Исследовательская работа по теме: "Алгебраический метод геометрических построений"

Исследовательская  работа на тему: «Алгебраический метод геометрических построений»                                                                                              Научный                                                                                              руководитель:     Дуванская Татьяна  Ивановна     г. Сальск Оглавление Введение………………………………………………………….. 3 Суть алгебраического метода…………………………………...4 Формулы, использующиеся для построений……………… ..4­6 Примеры построения отрезков……………………………...6­12 Примеры решения задач…………………………………….12­13 Критерий разрешимости и основные действия ....…………13 Введение Выбор темы «Алгебраический метод геометрических построений», как темы   моей   исследовательской   работы,   обусловлен   тем,   что   в   программе школьного   курса   геометрии   рассматриваются   наиболее   простые   задачи   на построение, тогда как на олимпиадах и на вступительных экзаменах часто встречаются задачи высокого уровня сложности. Цель работы:  проанализировать алгебраический метод решения задач на                        построение.  выяснить, можно ли выразить формулой длину искомого отрезка через  длины данных отрезков.  рассмотреть решение задач с использованием данного метода  Сформировать умение строить отрезки по данным формулам. В моей исследовательской работе две части. В первой части основного раздела «Алгебраический метод геометрических  построений» рассмотрена сущность метода, приведены примеры основных  построений.  Во второй части представлены решения задач на построение отрезков и фигур с использованием метода. В конце работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал,  рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для  самостоятельного решения. Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного  курса в классах физико­математического профиля, а также  при подготовке к  олимпиадам. Анализ алгебраического метода Алгебраический метод решения задач на построении ­ один из важнейших методов   теории   конструктивных   задач.   Именно   с   помощью   этого   метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов. Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи,   решение   которых   обычными   способами   затруднительно.   Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии. Суть метода состоит в следующем: а) задача сводится к построению некоторого отрезка; б)   используя   известные   геометрические   соотношения   между   искомыми   и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные; в)   решая   уравнение   или   систему   уравнений,   выражают   формулой   длину искомого отрезка через длины данных; г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно); д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура. Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение. В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой   отрезков,   заданных   следующими   некоторыми   простейшими формулами : Формула №1   х = а + b (рис. 8). Формула №2   х = а ­ b(а > b) (рис. 9). Рис. 8 рис.9 Формула №3   х = nа,  где n — натуральное число. Сводится к построению 1). На рис. 10 построен отрезок х, такой, что х = 6а. Рис.10 рис.11 Формула №4    х =   . Строим   луч,   выходящий   из   какого­либо   конца   О   данного   отрезка   а   под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b,  так что OB = nb (см.  рис. 11). Соединяем  точку  В со  вторым концом   А   отрезка   а.   Через   точку   В1,   определяемую   условием   0В1   =   b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A1, в которой она пересечет отрезок а. Формула №5     х =  (построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам). Запишем условие в виде пропорции с : а = b : х. Пусть (рис. 12) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки  О.  На  другом  луче,  исходящем  из  той  же   точки   под  произвольным углом, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х Рис.12 рис.13 рис.14 Формула №6  х =  (построение среднего пропорционального двух данных отрезков). Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 13). В точке С восставим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD. Формула №7    х =  Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 14).  (a > b). Формула №8   х =   Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b. К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.  Пример     1 Построить отрезок х, заданный формулой:  , где отрезок а=3см; в=1см X= Построение: 1)Строим x1= b∗b a а в в Х1 2) Строимх2 3) Строим х3 4) Строим х4 5) Строим х5=5*a 6) Строим х6 =х5­х1 7) Строим х7= (а*х4)/х6  В итоге всех этих построений мы нашли искомый отрезок  х В данном построении использованы формулы №1, №2,№3,№5 Пример 2 Построить отрезок х, заданный формулой: Построение: Для того чтобы облегчить построение, упростим заданную формулу: , где отрезока=3; в=1  Х=  Х=  1) Построим х1 2) Построим х2 3) Построим х3 4) Построим х4 5) Построим х5 , где АХ=Х5 6) Построим х6 , где АХ=Х6 В итоге всех этих построений мы нашли конечный отрезок  х6=х (искомому отрезку) В данном построении использованы формулы №5, №7,№6. Пример 3 Задача: Из вершин данного треугольника, как из центров, описать три круга, которые попарно прикасаются внешне. Решение. Пусть А, В, С— вершины данного треугольника, b, c— его стороны. Тогда x+y=c;x+z=b;y+z=a. Поэтому 2x+2y+2z=a+b+c; x+y+z=1 2 (a+b+c). Следовательно x=c+b−a 2 ,y=a+c−b ,z=a+b−c 2 2 Построим один изотрезков, например x=c+b−a 2 ,и проведем круг с центром в   точке   А   радиуса,   длинакоторогоравняется c+b−a 2 .   Два   других кругапроводимизцентров В иС соответственнорадиусов с−х   и  b−x . Пример 4 Задача: Через   точку   D,   которая   принадлежит   стороне   ВС   треугольника   АВС, провести   прямую,   которая   разделяет   площадь   треугольника   пополам. Решение. Пусть DE— искомый отрезок . .Если   M1   –   середина   отрезка   ВС,   то Тогда DC BC∗CE AC =1 2 SDEC = SABC DC∗CE 2M1C∗AC=1 2 . Следовательно  DC M1C=AC CE   ; Таким   образом,   чтобы   найти   точку   Е,       проведем   отрезок   M1E параллельный AD. Отрезок DE — искомый. Критерий разрешимости    . Для   того   чтобы   циркулем   и   линейкой   можно   было   построить   отрезок, необходимо   и   достаточно,   чтобы   длину   искомого   отрезка   можно   было выразить через длины даннях отрезков при помощи конечного числа основних действий. Основные действия.  Операции сложения, умножения, вычитания, деления, извлечение квадратного корня.