Исследовательская работа на тему "Решение текстовых задач "

Решение текстовых задач 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ                                                                                                   3 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ                     5   1.1 ИСТОРИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ  В  РОССИИ                                                                                                       5 1.2 ПОНЯТИЕ «ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА». СТРУКТУРА ЗАДАЧИ      7 2.  МОДЕЛИРОВАНИЕ В РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ              12 3.  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ                                    19 ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                           34 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ                                  35 ПРИЛОЖЕНИЕ                                                                                          37 ВВЕДЕНИЕ С давних пор задачи играют огромную роль в обучении. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями: знакомит с новой ситуацией, 3 описанной   для   решения   задачи   и   т.д.  Иными   словами,   при   решении   задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование.   При   овладении   методом   решения   некоторого   класса   задач   у человека   формируется   умение   решать   такие   задачи,   а   при   достаточной тренировке   ­   и   навык,   что   тоже   повышает   уровень   математического образования. При решении задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Решение   задач   приучает   выделять   посылки   и   заключения,   данные   и искомые,   находить   общее   и   особенное   в   данных,   сопоставлять   и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А.Я.   Хинчин   [10],   воспитывается   правильное   мышление   и   учащиеся приучаются прежде всего к полноценной аргументации. Текстовые   задачи   используются   как   очень   эффективное   средство усвоения учащимися понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее   действенное   средство   развития   мышления   учащихся,   как универсальное средство математического воспитания и незаменимое средство привития   учащимся   умений   и   навыков   в   практических   применениях математики.   Решение   задач   хорошо   служит   достижению   всех   тех   целей, которые ставятся перед обучением математике. Прежде   всего,   задача   воспитывает   своей   фабулой,   текстовым содержанием. Немало важную роль играет также и   весь процесс обучения решению текстовых   задач.   Правильное   решение   текстовых   задач   без   каких­либо логических   натяжек   воспитывает   у   учеников   честность   и   правдивость. 4 Решение задач требует от учеников настойчивости в преодолении трудностей и мужества. При решении задач формируются умения и навыки умственного труда:   усидчивость,   внимательность,   аккуратность,   последовательность умственных действий. Решение задач развивает также чувство ответственного отношения к учению.                                                                         Цель работы: изучение роли и места текстовых задач в школьном курсе математики, подхода к решению текстовых задач и классификации методов решения. Актуальность темы заключается в том, что практико ­ ориентированным задачам в последнее время уделено особое внимание. Работа состоит из трех разделов, списка литературы, используемой при написании творческой работы и приложения. 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ 5 1.1 ИСТОРИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В РОССИИ В   традиционном   школьном   обучении   математике   текстовые   задачи всегда   занимали   особое   место.   С   одной   стороны,   практика   применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников,   то   есть   имеет   родственные   корни.   С   другой   ­   пристальное внимание обучающих к текстовым задачам ­ почти исключительно российский феномен.       Известно,   что   исторически   долгое   время   математические   знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания   вместе   с   их   решениями.   Первоначально   обучение   математике велось   по   образцам.   Ученики,   подражая   учителю,   решали   задачи   на определенное "правило". В   давние   времена   обученным   считался   тот,   кто   умел   решать   задачи определенных   типов,   встречавшихся   на   практике.   При   этом   учащие   мало заботились   о   сознательном   усвоении   учениками   того   или   иного   способа действия. Считалось, что понимать едва ли нужно было. Причина   повышенного   внимания   к   использованию   текстовых   задач   в России   заключается   в   том,   что   в   России   не   только   переняли   и   развили старинный   способ   передачи   с   помощью   текстовых   задач   математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные   общеучебные   умения,   связанные   с   анализом   текста,   выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного   результата.   Немаловажную   роль   играло   также   приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов 6 решения   задач   способствовало   общему   развитию   учащихся,   развитию   не только   логического,   но   и   образного   мышления,   лучшему   освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе. К   середине  XX  в.   