Исследовательская работа по математике " " В мире четырехугольников"

VII межмуниципальная научно­практическая конференция обучающихся общеобразовательных организаций «Школьная исследовательская инициатива» Физико­математическая секция                                            В мире четырехугольников Название работы: вид  работы ( проект)                                                                                                                                                                         Никулин Дмитрий  9 «А»                                  Муниципальное бюджетное образовательное учреждение                                                                                             Калачеевская СОШ №6                                                                                     Научный руководитель –                                                                          Кашкина Антонина Владимировна                                            учитель математики,  МБОУ Калачеевская СОШ №6                                                         Калач,  2017 год ОГЛАВЛЕНИЕ. Титульный лист……………………………………………………1. Оглавление………………………………………………………….2 Введение …………………………………………………………….3 Основная часть …………………………………………………….4­11 Заключение…………………………………………………………12 Библиографический список………………………………………..13        2 I.    Введение. 3 Актуальность темы:            Квадраты, ромбы, прямоугольники… каждый ученик сталкивается с ними в школе на уроках геометрии. Научная   формулировка   гласит,   что   геометрия   ­   это   раздел   математики, который изучает фигуры и свойства фигур на плоскости и в пространстве .           Можно   ли   представить   себе   мир   без   четырехугольников?   Стоит осмотреться, и мы увидим, что многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы, чаще всего – четырехугольники.   Стены,   пол   и   потолок   являются   прямоугольниками, комнаты,   кирпичи,   шкаф,   железобетонные   блоки,   напоминают   своей формой прямоугольный параллелепипед. Посмотрим на паркетный пол: планки паркета ­ прямоугольники или квадраты. Плитки пола в ванной, на тротуарах,   на   вокзалах   чаще   бывают   четырехугольными.  По   улице   их   окна   это движутся   автомобили,   троллейбусы,   автобусы, четырехугольники: трапеции, квадраты, прямоугольники.    Цель моей   работы  –  Провести   классификацию   четырехугольников, систематизировать   знания   для   подробного   изучения   темы «Четырехугольники»; разобрать модели­схемы, отвечающие теме; уметь применять теоретические знания в решении практических, занимательных задач,  активизировать   познавательную   деятельность   и   интерес   к геометрии. Исходя из цели, были поставлены следующие задачи:  1. Рассмотреть  определения четырехугольников . 2. Изучить виды, свойства, признаки  четырехугольников.  3.   Выяснить,     в   каких   областях   человеческой   деятельности 4 применяются четырехугольники. 4.Показать практическое применение данной теории.  Объект исследования: геометрические фигуры четырехугольники. Методы исследования:    изучение дополнительной литературы по данному вопросу; наблюдения в повседневной жизни; Обобщение и систематизация изученного материала . II Основная часть 2.1   Определение   четырехугольника.     Генеалогическое   древо четырёхугольников 2.2 Таблица классификации четырёхугольников 2.3 Параллелограмм 2.4 Ромб 2.5 Прямоугольник 2.6 Квадрат 2.7 Трапеция 2.8 Практическое применение четырехугольников в решении реальных задач. 2.1   Определение   четырехугольника. четырёхугольников.     Генеалогическое   древо Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек   (вершин)   и   четырёх   отрезков   (сторон),   которые   последовательно соединяют  вершины.  При  этом  никакие  три  из  данных  точек   не должны лежать   на   одной   прямой,   а   соединяющие   их   отрезки   не   должны пересекаться.  Каждый   четырехугольник   имеет   четыре   вершины,   четыре стороны и две диагонали. [1,19].     5 2.2 Таблица классификации четырёхугольников Четырехугольники Выпуклые Невыпуклые Параллелограмм Трапеция Прямоугольник Ромб Квадрат   Прямоугольная Равнобедре нная 6 2.3 Параллелограмм                                                                                                                                       Я ­ параллелограмм, Важнее всех фигур, Я всех их свойствами своими наделил, Но их достоинств я не смею умалить. Ведь место в геометрии есть и для них. Хоть стороны мои попарно и равны, и параллельны, Всё ж я в печали, что не равны мои диагонали, Да и углы не делят пополам. Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.  Свойства: 1.Противоположные   стороны  параллелограмма   равны   и   противоположные углы равны. 2.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.            Признаки: 1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то  этот четырёхугольник – параллелограмм 2.  Если в четырехугольнике две стороны попарно равны, то этот  четырехугольник – параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой  пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.  [1,15].      Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:  Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.  7 [4,7].     2.4 Ромб А я ­ особый параллелограмм, Все стороны мои наклонены,  да и к тому же все равны. Меня за это ромбом величают. Геометрической фигурой называют. Диагонали под прямым углом пройдут. На части равные фигуру разобьют. Ромб –   параллелограмм,   у   которого   все   стороны   равны.     Ромб   параллелограммом,   значит,   он   обладает   всеми   свойствами является   параллелограмма. Свойство: Диагонали   ромба   взаимно   перпендикулярны   и   делят   его   углы пополам,  т.е. диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.             Признаки: АВСD ромб, если 1.   АВСD  –параллелограмм,   перпендикулярны.    