Исследовательская работа по математике на тему "Длина вектора как мера схожести объектов" (11 класс, математика)

Научно­практическая конференция школьников «Вектор познания» СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ Длина вектора как мера схожести объектов Исследовательская работа Автор – Пикунов Данила Сергеевич, обучающийся 11А класса МБОУ «СОШ №34» г. Владимира Научный руководитель – Худова Ирина Александровна учитель математики МБОУ «СОШ №34» г. Владимира Владимир 2018 Содержание 3 Введение Виды расстояний между координатами  5 Задача определения схожести между двумя объектами  Заключение9 Список использованной литературы 10 7 Введение Каждый   день   в   мире   появляется   огромное   количество   информации. Информация формируется при покупке еды в магазинах, при оплате бензина на АЗС,   при   посещении   поликлиники   и   очередной   покупке   в   каком­нибудь популярном интернет­магазине. Одним из ключевых конкурентных преимуществ современного предприятия является умение быстро и эффективно обрабатывать и делать правильные выводы по проведенному анализу. Навык быстрее остальных получать информацию и использовать ее в рамках усиления своих позиций на рынке и улучшения условий для покупателей. Учитывая темпы роста объемов информации, ежегодно в мире появляются все более и более прогрессивные методы анализа огромных массивов данных. Эффективное   использование   математического   аппарата   в   совокупности   с информационными   технологиями   дает   очень   большое   конкурентное преимущество.  Как  следствие,  все  более   ценными  становятся   специалисты  по анализу   данных,   которые   умеют   оперативно   и   качественно   обрабатывать информацию. Основной целью данной исследовательской работы является рассмотрение одного из разделов математики, который позволяет определять сходство между различными   объектами.   Где   может   использоваться   данная   математика?   В современном   мире   многие   информационные   пользовательские   системы используют   алгоритмы   сравнения   объектов   –   это,   например,   алгоритмы распознавания   лиц,   тесты   на   качество   продукции,   поиск   сходств   и   различий между различными социальными и экономическими объектами. Безусловно, текущий уровень развития математических методов требует фундаментального   изучения   прикладной   науки   в  области   теории   вероятности, дифференциальных   уравнений,   теории   игр   и   прочих   разделов   математики. Однако, даже базовые понятия математики позволяют производить операции по прикладному анализу и обработке данных.  3 Одним   из   фундаментальных   понятий   современной   математики   являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря   широкому   использованию   этого   понятия   в   различных   областях математики, механики, а так же в технике.       Вектор относительно новое математическое понятие. Он появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в его работах   по   построению   числовых   систем,   обобщающих   комплексные   числа. Гамильтону   принадлежат   и   термин   «скаляр»,   «скалярное   произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика   Джозайи   Уилларда   Гиббса   (1839   –   1903),   который   в   1901   году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.        Конец   прошлого   и   начало   текущего   столетия   ознаменовались   широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были   использованы   при   построении   специальной   и   общей   теории относительности,   которые   играют   исключительно   важную   роль   в   современной физике.        Понятие  вектора  возникает  там,  где  приходится  иметь  дело  с объектами, которые   характеризуются   величиной   и   направлением.   Например,   некоторые физические   величины,   такие,   как   сила,   скорость,   ускорение   и   др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим   указанные   физические   величины   удобно   изображать   направленными отрезками. 4 Виды расстояний между координатами Сходство или различие между объектами классификации устанавливается в зависимости от выбранного метрического расстояния между ними. Если каждый объект описывается i свойствами (признаками), то он может быть представлен как   точка   в i­мерном   пространстве,   и   сходство   с   другими   объектами   будет   При   классификации определяться   как   соответствующее   расстояние. используются различные меры расстояния между объектами. Евклидово расстояние Это, пожалуй, наиболее часто используемая мера расстояния. Она является  геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется  следующим образом: где:  – расстояние между объектами А и В;  – значение i ­ свойства объекта А;  – значение i ­ свойства объекта В. Естественно, с геометрической точки зрения, евклидова мера расстояния может оказаться   бессмысленной,   если   признаки   измерены   в   разных   единицах.  