сложилась   развитая   типология   задач,   включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя,   стремясь   ускорить   процесс   обучения,   разучивали   с   учащимися способы   решения   типовых   задач,   как   бы   следуя   своим   давним предшественникам. К   середине   50­х   годов  XX  в.   текстовые   задачи   были   хорошо систематизированы,   методика   их   применения   в   учебном   процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60­х   годов   отношение   к   ним   изменилось.   Одним   из   аргументов   к предлагаемым   изменениям   была   критика   негодной   практики   обучения решению   задач.   Соавторы   Н.Я.   Виленкина   (по   первому   варианту   ныне действующих учебников) К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: "Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?" Ответ напрашивается сам собой: "Невозможно!". Пересматривая   роль   и   место   арифметики   в   системе   школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более 7 раннего введения уравнений и функций, математики и методисты­математики посчитали,   что   на   обучение   арифметическим   способам   решения   задач тратиться слишком много времени. Так или иначе, но в середине  XX  в. присутствовал узко практический подход к использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении. Традиционные   для   российской   школы   арифметические   способы решения задач посчитали анахронизмом, и перешли к раннему использованию уравнений. Такое   упрощенное   понимание   роли   и   места   задач   в   школьной математике   преобладало   долгие   годы.   У   этого   подхода   и   теперь   много сторонников – у нас в России и за рубежом. Заканчивая разговор об использовании текстовых задач при обучении математике   в   России,   о   разных   подходах   к   обучению   решению   задач   в прошлых   реформах   математического   образования   в   России   (тогда   СССР), сошлемся   на   академика   В.И.   Арнольда,   который,   сравнивая   традиционное отечественное   преподавание   математики   с   американским,   писал:   "Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет   в   семьях   сохранились   старинные   "купеческие"   задачи.   Теперь   это утрачено.   Алгебраизация   последней   реформы   преподавания   математики превращает   школьников   в   автоматы.   А   именно   арифметический   подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим" [1]. 8 1.2 Понятие «текстовая задача». Структура задачи С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни, как   на   бытовом,   так   и   на   профессиональном   уровне.   Каждому   из   нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. Это могут быть общегосударственные задачи, задачи определенных коллективов   и   групп,   а   также   задачи,   которые   стоят   перед   отдельными личностями.   Проблема   решения   и   чисто   математических   задач,   и   задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности,   изучается   издавна,   однако   до   настоящего   времени   нет общепринятой трактовки самого понятия «задача». В широком смысле слова под   задачей   понимается   некоторая   ситуация,   требующая   исследования   и решения человеком. Отдельно   стоят   математические   задачи,   решение   которых   достигается специальными математическими средствами и методами. Среди них выделяют научные,   решение   которых   способствует   развитию   математики   и   ее приложений,   и   задачи   учебные,   которые   служат   для   формирования необходимых   математических   знаний,   умений   и   навыков   у   разных   групп обучаемых и направлены на изменение качеств личности обучаемого. Учебные математические   задачи   различаются   по   характеру   их   объектов.   В   одних задачах   все   объекты   математические   (числа,   геометрические   фигуры, функции и т. д.), в других объектами являются реальные предметы (люди, животные, автотранспортные и механические средства, сплавы, жидкости и т. д.)   или   их   свойства   и   характеристики   (количество,   возраст,   скорость, производительность,   длина,   масса   и   т.   д.).   Задачи,   все   объекты   которых математические   (доказательство   теорем,   вычислительные   упражнения, установление признаков изучаемого математического понятия и т. д.), часто 9 называют математическими задачами. Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми.   В     обучении   математике   велика   роль   текстовых   задач.   Решая   задачи, учащиеся   приобретают   новые   математические   знания,   готовятся   к практической    деятельности. Задачи  способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой   задаче,   о   ее   структуре,   умел   решать   такие     задачи   различными способами. Текстовой   задачей   будем   называть   описание   некоторой   ситуации   с требованием   либо   дать   количественную   характеристику   какого­то компонента   этой   ситуации   (определить   числовое   значение   некоторой величины по известным числовым  значениям других величин и зависимостях между   ними),   либо   установить   наличие   или   отсутствие   некоторого отношения, либо найти последовательность требуемых действий. Придерживаясь   современной   терминологии,   можно   сказать,   что   текстовая задача   представляет   собой   словесную   модель   ситуации,   явлений,   события, процесса.   