у   которого   диагонали   взаимно 2.5 Прямоугольник                                                                                                                                       A я ­ прямоугольник,                                                                              В отличие от всех. 8 Все стороны свои держу я строго, Две ­ чуть поменьше, ну а две побольше, Которые напротив ­ те равны, А те, что смежные, углом прямым скрепляю, И преимущество имею я:  «Ведь всё ж равны мои диагонали». Прямоугольником называется параллелограмм,  у которого все углы прямые. Свойство: Диагонали прямоугольника равны Признак: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм ­ прямоугольник. 2.6 Квадрат Рекомендуюсь: я ­ квадрат. Любую площадь я измерить рад. С глубокой древности я ­ мера площадей, Она в квадрате стороны моей. Имею я четыре стороны, И все они равны. Но у меня притом равны диагонали, Углы они мне делят пополам, На части равные разбит я ими сам. Вобрав всё важное в себя, Фигурой знатной стал и я Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства: Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника. 1.Все углы квадрата прямые. 2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения  делятся полам, делят углы  квадрата пополам. 9 2.7 Трапеция       А я ­ фигура, не похожая на всех. Хоть я и не параллелограмм, но    среди всех фигур мне место есть. Ведь у меня же параллельны основания. Бывают стороны равны, диагонали. Ещё углы при основании... Тогда трапецией я равнобедренной зовусь. Трапецией   называется   четырёхугольник,     у   которого   две     стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные   стороны     трапеции   называются   основаниями,   а   две другие   –   боковыми.   Высота   трапеции   –   перпендикуляр,   проведённый   из произвольной   точки   одного   основания   трапеции   к   прямой,   содержащей другое основание трапеции. Средней   линией   (первой   средней   линией)   трапеции   называется отрезок,   который   соединяет   середины   боковых   сторон   данной   трапеции: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.  У равнобокой трапеции:    диагонали равны: углы при основании равны: сумма противолежащих углов равна 1800 Трапеция   называется   прямоугольной,   если   одна   из   её   боковых   сторон перпендикулярна основаниям. 2.8   Практическое   применение   четырехугольников   в   решении реальных задач. Изучив   и   обобщив   знания   по   теме   :   «Четырехугольники»,     я   исследовал практическое применение данной темы в реальной геометрии.  10 Задача   №   1.  Как   используя   свойство   средней   линии   треугольника, провести через пункт  С  дорогу, параллельную дороге, соединяющей пункты А и В  Решите эту задачу, не используя вышеуказанного свойства. Решение:  АО  =  ОС.    На   луче  ВО отложим отрезок ОD, равный  ОВ. DС – искомая прямая  II  АВ, проходящая через     С. Какие   утверждения здесь использованы? (Признак   параллелограмма   по   диагонали   –   см. рис.1).                      Рис.1              Задача № 2. Деревни A, B, C, D расположены в вершинах прямоугольника. В   каком   месте   построить   мост   через   реку,   чтобы   он   был   одинаково удалён от всех деревень                                                                  А                                        С О   D                В           Рис. 2                                                     Рис.3 Точка О  ­ место строительства моста (точка пересечения диагоналей прямоугольника – рис.3). На основании какого свойства была решена данная задача? 11 Вывод: Свойства диагоналей прямоугольника. Задача   №   3.  Как,   используя   свойство   сторон   параллелограмма, измерить ширину озера (рис.4)? Построить отрезки АD и ВС так, чтобы  AD = BC; AD║BC.    ABCD  –   параллелограмм (признак  В C А D параллелограмма)    AB  =  DC.   Следовательно,   измерив  DC,    мы узнаем ширину озера. Вывод:  При   решении   этой   задачи   использовался   признак Рис.4 параллелограмма. Задача   №   4.  Жители   трех   домов,   расположенных   в   вершинах равнобедренного   треугольника   с   углом   120°,   решили   построить   общий колодец. Какое место для колодца им следует выбрать, чтобы все три дома находились от него на одинаковом расстоянии (рис. 5,6)?         Рис.5 А А C C B B D D Рис.6 Рис.6 Колодец   надо   строить   в   точке  D  –   четвёртой   вершине   ромба: 12 AD=CD=BD. Следовательно,  CD║AB;  ADBC,   т.к.  АС=АВBD=AD=DC  D  – искомая точка. Задача № 5. В центре площади расположен фонтан, около которого надо разбить 4 одинаковые клумбы с розами. Как рассадить 36 кустов роз ­ по  10  кустов  на  каждой  клумбе ­ с таким  расчетом,  чтобы  фонтан  был одинаково удален от всех клумб (рис.7)?                                                               Рис. 7.            О                           III Заключение  В процессе работы над проектом я исследовал, в каких задачах живут  четырехугольники. Были сделаны выводы о применении свойств и  признаков четырехугольников в технике, строительстве, быту и т.д. Мне  была интересна эта работа, я понял,  что знания о четырехугольниках  помогут мне успешно учиться дальше. Я думаю, цель и поставленные мною  задачи были выполнены.  Вывод: четырехугольники – просто, сложно, интересно! 13 IV Библиографический список:  Интернет­ресурсы 1. http://images.astronet.ru/pubd/2003/03/15/0001187674/file0013.gif  2. http://www.peoples.ru/science/mathematics/pifagor  3. http://th­pif.narod.ru/biograph.htm 4. http://ru.wikipedia.org – Википедия – свободная энциклопедия 5. http://www.nigma.ru – интеллектуальная поисковая система 6. Атанасян   Л.С.   Геометрия   7­9:   учеб.   Для   общеобразоват. Учреждений – М.: Просвещение, 2013 7. Большая  энциклопедия Кирилла и Мефодия – 2010 8. Глейзер Г.И. «История математики» 14 9. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: ООО «Издательство                               АСТ», 2003. – 408 с. 15