Чтобы исправить положение, прибегают к нормированию каждого признака. Применение евклидова расстояния оправдано в следующих случаях: 5  свойства   (признаки)   объекта   однородны   по   физическому   смыслу   и одинаково важны для классификации;  признаковое пространство совпадает с геометрическим пространством. Квадрат евклидова расстояния Данная мера расстояния используется в тех случаях, когда требуется придать  больше значение более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние  вычисляется следующим образом: Взвешенное евклидово расстояние Применяется в тех случаях, когда каждому i ­ свойству удается приписать  некоторый «вес»  классификации: , пропорционально степени важности признака в задаче  Определение весов, как правило, связано с дополнительными исследованиями,  например, организацией опроса экспертов и обработкой их мнений. Хеммингово расстояние Также называется манхэттенским, сити­блок расстоянием или расстоянием  городских кварталов. Это расстояние является разностью по координатам. В  большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как  и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние 6 отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не  возводятся в квадрат). Хеммингово расстояние вычисляется по формуле: Процент несогласия Эта мера расстояния используется в тех случаях, когда свойства (признаки)  объекта являются категориальными: Например, первый признак объекта – пол, второй – возраст, третий – место  работы. Представим значения свойств (признаков) объекта в виде вектора  значений. Первый вектор – (муж, 20 лет, учитель), второй вектор – (муж, 28 лет,  менеджер). Процент несогласия равен 2/3. Эти вектора различаются на 66.6%. Задача определения схожести между двумя объектами Исходная задача – определить, какой из субъектов Российской Федерации  наиболее близок по уровню жизни к Владимирской области. Исходные данные – набор общедоступной региональной информации. Для  анализа мы выбрали следующие показатели (таблица «Исходные данные» лист  «Исходные данные» файл «Расчеты.xslx»): ­ процент городского населения в регионе; ­ процент работающего населения с высшим образованием; ­ количество населения на 1 точку доступа Internet; ­ средняя зарплата; ­ кредиты на душу населения; ­ депозиты на душу населения; ­ соотношение депозиты/кредиты. Каждому региону у нас соответствует набор из 7 показателей, это ничто иное,  как точка в пространстве, у которой 7 измерений: 7 А = (x, y, z, ….),  где координаты – это значения выбранных нами показателей Так как значения, характеризующие различные показатели, не нормированы,  нам необходимы привести их в единую систему, для того, чтобы наши расчеты  были корректными: ­ показатели по г. Москва примем как эталон для всей страны; ­ значение показателя в каждом отдельном регионе разделим на значение  данного показателя в г. Москве. Данные готовы для расчетов (таблица «Нормированные исходные данные»  лист «Исходные данные» файл «Расчеты.xslx»). С целью определения наиболее похожего региона ко Владимирской области  мы будем использовать евклидово расстояние. Формализуя задачу, можем ее представить следующим образом – какой из  векторов имеет наименьшую длину, причем у каждого вектора одна из координат  – Владимирская область, а вторая ­  сравниваемый регион. В итоге, получили следующие результаты: Наиболее близкие регионы по уровню жизни 1. Ивановская область – 0,125 2. Костромская область – 0,175 3. Рязанская область – 0,204 Наиболее непохожие регионы 1. Чеченская республика – 8,26 2. Республика Дагестан – 9,75 3. Республика Ингушетия – 31,34 Заключение 8 В   результате   проведения   данной   исследовательской   работы   нами   были достигнуты следующие результаты: 1) Мы   рассмотрели   применение   векторной   алгебры   для   решения   задач практического характера; 2) Ознакомились   с   наиболее   часто   встречающимися   мерами   измерения расстояния между координатами; 3) Рассмотрели интересующую нас практическую задачу о сравнении разных регионов по сравнению со Владимирской областью; 4) Получили практический опыт прикладного анализа данных и формирования аналитических выводов. Рассмотренная   тема   позволяет   развивать   исследовательскую   работу   в направлении   дальнейшего   анализа   сходства   объектов.   Примененные математические методы позволяют анализировать иные объекты и их сходство и   различие   совершенно   из   разных   отраслей   экономики,   таких   как   ритейл (сегментирование   клиентов),   медицина   (выявление   патологий   болезней   на ранних стадиях) и прочих. Список использованной литературы 9 1. Геометрия.   Учебник   для   10­11кл.   Атанасян   Л.С.   и   др.   2016 ­255с. 2. Курс социально­экономической статистики. Под редакцией  доктора экономических наук, профессора М.Г. Назарова.  Москва, 2000. 3. Официальный сайт Центрального банка Российской Федерации, www   .  cbr    .  ru. 4. Официальный   сайт   Федеральной   службы   государственной статистики, www   .  gks   .  ru. 10