Как   в   любой   модели,   в   текстовой   задаче   описывается   не   всё событие   или   явление,   а   лишь   его   количественные   и   функциональные характеристики. Основная   особенность   текстовых   задач   состоит   в   том,   что   в   них   не указывается   прямо,   какое   именно   действие   должно   быть   выполнено   для получения ответа на требование задачи. В каждой задаче можно выделить: 10 а) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не менее двух); б)   некоторую   систему   функциональных   зависимостей   в   неявной   форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми); в) требование или вопрос, на который надо найти ответ. Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т. е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными. Требования   могут   быть   сформулированы   как   в   вопросительной,   так   и   в повествовательной   форме,   их   так   же   может   быть   несколько.   Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин ­ искомыми, или неизвестными. Ответ   на   требование   задачи   получается   в   результате   ее   решения.   Решить задачу в широком смысле этого слова ­ это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность   применения   общих   положений   математики   (правил, законов, формул и т. д.), выполнить действия над данными задачи, используя общие   положения   и   получить   ответ   на   требование   задачи   или   доказать невозможность   его   выполнения.   Термин   «решение   задачи»   широко применяется   в   математике.   Этим   термином   обозначают   связанные   между собой, но все же,  неодинаковые понятия:  решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи; 11  решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т. е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;  решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи. В   каждой   текстовой   задаче   числовой   материал   должен   соответствовать арифметической подготовке учащихся, числовые значения величин данных и искомых   должны   быть   реальными   (нельзя,   например,   указать   в   условии скорость пешехода 20км в час или расстояние между Москвой и Ленинградом равным какому ­ либо числу, кроме 651 км). Условие и вопрос задачи должны быть сформулированы ясно и точно, в соответствии с числовыми данными в условии. 12 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В науке широко используется метод моделирования. Он заключается в том, что для исследования какого­либо объекта или явления выбирают или строят другой объект, в каком­то отношении, подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследование задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальные явления или объект. Под   моделью   (от   лат.   modulus   –   мера,   образец,   норма)   понимают   такой материальный   или   мысленно   представляемый   объект,   который   в   процессе познания (изучения) замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для   данного   исследования   типичные   черты.   Процесс   построения   и использования модели,  называется моделированием. Во всех науках модели выступают, как мощное орудие познания. В математике также очень широко используется метод моделирования при решении задач. Математической   моделью   можно   назвать   специальное   описание   (часто приближенное) некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально – логический аппарат математики. При   математическом   моделировании   имеем   дело   с   теоретической   копией, которая   в   математической   форме   выражает   основные   закономерности, свойства изучаемого объекта.  В процессе математического моделирования выделяют три этапа: 1.   Формализация   –   перевод   предложенной   задачи   (ситуации)   на   язык математической теории (построение математической модели задачи). 13 2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели). 3.Перевод   результата   математического   решения   задачи   на   тот   язык,   на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения). Чаще   всего   математическая   модель   представляет   собой   несколько упрощенную схему (описание) оригинала, а значит, обладает определенным уровнем погрешности. Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты, поэтому результаты внутримодельного исследования одного явления зачастую могут быть  перенесены на  другое.  В  этом состоит одно  из  основных  достоинств математического моделирования. Математика   не  только  создала   разнообразные   внутренние   модели   алгебры, геометрии,   дифференциальных   функции   комплексного   переменного, уравнений   и   т.д.,   но   и   помогла   естествознанию   построить   математические модели механики, электродинамики, термодинамики, химической кинетики, микромира,   пространства   –   времени   и   тяготения,   вероятностей   передачи сообщений, управления, логического вывода. Глубина   и   значимость   открытий,   которые   делает   школьник,   решая   задачи, определяется   характером   осуществляемой   им   деятельности   и   мерой   ее усвоения, тем, какими средствами этой деятельности он овладеет. Для того чтобы ученик мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а   не   ограничивался   нахождением   ответа   в   данной,   конкретной   задаче,   он должен   овладеть   некоторыми   теоретическими   знаниями   о   задаче,   прежде всего, о ее структуре. Чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который 14 обеспечивал   бы   необходимые   действия.  