Исследовательская работа по математике «Координатная плоскость»

I  .Перемещение изображений на координатной плоскости  1. Перемещение по вертикали           На рис. 1  изображена веточка дуба с тремя желудями. Причем два  желудя совершенно одинаковы и расположены так,  что если переместить верхний желудь строго по вертикали на 9 ед.  вниз, то он в точности совпадёт с нижним желудем и, наоборот,  верхнее изображение может быть получено посредством  перемещения нижнего на 9 ед. по вертикали вверх. Мы попытались ответить на вопросы: • Как взаимосвязаны координаты точек изображений  верхнего и нижнего желудей?  • Вообще, как изменятся координаты точек фигуры, если  переместить эту фигуру на некоторое число единиц вверх (вниз) по вертикали?          • Пронумеруем узловые точки  изображений обоих желудей  одинаковыми числами от 1 до 9.                                                             • Определим координаты всех точек верхнего желудя и  записали их в первой строке таблицы, приведенной ниже.                                     Рис1.                                                            • Найдём координаты точек нижнего желудя и запишем их                                                                                                 во второй строке таблицы.            • Сравним координаты соответствующих точек изображений и сделаем вывод. ВЫВОД: Если переместить изображение фигуры вертикально вниз (вверх) по координатной плоскости, то абсциссы его  точек совпадут, а ординаты изменятся на одно и то же число, равное 9 единицам, на которое выполнено перемещение. 1              2        3        4         5        6         7        8          9   (­9;14)   (­8;13)    (­8;12)    (­8;9)    (­10;8)    (­12;9)    (­12;12)    (­12;13)    (­11;14) 4     (­9;5)    (­8;4)     (­8;3)     (­8;0)    (­10;­1)    (­12;0)    (­12;3)    (­12;4)    (­11;5) Номера  узловых  точек Координат ы  Узловых  точек  верхней  фигуры  Координат ы  узловых  точек  нижней  фигуры 5 2. Перемещение по горизонтали      На рис. 2 изображён игрушечный состав,  состоящий из локомотива и трех вагонов. Первый и третий вагоны совершенно одинаковы и рас­ положены так, что если изображение третьего  вагона переместить строго по горизонтали вправо  на 18 ед., то оно в точности совпадет с  изображением первого вагона и, наоборот,                                         Рис 2.                                                                                           перемещая фигурку первого вагона на 18 ед.   влево  по горизонтали, можно совместить ее с фигуркой третьего вагона.  • Как взаимосвязаны координаты точек изображений первого и последнего вагонов?  • Вообще, как изменятся координаты точек фигуры, если переместить эту фигуру на некоторое число единиц вправо  (влево) по горизонтали? • Пронумеруем узловые  точки  изображений первого и третьего вагонов одинаковыми числами от 1 до 20.  • Определим координаты всех точек изображения третьего вагона и запишем их в первой строке таблицы, приведенной  ниже.  • Найдём координаты всех точек изображения первого вагона и запишем их во второй строке таблицы. Сравним  координаты соответствующих точек двух изображений и сделаем вывод. ВЫВОД: Если переместить изображение фигуры на координатной плоскости влево (вправо) по горизонтали, то  ординаты его точек совпадут,    а абсциссы изменятся на одно и то же число, равное 18 единицам, на которое выполнено  перемещение. 1    2    3   4   5    6    7    8    9  10  11   12   14   15   17   18   19  16  13 6   20 ­5; 7 ­5; 3 ­7; 3 ­6; 2 ­6; 1 ­7; 0 ­8; 0 ­9; 1 ­9; 2 ­8; 3 ­11; 3 ­10; 2 ­10; 1 ­11; 0 ­12; 0 ­13; 1 ­13; 2 ­12; 3 ­14; 3 ­14; 7 13; 7 13; 3 11; 3 12; 2 12; 1 11; 0 10; 0 9; 1 9; 2 10; 3 7; 3 8; 2 8; 1 7; 0 6; 0 5; 1 5; 2 6; 3 4; 3 4; 7 Номера  узловых  точек Координа ты  узловых  точек 3  вагона  Координа ты  узловых  точек 1  вагона 3. Перемещение в произвольном направлении На рис. 3 изображен ландыш, у которого четыре цветка. Изображения второго и  четвертого цветков совершенно одинаковы, и если второй цветок переместить на 10 ед. вниз строго по вертикали и на 6 ед. влево строго по горизонтали, то он в точности совпадет с  четвертым цветком и наоборот, если изображение четвертого цветка переместить на 10 ед.  вправо строго по горизонтали и вверх на 6 ед. строго по вертикали, то оно полностью  совпадет с изображением второго цветка.  • Как взаимосвязаны координаты изображений второго и четвертого цветков  ландыша?  7 • Вообще, как изменятся координаты точек фигуры, если переместить эту фигуру по  координатной плоскости в произвольном направлении, не изменяя ее ориентации  относительно горизонтали или вертикали?  • Пронумеруем узловые точки изображений обоих цветков одинаковыми числами от  1 до 8.   • Определим координаты всех точек второго цветка и запишем их в первой строке  таблицы, приведенной ниже.   • Найдём координаты всех точек четвертого цветка и запиши их во второй строке  таблицы.          