Исследовательская работа по теме: «Кубик Рубика: игра, математика, спорт»

Муниципальное бюджетное  общеобразовательное учреждение «Лицей №1» Исследовательская работа по теме: «Кубик Рубика: игра, математика, спорт» Выполнил: Глеб Кожанов  ученик 7 «Д» класса МБОУ «Лицей №1»  Руководитель: Е.А. Казьменко учитель математики МБОУ «Лицей №1» 2017 г. г. Воронеж Оглавление Введение...................................................................................................................3 Теоретическая часть................................................................................................4 Что такое кубик Рубика?.......................................................................................4 История создания кубика Рубика.........................................................................4 Распространение и развитие................................................................................5 Кубик Рубика в наше время..................................................................................5 Как собрать кубик Рубика........................................................................................6 Основная теорема «кубологии». Каждому кубику свое место.......................6 Принятая терминология....................................................................................6 Алгоритм Бога.......................................................................................................8 Поиск алгоритма Бога. Число Бога...................................................................9 Верхние и нижние оценки числа Бога..............................................................9 Алгоритм Марвина Тистлетуэйта....................................................................10 Алгоритм Коцембы...........................................................................................11 Математика кубика Рубика....................................................................................14 Комбинаторика....................................................................................................14 Немного арифметики.......................................................................................15 Теория графов.....................................................................................................16 Задача о семи мостах......................................................................................17 Граф игры.........................................................................................................19 Граф Кэли. Теория групп....................................................................................20 Соревнования по скоростной сборке: спидкьюбинг...........................................24 Чемпионат Европы..............................................................................................24 Текущие рекорды................................................................................................25 Роботы-чемпионы................................................................................................25 Практическая часть................................................................................................27 1.Анкетирование....................................................................................................27 2.Использование кубика Рубика в психологии.....................................................31 Заключение.............................................................................................................32 Литература.............................................................................................................35 ПРИЛОЖЕНИЯ.........................................................................................................36 Кубик Рубика: только факты..............................................................................36 Разновидности головоломки.............................................................................37 Алгоритм журнала «Квант»................................................................................42 Задачи с кубами.................................................................................................43 Метод Джессики Фридрих..................................................................................50 Введение. Досуг всегда можно скрасить решением головоломок, загадок, ребусов. Конечно,   в   наши   дни,   когда   почти   все   «оцифровано»,   и   любой   школьник может достать из кармана целый мир компьютерных игр, старые головоломки не столь актуальны и современны. Но вот «магическому кубику»   удается быть популярным уже на протяжении более сорока лет.    Любая задача, и даже игра имеет свое решение, есть различные способы   получить   это   решение,   и   этими   способами   являются   различные   разделы математики, такие как: теория вероятности, комбинаторика, эвристика…    Все   эти     разделы     включают     нестандартное   мышление   и   логику. Изучение выше перечисленных наук еще предстоит,   а пока хотелось бы на примере   игрушки   познакомиться   с   ними,   понять   основные   принципы   этих теорий.   Кубик   Рубика   служит   не   только   развлечением,   но   и   прекрасным наглядным пособием по алгебре, комбинаторике, программированию. Цель   исследования:   исследование способов решений головоломки кубик Рубика . Цель предопределила необходимость постановки следующих задач: 1) изучить и проанализировать возможности кубика Рубика; 2) изучить историю кубика Рубика; 3) изучить способы решения головоломки; 4) изучить используемые методы решений; 5) подвести итоги  о проделанной работе. Объект исследования ­  головоломка кубик Рубика Предмет исследования – способы нахождения оптимального решения сборки кубика Рубика В   своей   исследовательской   работе     я   руководствовался    гипотезой:   что существует самое оптимальное решение. Методы   исследования:  изучение   справочных   материалов, систематизация, описательный метод, анкетирование, эксперимент.   анализ, Теоретическая часть Что такое кубик Рубика? Кубик Рубика,   первоначально был известен как «Магический кубик», венг. Bűvös kocka — механическая головоломка, изобретённая в 1974 году венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком. История создания кубика Рубика        Эрнё Рубик родился в Будапеште, во время второй мировой войны. Несколько лет он проработал проектировщиком, а после этого перешел на учительскую   работу   в   Будапештский   университет   умений   и   дизайна   им. Моголи­Наги.   Повествуя   студентам   о   дизайне   экстерьера,   он   нередко иллюстрировал   всевозможные   строительные   и   дизайнерские   концепции   на бумажных, деревянных или же пластмассовых моделях. Решение этой задачи пришло  к нему в период прогулки по берегу  Дуная. Глядя,   как   отшлифованные   круглые   камешки   движутся   «приятель относительно приятеля», он взял в толк, как можно решить данный вопрос внутри куба.                 Сконструировав в 1974 году образец 3х3х3, на любой стороне   которого   были  наклейки   всевозможного   расцветки,  Рубик   показал модель   студентам.   Для   того   чтобы   доходчиво   объяснять   основы математической   теории   групп   и   развивать   у   студентов   навыки пространственного   воображения,   Рубик   несколько лет   бился   над   созданием   наглядного   учебного пособия   в   виде   трехмерной   задачи­головоломки. Вначале   игрушка   представляла   собой   набор   из   27 деревянных   кубиков   с   разноцветными   гранями.   