Сделать   это   можно   путем   особых знаково­символических   средств   –   моделей,   однозначно   отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия школьниками. Структуру задачи принято делить на схематизированные и знаковые модели. В   свою   очередь,   схематизированные   модели   бывают   вещественными   (они обеспечивают   физическое   действие   с   предметами)   и   графическими   (они обеспечивают графическое действие). Графические   модели   используются   для   обобщенного,   схематического воссоздания задачи. К ним относят:     рисунки; схематический рисунок; чертеж схематический чертеж. Знаковые   модели   могут   быть   выполнены   как   на   естественном   (т.е.   имеет словесную   форму),   так   и   на   математическом   (т.е.   используются   символы) языке. На естественном языке можно отнести:  ­ краткую запись;  ­ таблицы. На математическом языке:  ­ выражение;  ­ уравнение;  ­ по действиям;  ­ система уравнений. 15 Схематизированные,   графические   и   знаковые   модели,   выполненные   на естественном   языке   –   вспомогательные   модели,   а   знаковые   модели, выполненные на математическом языке – решающие. Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.  Полезно   применять   чертежи   и   схематические   рисунки,   блок   –   схемы, моделирование с помощью отрезков и таблиц. Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая – правая,   верхняя   –   нижняя,   увязывать   пространственную   информацию   с информацией меры, тем самым, формируя умение решать задачи. Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности   учащихся,   помогает   понять   задачу,   самостоятельно   найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия,   при   которых   задача   имеет   или   не   имеет   решение.   Модель   дает возможность более полно увидеть зависимость между данными и искомыми в задаче, представить задачу в целом, помогает обобщить теоретические знания. Действующая   программа   обучения   математике   требует   развития самостоятельности у учащихся в решении текстовых задач. Еще в начальной школе каждый должен уметь кратко записывать условие задачи, иллюстрируя ее   с   помощью   рисунка,   схемы   или   чертежа,   обосновывать   каждый   шаг   в анализе задачи и в ее решении, проверить правильность ее решения. Однако на практике   требования   программы   выполняются   далеко   не   полностью,   что приводит к серьезным проблемам в знаниях и навыках учащихся. Одна из основных причин допускаемых ошибок   решении текстовых задач – неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи 16 и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее графического моделирования. Модель создает предпосылки активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи. Одной из моделей является схема. Она   помогает ученикам самостоятельно найти правильные решения  задачи. Четкие   условные   обозначения   помогают   детям   строить   сложные   схемы, видеть в них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение   условных   обозначений   в   схеме   позволяет   не   запутаться   в числовых   значениях   задачи   и   предотвращает   многие   ошибки.   Анализируя модель, можно увидеть несколько способов решения задачи. Таблица – это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок   или   чертеж.   Она   предполагает   уже   хорошее   знание   учащимися взаимозависимостей пропорциональных величин, так как сама таблица этих взаимозависимостей не показывает.  Использование   графических   изображений   способствует   сознательному   и прочному усвоению многих понятий. Благодаря им, математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Соблюдение   точности   и   аккуратности   при   выполнении   рисунков,   схем, чертежей,   помимо   учебного,   имеет   важнейшее   воспитательное   значение. Аккуратно  выполненные   графические   изображения   в  значительной   степени способствуют   эстетическому   воспитанию   детей:   заставляют   любоваться неожиданным,   остроумным   графическим   решением   задачи,   стимулируют поиски   рациональных   путей   решения,   снижают   утомляемость,   повышают 17 активность,   воспитывают   внимание.   И   наоборот,   грубый   чертеж   мешает увидеть   скрытые   в   условии   задачи   закономерности,   на   которых   основано решение. Графические   изображения   служат   хорошим   и   удобным   средством   для организации   коллективной   и   индивидуальной   (дифференцированной) самостоятельной   работы   учащихся,   быстродействующим   средством   для проверки знаний учащихся. Правильно   построенные   графические   модели   условий   задач   позволяют ученикам   во   многих   случаях   сделать   прикидку   ожидаемого   ответа, графическую   проверку   правильности   решения   задачи,   выполненной аналитическим способом. Также графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на моделях легче увидеть, каких именно данных недостает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу. Умение   строить   учебные   модели   и   работать   с   ними   является   одним   из компонентов   общего   приема   решения   задач.   