 t 2   => EF­ средняя линия   ADC   =>  CD = 10 Ответ:  мотоциклист будет обгонять пешехода на 10 км. 9)Из  пункта  А  по  направлению  в  сторону  пункта  В  выехали  автомобиль  и мотоциклист. Одновременно с ними из пункта В в том же направлении выехал велосипедист. Автомобиль догнал велосипедиста и сразу же повернул назад. Проехав четверть своего обратного пути, автомобиль встретил мотоциклиста и вернулся в пункт А в тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста. Найдите отношение скоростей мотоциклиста и велосипедиста. F C Q D K E N S,км           B      в а м        A                                            L           P                                 M            t,ч                                                                 Решение: Отношение скоростей мотоциклиста ( мv ) и велосипедиста( EN. В   BEA, CK­ средняя линия  => AB = 2CK;   в   EAM,   KL­ средняя линия => EM = 2KL. вv ) равно отношению EM :  Продолжим прямую АС до пересечения с прямой PD в точке F, CF = CD. Тогда: CK:KL = FD:DP = 2QD:DP = 2:3, т.к. по условию QD:QP = 1:4 =>  QD:DP = 1:3. Таким образом,  CK 2 3 KL ,   AB 4 3 KL ,     EN  2 KL  4 3 KL  2 3 KL , EM : EN =  2 KL : 2 3 KL 3 Ответ: отношение скоростей мотоциклиста и велосипедиста равно 3. 10)Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошёл пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько плыл по реке, а плыл по реке столько   времени,  сколько   шел  пешком,  то   эти   расстояния   были  бы  равны. Сколько часов он шел пешком и сколько часов плыл по реке?    S,км      90 10 л п Решение: y C S M D y B                                              A                                                   O                                         t,ч             BCS  и   ADO ­ подобны ( по двум углам) = >   CDM  и   BAO ­ подобны ( по двум углам) = >  10 у       =>     y 90 2 y 900     =>     30y    CS  DO CM  BO BS AO    = > 10 y  t t  4 DM AO   = > y 90  t t  4   = >   1 3  t t  4 t  t 4  10 30 лодке     = >    3 t t 4    = >    2t ч – пешком  = > 2 + 4 = 6 ч – на Ответ: 2 часа турист шел пешком и 6 часов плыл по реке. 11)  Из пункта А в пункт В выехала машина. Через 2 часа из В в А выехала другая   машина,   через   некоторое   время   расстояние   между   ними   составило шестую часть расстояния АВ. Проехав ещё 4 ч, обе машины одновременно прибыли в В. Найдите время движения от А до В для первой и второй машины. S,км    B                                                                                       C K S O 1 6 I II     M N  A             2 ч         D      x                     4 ч                  E          t,ч Решение: СМ v 1  CN KM   AB AE  tg S  6 x CKM ;         tg ,      v 2  AB DE CKM S   x  1v ;    ;       CN 4  4 v 2 4 S  x 4 ;        CM  4 1 v 4 S  x 6 CON ,   tg  CON  2v CN  ON CM  MN  tg S 6  4 S  x 4  4 S  x 6  S 6       =>    2 x  10 x  0 24    =>   2x t 8 1 26 ;    t 2 24 6 Ответ: время движения от А до В для первой машины – 8 часов и 6 часов для второй. 12) Почтовая связь между двумя пристанями М и К на реке осуществляется двумя   катерами.   В   установленное   время   катера   отплывают   от   своих пристаней, встречаются, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Если катера отплывают от своих пристаней одновременно, то катер, выходящий из М, тратит на путь в оба конца 3 ч, а катер из К – 1,5 ч. Скорости обоих катеров относительно воды одинаковы. Определите, на сколько позже должен отплыть катер из М, чтобы оба катера находились в пути одно и то же время. S,км    K           1,5 ч                               L                                           L  M                 x ч                          K                          N         t,ч                                              Решение: MN = 3ч,           Ответ: на 0,75 минут позже должен отплыть катер из М  ч               25,2 KL 1   x  5,1 3 x   =>   75,0x  мин MN KL  2 13) Два туриста идут друг другу навстречу – один из пункта А, другой – из пункта В. Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй. При встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 ч, а второй в А – через 9 ч. Определите расстояние АВ и скорость каждого туриста. S,км    B    x+12       x          t+6 ч                       C          8 ч           D II I O  A           6 ч      K         t ч       S          9 ч                P                     t,ч                                              Решение:  ОSK  и   OCD ­ подобны ( по двум углам) = >   OSP  и   OCB ­ подобны ( по двум углам) = >  t 8  t 9  9   => 6t  ч;       KS  DC SP  CB OS OC следовательно: OS OC KS  DC SP CB 36x   =>  x  12 x  12 6 8 36 АВ = 36 = 48 = 84 км. 48  км – прошёл I турист до встречи;            6:36  6 км/ч ; км – прошёл II турист до встречи;        v 2 12:48  км/ч ;      v 1  4 Ответ:  расстояние АВ = 84 км,  скорость первого туриста – 6 км/ч, второго – 4 км/ч 14)   Стива   Облонский   и   Васенька   Весловский   поехали   на   охоту.   Спустя некоторое время вслед за ними отправился Константин Дмитриевич Левин. Через   час   после   своего   выезда   Левин   находился   на   равном   расстоянии   от Облонского и Васеньки, а ещё через 1,5 ч, обогнав обоих, Левин был в 8 раз дальше от Стивы, чем от Васеньки. Найдите, через сколько времени после выезда   Облонского   и   Весловского   выехал   Левин,  если   он   догнал   Васеньку через 3 часа после выезда своих гостей. S,км               L y V 7y S T A z z B C       O           x          K     1 ч      M    2­x        P     x­0,5   N                          t,ч Решение:  OP MP  AOC  и   VOS ,   AOM  и   VON ­ подобны ( по двум углам) = >  2(5,1 OM MN MP PN 5,0 ;   x  2  x x )    ,        7 2 y z OS OC  OS OC y  z  x 5,2  1 x 7 2  LVT  и   BTA ­ подобны ( по двум углам) = >   TV AT TV AT   ( по теореме о пропорциональных отрезках)  5,2 x  x 1 y  z        x  2 5,0 x        и     = >   x  5,2  x 1   (7 x  2(2 )5,0 x )   x  2 5,0 x y z Решая уравнение находим, что    Из равенств   1x Ответ: через 1час выехал Левин после выезда своих гостей 15)   Из   пункта   А   в  пункт   В   одновременно   отправились   два   велосипедиста, причём скорость первого на 6 км/ч больше скорости второго. Через час из В в А   отправился   третий   велосипедист   со   скоростью   20   км/ч,   встретивший второго   через   час   после   встречи   с   первым.   Найдите   скорость   первого велосипедиста, если известно, что второй прибыл в В на 6 ч позже первого. 16)   С   двух   аэродромов   навстречу   друг   другу   вылетели   одновременно   два самолёта. К моменту  встречи  первый  пролетел на 200 км больше  второго. 12 ч. Остальной   путь   до   аэродрома   первый   пролетел   за   5 Найти расстояние между аэродромами 5 ч,  а   второй   за   3