В дальнейшем пришлось отбросить все лишнее: в своем первом кубике Рубик оставил всего 54 внешние грани –   одноцветные   у   шести   центральных   кубиков,   двухцветные   у   двенадцати боковых и трехцветные у восьми угловых.      Любопытен тот факт, что, создав первый образец кубика, Рубик с ужасом осознал,   что   не   в   состоянии   его   собрать.   Почти   месяц   затратил   Эрно   на «приручение» собственного шедевра.  Распространение и развитие  После   получения   патента   30   января   1975   года   HU170062   на   своё изобретение, «Волшебный Куб» (Buvuos Kocka) напчалось распространение головоломки. Первые партии кубиков Рубика были выпущены в конце 1977 года   для   Будапештского   магазина   игрушек.   В   сентябре   1979   год,   на переговорах   в   Будапеште,   был   заключён   договор   с  крупной   американской компанией   Ideal   Toy   Corporation   (позже   куплена   корпорацией   CBS)   на поставку в США одного миллиона кубиков.  В Советский Союз кубик пришёл в 1981 г. (по некоторым данным, права на выпуск игрушки обошлись СССР в немыслимую тогда сумму 3 миллиона долларов). Кубик Рубика в наше время  Пик популярности кубика Рубика прошел, но с 1991 года в течение нескольких лет Кремер неустанно реанимировал покупательский интерес и возобновлял производство кубиков. Наконец, он добился успеха. В 1996 году 300   тыс.   кубиков   были   проданы   в   США,   а   в   1997   еще   100   тыс.   в Великобритании. С каждым годом оборот продаж возрастает: в 2006 году было продано уже 5 млн. головоломок, а в 2007 года ­ 9 млн. Глядя на эти цифры,   можно   с   уверенностью   сказать,   что   возвращение   кубика   Рубика состоялось. Как собрать кубик Рубика. Основная теорема «кубологии». Каждому кубику свое место Как   сделать   вновь   «как   было»?     Прежде   всего,     нужно   понять: «взаимоотношения»   маленьких   кубиков   не   произвольны,   а   основаны   на строгом порядке. Сколько  ни верти ряды кубиков относительно друг друга,, угловые   кубики   всегда   останутся   угловыми,   бортовые   —   бортовыми,   а центральные   —   центральными.   Эту   очевидную   истину   иногда   в   шутку называют основной теоремой "кубологии". Более того, центральные кубики, как  выясняется, вообще  невозможно сдвинуть   с места (чтобы  убедиться в этом,   посмотрите   еще   раз   на   тот   же   рисунок),   поэтому   они   определяют исходный цвет соответствующей грани, к которому следует стремиться. Принятая терминология. Для разбора любого алгоритма сборки прията система обозначений граней и направлений их поворотов. Эта система международная. Вращение грани против часовой стрелки обозначается  «'». А   для   оценки  длины   решения  существуют  два   наиболее распространённых   способа   (метрики).   Существует   два   наиболее распространённых   способа   измерения   длины   решения   (метрики).   Первый способ — одним шагом (ходом) решения считается  поворот грани на 90° (quarter turn metric, QTM). По второму способу — за 1 ход также считается и полуоборот грани (face turn metric, FTM, иногда это обозначают HTM — half­ turn metric). Так, F2 (поворот передней грани на 180°) должен считаться за два хода в метрике QTM или за 1 ход в метрике FTM. Алгоритм Бога.         Алгоритм Бога может существовать для головоломок с конечным числом возможных   конфигураций   и   с   конечным   набором   «ходов»,   допустимых   в каждой   конфигурации   и   переводящих   текущую   конфигурацию   в   другую. Термин   «решить   головоломку»   означает   —   указать   последовательность ходов,   переводящих   некоторую   начальную   конфигурацию   в   некоторую конечную   конфигурацию.  Оптимально   решить   головоломку   —   указать самую короткую последовательность ходов для решения головоломки. Оптимальных решений может быть несколько.  К   известным   головоломкам,   подпадающим   под   это   определение, относятся кубик Рубика, Ханойская башня, Пятнашки, Солитер с фишками (англ.), различные задачи о переливании и перевозке («Волк, коза (овца) и капуста»). Общим для всех этих головоломок является то, что они могут быть описаны   в   виде   графа,   вершинами   которого   являются   всевозможные конфигурации головоломки, а рёбрами — допустимые переходы между ними («ходы»). Во   многих   подобных   головоломках   конечная   конфигурация   негласно предполагается, например, в «пятнашках» — упорядоченное расположение косточек,   для   кубика   Рубика   —   одноцветность   граней.   В   этих   случаях «собрать головоломку» означает, что требуется для произвольной начальной   приводящих   в конфигурации   указать   последовательность   ходов, фиксированную   конечную   конфигурацию.   Алгоритм   решает   головоломку, если он принимает в качестве исходных данных произвольную пару начальной и   конечной   конфигураций   (или   только   начальную   конфигурацию,   если конечная конфигурация зафиксирована),  и возвращает в качестве результата последовательность   ходов,   переводящих   начальную   конфигурацию   в конечную (если такая последовательность существует, в противном случае, алгоритм   сообщает   о   невозможности   решения).   Оптимальное   решение содержит минимально возможное количество ходов.       Тогда алгоритм Бога (для данной головоломки) — это алгоритм, который решает головоломку и находит для произвольной пары конфигураций хотя бы одно оптимальное решение. Некоторые   авторы   считают,   что   алгоритм   Бога   должен   также   быть практичным, то есть использовать разумный объём памяти и завершаться в разумное время. Поиск алгоритма Бога. Число Бога.  Числом   Бога   данной   головоломки   называется   число  n,   такое,   что существует хотя бы одна конфигурация головоломки, оптимальное решение которой состоит из n ходов, и не существует ни одной конфигурации, длина оптимального решения которой превышает  n. Другими словами, число Бога —   это   точная   верхняя   грань   множества   длин   оптимальных   решений конфигураций головоломки. Верхние и нижние оценки числа Бога.       Чтобы получить оценку сверху для числа Бога, достаточно указать любой алгоритм сборки головоломки, состоящий из конечного числа ходов.    Первые   оценки   сверху   для   числа   Бога   были   основаны   на   «человеческих» алгоритмах, состоящих из нескольких этапов. Сложение оценок сверху для каждого из этапов позволяло получить итоговую оценку порядка нескольких десятков или сотен ходов. Вероятно,  впервые  конкретная оценка сверху была указана Дэвидом Сингмастером в 1979 году.   В 1982 году в журнале «Квант» был опубликован список комбинаций, позволяющих решить кубик Рубика в 79 ходов.     Определились два совершенно различных подхода к сборке: «абстрактный» и   «конкретный».   В   первом   случае   используются   многоходовые   процессы, которые, казалось бы, не вносят порядка в хаотически разбросанные кубики до последних нескольких ходов. Алгоритм Марвина Тистлетуэйта. Так Марвин Тистлетуэйт ­ специалист по прикладной математике из Лондона, использовал «идеи математической теории групп для компьютерных исследований,   так   называемых   превращений   особого   рода».   Вместо   того чтобы поставить на свое место, или, как говорят еще, «посадить в седло» определенные классы кубиков, он делает «спуск через подгруппы».        Суть в том, что сначала с полной свободой делается   несколько ходов­поворотов, затем     останавливаются   на   таких   типах   ходов,   которые   впредь   будут возможны (разрешены), затем делается еще несколько ходов и опять следует закрепление   на   каком­либо   типе   ходов   и   так   далее,   пока   ограничения   не станут такими, что ходов больше сделать нельзя. Это и есть момент полной сборки куба.   