С   помощью   модели   словесно заданный   текст   можно   перевести   на   математический   язык   и   увидеть структуру   математических   отношений,   скрытую   в   тексте.   Использование одних и тех же знаково­символических средств при построении модели для математических   задач   с   разными   сюжетами   и   разных   типов   способствует формированию   обобщенного   способа   анализа   задачи,   выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения. Таким   образом,   использование   графической   модели   при   решении   задач обеспечит   качественный   анализ   задач,   осознанный   поиск   их   решения, 18 обоснованный   выбор   арифметического   действия,   рациональный   способ решения и предупредит многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи может быть использована и для составления и решения обратных задач для проведения исследования задачи. Модель помогает поставить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения; как изменяется значение   искомой   величины   в   зависимости   от   изменения   данных   величин; помогает   сделать   обобщения   теоретических   знаний;   развивает самостоятельность и вариативность мышления. Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова   его   структура,   основные   свойства,   законы   развития;   научиться управлять   объектом   или   процессом,   определять   наилучшие   способы управления при заданных целях и критериях. 19 3.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Для   решения   текстовых   задач   применяются   три   основных   метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов. I. Арифметический метод. Первым   этапом   решения   задач   арифметическим   методом   является   разбор условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью. Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот этап решения   проводится   учащимися   без   особых   затруднений   и   в   большинстве случаев носит тренировочный характер. Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся. 20 Пример решения задачи..                                                                                   Через 2 крана бак наполняется за 9 минут. Если бы был открыт только первый кран, то бак наполнился бы за 36 минут. За сколько минут наполнился бы бак  через один второй кран? Работа над текстом задачи. Что происходит в задаче? Известно ли время за которое наполняется бак с помощью двух кранов? С помощью первого крана? С помощью второго крана? Через второй кран бак будет наполняться больше или меньше девяти  минут? Какая часть бака наполняется за 1 минуту 2 кранами вместе? Какая часть бака наполняется 1 краном за 1минуту? Перевод текста на математический язык, установление  соотношений между данными и вопросом. Составляем таблицу: Время  Часть бака наполняется  заполнения бака 1 кран 36 2 кран ?  9 вмест е за 1 мин.  ?  ?  ?  План решения. Какая часть бака наполняется за 1 минуту 2 кранами вместе? Какая часть бака наполняется за 1 минуту первым краном? Какая часть бака наполняется за 1 минуту вторым краном? 21 За какое время наполняется бак через один 2 кран? Решение задачи:  часть бака наполняется за 1 мин 2 кранами вместе 1: 9 =  1 9 1 36  =  1: 36 =   ­  1 9 1 36  часть бака наполняется за 1 мин первым краном  часть бака наполняется за 1 мин вторым краном  =  1 12 3 36  = 12 (мин) наполняется бак одним вторым краном 1:  1 12 Ответ: 12 мин По окончанию решения задачи делаем проверку и оценку решения  задачи, задавая такие вопросы учащимся: Что показалось трудным в решении задачи? Есть ли другие способы решения? При   решении   текстовых   задач   арифметическим   методом   у   учащихся вырабатываются   определённые   умения   и   навыки,   которые   в   процессе дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.           При арифметическом   методе   решения   задач   формируются   около   56   основных умений и навыков. Из них, примерно,   38 умений и навыков приобретаются при решении задач как арифметическим, так и алгебраическим методами. К ним относятся следующие умения и навыки: 22 1. Краткая запись условия задачи.  2. Изображение условия задачи с помощью рисунка.  3. Логические приёмы мышления: наблюдение и сравнение, анализ и синтез,   абстрагирование   и   конкретизация,   обобщение   и ограничение,   умозаключения   индуктивного   и   дедуктивного характера и умозаключения по аналогии.  4. Выполнение арифметических действий над величинами (числами). 5. Изменение   (увеличение   или   уменьшение)   величины   (числа)   в несколько раз.  6. Нахождение разностного сравнения величин (чисел).  7. Нахождение кратного сравнения величин (чисел).  8. Использование   свойств   изменения   результатов   действий   в зависимости от изменения компонентов.  9. Изменение   (увеличение   или   уменьшение)   величины   (числа)   на несколько единиц величины (числа).  10.Нахождение дроби от величины (числа).  11.Нахождение величины (числа) по данной её (его) дроби.  12.Нахождение процентов данной величины (данного числа).  13.Нахождение величины (числа) по её (его) проценту.  14.Нахождение процентного отношения двух величин (чисел). 23 15.Составление пропорций.  16.Понятие   прямой   и   обратной   пропорциональной   зависимости величин (чисел).  17.Понятие производительности труда.  18.Определение производительности труда при совместной работе.  19.