Исследовательская работа «Неизвестное об известном или как сделать открытие. Число П равно 4?»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Новобатайская средняя общеобразовательная школа № 9 Кагальницкий район  Ростовская область Исследовательская работа Исследовательская работа «Неизвестное об известном или как сделать открытие. Число П равно 4?»   Автор: Алёхин Дмитрий,10 класс                                                                                Руководитель: Оноприенко                                                         Елена Владимировна,                                                       учитель математики                                                                          МБОУ Новобатайская СОШ№ 9 1 Содержание. 1)  Введение. – 1. 1)  Введение. – 1. 2) Цели и задачи. – 1. 2) Цели и задачи. – 1. 3) Что известно о числе П.  ­ 2. 3) Что известно о числе П.  ­ 2. 4) Утверждение о периметре прямоугольника. – 2. 4) Утверждение о периметре прямоугольника. – 2. 5) Вычисление числа П новым способом. ­3­5. 5) Вычисление числа П новым способом. ­3­5. 6) Заключение. ­ 6. 6) Заключение. ­ 6. 7) Литература. ­ 6. 7) Литература. ­ 6.                                                     Введение. Меня часто тревожит вопрос: как можно сделать какое­либо открытие  в  современном мире, если научный прогресс «дошёл до невиданных небес» и  кажется, что всё уже открыли до тебя? Актуальность. Человечеству необходимо разрешить множество современных проблем,  связанных с экологией, здоровьем, энергетикой, поэтому научные открытия  нужны именно сегодня. А что если посмотреть на известные утверждения  критично, пытаясь найти новую истину, своё понимание или открытие в  очевидных фактах. Цель моей работы – подвергнуть сомнению известные факты с целью поиска  Цель работы. новых знаний. Задачи. 2 1.Подобрать материал, который хотелось бы оспорить. 2. Найти новый способ доказательства известного утверждения. 3. Сравнить результаты нового доказательства и принятого традиционного. 4. В случае расхождения результатов попытаться объяснить их причины. Наблюдение, анализ, сравнение, предположение, синтез. Методы исследования.   Основная часть работы. В шестом классе мы опытным путём установили, что  , то есть отношению  длины окружности к диаметру окружности. В десятом классе мы узнали, что в  окружности П радиан, то есть П центральных углов, опирающихся на дугу  окружности, равную радиусу.  Принято считать, что   или  Попробуем рассчитать значение числа П другим способом.               Для этого предварительно докажем утверждение о периметре  прямоугольника.  Пусть дан прямоугольник АВСД, периметр которого равен Р. Тогда периметр фигуры, полученной путём вырезания прямоугольников от  вершин также будет равен Р.  Действительно, так как противоположные стороны прямоугольника равны, то  MN + QR +ET =BA Z С   RE + TS + KL = AD                                                         (рисунок 1) X W Q N B M   ZX + WL + KS = CD   QN + MZ + XW =BC R A E T 3 K L DS Значит периметр невыпуклого 12­и угольника равен периметру   прямоугольника АВСД, то есть равен Р.                                                                                                                    (рисунок 2)  Аналогично доказывается, что  периметр ступенчатого невыпуклого  многоугольника равен Р.                                                  Итак, приступим к вычислению значения числа П.  Рассмотрим  окружность радиуса   . Опишем около неё квадрат. Радиусы окружности,  проведённые в точку касания, перпендикулярны сторонам квадрата. Диаметр  окружности равен стороне квадрата, значит сторона квадрата равна 1.  Периметр квадрата равен 4.                                                                                                                           (рисунок 3) 4 Возьмём на окружности точку и опустим  перпендикуляры к сторонам квадрата. Периметр полученного невыпуклого   шестиугольника по доказанному ранее утверждению равен 4.                                                                                                        (рисунок 4)                         Выполнив аналогичные построения, получим, что периметр  данного 12­и угольника также равен 4. B Q N R A E T C X W K S L D 5 (рисунок 5)  Продолжим аналогичные построения. Очевидно, что периметр полученного в  результате многоугольника не изменяется.                            Обозначим количество углов нашего многоугольника за n. Выполняя те же  самые построения, устремим   . Согласно утверждению о периметре,  периметр построенного n­угольника не зависит от величины n и является  постоянным, то есть периметр n­ угольника  при   равен 4. Устремив   , мы получим n­угольник, который фактически сольётся со  вписанной в него окружностью. Таким образом,  мы получим утверждение, что  периметр n­угольника при   стремится к длине окружности, то есть      . Значит,  C=4.  Но  .                                                               Тогда                     ,  ,  . То есть П = 4.                       Как видно, полученные результаты расходятся   с принятыми  .  В чём причина такой погрешности нового доказательства?  Очевидных ошибок нет, Хотя, факт о равенстве периметра квадрата и длины  окружности, вписанного в квадрат,  вызывает сомнение.  Выходит  ­ это  софизм. Математический софизм – удивительное рассуждение, в  6 доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие  ошибки.  Решение софизмов порой служило толчком к новым открытиям.  Софизмы и парадоксы являются важным двигателем человеческой мысли.                 Теперь я могу предложить Вам раскрыть секрет предложенного  утверждения П=4, так как это только мой первый шаг в науку  и  доказательство  противоречивости  данного утверждения требует довольно  нетривиальных вычислений и математических знаний, которые выходят за  рамки школьного курса математики.  Заключение. Оказывается, анализировать известные факты, подвергать их сомнению очень интересно. В результате могут родиться новые идеи, открытия,  которые являются двигателем прогресса. Литература. • Ахманов А. С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960; Брадис В. М.,  Минковский В. Л., Харчева Л. К., Ошибки в математических  рассуждениях, 3 изд., М., 1967. • Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К., Ошибки в  математических  рассуждениях, 3 изд., М., 1967.  • Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. — М.: 1990.  • Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры,  фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994. 7 • Мадера А.Г и МадераД.А, “Математические софизмы”, М.,  “Просвещение”, 2003г.  • Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.  «Математическая шкатулка». – Москва, изд.  «Просвещение»,1988.   •  «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004 г.» 8