Подобное объяснение, пожалуй, сродни известному рассуждению математика о том, как поймать льва в пустыне, метод дихотомии или метод половинного деления: «Возьмем пустыню. Поделим ее на две части. В одной— лев, в другой — нет. Ту, в которой лев, снова поделим на две части и так далее, пока область со львом не станет настолько мала, что делить и отбрасывать уже будет нечего: тут и лев! Сплошная абстракция, но, тем не менее «лев» оказывается пойманным: М. Тистлетуэйту   принадлежал   первый     мировой   рекорд   самого   короткого алгоритма приведения куба в порядок ­ всего 52 поворота. Алгоритм Коцембы. Алгоритм Тистлетуэйта был в 1992 году улучшен учителем математики из   Дармштадта   Гербертом   Коцембой.   Коцемба   сократил   количество этапов алгоритма до двух. В обычном алгоритме сборки, например,   цель может состоять в том, чтобы найти неправильно стоящий угловой кубичек и переместить его в свой угол,   не   трогая   остальные   угловые   кубички.   И   таких   маленьких   шажков приходится делать очень много. В алгоритме Коцембы ставится только одна промежуточная цель — кубик надо перевести в одно из состояний, которые так и названы ­  промежуточными. Они характеризуются тем, что любое промежуточное   состояние   можно   получить   из   правильного   (а   значит,   и наоборот ­ превратить его в правильное)‚ поворачивая четыре боковые грани только а 180°‚ а верхнюю и нижнюю ­ на произвольный угол (естественно, кратный 90°).   Первая   цель  (задача   первого   этапа)   алгоритма   Коцембы   — восстановить   такую   раскраску   из   хаотического   исходного   состояния.   При этом,  конечно,  можно  пользоваться  любыми  поворотами.  На   втором  этапе применяются только повороты, перечисленные выше.  Легко понять, что они автоматически сохраняют нашу вспомогательную раскраску. По существу, на втором этапе происходит только установка каждого кубичка на его место. А благодаря   сохранению   вспомогательной   раскраски   правильная   ориентация кубичков на своих местах будет обеспечена автоматически. Таким образом, число   промежуточных   состояний   равно   числу   допустимых   перестановок кубичков (т. е. перестановок получаемых из правильной поворотам граней), при которых реберные кубички среднего слоя остаются в этом слое. Таким   образом,  возникает   "дерево   вариантов",   от   каждой   ветви которого отходят пять следующих ветвей. Из­за сращивания ветвей дерева вариантов   число   18   можно   еще   увеличить.   (В   свое   время   промелькнуло сообщение   о   том,   что   доказано   существование   состояний,   не   решаемых быстрее, чем за 21 ход; впрочем, оно могло быть не вполне достоверным.) Как видим, результаты, показываемые программой Коцембы, близки к наилучшим. Сокращения   перебора   Герберт   Коцемба   добился   с   помощью   специальной фильтрующей   программы.   Она   хранит   определенную   информацию   о   всех цепочках из, скажем, не более чем 8 ходов, и позволяет отсеивать состояния, которые   заведомо   не   упорядочиваются   (в   смысле   1­го   или   2­го   этапов алгоритма)   такими   цепочками.  Начав  «сборку   а,   компьютер   настраивается выполнить   первый   этап   за   10   ходов.   Он   порождает   первые   два   хода   и включает   фильтр   на   8   ходов;   если   возникшее   состояние   не   отсеется, производится третий ход и включается фильтр на 7 ходов, и т. д. Если на каком­то шагу произойдет отсев, надо поменять предыдущий сделанный ход. Пока   что   для   всех   позиций,   предлагавшихся   программе,   удавалось осуществить первый этап не более чем за 10, а второй ­ не более чем за 14 ходов. Посмотрим на таблицу, в которой собраны данные по годам. Математика кубика Рубика. Существует   множество   алгоритмов,   предназначенных   для   перевода кубика   Рубика   из   произвольной   конфигурации   в   конечную   конфигурацию (собранную, все грани одноцветны). Математика кубика Рубика — совокупность математических методов для   изучения   свойств   кубика   Рубика.     Изучает   алгоритмы   сборки   кубика, оценки алгоритмов его сборки и др. Она основана на теории графов, теории групп, теории вычислимости, комбинаторике. Именно,   эти   факты   являются   результатом   математических   исследований, использующих   упомянутые   теории,   с   которыми   мне   и   хотелось   бы познакомиться в своей работе. Комбинаторика. Почему все­таки никому не удается решить головоломку Рубика сразу, ну хотя бы случайно, повторяя попытку очень много раз? Чтобы это понять, потребуются хотя бы начальные знания о комбинаторике.  В   комбинаторике   изучают   вопросы   о   том,   сколько   комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля   и   П.   Ферма   по   теории   азартных   игр.   Большой   вклад   в   развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер. Основную   формулу   комбинаторики   можно   продемонстрирую   на примере задачи. Вспомним, еще одни кубики – кубики LEGO, тоже игра на все времена.          Пусть  у нас есть три кубика LEGO. Начнем  по­разному соединять эти  три кубика, создавая всяческие комбинации из них. Подсчитав  уникальные  конфигурации, я получил ­   не больше 6.  Но комбинаторика знает точное  число и без  подсчета вариантов. Перестановками  называются   такие   выборки   элементов,   которые отличаются   только   порядком   расположения   элементов,   но   не   самими элементами. Если перестановки производятся на множестве из n элементов, их  число определяется по формуле  Pn = n∙(n−1)∙(n−2)...3∙2∙1 = n! n! ­ обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют "n­факториал" (в переводе с английского "factor" ­ "множитель"). Таким образом, общее число перестановок 3­х кубиков  P3 = 3! = 1∙2∙3 = 6,   что   мы   и   получили   выше.   Фактически   мы   выводили   эту   формулу   для маленького примера.  Немного арифметики. Теперь   давайте   посчитаем,   сколько   существует   возможных   цветовых конфигураций   кубика   Рубика.   Каждый   угловой   кубик   имеет   восемь возможных местоположений.              Это уже 8! (факториал) = 40 320 возможных перестановок. Да еще каждый угол имеет три окрашенных стороны. Значит, 81 x З8 вариантов. И это только от одних углов!   Для бортовых кубиков, по той же логике, получим 12!     перестановок,     и   их   надо   умножить   на   212.   Таким   образом,   число нормально   число   возможных   цветовых   комбинаций   равно...   давайте­ка округлим, а то уж больно страшное получается число: примерно 5 • 1020  . Строго говоря, на самом деле число вариантов чуть меньше: ведь считается, что мы вращаем слои кубика не беспорядочно, а стремимся к определенному результату,   когда   все   грани   окажутся   одноцветными.   Поэтому   мы   можем считать произвольными все операции, кроме одной, последней. То есть лишь 7 углов из 8 и, следовательно, лишь 11 бортовых кубиков из 12 могут быть ориентированы   произвольно.   Так   что   введем   «существенное»   послабление: разделим наше сверхчисло на 12. Получится уже гораздо меньше: примерно 4•1019 . Если точно, то  43 252 003 274 489 856 000.        Столько надо сделать беспорядочных поворотов, чтобы почти наверняка наткнуться на решение головоломки. Можете прикинуть, сколько для этого понадобится времени. Одно ясно наверняка: вашей жизни не хватит. Да и нет никаких гарантий, что на это хватит жизни всей нашей вселенной... Теория графов. Как   уже   упоминалось   в   2010   г.   строго   доказано,   что   для   перевода кубика  Рубика  из  произвольной   конфигурации  в  собранную конфигурацию достаточно не более чем 20 поворотов граней (ходов). И во всех источника сказано, что это  число  является  диаметром  графа Кэли  группы кубика Рубика.  Что же это такое?  