Определение   части   работы,   выполненной   в   течение   некоторого промежутка времени.  20.Определение скорости движения.  21.Определение пути, пройденного телом.  22.Определение времени движения тела.  23.Понятие   о   собственной   скорости   (скорости   в   стоячей   воде) движения тела по воде.  24.Нахождение   пути,   пройденного   двумя   телами   при   встречном движении.  25.Нахождение   скорости   движения   тела   по   течению   и   против течения реки.  26.Нахождение   времени   прохождения   телом   единицы   пути   при заданной скорости движения.  27.Нахождение   скорости   сближения   тел,   движущихся   в   одном направлении, и скорости удаления. 24 28.Нахождение   скорости   сближения   или   скорости   удаления   тел, движущихся   в   противоположных   направлениях   или   при встречном движении.  29.Нахождение   части   пути,   пройденного   телом   за   определённое время, когда известно время прохождения всего пути.  30.Нахождение   количества   вещества,   содержащегося   в   растворе, смеси, сплаве.  31.Нахождение концентрации, процентного содержания.  32.Нахождение стоимости товара, акции.  33.Нахождение цены товара, акции.  34.Нахождение прибыли.  35.Нахождение количества вредных веществ в воде, воздухе.  36.Нахождение себестоимости продукции.  37.Расчёт начислений банка на вклады.  38.Проверка решения задачи по условию.  Умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач только арифметическим методом, можно разбить на две группы. К первой группе относятся умения и навыки, которые необходимы для дальнейшего изучения математики. К первой группе относятся следующие умения и навыки:  1. Перевод календарного времени в арифметическое число. 25 2. Перевод арифметического числа в календарное время.  3. Нахождение времени предыдущего события.  4. Нахождение времени последующего события.  5. Нахождение промежутка времени между двумя событиями.  Все умения и навыки этой группы формируются в процессе решения задач на вычисление   времени,   т.е.   тех   задач,   которые   нет   смысла   решать алгебраически. Вторая группа – это те умения и навыки, без знания которых можно решить все текстовые задачи алгебраическим методом, и в дальнейшем их незнание не будет пробелом в математическом образовании учащихся. Ко второй группе относятся следующие умения и навыки:  1. Введение понятия "часть".  2. Выполнение действий сложения и вычитания частей.  3. Выполнение умножения и деления части на число.  4. Приём   уравнивания   большего   числа   с   меньшим   и   меньшего   с большим.  5. Приём   уравнивания   прибавлением   к   меньшему   числу   и вычитанием из большего числа их полуразности.  6. Определение числа частей, составляющих данное число.  7. Введение понятий условной единицы. 26 8. Нахождение дроби условной единицы и её частей.  9. Сравнение частей величин.  10.Сложение и вычитание частей единицы.  11.Метод   исключения   неизвестного   посредством   замены   одной величины другой.  12.Решение задач методом предположения.  13.Составление плана решения задачи.  Эти умения и навыки, несомненно, представляют интерес. Но почти все из них можно отнести к числу умений и навыков, формирующихся у учащихся при решении   нестандартных   задач.   Решение   таких   задач   следует   проводить систематически наряду с решением стандартных текстовых задач. II. Алгебраический метод. Под   алгебраическим   методом   решения   задач   понимается   такой   метод решения,   когда   неизвестные   величины   находятся   в   результате   решения уравнения   или   системы   уравнений,   решения   неравенства   или   системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным. При   решении   задач   алгебраическим   методом   основная   мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи. Вторым   этапом   является   решение   составленного   уравнения   или   системы уравнений, неравенства или системы неравенств. Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, 27 которая проводится по условию задачи. Пример решения задачи. Задача. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее   товарного   и   на   1   час   быстрее   пассажирского.   Найти   скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет   5/8  от   скорости   пассажирского   и   на  50   км/ч   меньше   скорости скорого. Решение (черновик). Отвечаем на вопросы, поэтапно составляя таблицу.  1.   Речь   идёт   о   процессе   движения,   которое   характеризуется   тремя величинами: расстояние, скорость, время (3 столбца таблицы). 2. В задаче 3 процесса: движение скорого, пассажирского и товарного поездов (3 строчки таблицы). Можно составить “скелет” таблицы. Расстояние (км) Скорость (км/ч) Время (ч) Величины Процессы Скорый поезд Пассажирский поезд Товарный поезд с с с с с с с с с 3. Заполняем таблицу в соответствии с условиями задачи 28 4. Вводим неизвестные величины:  x  км/ч – скорость товарного поезда,  y  ч – время движения скорого поезда. 5. Составим “модель”. (x+50)y = 8/5 x(y+1) 8/5 x(y+1) = x(y+4) 6.   Решаем   эту   систему.   Из   первого   уравнения   находим  у.   Из   второго уравнения находим х. Решение задачи (чистовик). Пусть  х  км/ч   –   скорость   товарного   поезда   (х>0),   у   ч   –   время   движения скорого поезда (у>0). Составляем таблицу. Расстояние (км) Скорость (км/ч) Время (ч) Величины Процессы Скорый поезд (х+50)у Пассажирский поезд 8/5 х(у+1) х+50 ? 