Рис 3.                                                                                                     • Сравним координаты соответствующих точек изображений и сделаем вывод. ВЫВОД: Если переместить фигуру по координатной плоскости в произвольном направлении, не изменяя ее ориентации  относительно вертикали или горизонтали, то абсциссы  всех ее точек изменятся на 6 единиц, и ординаты всех ее точек  изменятся на 10 единиц. 1         2         3         4         5         6         7         8      (11; 20)      (12; 19)      (13; 16)    (11,5; 17)      (11; 15)    (10,5; 17)      (9; 16)     (10; 19)       (5; 10)       (6; 9)        (7; 6)       (5,5; 7)        (5; 5)     (4,5; 7)       (3; 6)       (4; 9) 8 Номера  узловых  точек Координат ы второго  цветка Координат ы  четвёртого  цветка Выводы, сформулированные в примерах 1­3, позволяют записывать координаты перемешенных фигур, не  прибегая к их изображениям на координатной плоскости.  При этом надо знать:  1) координаты исходной фигуры;  2) направление перемещения: вправо, влево, вниз, вправо и вверх, вправо и вниз, влево и вверх, влево и вниз;  3) число единиц, на которое это перемещение выполнено, 4) характер изменения координат (выводы 1­3).  На первых порах полезно запись вести в таблице, аналогичной тем, которые использовались выше. Узловые  точки исходной фигуры можно нумеровать в произвольном порядке, но лучше это делать в той  последовательности, которая быстрее позволит восстановить контур перемешенной фигуры. II   . Симметричное отображение изображений от осей координат 9 1. Симметричное отображение от оси ординат На рис 4.  изображены бодающиеся козлики. Их фигурки совершенно  одинаковы, но расположены по­разному: они ориентированы навстречу друг  другу, а, если перегнуть лист по оси ординат, то их изображения полностью  совпадут. В этом случае говорят, что фигуры симметричны относительны оси  ординат.                                     • Как взаимосвязаны координаты узловых точек фигурок бодающихся  козликов?  • Вообще, как изменятся координаты точек фигуры при симметричном                               Рис 4.                                  отображении этой фигуры от оси ординат? • Пронумеруем 10 узловых точек обеих изображений козликов.  • Определим координаты точек изображения правого козлика и запишем их в первой строке таблицы, приведенной ниже.  • Найдём координаты 10 точек изображения левого козлика и запишем их во второй строке таблицы.             • Сравним координаты соответствующих точек двух изображений и сделаем вывод. Номера  узловых  точек Координ аты  правой  фигуры Координ аты  левой  фигуры 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3; 10) (8; 11) (14; 11) (18; 10) (20; 10) (19; 9) (18; 7) (17,5; 5) (18; 1) (18; 0) (­3; 10) (­8; 11) (­14; 11) (­18; 10) (­20; 10) (­19; 9) (­18; 7) (­17,5; 5) (­18; 1) (­18; 0) ВЫВОД: Ординаты точек фигур симметричных относительно оси ОУ, не изменятся, а их абсциссы изменятся на  противоположные числа. 10 11 2. Симметричное отображение от оси абсцисс        На рис. 5 изображена бабочка, верхняя и нижняя половины которой  совершенно одинаковы и расположены так, что если перегнуть лист по оси  абсцисс, то они полностью совпадут. В этом случае говорят, что прямая ОХ  является осью симметрии фигуры, а верхняя и нижняя половины фигуры  симметричны относительно оси абсцисс. • Как взаимосвязаны координаты узловых точек верхней и нижней части  изображения бабочки? • Вообще, как изменятся координаты точек фигуры при симметричном  отображении этой фигуры от оси абсцисс?          • Пронумеруем 9 узловых точек верхней и нижней части бабочки  одинаковыми числами от 1 до 9.  • Определим координаты точек верхней части изображения и запишем их  в первой строке таблицы, приведенной ниже.  • Найдём координаты точек нижней части изображения и запишем их во  второй строке таблицы. Рис 5.                                 • Сравним координаты соответствующих точек и сформулируем вывод. ВЫВОД: Абсциссы точек, симметричных относительно оси ОХ, не изменятся, а их ординаты изменятся на  противоположные числа. 12 Номера  узловых  точек Координ аты  верхней  части фигуры Координ аты  нижней  части  фигуры 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (­10; 5) (­8; 10) (­3; 13) (­1; 10) (0; 13) (3; 13) (7; 12) (8; 8) (5; 3) (­10; ­5) (­8; ­10) (­3; ­13) (­1; ­10) (0; ­13) (3; ­13) (7; ­12) (8; ­8) (5; ­3) 13 3. Симметричное отображение от обеих осей координат  На рис. 6 изображены три стрелы летящих в разных направлениях. Первая  стрела летит на северо­восток, вторая ­ на северо­запад, а третья — на юго­запад.  Поскольку первая и вторая фигуры симметричны относительно оси ординат, а  вторая и третья ­ симметричны относительно оси абсцисс, можно сказать, что тре­ тья фигура получается путем последовательного отображения фигуры 1от оси  ординат и оси абсцисс. При этом ориентация фигуры (направления полета стрелы) сменилось на обратное: было северо­восточным, а стало юго­западным.  • Как взаимосвязаны координаты узловых точек первой и третьей фигур?   • Вообще, как изменятся координаты точек фигуры при симметричном  отображении этой фигуры сначала от оси ординат, а затем от оси абсцисс? • Пронумеруем узловые точки первой и третьей стрелы одинаковыми  числами от 1 до 10.  • Определим координаты всех точек изображения 1 и запишем их в первой    Рис 6.                                                                  строке таблицы, приведенной ниже.                                                                            • Найдём координаты всех точек изображения 3 и запишем их во второй  строке таблицы. Сравним координаты соответствующих точек и сформулируем вывод. ВЫВОД: Если симметрично отобразить изображение фигуры сначала от одной оси координат, а затем от другой, то абс­ циссы его точек  изменятся на противоположные числа, и ординаты его точек изменятся на противоположные числа. 5 8 9 1 2 3 4 6 7   (4; 2) (3; 2) (6; 5) (7; 5) Номера  узловых  точек Координ аты  изображ ения 1  фигуры Координ аты изображ ения 3  фигуры Сформулированные в заданиях выводы 1­3 позволяют выполнять симметричное отображение  (­11; ­9)   (­4; ­2) (­4; ­1) (­9; ­8) (­10; ­7) (­3; ­2) (­6; ­5) (­7; ­5) (4; 1) (9; 8) (11; 9) (10; 7) (­7; ­4) (7; 4) 10 (10; 8) 14   (­10; ­8) изображений от осей координат сразу в координатах без построения самих изображений на координатной  плоскости. А для этого необходимо знать: а) координаты узловых точек исходного изображения; б) вид  симметрии; в) характер изменения координат (выводы 1­3).  15 Исследовательская работа  по математике: «Координатная плоскость» Абстракт:     Научно – практическая работа написана на тему: «Координатная  плоскость». Объектом исследования данной работы является координатная плоскость и координаты точек. Целью работы является попытка выявить различные способы перемещений изображений на координатной плоскости и  симметричное отображение изображений от осей координат. Гипотеза: как можно с помощью красивых фигурок разнообразить изучения тем: «Координатная плоскость»,  «Симметрия».    1. Работа с литературой. 2. Нахождение способов поставленной цели. 3. Обработка результатов. Этапы исследования:  Работа носила исследовательско ­ практический характер. Все виды перемещений и симметрии рассматривались  самостоятельно.  Работа состоит из введения, двух глав (1глава – перемещение изображений на координатной плоскости, 2 глава –  симметричное отображение изображений от осей координат), заключения, списка используемой литературы. Аннотация научного проекта, написанного на тему: 1 «Координатная плоскость». Целью исследования стала попытка выявить различные способы перемещений изображений на координатной плоскости и  симметричное отображение изображений от осей координат. Новизна исследования в том, что в данной работе рассматриваются способы перемещений изображений на координатной  плоскости и симметричное отображение изображений от осей координат.  Рассматривая данные способы, были использованы умения изображать точки по заданным координатам (находить  координаты соответствующих точек, симметричных точек). Ученицы, рассмотрели способы перемещений изображений на координатной плоскости и симметричное отображение  изображений от осей координат, проделав предварительную работу по их отбору, классификации и построению.  Проведенные исследования помогают авторам приобрести новые знания и умения. Отмечаются хорошие знание авторами  учебного материала, умение делать выводы. Работа выполнена грамотно с соблюдением всех необходимых требований. Введение. 2 Когда красота притягивает,  а исследование увлекает. Красота всегда притягательна, в образовательном процессе она не оставляет равнодушным никого. Поэтому она так  важна в учебном процессе, с её помощью усиливается интерес к математической деятельности, создаются условия для  единения эмоционального и рационального и тем самым усиливается развивающий эффект обучения. Изучая тему «Координатная плоскость» учились отмечать координаты точек, рисовать занимательные фигурки по  координатам. Когда стали  изучать симметрию, мы задумались, а можно ли перемещать изображений на координатной плоскости  и существуют ли фигуры, которые имеют симметричное отображение изображений от осей координат. 3 Заключение. При выполнении работы были сформулированы выводы, которые позволяют выполнять симметричное отображение  изображений от осей координат сразу в координатах без построения самих изображений на координатной плоскости, и   позволяют записывать координаты перемешенных фигур, не прибегая к их изображениям на координатной плоскости. Список литературы: 16 1. Я.И.Перельман «Занимательная математика» М. «Наука», 1978г., 200стр. 2. Приложение к газете «1 сентября» «Математика в школе» 2000 г №4, №5. Содержание: 17 1. Абстракт………………………………………………….1 2. Этапы исследования……………………………………..1 3. Аннотация………………………………………………..2 4. Введение………………………………………………….3 5. Глава 1…………....………………………………………4 6. Глава 2……………………………………………………10 7. Заключение ……………………………………………...16 8. Список литературы……………………………………...17