В решении комбинаторных задач часто используют графические методы – изображение разбиений числа на слагаемые в виде точечных диаграмм, так называемые   графы   (геометрические   фигуры,   состоящие   из   точек   и     графов стала в наши дни одной из соединяющих их отрезков)  и  т.д. Теория   наиболее   бурно   развивающихся   частей   комбинаторики.     Многие   общие теоремы этого раздела математики формулируются на языке графов.           Если заданным условиям удовлетворяют несколько конфигураций, т.е. если комбинаторная задача имеет несколько решений, то может возникнуть вопрос о выборе из них решения, оптимального по тем или иным параметрам. Например,   если   имеется   несколько   городов,   каждые   два   из   которых соединены   авиалинией,   то   возникает   задача   о   том,   как   путешественнику побывать по одному разу в каждом городе, налетав наименьшее расстояние.         Диаметр графа — это максимальное из расстояний между парами его вершин. Расстояние между вершинами определяется как наименьшее число рёбер,   которые   необходимо   пройти,  чтобы   добраться   из   одной   вершины   в другую.   Иначе   говоря,   это   расстояние   между   двумя   вершинами   графа, максимально удаленными друг от друга. Задача о семи мостах Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды.       Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и   практически,   во   время   прогулок.   Впрочем,   доказать   или   опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог. В 1736 году  задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук  Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Ответ был «нельзя». Решение задачи по Леонарду Эйлеру        На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:        Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.       Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.           Граф   с   более   чем   двумя   нечётными   вершинами   невозможно начертить одним росчерком.      Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.   Граф кёнигсбергских мостов Упрощённая схема мостов Кёнигсберга. Значение букв и цифр — мосты и острова с берегами . Созданная   Эйлером  теория   графов  нашла   очень   широкое   применение   в транспортных и коммуникационных системах (например, для изучения самих систем,   составления   оптимальных   маршрутов   доставки   грузов   или маршрутизации данных в Интернете). Граф игры. Граф игры – это граф, вершины которого – ситуации, возникающие в процессе игры, а ребра связывают вершину с теми вершинами­ситуациями, которые   могут   сложиться   после   очередного   хода.   Так,   в   шахматах   из начальной позиции первым ходом можно получить 20 позиций: каждая пешка может пойти на одну или две клетки вперед, и каждый конь может пойти на одно из двух полей. После хода черных число возможных позиций становится равным 20х20=400 и в дальнейшем быстро увеличивается. Это обстоятельство и стало основной трудностью при создании шахматных программ. Чтобы   ближе   познакомиться   с   графом   игры,   рассмотрим   игру   с небольшим количеством возможных ситуаций. Пусть на столе лежит 5 спичек. Двое игроков по очереди берут 1 или 2 спички. Выигрывает тот, кто забирает последнюю. Нарисуем   граф   всевозможных   продолжений   игры.   Видно,   что   после первого   хода   на   столе   остается   3   или   4   спички.   Если   тот,   кто   начинает, оставит на столе 3 спички, то он выиграет: ведь его партнер вынужден будет оставить 1 или 2 спички, которые начинавший и заберет на следующем ходу. Если же начинающий игру оставит 4 спички, то он проиграет, так как партнер, взяв 1 спичку, оставит ему 3, что, как мы уже видели, ведет к проигрышу игрока, делающего очередной ход. Конечно же, второй игрок может оставить 2 спички и тут же проиграть, но это маловероятно. Можно сделать вывод: начинающий   проигрывает,   если   исходное   число   спичек   делится   на   3,   и выиграет   в   остальных   случаях,   оставляя   партнеру   всякий   раз   количество спичек, которое делится на три.   Граф Кэли. Теория групп.  Изучая математику кубика Рубика, всегда сталкивался с теорией групп. При   определении   числа   Бога   для   кубика   Рубика,     т.е.   минимального количества   поворотов   граней   кубика,   за   которое   его   можно   «собрать»   из любого начального положения, сводится к исследованию соответствующего графа   Кэли.   Определение   графа   Кэли   было   дано   известным   английским математиком   Артуром   Кэли   в   XIX   веке   для   представления  группы   с выделенной системой образующих. Как   же   выглядит   данный   граф,   что   означает   «выделенная   система образующих»? Рассмотрим понятие группы.  Группа  — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Группы   являются   важными   инструментами   в  изучении  симметрии  во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.  Я   попытался   разобраться,   где   у   кубика   Рубика   та   самая   группа,   о которой идет речь в тех статьях. Для начала, введем  термин преобразование кубика Рубика. Преобразование ­ это что­то среднее между формулой и позицией. Но не формула и не позиция. От формулы преобразование отличается тем, что если   разные   формулы   делают   одно   и   то   же,   то   это   одно   и   то   же преобразование.  Ну,  например,   поворот   одной   грани   и   3  поворота   той   же грани в другую сторону в принципе могут записываться разными формулами, но делают одно и то же, так что это то же самое преобразование. То есть в термине преобразование нас не интересует, как именно, какими поворотами это было сделано. В   общем,   каждой   позиции   кубика   можно   поставить   в   соответствие единственное   преобразование,   которое   делает   эту   позицию   из   собранного состояния. Потому в этом понятии есть сходство с понятием позиция, но есть и   отличия.   ниже   будем   рассматривать   композицию   Например, преобразований,   то   есть   то,   что   будет,   если   два   преобразования   сделать последовательно. С позициями неясно, как вводить такое понятие. В общем, в понятиях позиция и преобразование есть немало общего с понятиями   точка   и   вектор   в   геометрии.   В   геометрии   к   точке   можно приложить вектор и получим новую точку, а тут к позиции можно применить преобразование  и   получим  новую   позицию.  В  геометрии   две   точки  задают вектор, здесь две позиции задают преобразование, которое переводит одну позицию во вторую. Потому что  группа ­   это множество элементов с определенной на них бинарной операцией, для которой выполняются следующие условия: 1. Для любых двух элементов a и b существует элемент a*b (или ab) в той же группе 2. У   операции   есть   вышеупомянутое   свойство   ассоциативности,   то есть (ab)c=a(bc) 3. В ней существует элемент e такой что для любого элемента a из группы ae=ea=a 4. Для каждого элемента a существует элемент a­1 такой, что aa­1=a­ 1a=e  Бывают   такое   группы,   что   в   них   для   любых   двух   элементов   a   и   b справедливо   ab=ba   Такие   группы   называют  абелевыми   или коммутативными.   Операцию   у   них   уже   принято   обозначать   знаком   +,   а нейтральный элемент (тот, что в неабелевых обозначают 1 или e) у абелевых обычно обозначают 0. Но группа преобразований кубика Рубика не из таких, и абелевых групп я касаться не буду. Так вот: группа преобразований кубика Рубика является типичным примером конечной некоммутативной группы. Каждый из поворотов граней кубика Рубика может рассматриваться как элемент  симметрической группы являющихся центрами граней. Пометим центры граней буквами   множества 48 этикеток кубика Рубика, не   { L , F , R , B , U , D } а   остальные   этикетки —   числами   от   1   до   48.   