8/5 х Товарный поезд х(у+4) х ? у у+1 у+4 По   условию   задачи   поезда   прошли   одно   и   то   же   расстояние.   Получаем систему уравнений 29 8/5 х(у+1) = х(у+4) (х+50)у = х(у+4). По условию задачи х>0, тогда  8(у+1) = 5(у+4) (х+50)у = х(у+4), 3у = 12 (х+50)у = х(у+4), у = 4 х+50 = 2х, у = 4 х = 50. Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х>0, у>0, значит, удовлетворяют условию задачи. 50 км/ч – скорость товарного поезда. 50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда. Проверка по условию задачи. 50 км/ч – скорость товарного поезда,  4+4 = 8 (ч) – время движения товарного поезда. 50*8 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл товарный поезд. 30 50*8/5 = 80 (км/ч) – скорость пассажирского поезда. 4+1 = 5 (ч) – время движения пассажирского поезда. 80*5 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл пассажирский поезд. 4 ч – время движения скорого поезда. 50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда. 100*4 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл скорый поезд. Каждый поезд прошёл одно и то же расстояние.  Задача решена  верно. Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч. Аналогично можно решать задачи “на работу”, “наполнение бассейна”. При алгебраическом методе решения формируются, примерно, 55 основных умений и навыков. Отличными от тех,  которые формируются при арифметическом их решении, являются следующие:  1. Введение неизвестного.  2. Введение двух неизвестных.  3. Введение трёх и более неизвестных.  4. Выполнение действий сложения и вычитания неизвестных.  5. Выполнение действий умножения и деления неизвестных. 31 6. Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.  7. Решение линейных уравнений.  8. Решение линейных неравенств.  9. Решение квадратных уравнений и неравенств.  10.Решение дробно­рациональных уравнений и неравенств.  11.Решение систем уравнений и систем неравенств.  12.Составление   одного   уравнения   (неравенства)   с   двумя неизвестными.  13.Решение уравнения (неравенства) с двумя неизвестными.  14.Выбор значений неизвестных по условию задачи.  15.Составление   уравнений   с   параметром   по   условию   текстовой задачи.  16.Решение уравнений с параметром.  17.Исследовательская работа.  В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, внедрением математики во все сферы практической деятельности большое значение   имеет   формирование   у   учащихся   не   отдельных   специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение.  К числу   этих   умений   и   навыков   относятся   умения   и   навыки,   которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом. III. Комбинированный метод. 32 Этот   метод   получается   в   результате   включения   в   алгебраический   метод решения задач решения, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств,   а   другая   часть   –   арифметическим   методом.   В   этом   случае решение текстовых задач значительно упрощается. Пример решения задачи Четыре   товарища   купили   телевизор.   Первый   внес   половину   суммы, вносимой   остальными,   второй   ­   треть   того,   что   внесли   все   его   товарищи, третий ­ четверть того, что все его товарищи, четвертый ­ оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор? Решение задачи: Пусть первый товарищ внес х р., второй ­ у р., третий — z р. тогда, решая   задачу   чисто   алгебраическим   методом,  по   условию   задачи   получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными. Комбинированный   метод   позволяет   получить   ответ   на   требование задачи более простым путем. Решение начнем алгебраическим методом. Пусть   первый   товарищ   внес  х  р.,   тогда   все   остальные   внесли   2х  р. Отсюда находим стоимость телевизора: х + 2х = Зх (р.). Значит, первый внес 1/3 стоимости телевизора. Пусть второй внес у р., тогда все остальные внесли Зу р. Отсюда находим стоимость телевизора: у + Зу = 4у (р.). Значит, второй внес 1/4  стоимости телевизора. 33 Пусть   третий   внес  z  р.,   тогда   все   остальные   внесли   4z  р.   Отсюда находим   стоимость   телевизора:  z  +   4z  =   5z  (p.).   Значит,   третий   внес   1/5 стоимости телевизора. Продолжим решение арифметическим методом. Первый,  второй   и   третий   внесли  1/3 +  1/4 +  1/5 =  47/60  стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные 1 ­ 47/60 = 13/60 стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит 650 * 60/13 = 3000 р. Ответ: 3000 р. При решении текстовых задач учащимся могут помочь несколько простых и общих советов. Совет   1.  Не   просто   прочитайте,   а   тщательно   изучите   условие   задачи. Попытайтесь   полученную   информацию   представить   в   другом   виде   –   это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи. Совет 2. Выберите наиболее рационально неизвестные. В задачах "на движение" – это обычно скорость, время, путь. В задачах “на работу” ­ производительность и т.д.  Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы   они   соответствовали   условию   задачи,   и   можно   было   составить соответствующую   “математическую   модель”   (уравнение,   неравенство, система уравнений или неравенств). Совет 3. Составьте  и решите  “математическую  модель”. При составлении “математической модели” (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. 