Теперь   поворотам соответствующих   граней   на   90°   по   часовой   стрелке   можно   сопоставить элементы симметрической группы S 48: Соревнования по скоростной  сборке: спидкьюбинг. Люди, увлекающиеся скоростной сборкой кубика Рубика, называются спидкуберами. А сама скоростная сборка — спидкубинг (англ. speedcubing). Первый   Международный   чемпионат   по   сборке   кубика   Рубика, Будапешт, 5 июня 1982 г. Марка Венгрии, 1982. Официальные   соревнования   по   скоростной   сборке   кубика   Рубика регулярно   проводятся   всемирной   ассоциацией   кубика   —   en:World   Cube Association (WCA). Каждый год проходит чемпионат Европы или чемпионат мира. Согласно   правилам   WCA,   перед   сборкой   кубы   должны   быть перемешаны   по   алгоритму   (scramble),   сгенерированному   компьютером   с помощью программы Cube Explorer (для куба 3×3×3, для других головоломок есть отдельные программы генерации скрамблов). При этом у всех участников начальные   позиции   перемешанного   кубика   (скрамблы)   должны   быть одинаковыми. Победитель   определяется   не   по   результату   единичной   сборки,   а   по среднему   времени   из   5   попыток,   при   этом   лучшая   и   худшая   попытки   не учитываются,   а   вычисляется   среднее   из   оставшихся   3­х.  Однако   в   других дисциплинах   могут   использоваться   и   другие   варианты:   среднее   из   3 (например, для куба 7×7×7), лучшее из 3 (сборка вслепую). Чемпионат Европы. С 1 по 3 октября 2010 года в Будапеште прошёл чемпионат Европы, собравший   участников,   соревновавшихся   в   различных   дисциплинах. Чемпионом Европы в сборке классического кубика 3×3×3 стал российский спидкубер   Сергей   Рябко,   опередивший   в   финале   в   том   числе   бывшего рекордсмена   Эрика   Аккерсдейка,   со   средним   временем   в   финале   10,31 секунд. С 12 по 14 октября 2012 года во Вроцлаве (Польша) прошёл чемпионат Европы.   Чемпионом   второй   раз   подряд   стал   участник   из   России   Сергей Рябко, опередивший чемпиона мира. Среднее время Сергея составило 8,89 сек Текущие рекорды. В   классической   дисциплине   (кубик   3×3×3)   действующий   рекорд   — 4,904 сек. установил Лукас Эттер (США) 21 ноября 2015 года.  Из самых свежих   рекордов:   голландский   спидкубер   Матс   Валк,   который   на чемпионате Jawa Timur Open 2016 в Индонезии смог собрать кубик за невероятные 4,74   секунды,   что   на 0,164   секунды   быстрее   результата, показанного прошлым рекордсменом, американцем Лукасом Эттером.  Роботы­чемпионы В   марте   2014   года   созданный   за   восемнадцать   месяцев   инженерами Дэвидом   Гилдэем   (David   Gilday)   и   Майком   Добсоном   (Mike   Dobson) CubeStormer III, из деталей того же конструктора Lego Mindstorms и с ARM­ мозгом в виде смартфона Samsung Galaxy S4, собрал головоломку за 3,253 секунды. На чемпионате Jawa Timur Open 2016 рекорд по сборке кубика Рубика принадлежит роботу Sub1, который в начале нынешнего года привел его «в порядок» за 0,887 секунды. Однако с тех пор кое­что изменилось: новая версия робота Sub1,  получившая название Sub1 Reloaded, собрала кубик Рубика за 0,637 секунды.  Как отмечают разработчики машины, добиться таких показателей удалось  благодаря новому процессору производства немецкой компании Infineon. Практическая часть.  1.Анкетирование. В     качестве   практической   работы   я   провел   анкетирование,   собрал данные,  а также представил  статистические данные по группам сверстников, с которыми общался летом прошлого года в летних лагерях отдыха. Анкета 1. Нравятся ли Вам головоломки? 2. Какие вам известны головоломки? 3. Какие есть у вас есть дома? 4. Считаете ли вы разгадывание головоломок развивающим занятием? 5. Умеете ли вы собирать кубик Рубика: A. умею собирать все грани B. умею собирать одну-две грани C. не умею 6. Знаете ли вы, из чего состоит кубик Рубика? 7. Хотели бы вы научиться собирать кубик Рубика? Группа опроса в возрасте 13­14 лет: Из опрошенных сверстников (параллель 7 класса)  70 %  нравятся  головоломки, 25% ­  не очень  и  5% не любят их.  95%     опрошенных   сверстников     считают     головоломки   полезным развивающим занятием.  Самыми популярными головоломками, которые есть у подростков дома являются кубик Рубика, змейка (картинка) и пятнашки(картинка).  20%   семиклассников умеют собирать кубик Рубика, 45% могут собрать одну­две стороны, а 35% е умеют собирать его совсем.  55%   подростков   знают   принцип   действия   кубика   Рубика,   а   45%     не представляют его механизм.  Из 80% неумеющих собирать кубик Рубика, до 70% хотели бы научиться этому. Нравится ли Вам собирать головоломки не нравятся; 5; 5% не очень; 20; 21% нравятся; 70; 74% Пробовали ли Вы собирать кубик Рубика не умеют совсем; 5; 5% только 1-2 грани; 20; 21% умеют собирать целиком; 70; 74% У кого какая головоломка. Наиболее популярная. "; 5; 13% "; 2; 5% "; 11; 28% шар Рубика; 3; 8% кубик Рубика; 2; 5% "; 16; 41% 2.Использование кубика Рубика в психологии. Недавно я выяснил, что, оказывается, кубик Рубика используют как пособие при тестировании, предназначенном для диагностики уровня разви­ тия наглядно­действенного мышления. Хотя ничего удивительного, он для того и создавался. Ребенку предлагают  разные по степени сложности практические задачи с кубиком Рубика  в условиях дефицита времени. Ниже приведены описания девяти таких  заданий,  вслед за которыми в скобках указано количество баллов, которое получает ребенок, решив данную задачу за 1 мин. Всего на эксперимент отводится 9 мин (по минуте на задачу). Замечание. Переходя от решения одной задачи к другой, каждый раз необходимо изменять цвета собираемых граней кубика Рубика. Задание 1. На любой грани кубика собрать столбец или строку из трех квадратов одного цвета (0,3 балла). Задание 2. На любой из граней кубика собрать два столбца или две строки из квадратов одного и того же цвета (0,5 балла). Задание 3. Собрать полностью одну грань кубика из квадратов одного и того же цвета, т.е. полный одноцветный квадрат, включающий в себя 9 малых квадратиков (0,7 балла). Задание 4. Собрать полностью одну грань определенного цвета и к ней еще одну строку или один столбец из трех малых квадратиков на другой грани кубика (0,9 балла). Задание 5. Собрать полностью одну грань кубика и в дополнение к ней еще два столбца или две строки того же самого цвета на какой­либо другой грани кубика (1,1 балла). Задание   6. Собрать   полностью   две   грани   кубика   одного   и   того   же   цвета  (1,3 балла). Задание 7. Собрать полностью две грани кубика одного и того же цвета и, кроме того, один столбец или одну строку того же самого цвета на третьей грани кубика (1,5 балла). Задание 8. Собрать полностью две грани кубика и к ним еще две строки или два столбца такого же цвета на третьей грани кубика (1,7 балла). Задание 9. Собрать полностью все три грани кубика одного и того же цвета  (2,0 балла).   Оценка результатов Оценка   результатов   работы   с   этой   методикой   производится следующим способом. Если число баллов, набранных ребенком равно 10, то его наглядно­действенное мышление считается очень высокоразвитым. Если в процессе решения всех задач ребенок за отведенное время в сумме   набрал от 4,8 до 8,0 баллов, то   его   мышление   считается высокоразвитым. Если   общая   сумма   баллов,   набранных   ребенком,   оказалась   в пределах от 1,5  до 3,5  баллов, то его  наглядно­действенное мышление рассматривается   как   среднеразвитое,   а   сам   он   —   подготовленным   к обучению в школе. Если   общая   сумма   баллов,   набранных   ребенком,   не   превысила 0,8 балла, то его наглядно­действенное мышление считается  слаборазвитым, а сам он по данному параметру не готов к обучению в школе. Совместно   с   психологом   школы   в   сентябре   2016   года   я   провел эксперимент по выполнению заданий с использованием кубика Рубика. Мои наблюдения   пригодились   для     диагностики   уровня   развития   наглядно­ действенного мышления учащихся 1 х классов.  