34 Проследите   за   тем,   что   соответствует   каждой   фразе   текста   задачи   в полученной   математической   записи   и   чему   в   тексте   задачи   соответствует каждый   “знак”   полученной   записи   (сами   неизвестные,   действия   над   ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).  Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное. Если   решение   задачи   не   получается,   то   нужно   ещё   раз   прочитать   и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись). Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Например, не x и y, а x+y, x/y, 1/x и т.п. Если, кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель. Иногда неизвестные в задачах выражаются только целыми числами, тогда при решении задач нужно использовать свойства целых чисел. Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется   вернуться   к   самому   началу   задачи,   учитывая   и   анализируя   уже полученные результаты. При   решении   задач   короткую   запись   задачи   можно   сделать   с   помощью рисунка или таблицы. Таблица   является   универсальным   средством   и   позволяет   решать   большое количество идейно близких задач. Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению 35 задач разных типов. Вопросы к задаче с комментариями к ним:  1. О   каком   процессе   идёт   речь?   Какими   величинами (Количество   величин характеризуется   этот   процесс?   соответствует числу столбцов таблицы).  2. Сколько   процессов   в   задаче?   (Количество   процессов соответствует числу строк в таблице).  3. Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи; ставится знак вопроса).  4. Как   связаны   величины   в   задаче?   (Вписать   основные   формулы, выяснить связи и соотношения величин в таблице).  5. Какую   величину   (величины)   удобно   выбрать   в   качестве неизвестной или неизвестных? (Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).  6. Какие   условия   используются   для   составления   “модели”? (Выписать полученную “модель”)  7. Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать другие соотношения).  Решение   текстовых   задач   способствует,   с   одной   стороны,   закреплению   на практике   приобретённых   умений   и   навыков,   с   другой   стороны,   развитию логического мышления учащихся. 36 Наблюдается   активизация   их   мыслительной   деятельности   работы.   При правильной   организации   работы   у   учащихся   развивается   активность, наблюдательность,   находчивость,   сообразительность,   смекалка,   развивается абстрактное   мышление,   умение   применять   теорию   к   решению   конкретных задач. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их   помощью   учащиеся   получают   опыт   работы   с   величинами,   постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.   Использование   исторических   задач   и   разнообразных   старинных (арифметических)   способов   их   решения   не   только   обогащает   опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяет им осваивать важный культурно­исторический   пласт  истории  человечества, связанный   с поиском решения   задач.   Это   важный   внутренний   (связанный   с   предметом),   а   не внешний   (связанный   с   отметками,   поощрениями   и   т.п.)   стимул   к   поиску решения задач и изучению математики. Решение текстовых задач дает положительный результат при условии, что   решаются   они   на   каждом   уроке,   учитель   использует   разные   способы решения, не ограничивается только одним учебником, а использует учебники разных   авторов,   организует   конкурсы,   блиц   ­   турниры   и   другие   формы поддержки интереса к решению задач. 37 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1 Арнольд  В.И. Избранное. ­ М.: ФАЗИС, 1997. 2 Володарская И., Салмина Н. Моделирование и его роль в решении задач//Математика. – 2006. ­ № 18. – с. 2 – 7. 3 Володарская И., Салмина Н. Общий прием решения математических задач  // Математика (приложение к газете "1 сентября"). ­ 2005. ­ № 23. ­ С.12­14. 4 Демидова Т.Е., Тонких А.П.  Теория и практика решения текстовых задач. // М.: Издательский центр «Академия», 2002. 5 Сафонова   Л.А.   О   действиях,   составляющих   умение   решать текстовые задачи.// Математика в школе, 2000. – №8. – С.34­36. 6 Темербекова     А.А.   Методика   преподавания   математики:   Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 490с. 7 Фридман   Л.М.   Наглядность   и   моделирование   в   обучении.   М.: «Знание», 1984 г. – с.102­103. 38 8 Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика.   Учеб.   пос.   для   учителей   и   студентов   педвузов   и колледжей / М.: Школьная пресса, 2002. – 208с. 9 Хабибуллин   К.   Я.   Обучение   методам   решения   задач.//Школьные технологии. – 2004. ­ № 3. – с. 127 – 131. 10 Хинчин   А.Я.   О   воспитательном   эффекте   уроков   математики. Повышение  эффективности   обучения  математике  в  школе:  [Сб.] / Сост. Г.Д. Глейзер ­ М.: Просвещение, 1989. 11   Шевкин  А.В. Текстовые  задачи  в школьном  курсе  математики  // Математика (приложение к газете "1 сентября"). ­ 2005. ­ № 17. ­ С.22­30. 12   Шевкин   А.В.   Текстовые   задачи   в   школьном   курсе   математики// Математика (приложение к газете "1 сентября"). ­ 2005. ­ № 19. ­ С.17­26. 13   Шикова   Р.Н.   Работа   над   текстовыми   задачами.//­   М.: «Просвещение», 1991 г. – с.13.