3. Решение олимпиадных задач    В   практической   части     своей   работы   я   прорешал   олимпиадные   задачи   с применением кубика Рубика. (приложение 4). Заключение. В   процессе   изучения   литературы   по   данному   вопросу,   были рассмотрены   вопросы   истории   появления   кубика   Рубика,   его модификации,   устройство,   применение.  Теперь   я   знаю   об   истории появления   кубика   Рубика   и   о   его   создателе.   Могу   поделиться   этой информацией с друзьями. На примере поиска оптимального решения головоломки, убедился, что математика применяется не только для вычисления разных формул и решения задач. Ведь именно математика помогла человеку найти секрет сборки "Волшебного кубика Рубика". 300 ходов человек сократил в 15 РАЗ и теперь кубик загадку можно собрать за 20 ходов. Исследуя способы сборки,   я   узнал   о   новых   для   меня   разделах   математики,   таких   как комбинаторика, теория графов, и даже теории групп.  Практическая   часть  работы  убедила  меня,  что,    как  и  сорок  лет назад,     кубик   Рубика,   по­прежнему,   актуален,   популярен,   и   всегда найдутся любители и умельцы этой чудо­игрушки.   «Невозможно иметь изолированный кварк (или антикварк). Кварки не могут существовать   свободно,   но   они   могут   существовать   объединенными   в группы: пара кварк­антикварк является мезоном, а трио кварков с целым зарядом является барионом... Возникает вопрос: какая последовательность операций приведет к мезону или бариону,если известно, что возможными являются   комбинации   кварков   исключительно   с   целой   величиной   суммы поворотов?»   Приведенная цитата — не из статьи об элементарных частицах, она   взята   из   статьи   о   головоломном   «венгерском   кубике»,   напечатанной   в научно­популярном   журнале   «Scientific  American».   терминология новейшей физики, употребление понятий математической теории   С   одной   стороны, групп,   а   с   другой   —  соревнования   на   быстрейшую   сборку   кубика.   С   одной стороны,   наглядная   модель   для   демонстрации   сложнейших   математических понятий,   с   другой   —   демонстрация   виртуозного   владения   геометрическим воображением   и   логическим   мышлением.   Головоломка   не   становится   менее интересной.   Тем   более   что   ею   можно   заниматься,   ставя   все   новые   и   новые задачи. По итогам опроса видно, что практически каждый ученик с 6 по 11 класс нашей школы хотя бы раз пытался собрать кубик Рубика, больше половины из них могут собрать 1 сторону и только 6% могут собрать его   заинтересовались   этой полностью.   Радует,   что   82%   опрошенных   головоломкой, хотят научиться собирать. Также я узнал различные алгоритмы сборки кубика Рубика, и планирую изучить более оптимальный вариант ­ способ Джессики Фридрих, с целью улучшить свой собственный результат по спидкубинг. Также приятно было узнать, что кубик Рубика: 1) развивает мелкую моторику рук; 2) помогает быстро оценивать обстановку и принимать решение; 3)   развивает   пространственное   решение,   помогает   при   решении математических задач; 4) развивает усидчивость и способность добиваться результата. Литература 1. 1 Дубровский В. Статья «Математика волшебного куба», журнал «Квант» № 8, 1982, стр.22­27,48. 2. Калужнин   Л.А.,   Сущанский   В.И..   Преобразования   и   перестановки.­М.: Наука.Главная редакция физико­математической литературы, 1985 – 160  3. Константинов И. Статья «Венгерский кубик», журнал «Наука и жизнь» № 3, 1981, стр.131­135. 4. Константинов И. Статья «Собрать кубик. Это не сложно», журнал «Наука и жизнь» № 5, 1983, стр.114­119. 5. Новости кубологии. Дубровский В., 6. Сборник   материалов   московских   выездных   математических   школ   под редакцией А.Заславского, Д.Пермякова, А.Скопенкова, М.Скопенкова и   Калинин А., журнал «Квант» 1992г.   А.Шаповалова. М.: МЦНМО, 2009. 7. Перспективные   топологии   многопроцессорых   вычислительных   систем, основаных на графах Кэли А.А. Кузецов, А.С.Кузнецова ПРИЛОЖЕНИЯ Кубик Рубика: только факты Приложение 1.   43,252,003,274,489,856,000 возможных комбинаций, и только 1 правильное решение.  Более   350   миллионов   кубиков   Рубика   продано   во   всем   мире.   Если сложить   их   в   1   ряд,   то   полосу   из   кубиков   Рубика   можно   было   бы выложить с Северного Полюса до Южного Полюса.  Изобретен профессором архитектуры и дизайна Эрно Рубиком в 1974 в Будапеште как учебное пособие по геометрии, и не экспортировался из Венгрии до 1980г.  Первоначальное название, данное изобретателем — «Магический Кубик». Головоломка была переименована в кубик Рубика после презентации на старейшей   выставке   игрушек   в   Нюрнберге   в   1980г   и   последующим миллионным заказом для США.  На пике популярности в 1980г, головоломку крутил каждый пятый житель земли!  Размер   стороны   оригинального   кубика   Рубика   —   57мм.   Это   «золотой стандарт»   игрушки,   вычисленный   Эрно   Рубиком   и   до   сих   пор соблюдаемый брендом Rubik’s.  Сотни тысяч видео­роликов о головоломке на YouTube  Первый Чемпионат Мира по кубику Рубика пошел в Венгрии в 1982г и был выигран студентом из Лос­Анджелеса по имени Мин Тай (Minh Thai), собравшим   кубик   Рубика   за   22,95сек.   Соревнования   проходят   в нескольких   номинациях:   сборка   одной   рукой,   ногами,   с   закрытыми глазами и даже под водой на одном дыхании.  Считается, что дольше всех собирал свой кубик Рубика британец Грэм Паркер, получивший его в подарок на свое 19­летие и наконец собравший его впервые совсем недавно, в 47­летнем возрасте, т.е. через 26 лет! Приложение 2. Разновидности головоломки. Помимо   традиционного   6­цветного   исполнения   кубика   3×3×3 встречаются 2×2×2, 4×4×4, 5×5×5, 6×6×6, 7×7×7, 8×8×8, 9×9×9, 10×10×10, 11×11×11,   13×13×13,   17×17×17;   кубики   с   изображениями   на   гранях; «гибриды»,   полученные   объединением   нескольких   кубиков,   варианты   с тетраэдрами, закруглёнными углами. Куб со стороной 4 часто называют мастер­кубом (англ.), или «Реваншем Рубика» («местью Рубика»). Также существует кубик 2×2×2 — он тоже довольно не прост для сборки, хотя разумеется проще классического 3×3×3. Есть двуцветные, для малышей. Эта головоломка   познакомит   их   с   такой   вещью,   как   кубик   Рубика.   На   данный момент   самым   большим   невиртуальным   является   кубик   Рубика   13×13×13. Также предпринимались единичные попытки изготовления таких размеров, как 12×12×12   и   даже   17×17×17   некоторыми   мастерами   и   изобретателями головоломок. Спустя   почти   30   лет   после   своего   гениального   изобретения   —   кубика, знаменитый профессор Эрнё Рубик создал новую головоломку — шар Рубика, демонстрация которого состоялась на выставке в Германии в феврале 2009 года. Одной   из   последних   модификаций   кубика   Рубика   является Зеркальный   кубик   Рубика   (Rubik’s   Mirror  Blocks),  с  размером   массива 3×3×3, как и в оригинальной версии головоломки, однако выполненный со всеми гранями одного цвета (часто блестящими, зеркальными — откуда и название), но на каждой из которых вместо квадратов — прямоугольники разных размеров. Другими словами, 26 элементов такого кубика имеют форму параллелепипеда и отличаются не цветами, а размером и формой (соотношением рёбер и граней). Собирать такой куб сложнее ввиду его объёмности   —   разобранный   куб   выглядит   нагромождением параллелепипедов   различных   размеров.   Однако   он   подчиняется   схемам сборки классического куба 3×3×3, стоит лишь абстрагироваться от форм составных элементов. Существует   множество   головоломок,   аналогичных   кубику   Рубика   по устройству, но другой формы:  тетраэдр  «Пирамидка   Мефферта»   («Молдавская   пирамидка»)   или «Японский тетраэдр») — изобретена раньше кубика Рубика и является самой простой для сборки из перечисленных головоломок; другой тетраэдр — «Jing’s Pyraminx»;  октаэдр, известный как «Trajber's Octahedron 3×3×3» — головоломка, которую можно бы было назвать двойственной Кубику Рубика по аналогии с понятием двойственный многогранник;  додекаэдр  «Мегаминкс», являющийся додекаэдрическим аналогом кубика Рубика 3×3×3;большой додекаэдр Звезда Александера; множество головоломок этих же (в особенности октаэдра) и других форм: ромбододекаэдр; кубооктаэдр; усечённые тетраэдр и октаэдр. Существуют компьютерные игры, моделирующие «Магический кубик», но они не   получили,   по   сравнению   с   оригинальной   механической   головоломкой, широкого распространения.  Карманный куб (2x2)  • Кубик Рубика (3x3) • Реванш Рубика (4x4) • Профессорский куб (5х5)   Триамид Рубика Головоломка   в   виде   объемного   треугольника   (состоит   из   10   ромбовидных фигур, соединенных между собой посредством четырех кристаллов).  Венгерские кольца. Прототип   головоломки   изобрел   в   конце   XIX   века   Уильям   Черчилль,   свои варианты представили также Эрно Рубик (кольца пересекаются под углом) и Эндре   Пап (плоский   вариант).  В   нашей   стране   головоломка   носила   название "Волшебные кольца". Она состоит из двух соединяющихся в форме восьмерки колец,   заполненных   разноцветными   (2­4   цвета)   шариками.   Шарики   свободно перемещаются в кольцах. В задачу играющего входило составить непрерывные последовательности из шаров каждого цвета. Аналогичная головоломка, выпускавшаяся в Германии, называлась Magic 8 (Волшебная Восьмерка).  Змейка Рубика. Головоломке можно придать различную форму, так как она состоит из 24 призм, последовательно соединенных между собой шарнирами.    Головоломку   кубической   формы,   сегменты   которой   выполнены   в   виде Детища Рубика (другие головоломки, созданные Рубиком). Неправильный кубик Рубика. разнообразных   трапеций,   можно   собирать   в   объемные   многоцветные   фигуры самых причудливых форм.  Запатентовал Эндре Пап в 1982 году, имеет циллиндрическую форму, состоит из Кукуруза или Светофор. рядов дисков (обычно от 4 до 7) с пропилами, образующими вертикальные пазы, в   которых   размещены   цветные   шарики.   Диски   свободно   поворачиваются относительно   друг   друга,   одного   шарика   не   хватает,   что   дает   возможность менять местами остальные.  Цель игры  — расставить шарики так, чтобы они образовывали вертикальные ряды единого цвета.  Существует два варианта головоломки — с шариками шести различных цветов и с шариками, которые помимо шести основных цветов, различаются еще и по оттенку. Второй вариант головоломки сложнее, так как необходимо выстроить вертикальные ряды по возрастанию интенсивности оттенка.   Мезон. Кубы других размеров. Тройной мезон (представляет собой несколько обычных КР, соединенных вместе определенным образом).  Каре  (по   способу   соединения   и   количеству   соединяемых   кубиков различают: двойной мезон, тройной мезон, сиамский кубик, квартет, T­мезон, Q­мезон и т. д.). Для решения необходимо привести все доступные грани к своему цвету).  Эксклюзивные кубы.  Кубик сома. Предшественник   КР,   изобретенный   шведским   ученым   и   писателем   Питом Хейном по легенде — во время лекции по квантовой механике. Головоломка состоит   из  7  отдельных   частей,   из   которых   необходимо   сложить   куб  3х3х3. Всего существует 240 различных способов ее решения. Кубик Судоку.  Автор — американец Джей Хоровиц. По сути, это обычный КР, в котором вместо цветов на стороны нанесены цифры от 1 до 9. Задача игрока   —   расположить   цифры   в   правильном   порядке   на   каждой   из   граней кубика.  Кубы, созданные на основе настольных игр. Приложение 3.  Алгоритм журнала «Квант».     В   1982   году   в   журнале   «Квант»   был   опубликован   список   комбинаций, позволяющих решить кубик Рубика в 79 ходов. Схема алгоритма: Первый этап: сборка «столбика» 2x2x3. Этот этап удается выполнить примерно за 25 ходов. Второй этап: разворачивание средних кубиков в гранях Ф и П. Для этого нужно не более 8 ходов.  Третий этап: расстановка средних кубиков, этап требует не более 14 ходов. Четвертый этап: расстановка и разворачивание угловых кубиков, отметим, что для 4­го этапа хватает 32 ходов и это число наверняка может быть уменьшено.  Итак,   общее   число   ходов   в   предлагаемом     алгоритме   теоретически   не превосходит 79, но на практике оно оказывается меньше — около70. Приложение 4.  Задачи с кубами.  Применять   кубик   Рубика   можно   и   при   решении   олимпиадных   заданий. Рассмотрим   несколько   олимпиадных   задач   для   6­11   классов   и   задач   по стереометрии для старших классов. 1.   Условие.   На   прозрачном   столе   стоит   куб   3×3×3,   составленный   из   27 одинаковых   кубиков.   Со   всех   шести   сторон   (спереди,   сзади,   слева,   справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?  (7класс) Решение. Имея перед собой кубик Рубика, легко увидеть, что можно оставить нижнюю   грань   и   на   ней   по   любой   из   диагоналей   3   столбика   по   2   кубика   в каждом. Всего останется 15 кубиков, значит убрать можно 12. Ответ: 12.00 2. Условие.В музее Гугенхайм в Нью­Йорке есть скульптура, имеющая форму куба.  Жук, севший  на  одну  из  вершин, хочет  как   можно  быстрее   осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать? (7­9 класс) Решение. Сделаем развертку куба. Две противоположные вершины куба попадут в   противоположные   вершины   прямоугольника   2   ×   1,   образованного   двумя соседними гранями куба. Кратчайший соединяющий  их путь ­ это диагональ прямоугольника, она пересекает общее ребро этих граней в его середине. Таким образом, жуку следует двигаться по прямой к середине ребра, не выходящего из его прямой   к   вершине,   в вершины, а затем по которую   нужно попасть.  Заметим,   что   таких значит,   существует ребер   всего   шесть,   и кратчайших шесть   путей.  3. Условие (задача, основанная на решении предыдущей) Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными   вершинами. (задача   по   геометрии   для   10   –   11   классов).  Кратчайший   путь   разобран   в   предыдущей   задаче.   Получаем Решение. прямоугольный   треугольник   с   длинами   катетов   1   и   2.   Тогда   длина . гипотенузы  Ответ:   .  4. Условие. Шестью одинаковыми параллелограммами площади 1 оклеили кубик с ребром 1. Можно ли утверждать, что все параллелограммы – квадраты? Можно ли утверждать, что все они – прямоугольники? Решение. Нет. На рисунках показаны примеры таких кубиков. 5. Условие. Какое максимальное количество фигурок 2*2*1 можно уложить в куб 3*3*3? (7­8 кл).   Подсказка:   постарайтесь   укладывать   фигурки,   оставляя   пустой 6. центральную клетку.  Решение. Объем одной фигурки 2*2*1 равен 4, а объем куба 3*3*3 = 27. Отсюда следует, что 7 фигурок уложить нельзя, так как 7*4>27. Покажем, как разместить 6 фигурок. Первый уровень: 112 112*33 Второй уровень: 442  5*2 533 Третий уровень: 44*566  566 Здесь   цифры   обозначают   номера   фигурок,   к   которым   принадлежит   данная клетка. Ответ: 6 фигурок. 6.  Условие.  Куб, стоящий на плоскости, несколько раз перекатили через его рёбра, после чего он вернулся на прежнее место. Обязательно ли он стоит на той же грани? (5­7 класс) Решение.  Пусть   куб   находится   перед   нами,   а   нижняя   грань   окрашена. Рассмотрим следующий путь куба (см. рисунок). Ответ: нет 8. Условие. Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?  Решение. На рис. показано, как отметить 7 клеток на трёх смежных гранях куба. На трёх "невидимых" гранях нужно отметить семь клеток, симметричных этим. Докажем   теперь,   что   больше   14   клеток   требуемым   образом   отметить невозможно. Посчитаем   общее   количество   вершин   клеток   кубика   Рубика. Имеются 8 вершин самого кубика, ещё по две вершины на каждом из 12 рёбер и ещё   по   4   вершины   на   каждой   из   6граней.Итого:8+12*2+6*4=56вершин. Каждая   из   этих   вершин   принадлежит   по   условию   не   более,   чем   одной отмеченной клетке. Если бы отмеченных клеток было больше 14, то вершин было бы больше, чем 14*4 = 56, поскольку каждая клетка имеет 4 вершины. Значит, отмеченных клеток не более 14. Ответ: 14. 9. Условие. Кубик 3*3*3 нетрудно распилить на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается распиливать несколько кусков сразу и перекладывать части?  Подсказка. Нужно обпилить со всех сторон средний кубик. Решение. Рассмотрим центральный кубик 1*1*1 (единственный кубик, который не   виден   снаружи).  Чтобы   в  конце   получилось  27  кубиков,   нужно   выпилить центральный кубик, т.е. произвести по крайней мере по одному распилу вдоль каждой  из  шести  граней  центрального  кубика.  Ясно,  одним  распилом   нельзя пилить вдоль двух граней. Отсюда следует, что нужно сделать по крайней мере шесть распилов.  Ответ: нет. 10. Условие. Куб размером 3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?  Подсказка. Выйдя из углового кубика, через ход обязательно попадёшь в центр грани. Решение. Предположим, что можно. В кубе 8 угловых кубиков (на рисунке они покрашены   в  чёрный   цвет)   и  6 ''   центральных''  кубиков  (они   расположены   в центрах граней и заштрихованы на рисунке). Нетрудно видеть, что любой ход из углового   кубика   ведёт   в   кубик   в   середине   ребра,   а   следующий   ход —   в центральный кубик. Таким образом, чтобы попасть из одного углового кубика в другой,   придётся   пройти   хотя   бы   через   один   центральный.   Иными   словами, между   каждыми   двумя   соседними   (в   порядке   обхода)   угловыми   кубиками должен встретиться хотя бы один центральный. Значит, центральных кубиков не меньше семи, а их всего лишь шесть! Ответ: нет. 11.  Условие.  Можно ли нарисовать на поверхности кубика   Рубика   такой   замкнутый   путь,   который проходит   через   каждый   квадратик   ровно   один   раз (через вершины квадратиков путь не проходит)? Подсказка. На каждой грани можно построить путь, обходящий все 9 клеточек грани и при этом начинающийся в любом заданном угле и кончающийся в любом другом заданном угле. Решение. На рисунке показан пример такого пути. Для   решения   более   сложных   задач   необходимо   рассмотреть   группу симметрий куба.  Симметрии куба делятся на два типа – самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг   друга.   Преобразования   первого   типа   будем   называть   вращениями.   Все вращения   образуют   группу,   которая   называется   группой   вращений   куба. Опишем ее строение. Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии. В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба. Для каждой из 6 возможностей – когда указано, какая именно грань расположена   внизу,   ­   имеется   4   различных   расположения   куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы 0о, 90о, 180о, 270о. Таким образом, получаем 6*4=24 вращений куба. Укажем их в явном виде. Куб   имеет   центр   симметрии   (точка   пересечения   его   диагоналей),   3   оси симметрии  четвертого порядка, 4 оси симметрии  третьего порядка и 6 осей симметрии   второго   порядка.   Достаточно   рассмотреть   вращения   вокруг   осей симметрии. а)   Оси   симметрии   четвертого   порядка   –   это   оси,   проходящие   через   центры противоположных   граней.   Вокруг   каждой   из   этих   осей   имеется   по   три нетождественных вращения, а именно вращения на углы 90о, 180о, 270о.Этим вращениям соответствует 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически. б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей имеется по два нетождественных вращения на углы 120о, 240о. Всего получаем 8 таких вращений. в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противоположных ребер куба. Имеется 6 пар противоположных ребер., каждая пара определяет одну ось симметрии, т.е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего   –   6   вращений.   Вместе   с   тождественным   преобразованием   получаем 9+8+6+1=24 различных вращений. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей. Опишем   теперь   всю   группу   симметрий   куба.   Куб   имеет   три   плоскости симметрии,   проходящие   через   его   центр.   Симметрии   относительно   этих плоскостей   в   сочетании   со   всеми   вращениями   куба   дают   нам   еще   24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований. 13.  Условие.  Сколько   существует   различных   раскрасок   граней   куба   в   6 различных   цветов?   Две   раскраски   считаются   одинаковыми,   если   их   можно совместить вращением куба вокруг его центра. Эту   задачу   на   Московской   математической   олимпиаде   1935   года   не   решил вообще   ни   один   человек.   Эту   же   задачу   предложили   на   турнире   имени Ломоносова в 1986 году. Решение.              Первый   способ.   Предположим,   что   процедура   окраски   куба происходит следующим образом: непокрашенный куб устанавливают в станок в некоторое   фиксированное   положение,   а   затем   последовательно   красятся   его грани   в   определенном   порядке.   Таких   способов   столько   же,   сколько перестановок 6 цветов, т. е. 6!. Но установить куб в фиксированное положение можно 24 различными способами: куб можно поставить на любую из 6 граней и затем повернуть вокруг вертикальной оси любым из четырех способов. Поэтому геометрически различных   раскрасок   в   24   раза   меньше,   то   есть   6! : 24   =30.    Второй способ. Куб всегда можно повернуть гранью нужного (скажем, белого) цвета вниз, поэтому можно считать, что всегда в белый цвет красится именно нижняя   грань.   После   этого   у   нас   есть   5   способов   выбрать   цвет   для противоположной грани. Из оставшихся 4 цветов зафиксируем один и окрасим в него   переднюю   грань   (другие   варианты   раскраски   можно   не   рассматривать, поскольку   всегда   можно   повернуть   куб   вокруг   вертикальной   оси   в   такое положение).   Остается   3!   вариантов   для   окраски   трех   оставшихся   граней. Всего получаем  5∙3! = 30  способов. Ответ: 30. Приложение 5. Метод Джессики Фридрих На   данный  момент  одним  из  самых  популярных  методов   скоростной  сборки является метод Джессики Фридрих. Данный   метод   был   разработан   в   Чехии   Джессикой   Фридрих   (1981   год). Направление метода заключается в все той же послойной сборке кубика Рубика, т.е. кубик собирается по слоям, как во многих методиках для начинающих. Но именно в данном методе открыты новшества, позволяющие снизить количество этапов   с   7   до   4.   На   первом   этапе   собирается   крест   на   начальной   стороне, следующим   шагом   собирается   первый   слой   одновременно   со   вторым,   и последний слой решается в 2 этапа. Но на самом деле не все так просто! Для освоения метода нужно выучить 119 алгоритмов!